2.1直线的倾斜角与斜率-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业（知识回顾+基础自测+巩固训练+提升训练）（人教2019A版专用）

2.1直线的倾斜角与斜率（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 5 【提升训练】 9 知识回顾 1. 直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 2. 直线的斜率和方向向量 (1)直线的斜率 ①斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tan__α. ②斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝. (2)直线的方向向量与斜率的关系如下： 若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 3. 两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 在平面直角坐标系中，l1∥l2的充要条件是它们的倾斜角α1与α2相等.两条不重合直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件.当l1，l2与x轴垂直时，l1∥l2，但它们的斜率都不存在. 4. 两直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·河南·期中）经过两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）过点和点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 4．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 5．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知点，，若过点的直线l与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东济南·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·四川广安·期中）如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 11．（22-23高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·福建福州·期中）直线与直线平行，则 ． 13．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线，，若，则实数 . 14．（23-24高二下·全国·课后作业）已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）（1）已知点A（1，1），点B（－1，），P是线段AB（包含端点）上的任意一点，O为坐标原点，求直线OP的斜率和倾斜角的取值范围； （2）已知点A（1，1），B（1，－），P是线段AB（包含端点）上的任意一点，O为坐标原点，求直线OP的斜率和倾斜角的取值范围． 16. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 17. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 18. (17分) （24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 19. (17分) （23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·天津北辰·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 2．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 3．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知直线和直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C．若，，则直线的倾斜角为90° D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 10．（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率 11．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线，直线，若，则= . 13．（22-23高二上·浙江·阶段练习）已知正数满足，则 . 14．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 16. (15分) （2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 17. (15分) （24-25高二上·四川广安·阶段练习）已知. (1)若四点可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下若点在第四象限的情况下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 18. (17分) （24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 19. (17分) （23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知直线：，：，则 (1)若两直线平行，求a的值． (2)若两直线垂直，求a的值． 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（21-22高二·全国·课后作业）已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高二上·上海长宁·期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高二上·山西长治·阶段练习）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 11．（24-25高二上·广东佛山·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 13．（22-23高三上·贵州遵义·开学考试）直线，，若，则 . 14．（22-23高二上·北京西城·期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 16. (15分) （22-23高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 17. (15分) （2024高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 18. (17分) （23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 19. (17分) （23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1直线的倾斜角与斜率（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础自测】 3 【巩固训练】 12 【提升训练】 24 知识回顾 1. 直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 2. 直线的斜率和方向向量 (1)直线的斜率 ①斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tan__α. ②斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝. (2)直线的方向向量与斜率的关系如下： 若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 3. 两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 在平面直角坐标系中，l1∥l2的充要条件是它们的倾斜角α1与α2相等.两条不重合直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件.当l1，l2与x轴垂直时，l1∥l2，但它们的斜率都不存在. 4. 两直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 基础自测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·河南·期中）经过两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南许昌·期中）过点和点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 4．（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 5．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知点，，若过点的直线l与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东济南·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二上·四川广安·期中）如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围为 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．斜率的取值范围为 D．斜率的取值范围为 11．（22-23高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·福建福州·期中）直线与直线平行，则 ． 13．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线，，若，则实数 . 14．（23-24高二下·全国·课后作业）已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）（1）已知点A（1，1），点B（－1，），P是线段AB（包含端点）上的任意一点，O为坐标原点，求直线OP的斜率和倾斜角的取值范围； （2）已知点A（1，1），B（1，－），P是线段AB（包含端点）上的任意一点，O为坐标原点，求直线OP的斜率和倾斜角的取值范围． 16. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 17. (15分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 18. (17分) （24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 19. (17分) （23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A D C B A ABD BC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】由两点横坐标得直线与轴垂直，从而易得倾斜角． 【详解】由已知直线的斜率不存在，即轴，倾斜角为， 故选：C． 2．B 【分析】利用两点先求出直线斜率，然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由已知直线的斜率， 设直线倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 3．B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    4．A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 5．D 【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案. 【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 6．C 【分析】利用斜率公式求，数形结合确定直线斜率的范围. 【详解】由题设，如下图示， 所以. 故选：C 7．B 【分析】由两直线平行斜率相等的关系求解即可； 【详解】当时，直线，直线，此时两直线斜率相等，且两截距， 所以两直线平行，故充分性成立； 当直线与直线平行时， 有，解得或3，故必要性不成立， 故选：B. 8．A 【分析】由垂直关系求出a的值，再结合充分、必要条件的概念即可得答案. 【详解】若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 9．ABD 【分析】结合图象利用斜率的定义判断即可. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 由图象可知，， 易知，当时， 又在时，且上单调递增， 所以，，即. 故选：ABD 10．BC 【分析】通过数形结合，找到直线斜率的取值范围，再得到倾斜角的取值范围即可. 【详解】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 11．AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 12．-3 【分析】根据两直线平行的判定方法，列方程计算求出的值并检验即得. 【详解】依题意，可得且， 解得或，因，故. 故答案为：-3. 13．或 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】直线，，由，得， 所以或. 故答案为：或 14．3 【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式. 【详解】三点A，B，C在同一直线上， ，，解得. 故答案为：3. 15．（1）[，]；（2）[0，]∪[，π）. 【详解】 解：（1） 因为直线OA的斜率为kOA＝1，倾斜角α1＝，直线OB的斜率为kOB＝－，倾斜角α2＝，所以直线OP斜率的取值范围是（－∞，－]∪[1，＋∞），倾斜角的取值范围是[，]. （2） 同（1），所以直线OP斜率的取值范围是[－，1]，倾斜角的取值范围是[0，]∪[，π）. 16．(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率，据此可以求m的值； （2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值； （3）直线的倾斜角为，则直线的斜率，据此可以求m的值； （4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率，据此可以求出m的范围. 【详解】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率， 所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， 所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. 18．(1)或； (2) 【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【详解】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故 19．(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，求出参数的值，再代入检验； （2）根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，即， 解得或． 当时，，此时与重合，不符合题意； 当时，，符合题意． 故． （2）因为，所以， 解得． 巩固训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·天津北辰·期中）设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 2．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 3．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知直线和直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C．若，，则直线的倾斜角为90° D．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 10．（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率 11．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线，直线，若，则= . 13．（22-23高二上·浙江·阶段练习）已知正数满足，则 . 14．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 16. (15分) （2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 17. (15分) （24-25高二上·四川广安·阶段练习）已知. (1)若四点可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下若点在第四象限的情况下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 18. (17分) （24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 19. (17分) （23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知直线：，：，则 (1)若两直线平行，求a的值． (2)若两直线垂直，求a的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A B D A D CD BCD 题号 11 答案 CD 1．D 【分析】求出，数形结合得到，求出答案. 【详解】，， 数形结合知，直线的斜率需满足， 即. 故选：D 2．A 【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A 3．B 【分析】求出，的斜率，结合图象可得结论． 【详解】，， 存在与线段相交的直线与轴垂直， 所以直线的斜率的范围是. 故选：B. 4．A 【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 5．B 【分析】先利用对称点的性质求出点坐标，再结合图象求解即可. 【详解】设，因为点关于直线的对称点为， 所以，的中点一定在上，且设中点为， 由中点坐标公式得，将其代入中， 得到，而可化为， 则其斜率为，可得到，解得，， 故得，我们把的斜率记为，的斜率记为， 由斜率公式得，， 如图，我们得到直线的斜率的取值范围为，故B正确. 故选：B 6．D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 7．A 【分析】根据的充要条件求得或，再由充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】若，则，解得或． 若，则直线，直线，可知； 若，则直线，直线，可知， 综上所述：或． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 8．D 【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以即得, 所以, 因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 故选：D. 9．CD 【分析】根据倾斜角与斜率关系，斜率公式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误； B：直线的斜率时，因为可以是不为的任意实数，而直线倾斜角的范围为，故B错误； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，故C正确； D：过，两点的斜率为：，故D正确. 故选：CD. 10．BCD 【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错； 对于B选项，若直线与直线互相平行， 则，解得， 所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对； 对于C选项，直线的斜率为， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对； 对于D选项，如下图所示： 设线段交轴于点，直线交线段于点， ，， 当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为； 当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对. 故选：BCD. 11．CD 【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错； B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对； D：过，两点的斜率为：，对. 故选：CD. 12． 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】，则；. 若，则存在斜率，方程可化为， 则且，解得. 故答案为：. 13．/. 【分析】 如图建立平面直角坐标系，设，由已知条件可得，，可得四边形为正方形，设，从而可求出，进而可求得答案. 【详解】设， 则四边形为矩形， 因为， 所以， 而，即，即， 所以，又是等边三角形，所以过的中点， 所以矩形为正方形，由整个图形的对称性可知. 设，得， ， 所以. 故答案为：. 【点睛】 14． 【分析】数形结合，观察倾斜角的变换情况确定斜率的变换情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 15．(1) (2)． 【分析】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）根据直线斜率与直线倾斜角的关系，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由直线的斜率，可得，即． （2）当时，直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当时，； 当时，， 又直线的倾斜角为，则有或， 所以直线的倾斜角的取值范围是或． 故直线的倾斜角的最小值为． 16．直角梯形；证明见解析． 【分析】由各点坐标可求得四边的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出结论. 【详解】由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； 17．(1)或或 (2)不是菱形 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【详解】（1）由题意得，，， 设，若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上所述，点的坐标为或或. （2）若的坐标为，因为， 直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 18．(1) (2). 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 19．(1) (2)或 【分析】（1）利用两直线平行的充要条件，列出方程，解之即可； (2)利用两直线垂直的充要条件，列出方程，解之即可. 【详解】（1）直线：与直线：互相平行， 所以，即，解得. 故两直线平行，则. （2）直线：与直线：互相垂直， 所以，即，解得或. 故两直线垂直，则或. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（21-22高二·全国·课后作业）已知两条直线：，：，当、的夹角在内变动时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高二上·上海长宁·期中）已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线垂直，且直线与直线₄：垂直，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高二上·山西长治·阶段练习）已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 11．（24-25高二上·广东佛山·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 13．（22-23高三上·贵州遵义·开学考试）直线，，若，则 . 14．（22-23高二上·北京西城·期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·四川·阶段练习）已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 16. (15分) （22-23高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 17. (15分) （2024高二·全国·专题练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 18. (17分) （23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）若直线与直线平行，求的值； （2）若直线与直线垂直，求的值. 19. (17分) （23-24高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A C C C B BC BCD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，判断直线l的倾斜角与斜率的变化，数形结合得答案． 【详解】点， 直线的斜率，直线的斜率， 直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或， 即或，所以直线l的斜率的取值范围为. 故选：D. 2．C 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 3．C 【分析】由的倾斜角为知倾斜角范围为，结合直线方程求m的范围. 【详解】由题设，的倾斜角为，故倾斜角范围为， 所以且，即. 故选：C 4．A 【分析】将问题转化为函数的图象在直线下方的部分有3个整点，然后数形结合可解. 【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 5．C 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 6．C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立与的方程，由恒有解判断B；取时，与重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D. 【详解】解：当时，的倾斜角为，此时的方程为，故A正确； 联立方程组，得，此方程恒有解， 故对任意的，与都有公共点，B正确； 当时，，此时与重合，故C错误； 因为的斜率为1，当时，与不垂直； 当时，的斜率，所以对任意的，与都不垂直，D正确； 故选：C. 7．C 【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，解得或， 当，则，，满足，符合题意； 当，则，，两直线重合，不符合题意； 综上所述：等价于. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．B 【分析】由直线垂直的充要条件，可列出方程组解出即可. 【详解】由题意知：直线与直线垂直，则， 直线与直线垂直，则， 即得. 故选：B. 9．BC 【分析】 设，求出直线、的倾斜角即得解. 【详解】设，由题得,所以直线的倾斜角为. 由题得,所以直线的倾斜角为. 由图可知直线与线段相交，须满足直线的倾斜角. 故选：BC 10．BCD 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于选项D：如图所示：    可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BCD. 11．BC 【分析】由两直线的平行与垂直，即可判断AB，由直线倾斜角的定义即可判断C，分直线过原点以及不过原点，即可判断D 【详解】对于A，由可得直线与直线互相垂直，故充分性满足， 由直线与直线互相垂直， 可得，解得或，，则必要性不满足， 所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故A错误； 对于B，由可得直线与直线互相平行，故充分性满足， 由直线与直线互相平行 可得，解得，则必要性满足， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角，则， 又，所以，故C正确； 对于D，直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，则直线方程为； 若直线不过原点，则直线斜率为，在坐标轴上的截距为， 所以直线方程为，即； 所以直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为或，故D错误； 故选：BC 12． 【分析】先判断直线过定点，再根据直线与线段相交，求出直线斜率的取值范围，最后根据正切函数的性质，求出倾斜角的取值范围即可. 【详解】直线过定点， 则，， 如图，要使直线与线段相交， 则直线l的的斜率应满足， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故答案为:. 13．2 【分析】根据两直线平行求解参数即可. 【详解】解：因为直线，，， 所以且两直线不重合， 解得或， 当时两直线重合，舍去，所以． 故答案为：2． 14． 【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程. 【详解】因为，所以线段的中点，且. 所以与垂直的直线的斜率为， 所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. 故答案为： 15．(1)答案见解析． (2) 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 16．(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 17．(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 18．（1）或；（2）或 【分析】（1）由两直线平行的性质计算即可得，并排除重合的情况； （2）由两直线垂直的性质计算即可得. 【详解】（1）两直线平行，则，即，故或， 当时，两直线分别为与，符合要求， 当时，两直线分别为与，符合要求， 故或； （2）两直线垂直，则， 即，故或. 19．(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题可知直线的斜率存在且， 若则直线的斜率也存在， 由， 得，即解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意， 当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且， 即，即， 解得或， 所以当或时，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$