2.3直线的交点坐标与距离公式-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

2.3直线的交点坐标与距离公式（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 5 【提升训练】 9 知识回顾 1. 两条直线的交点坐标 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 2. 两直线的位置关系的判断 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3. 直线系过定点问题 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. (3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 4. 两点间的距离公式 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ 5. 坐标法 (1)坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 6. 点到直线的距离 (1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立. 7. 两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 7．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2023高二上·全国·专题练习）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 10．（23-24高二上·江苏常州·期末）点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 11．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知，直线上有一动点，下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的截距式为 C．关于直线的对称点为 D．的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·陕西渭南·期中）直线与直线之间的距离为 . 13．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 14．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 16. (15分) （2023高二上·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 17. (15分) （24-25高二上·安徽合肥·期中）已知直线：与直线：的交点为. (1)求点关于直线的对称点； (2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程. 18. (17分) （24-25高二上·云南昆明·期中）已知直线过直线和的交点，且与直线平行. (1)求直线的方程； (2)求直线与直线的距离. 19. (17分) （24-25高二上·河南郑州·期中）已知的三个顶点分别是 (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求的面积. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A，B不重合），则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．8 7．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则它们的距离为 B．原点到直线的距离的最大值为 C．点关于直线的对称点的坐标为 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为； B．经过定点的直线都可以用方程表示； C．直线必过定点； D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是； 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 11．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知点和，是直线上的动点，则（   ） A．存在，使最小 B．存在，使最小 C．存在，使最大 D．存在，使最小 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·四川成都·期中）已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是 . 13．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为 ． 14．（24-25高二上·山西·阶段练习）如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·河北邢台·期中）已知直线，． (1)若，求的值； (2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 16. (15分) （24-25高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线：，. (1)若直线过点，求的值； (2)求点到直线距离的最大值. 17. (15分) （24-25高二上·北京平谷·期中）求下列直线方程 (1)已知，，，在中： （ⅰ）求BC边所在的直线方程 （ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程， (2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程. 18. (17分) （24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知△中，顶点，边上的高线所在直线与直线平行，的平分线所在直线的方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求边所在直线的一般式方程． 19. (17分) （24-25高二上·湖北·期中）直线经过两直线：和：的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程. (2)若点到直线的距离为4，求直线的方程. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南开封·阶段练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为 C．点到直线的距离为 D．与直线垂直 4．（24-25高二上·重庆·期中）若直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 6．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 7．（24-25高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于（ ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·海南海口·期中）下列选项正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则与直线垂直 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．点关于直线的对称点的坐标为 D．已知，点，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为 10．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知点，且点在直线上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．若，则的最小值为2 11．（24-25高二上·安徽黄山·期中）若，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线一定经过第一象限 C．点到直线的距离的最大值为 D．的充要条件是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·安徽合肥·期中）若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 . 13．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）若点既是，的中点，又是直线：与：的交点，则线段的垂直平分线的方程是 ． 14．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·期中）在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为. (1)求边的高所在直线的一般式方程； (2)求边的中线所在直线的斜率. 16. (15分) （24-25高二上·北京·期中）已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的面积. 17. (15分) （24-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 18. (17分) （23-24高二上·上海·期末）定义：设P、Q分别为曲线和上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线到的距离． (1)求曲线到直线的距离； (2)求圆到曲线的距离． 19. (17分) （24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3直线的交点坐标与距离公式（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 13 【提升训练】 27 知识回顾 1. 两条直线的交点坐标 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 2. 两直线的位置关系的判断 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3. 直线系过定点问题 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. (3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 4. 两点间的距离公式 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ 5. 坐标法 (1)坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 6. 点到直线的距离 (1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立. 7. 两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 7．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2023高二上·全国·专题练习）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 10．（23-24高二上·江苏常州·期末）点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 11．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知，直线上有一动点，下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的截距式为 C．关于直线的对称点为 D．的最大值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·陕西渭南·期中）直线与直线之间的距离为 . 13．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 14．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2023高二上·江苏·专题练习）分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 16. (15分) （2023高二上·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 17. (15分) （24-25高二上·安徽合肥·期中）已知直线：与直线：的交点为. (1)求点关于直线的对称点； (2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程. 18. (17分) （24-25高二上·云南昆明·期中）已知直线过直线和的交点，且与直线平行. (1)求直线的方程； (2)求直线与直线的距离. 19. (17分) （24-25高二上·河南郑州·期中）已知的三个顶点分别是 (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求的面积. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B A B A A AD ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 2．B 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 3．C 【分析】由中点的坐标公式求解即可. 【详解】点与点的对称中心是的中点， 所以对称中心的坐标为， 故选：C 4．B 【分析】首先根据两直线平行求出，再利用两平行线间距离公式求解即可. 【详解】依题意可得，解得， 则直线方程为， 而方程，即， 所以两条平行线间的距离为. 故选：B. 5．A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 6．B 【分析】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B 7．A 【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 8．A 【分析】根据两直线平行的充要条件求出，再根据两平行间的距离公式求解. 【详解】由题意，，解得， 所以直线，即与直线间的距离为. 故选：A. 9．AD 【分析】通过联立方程组求直线的交点坐标. 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 10．ABD 【分析】利用点斜式可判断A选项；利用斜率公式以及倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，点，又因为点，则， 此时，直线的方程为，即，A对； 对于B选项，若，则，又因为点，， 设直线的倾斜角为，则，且，则， 即直线的倾斜角为，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即， 因为点在直线上，则，解得， 若直线不经过原点，设直线的方程为， 因为点在直线上，则，此时，直线的方程为， 因为点在直线上，则，解得. 综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】利用两点斜率公式可判定A，利用截距式方程可判定B，利用中点坐标公式结合两直线垂直可求对称点判定C，利用二次函数的性质可判定D. 【详解】易知，故A正确； 由可知直线的截距式为，故B错误； 设原点关于直线的对称点为，则在直线上， 且原点与其对称点连线与直线垂直，即，解之得，故C正确； 易知，则，时取等号，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由于与直线平行，故距离为， 故答案为： 13． 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 14． 【分析】先求出关于的对称点为，进而得到的最小值为 【详解】设关于的对称点为， 则解得，即． 因为， 所以的最小值为． 故答案为： 15．(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 16．(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 17．(1) (2)，. 【分析】（1）先求直线的交点，然后通过条件得到直线的方程，进而确定的中点坐标，最后确定的坐标； （2）先根据条件得到点到的距离不超过，然后在取到该值的条件下得到的斜率，进而确定直线的方程. 【详解】（1）联立方程 ,解得 所以两直线，的交点为. 设，则的中点为. 联立方程，解得 所以. （2）因为， 所以点到经过点的直线距离的最大值为. 由题意，与垂直，则，故的斜率为. 所以直线的方程为，即 所以当距离最大时，直线的方程为. 18．(1) (2) 【分析】（1）先求得两直线的交点，再由直线与直线m平行求解； （2）利用两直线间的距离公式求解. 【详解】（1）因为直线过直线和的交点， 由，解得，即点， 因为直线的斜率为-4，且直线与直线m平行， 所以直线的方程为，即. （2）直线与直线的距离为. 19．(1) (2)8 【分析】（1）根据题意，由直线的点斜式方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由两点间距离公式可得，再由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）中点， 由点斜式可得，化简可得， 所以中线方程为. （2）因为，且， 由点斜式可得直线的方程为，化简可得， 又点到直线的距离为， 所以， 即的面积为8. 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·山东·一模）过直线与的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地（边长为8米）如图所示，，，分别是，，的中点，在场地中设置了一个半径为米的圆，圆与直线相切于点.比赛中，机器人从点出发，经过线段上一点，然后再到达圆，则机器人走过的最短路程是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A，B不重合），则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．8 7．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则它们的距离为 B．原点到直线的距离的最大值为 C．点关于直线的对称点的坐标为 D．直线与坐标轴围成的三角形的面积为 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·黑龙江绥化·期中）下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为； B．经过定点的直线都可以用方程表示； C．直线必过定点； D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是； 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线l过定点 B．原点O到直线l距离的最大值为 C．若点，到直线l的距离相等，则 D．若直线l不经过第四象限，则． 11．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知点和，是直线上的动点，则（   ） A．存在，使最小 B．存在，使最小 C．存在，使最大 D．存在，使最小 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·四川成都·期中）已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是 . 13．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为 ． 14．（24-25高二上·山西·阶段练习）如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是 .    四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·河北邢台·期中）已知直线，． (1)若，求的值； (2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程． 16. (15分) （24-25高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线：，. (1)若直线过点，求的值； (2)求点到直线距离的最大值. 17. (15分) （24-25高二上·北京平谷·期中）求下列直线方程 (1)已知，，，在中： （ⅰ）求BC边所在的直线方程 （ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程， (2)已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程. 18. (17分) （24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知△中，顶点，边上的高线所在直线与直线平行，的平分线所在直线的方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求边所在直线的一般式方程． 19. (17分) （24-25高二上·湖北·期中）直线经过两直线：和：的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程. (2)若点到直线的距离为4，求直线的方程. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C D B A C CD ABD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得. 【详解】由，解得，则所求方程的直线过点， 设所求直线方程为，于是，解得， 所以所求直线方程为. 故选：D 2．A 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线方程为，得到点关于直线的对称点，连接，与交于点，与圆交于点，所以即为机器人走过的最短路程，利用两点间距离公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设直线的方程为，将代入得，故直线方程为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故， 连接，与交于点，与圆交于点， 则， 所以即为机器人走过的最短路程， 其中， 故. 故选：A 3．C 【分析】利用反射原理，先求出点关于直线的对称点的坐标，再求直线的方程即可. 【详解】    如图，设点关于直线的对称点为， 则有，解得，即， 依题意，反射光线即直线，因，则直线的斜率为， 于是反射光线所在的直线方程为，即. 故选：C. 4．C 【分析】求出点关于直线的对称点，再求出线段长即可. 【详解】点，都在直线的下方， 点关于直线的对称点， 于是， 当且仅当点是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是5. 故选：C 5．D 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 6．B 【分析】先求出两直线经过的定点的坐标，判断两直线的垂直关系，求得为定值8，再利用基本不等式即可求得周长的最大值. 【详解】由题意可知，直线经过定点， 直线即，经过定点， ∵过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直， P又是两条直线的交点，则有，∴. 因， 故的周长为，（当且仅当时等号成立） 即周长的最大值为. 故选：B. 7．A 【分析】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【详解】由得，即， 所以点到直线 的距离为， 故选：A． 8．C 【分析】A选项由平行求出的值，在排除重合的情况，求出两直线后求直线间的距离； B选项通过直线方程求得定点坐标，由该点到定点的距离即是点到动直线的最大距离； C选项通过对称直线与对称两点直线垂直，求出斜率后写出直线，联立方程求出交点即为两对称点中点，由中点坐标公式求得对称点坐标； D选项由解析式得到直线的截距，由线段长求得三角形面积. 【详解】A选项：由题意得，∴，当时，两直线均为； 当时，两直线分别为：，， ∴两直线距离，故A选项错误; B选项：直线即过定点，设为A， ∴原点到直线的距离在直线和OA垂直时取得，∴最大距离，故B选项错误； C选项：∵直线的斜率为，则和其对称点的连线的斜率， ∴， 联立方程组，解得，即对称点坐标，故C选项正确； D选项：由解析式可得直线的截距为， ∴所围成的三角形的面积，故D选项错误. 故选：C. 9．CD 【分析】根据直线方程各种表达式的形式可判断AB选项，再分离参数可得直线过定点判断C选项，再根据线线平行，可得，结合平行线间距离可判断D选项. 【详解】A选项：直线在轴上的截距为，A选项错误； B选项：当直线斜率存在时，直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线为，此时不能用用方程表示，B选项错误； C选项：直线，即，令， 解得，即直线恒过定点，C选项正确； D选项：由直线与直线平行，可知，即， 则两直线分别为，，即， 所以两直线间距离，D选项正确； 故选：CD. 10．ABD 【分析】A选项，变形后，得到方程组，求出定点坐标；B选项，直线l过定点，故最大值为；C选项，由点到直线距离公式得到方程，求出或-2；D选项，数形结合得到时满足要求，从而得到不等式，求出答案. 【详解】A选项，， 令，解得， 故直线l过定点，A正确； B选项，由A选项知，直线l过定点， 故原点O到直线l距离的最大值为，B正确； C选项，点，到直线l的距离相等， 故， 故，解得或-2，C错误； D选项，直线不经过第四象限， 当时，满足要求，此时斜率为0， 当经过原点时，，解得， 此时，斜率为1， 数形结合得到，当时，满足要求， 即，解得，D正确. 故选：ABD 11．ACD 【分析】A：先求点关于直线的对称点为，根据直线与直线的交点坐标即可判断；B：为线段的垂直平分线与直线的交点；C：根据绝对值的特点得出为直线与直线的交点；D： 设出点坐标，根据二次函数的性质求解出取最小值时点坐标. 【详解】在平面直角坐标系中作出点和直线， 由图可知，点和在直线同侧， 设点关于直线的对称点为， 则有，解得，得， ，当且仅当为直线与直线的交点时有最小值， 直线的斜率为，方程为， 由，解得，存在，使最小，A选项正确； 最小值为0，当且仅当，即为线段的垂直平分线与直线的交点， 的中点坐标为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线方程为，即， ，解得，存在，使最小，B选项错误；   ，当且仅当为直线与直线的交点时有最大值， 直线的方程为，即， ，解得，存在，使最大，C选项正确； 设， ， 当时有最小值，此时， 所以存在，使最小，D选项正确. 故选：ACD. 12． 【分析】首先求直线所过的定点，再求边界的斜率，再利用数形结合，写出范围. 【详解】，得，所以直线过点， ，， 若直线与线段有公共点，所以直线斜率的取值范围是. 故答案为： 13． 【分析】先求出定点和的坐标，分析得到两条直线互相垂直，从而得到，最后设，在直角三角形中将和表示为的式子，利用三角函数的性质求最值即可求解. 【详解】可以转化为，故直线过定点， 可以转化为，故直线过定点， 由和满足， 所以两条直线互相垂直，可得， 所以，可得， 设为锐角，则，， 所以， 当时，取最大值. 故答案为：. 14． 【分析】求出关于的对称点和它关于y轴的对称点，则就是所求的路程长. 【详解】解：直线的方程为，即，    设点关于直线AB的对称点为， 则，解得，即， 又点关于y轴的对称点为， 由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长． 故答案为： 15．(1) (2)或 【分析】（1）利用两直线平行的充要条件计算参数即可； （2）先联立直线方程计算交点，再分类讨论截距是否为0，结合截距式计算即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线，重合，不满足要求， 当时，，，直线，平行，满足要求， 所以； （2）由，解得，即与的交点为， 当直线过原点时，此时直线斜率为，所以直线的方程为， 当直线不过原点时，设的方程为，将代入得， 所以直线的方程为， 故满足条件的直线的方程为或. 16．(1) (2)5 【分析】（1）将点的坐标代入直线方程待定即可； （2）求出直线所过定点，结合图形可知当时点到直线距离取最大值，最大值为. 【详解】（1）将点的坐标代入直线的方程得， ， 整理得， 解得. （2）直线的方程可化为， 联立解得 故直线恒过点， 如图可知，当时点到直线距离的取最大值，最大值为， ， 故点到直线距离的最大值为5.    17．(1)（i）；（ii）. (2)或. 【分析】（1）（i）直接计算得，再写出点斜式方程再化简即可； （ii）求出中点，再根据垂直关系即可得到斜率，写出点斜式方程再化简即可； （2）首先验证直线斜率不存在的情况，再利用点斜式方程并结合点到直线的距离公式即可. 【详解】（1）（i），则BC边所在的直线方程为， 即, （ii）线段的中点坐标为，即，由（i）知， 则其垂直平分线的斜率为， 则BC边上的垂直平分线所在直线的方程为，即. （2）当直线l的斜率不存在时，此时，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则有，解得，此时. 综上所述直线的方程为或. 18．(1) (2) 【分析】（1）设边所在的直线方程为，代入坐标可求的方程，联立方程组可求得交点的坐标； （2）设点关于直线的对称点为，由题意可得，求解可得点的坐标，可求直线的方程. 【详解】（1）由题意可设边所在的直线方程为， 则将代入，解得，则边所在直线的方程为， ，则顶点的坐标为． （2）设点关于直线的对称点为，则 ，所以．直线的方程即为直线的方程. 因为，所以，即为， 则直线的一般式方程为． 19．(1) (2)或 【分析】（1）方法一：求出两直线交点坐标，再由垂直关系计算可得结果； 方法二：设出两直线组成的直线系方程，再由垂直关系计算可得结果； （2）方法一：分斜率是否存在进行讨论，利用点到直线距离公式计算可得结果； 方法二：利用直线系方程求得参数值即可得直线方程. 【详解】（1）方法一：由得交点， 因为与直线垂直，所以设：，代入得， 所以的方程为； 方法二：设：，整理得， 当与直线垂直，所以，解得， 所以的方程为，即. （2）方法一：当的斜率不存在时，为，满足题意， 当的斜率存在时，设：，则到直线的距离为， 解得，此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 方法二：到直线的距离为， 化简得，解得或， 所以直线的方程为或. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南开封·阶段练习）已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角是钝角 B．的一个方向向量为 C．点到直线的距离为 D．与直线垂直 4．（24-25高二上·重庆·期中）若直线与平行，则两直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 6．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 7．（24-25高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于（ ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·海南海口·期中）下列选项正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则与直线垂直 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．点关于直线的对称点的坐标为 D．已知，点，直线上有一动点，当取得最小值时，点的坐标为 10．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知点，且点在直线上，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．若，则的最小值为2 11．（24-25高二上·安徽黄山·期中）若，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线一定经过第一象限 C．点到直线的距离的最大值为 D．的充要条件是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·安徽合肥·期中）若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 . 13．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）若点既是，的中点，又是直线：与：的交点，则线段的垂直平分线的方程是 ． 14．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·期中）在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为. (1)求边的高所在直线的一般式方程； (2)求边的中线所在直线的斜率. 16. (15分) （24-25高二上·北京·期中）已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的面积. 17. (15分) （24-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 18. (17分) （23-24高二上·上海·期末）定义：设P、Q分别为曲线和上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线到的距离． (1)求曲线到直线的距离； (2)求圆到曲线的距离． 19. (17分) （24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B C D D ACD BCD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 2．D 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则有，解得，所以， 点关于轴的对称点为， 由对称可得，， 所以的周长为， 如图所示，当四点共线时，的周长最小， 最小值为. 故选：D. 3．B 【分析】对于A，根据条件，利用斜率与倾斜率角的关系，即可求解；对于B，利用方向向量的定义及是直线的一个方向向量，即可求解；对于C，利用点到直线的距离公式，即可求解；对于D，利用直线位置关系的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，直线的斜率为，所以直线的倾斜角是锐角，故选项A错误， 对于选项B，易知直线一个方向向量为， 又向量与向量共线，所以选项B正确， 对于选项C，因为点到直线的距离为，所以选项C错误， 对于选项D，直线的斜率为，直线的斜率为， 又，所以直线与直线不垂直，故选项D错误， 故选：B. 4．C 【分析】先利用两直线平行求得，再利用两平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，两直线方程都为，此时两直线重合，不合题意， 当时，与平行，故， 故， 所以两直线间的距离为. 故选：C. 5．B 【分析】写出对应直线的方向向量，讨论直线垂直求参数a，再根据所得参数值研究直线的位置情况，即可得答案. 【详解】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 6．C 【分析】表示动点到定点和的距离之和，作关于直线的对称点，，即可求解 【详解】 表示动点到定点和的距离之和， 因为点在直线上运动， 作关于直线的对称点，则， 故， 当且仅当三点共线时取等， 故的最小值为 故选：C 7．D 【分析】根据对称性求出直线与直线的方程，再将这两条直线的方程联立，即可求得点的坐标. 【详解】如下图所示： 则、，直线方程为 ，即， 三角形重心为 ，即， 设，设点关于直线对称点为， 由题意可得，解得，即点， 由光的反射性可知、、、四点共线，且， 直线斜率为，直线方程为， 因为直线过重心，即，整理得， 解得（舍去）或，即点， 所以，直线的方程为， 联立，解得，即点. 故选：D. 【点睛】结论点睛：若点与点关于直线对称，由方程组可得到点关于直线的对称点的坐标（其中，）. 8．D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 9．ACD 【分析】A选项，由两直线的方向向量判断垂直；B选项，由两直线垂直的充要条件判断；C选项，由点关于直线的对称求解；D选项，求点关于直线的对称点，由距离之和最小问题求点的坐标. 【详解】对于A，直线的方向向量为， 由，直线与直线垂直，A选项正确； 对于B，时，直线和直线也互相垂直，B选项错误； 对于C，设点关于直线的对称点的坐标为，则有， 解得，C选项正确； 对于D，已知点和点都在直线上方， 设点关于直线的对称点为，所以，解得， 可得直线的方程为，即， 故，解得， 故当取得最小值时，P点的坐标为，故D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】分类讨论可得不存在这样的点点，使得判断A；设，由已知可得方程有解判断B；设关于直线的对称点为，求解可判断C；利用二次函数的配方法求得最小值判断D. 【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在， 与不垂直，同理时与不垂直， 当且时， 若，则， 去分母整理得，方程无解，故与不垂直，故A错误； 对于B：设，若， 则，即， 由，所以方程有解， 则存在点，使得，故B正确； 对于C：如图设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 当且仅当三点共线时取等号（在线段之间），故C正确： 对于D，因为， 当时等号成立，所以的最小值为2，故D正确. 故选：BCD. 11．ABD 【分析】由直线过定点的求法判断A，根据直线的斜率及截距判断B，当时可求出点到直线距离最大判断C,根据直线的平行的条件判断D. 【详解】由，即为， 令，解得，所以直线过定点，故A正确； 因为，则的斜率存在且不为零，在轴上的截距， 所以一定经过第一象限，故B正确； 当时，点到直线的距离的最大， 最大值为，故C错误； 若，则，因为，故有， 经检验，符合题意，所以，所以的充要条件是，故D正确． 故选：ABD 12． 【分析】利用两直线平行求参数，根据两平行线间的距离公式可得结果. 【详解】由与平行，得，解得， 故两直线方程分别为，所以直线与之间的距离为. 故答案为：. 13． 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即， 故答案为： 14． 【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度. 【详解】由可以得到，故， 直线的方程可整理为：，故直线过定点， 因为到直线的距离，当且仅当时等号成立， 故， 故答案为：. 15．(1)； (2) 【分析】（1）由两条高线所在直线方程联立求得垂足坐标后，再计算直线的斜率得直线方程； （2）由垂直得出直线的斜率，从而可得直线方程，联立方程组分别求得两点坐标后，由中点坐标公式计算出中点坐标，然后计算斜率． 【详解】（1）由，解得，因此垂足为， 所以高所在直线的斜率为， 直线方程为，即； （2）因为边，上的高所在直线的方程分别为与， 所以，， 直线方程为，即， 直线方程为，即， 由，得，即， 由得，即， 所以的中点的坐标为， 所以． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，利用两点式可得出直线的方程； （2）求出直线的方程，将直线、的方程联立，即可解得点的坐标； （3）求出、，由可得结果. 【详解】（1）解：因为、，所以的中点为， 所以直线的方程为，即. （2）解：由（1）知，因为，所以， 所以直线方程为，即. 联立，解得，所以点的坐标为. （3）解：因为，， 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1）运用点到线的距离公式求解即可. （2）设点关于直线的对称点，求出坐标，结合求解即可. 【详解】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）求直线和直线平行，并与抛物线相切，然后两直线之间的距离即为所求. （2）把问题转化为点到曲线上点的距离的最小值，再求解. 【详解】（1）如图：    设直线：，代入，得：， 由得. 直线，的距离为：即为所求. （2）如图：    曲线化为， 取曲线上任意一点，先求的最小值. 设，，则且，，，. 所以（当且仅当时取“”）， 所以， 所以所求的距离为：. 【点睛】关键点睛：采用数形结合的方法，把所求的距离进行合理转化是解决问题的关键. 19．(1)， (2) (3)当时，取最大值为 【分析】（1）由直线与线段有公共点，可得的取值范围，联立直线可得交点坐标； （2）根据点到直线的距离及两点间距离可得三角形面积； （3）设，结合基本不等式可得最值. 【详解】（1）如图所示， 设直线， 又直线与线段，均相交， 则， 直线方程为， 直线方程为， 联立，解得，即， 联立，解得，即； （2）又，又，则， 点到直线，即点到直线的距离， 所以的面积， （3）由（2）得， 设，即， 则， 又，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 即当时，取最大值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$