专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.阿氏圆模型 1 15 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·浙江·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ． 例2．（2024·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 例4．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为6，点A（0，3），点B（5，0），点C（0，12），将线段OC绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤90°），得线段OC’，OC’与弧MN交于点P，连PA，PB．则2PA+PB的最小值为____． 例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 例6．（2023·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．    例7．（2024·广东·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且，则4PD+2PC的最小值为_______． 例8．（2024·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值． （2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值． （3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值 例9．（2023·重庆·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的函数解析式；(2)为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值和此时点的坐标； 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________． 3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______ 4．（2024·甘肃武威·一模）如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为，的最小值为 5．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，是等边三角形，，点D在边上由C向A运动，点E在边上由B向C运动，且，连接、交于点P，将边绕着点C顺时针旋转90°得到，在射线上截取线段，使，在D、E的运动过程中，求的最小值 ．    6．（2024·四川绵阳·校考一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是 ． 7．（2024九年级·广东·专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PB＋2PC的最小值为 ． 8.（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，则的最小值为 ．    9．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ． 10．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 ． 12．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，点为内一动点，且满足，则的最小值为 ．    13．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）（1）【问题提出】如图1，在正方形中，点E是边的中点，，求证：； （2）【问题探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别为边、上一个动点，且，点P为的中点，连接，求的最小值； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，，点E为边的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，求的最小值． 14．（2024·山东威海·二模）【问题解决】（1）如图1，四边形是正方形，点E在边上，以为边在其右侧作正方形，连接，求证：． 【问题拓广】（2）如图2，四边形是矩形，，点E是边上一动点，以为边在其右侧作矩形，且，连接．①写出线段与的数量关系，并证明你的结论；②连接，则的最小值为_______．（直接写答案） 15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在矩形中，，点E为射线上的一个动点，过点E作，连接，使，连接． (1)求证：①；②；(2)如图2，若，，连接． ①若，求；②当E点在射线上运动时，则的最小值为______． 16．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）综合与实践，如图，以为边向两侧作和为的中点，连接．(1)如图1，若，，，求的长． (2)如图2，连接交于点为上一点，，，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想．(3)如图3，是以为斜边的等腰直角三角形，若，请直接写出当取最大值时，的面积．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.阿氏圆模型 1 15 模型1.阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·浙江·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，先利用勾股定理求得，，在上截取，过作于，于，求得，，，进而求得，证明求得，利用两点之间线段最短得到，当共线时取等号，即可求解． 【详解】解：连接，∵为的直径，， ∴， ∵在中，，∴，， 在上截取，过作于，于，连接、， ∴四边形是矩形，，∴，， ∴，在中，， ∵，是公共角，∴，∴，则， ∴，当共线时取等号， 故的最小值为，故答案为：． 例2．（2024·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____． 【答案】5 【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5． 详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵，，∴， ∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC， 当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．故答案为5 点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中 例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________． 【答案】 【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答． 【详解】解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝， ∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI， ∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3， ∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝， ∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形． 例4．（2023·江苏泰州·模拟预测）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为6，点A（0，3），点B（5，0），点C（0，12），将线段OC绕点O顺时针旋转α（0°≤α≤90°），得线段OC’，OC’与弧MN交于点P，连PA，PB．则2PA+PB的最小值为____． 【答案】13 【分析】连接PC，易证，相似比为，即可得到，可知当三点在同一条直线上的时候，取得最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接PC，∵，，， 在和中， ，∴，相似比为，故， ∴ 当三点在同一条直线上的时候，取得最小值， 在Rt中，．故的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形中与圆结合中的动点问题，难度一般，正确作出辅助线，利用相似性，是顺利解题的关键． 例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【解答】解：在上取点，使，，， ，，，， 在延长线上取，，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 例6．（2023·陕西咸阳·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】在上取一点G，使得连接．根据菱形的性质可知，则，结合，可得，利用相似三角形的性质证得根据可知的长即为的最小值，利用勾股定理求出便可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点G，使得，连接． ∵四边形为菱形，，∴，，      ∵，P是的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴，即， ∵，∴当点G、P、C在同一直线上时，取得最小值， 此时 ，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握“胡不归”问题模型，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理求解． 例7．（2024·广东·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且，则4PD+2PC的最小值为_______． 【答案】 【分析】取一点，连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，过点D作交OC于点E，即可求出DT的最小值，即可得． 【详解】解：如图所示，取一点，连接OP，PT，TD， ∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4， 以O为圆心，OA为半径作，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA， ∵，，∴， ∴A，P，B，Q四点共圆，∴， ∵，，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，过点D作交OC于点E， ∵D的坐标为（5，3），∴点E的坐标为（5，0），TE=4，∴ ∵，∴，∴的最小值是，故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点． 例8．（2024·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值． （2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值． （3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值 【答案】见详解 【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把转化为4（），这样只需求出的最小值，问题即可解决。 （2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）； （3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）； 【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1． ∴△PBG∽△CBP， ∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==5． 当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5． 如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF=，作EF⊥BC ∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD， ∴当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即PD+PC， 由图可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=， ∴最小值为FC=== ∴的最小值为：． （2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4． ∴△PBG∽△CBP， ∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG== ． 当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为DG=． （3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F． ∴△PBG∽△CBP， ∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG． 在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=，CF=2， 在Rt△GDF中，DG== PC=PD-PG≤DG， 当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG= 【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题． 例9．（2023·重庆·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，其中点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的函数解析式；(2)为直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值和此时点的坐标； 【答案】(1)(2)的最大值为，此时 【分析】（1）首先求出，，然后利用待定系数法求解即可；（2）首先求出，过点作轴交轴于点，证明出，得到，．设，，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）∵直线∴当时，∴ ∴当时，解得∴ 将，代入， 得解得 抛物线的解析式为； （2），，，，．过点作轴交轴于点， ，∴，， ．设，， 则，，． ，，当时，的最大值为，此时． （3）由（2）知，，点平移前的对应点为点， 新抛物线是原抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的． ， ，对称轴为．设，由（1）知，， 则，，． ①当时，，解得，； ②当时，，解得，，． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个，故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 2．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值． 【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图， ∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2， ∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP， ∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP， ∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD， 而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号）， 而AD，∴PA+PD的最小值为，即PA的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质． 3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______ 【答案】          【分析】①在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性质推出，得到，由，推出当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；②连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出，当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD， 作DF⊥BC交BC延长线于F． ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵， ∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG， 在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=2，CF=2， 在Rt△GDF中，DG，故答案为：； ②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N． ∵四边形ABCD是菱形，且，　 ∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30， ∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=， ∴，，∴， 且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴， ∴， ∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM， 在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=， ∴CN=4-，∴MC=， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题． 4．（2024·甘肃武威·一模）如图，在扇形中，，，点在上，，点为的中点，点为弧上的动点，与的交点为，的最小值为 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质、勾股定理，延长至点，使，连接，证得，可知，，当点、、在同一条直线上，可以取得最小值． 【详解】如图所示，延长至点，使，连接． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴当点、、在同一条直线上，可以取得最小值，最小值为线段的长度． ∵， ∴可以取得最小值． 故答案为： 5．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，是等边三角形，，点D在边上由C向A运动，点E在边上由B向C运动，且，连接、交于点P，将边绕着点C顺时针旋转90°得到，在射线上截取线段，使，在D、E的运动过程中，求的最小值 ．    【答案】 【分析】先证明，可得，如图，作等边三角形，证明四点共圆，圆心为，作的内切圆，记内切圆与的切点为，取的中点，连接，，，，，，可得在上，证明，在上，，再证明，可得，当共线时，最短，过作于，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，作等边三角形， ∴，， ∴， ∴四点共圆，圆心为， 作的内切圆，记内切圆与的切点为，取的中点，连接，，，，，， ∴在上， ∵等边与等边全等， ∴，在上，， ∴，而， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∴， 当共线时，最短， 过作于， ∵为内切圆与边的切点， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 由， ∴共线， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，三角形的内切圆的应用，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（2024·四川绵阳·校考一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF=2，连接CD，AF．由△FCD∽△DCB，推出 ，推出DF= BD，推出BD+AD=DF+AF，根据DF+AD≥AF即可解决问题； 【详解】如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接CD，AF． ∴CD＝4，CF＝2，CB＝8， ∴CD2＝CF•CB， ∴ ∵∠FCD＝∠DCB， ∴△FCD∽△DCB， ∴ ∴DF＝BD， ∴BD+AD＝DF+AF， ∵DF+AD≥AF， ∴BD+AD的最小值是2 故答案为2． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 7．（2024九年级·广东·专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PB＋2PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接交于点，延长交于点，取的中点，连接，，，，首先证明，得到，所以，而（当且仅当、P、共线时取等号），从而计算出得到的最小值． 【详解】 如图，连接交于点，延长交于点，取的中点，连接，，，， 为的内切圆， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，， ， ，，， ， ， ， ， ， 的最小值为的长度， 的最小值为的长度， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是利用相似比确定线段． 8.（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】如图，在上取点，使，连接， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，即，∴， ∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵，∴，∴的最小值为．    9．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】证明，则，，如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上，如图，连接，由勾股定理得，，如图，在上取点使，则，连接，，证明，则，即，由，可得当三点共线时，的值最小，为，如图，作于，则，，，则，即，可得，即，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形，∴，， 又∵，∴，∴， ∴，∴， 如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上， 如图，连接，由勾股定理得，， 如图，在上取点使，则，连接，， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∴当三点共线时，的值最小，为，如图，作于， ∴，∴，∴， ∴，即，解得，∴， 由勾股定理得，，由勾股定理得，，故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键． 10．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .    【答案】 【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值． 【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4      ∵AC=9，CD=6，CE=4∴ ∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴∴ED= 在△EDB中，ED+DB≥EB ∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB∴ 在Rt△ECB中，EB=∴ ∴2AD+3DB=故答案为：． 【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD． 11．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，在 上取一点F，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点F，使得，连接，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 12．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，点为内一动点，且满足，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】 本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质等知识，如图，在上取一点，使得，连接，．证明，推出，可得，推出，求出即可得到结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】 解：在上取一点，使得，连接，，如图所示：    ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）（1）【问题提出】如图1，在正方形中，点E是边的中点，，求证：； （2）【问题探究】如图2，在矩形中，，，点E、F分别为边、上一个动点，且，点P为的中点，连接，求的最小值； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，，点E为边的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）10；（3） 【分析】（1）证明，即可证明； （2）连接、，先利用勾股定理求出，利用含30度角的直角三角形的性质求出，由，得当点B、P、D三点共线时，取得最小值即可解答； （3）由菱形的性质结合题意易证，即得出，在上取点M，使，连接，即又易证，得出，即说明当点D、P、M三点共线时，最小，即最小值为的长．连接，过点D作，交的延长线于N，由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，又可求出，从而可求出，最后即得出2最小值为． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点E是正方形边的中点，点F在边上，且， ∴， ∴， ∴． （2）如图2，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，点P为的中点， ∴， ∴． 故当点B、P、D三点共线时，取得最小值10． （3）如图3，连接， ∵点E为的中点，四边形为菱形， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在上取点M，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点D、P、M三点共线时，最小，即最小， 连接，过点D作，交的延长线于N， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线和掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 14．（2024·山东威海·二模）【问题解决】（1）如图1，四边形是正方形，点E在边上，以为边在其右侧作正方形，连接，求证：． 【问题拓广】（2）如图2，四边形是矩形，，点E是边上一动点，以为边在其右侧作矩形，且，连接．①写出线段与的数量关系，并证明你的结论；②连接，则的最小值为_______．（直接写答案） 【答案】（1）见解析；（2）①，证明见解析；②． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． （1）根据正方形的性质证明和全等，即可得到； （2）①根据矩形的性质证明，得到，即可证得结论； ②过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，先证明，证得是固定值，进而证得点的运动轨迹是直线，然后将的最小值转化为求的最小值，即点，，三点同一直线时，，取得最小值，求即可． 【详解】解：（1）证明：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）①，理由如下： 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， ，，， ， ， ， ； ②如图，过点作，垂足为点，过点作交的延长线于点，则， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是直线， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得， ， ， 的最小值为的最小值，即， ，， ， ， ， 的最小值为． 故答案为： 15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，在矩形中，，点E为射线上的一个动点，过点E作，连接，使，连接． (1)求证：①；②；(2)如图2，若，，连接． ①若，求；②当E点在射线上运动时，则的最小值为______． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①；② 【分析】（1）①证明，即可证明； ②根据相似三角形的性质得出，再证，即可证明； （2）①过F作于H，根据勾股定理求出，，由，推出，，设，则，证明，可得，即，得出，，然后利用等角对等边得出，再构建方程求解即可； ②延长到，使，连接，，过作于H，由，推出，，推出，， A、关于C对称，推出，则当、F、D三点共线时，的值最小，最小值为，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 又， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图，过F作于H， 在中，，， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长到，使，连接，，过作于H， ∵， ∴，， ∴，， ∴A、关于C对称， ∴， 当、F、D三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称最短问题等，明确题意，添加合适的辅助线，运用转化的思想思考问题是解题的关键． 16．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）综合与实践，如图，以为边向两侧作和为的中点，连接．(1)如图1，若，，，求的长． (2)如图2，连接交于点为上一点，，，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想．(3)如图3，是以为斜边的等腰直角三角形，若，请直接写出当取最大值时，的面积．    【答案】(1)(2)，理由见解析(3)的面积为 【分析】（1）过点作，交延长线于点，得到是等腰直角三角形，再用勾股定理即可得到； （2）延长相交于点，作，垂足为，判定，得到是等边三角形，再判定，即可得到； （3）取的中点，连接，再判定，再连接，作于点，在Rt中应用勾股定理即可得到． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点，   ，， 是等腰直角三角形，， ， 是等腰直角三角形， 是的中点， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，延长相交于点，作，垂足为，   ， ， ， ∴， ， ， 是等边三角形，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，即， ， ， ； （3）解：的面积为， 如图，取的中点，连接，   是的中点， ， 点在以为圆心，半径是2的上运动，在上截取， ， ， ， ， ， 当三点在一条直线上时，的值最大，即的值最大， 如图，连接，作于点，    由，易得， 设，在Rt中，， ， （舍去）， ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，相似三角形判定及性质，圆的有关概念和性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$