专题07 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题07 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）模型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 13 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1．（2023.江苏九年级期中）如图， 中， 于点 是半径为2的上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图，可知P在BA延长线与的交点时此时长的最大，证明如下： 连接BP,∵,∴BD=DC, ∵是的中点，∴DE//BP, ,所以当BP的长最大时，长的最大， 由题意可知P在BA延长线与的交点时BP的长最大此时长的最大， ∵BC=6,AD=4,∴BD=DC=3,BA=5, ∵的半径为2，即AP=2,∴BP=5+2=7,∴.故选：B. 例2．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，AB为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题； 【详解】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大,∵∴∠COH＝60° 在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC=AB=3，∴OH＝OC＝，CH＝， 在Rt△CKH中，CK＝，∴CQ的最大值为，故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 例3.（2023.湖北九年级期末）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6 【答案】A 【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形BCM，连接DM， ∵，∴，即 在和中，，∴，∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆， 要使面积最大，则求出点D到线段BC的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形，∴点M到BC的距离是， ∴点D到BC的最大距离是，∴的面积最大值是．故选：A． 例4.（2024.江苏九年级期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．    【答案】 【分析】连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，根据旋转的性质得出，进而可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，则线段的最大值与最小值的和为，进而勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接、，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，    ∵线段绕点逆时针旋转，绕点逆时针旋转， ∴，，∴， ∴， ∴∴则点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴线段的最大值与最小值的和为 在中， ∴， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作于点，    则四边形是矩形，∴， 在与中，，∴ ∴，，在中，， ∴线段的最大值与最小值的和为 例5．（2024·山东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________． 【答案】4 【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC． ∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝8，AG＝GB，∴AG＝GB＝4， ∵AD＝12，∴，∴， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD， ∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3， ∵DE＝4，∴FG＝，∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆， ∵GC＝，∴FC≥GC−FG，∴FC≥4， ∴CF的最小值为4．故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 例6．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ，，，，， ，即（定长）， 点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 例7．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵轴轴，，∴， ∵，∴，∴，即，解得， 同理可得，，∴，即，解得， ∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 例8．（2023·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，． 对于点给出如下定义：将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点，点在线段的延长线上，若点，点为点的“对应点”． ①在图中画出点；②连接，交线段于点．求证：；(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2) 【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON即可求出；（2）连接并延长至S，使，延长至T，使，结合对称的性质得出为的中位线，推出，得出，则． 【详解】（1）解：①点Q如下图所示． ∵点，∴点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，∴， ∵点关于点的对称点为，，∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点，在坐标系内找出该点即可； ②证明：如图延长至点，连接，则，∵，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，，，∴，，， ∴，∴，∴； （2）解：如图所示， 连接并延长至S，使，延长至T，使， ∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，∴，∵点关于点的对称点为，∴， 又∵，∴，∴为的中位线， ∴，， ∵，∴，∴，   在中，，结合题意，，， ∴，即长的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键． 1．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题方法较多，可以用三角形两边之差的最值模型，也可用瓜豆模型．由点是中点，想到构造中位线，取中点，再利用三角形两边之差的最值模型． 【详解】解：取中点，连接，． 在中，，，， 、分别是、的中点，， 在中，，，， 在中，；当运动到上时，， ，线段的最小值是，故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点的坐标为轴于点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，根据三角形中位线的性质得到，求出的最小值即可． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，则点是的中点，    点为线段的中点，,当最小时，最小， 由题意可得点在以为圆心，5为半径的圆上运动， 当在同一条直线上，且点在中间时，最小， ，，最小为，最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的中位线，画出图形，确定最小时，的位置是解题的关键． 3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求的最小值即可； 【详解】解：如图，取中点T，连接，      ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，正确作出辅助线，证明是解题的关键． 4．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 ． 【答案】2 【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小． 【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N． ∵AC=CB，AM=OM，∴MC=OB=1， ∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′． ∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点D、E， ∴D（4，0），E（0，-3），∴OD=4，OE=3，∴， ∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE， ∴，∴，∴， 当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值，故答案为2． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是以原点为圆心、半径为4的圆，，点A为上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转，得到线段AC，连接OC，则OC的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查园的基础知识，理解动点的运动规律，掌握相似三角形的判定和性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，点随着点运动的轨迹是圆心在轴的圆上，如图所示，由运动的规律可求出该圆的圆心，再分类讨论，当点三点不共线时；当点三点共线 时；可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据题意，点随点运动的轨迹是圆心在轴上的圆， 设分别是与轴的两个交点，已知的半径为，∴，， ∵，∴，，点是绕掉顺时针旋转后的对应点， ∴，则，是绕点顺时针旋转后的对应点， ∴，则，连接，交轴与点， ∵，∴，∴，∴， ∴，则，∴， ∴点在以点为圆心的，以为半径的圆上运动，∴根据三角形三边关系可得， 当点三点不共线时，，即； 当点三点共线时，点运动到点的位置，∴； 综上所述，，∴的最小值是． 6．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，连接，作于H．首先证明点Q的运动轨迹为以为直径的，连接，当点Q在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接．作于H． ∵点Q为的中点， ∴， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点Q在的延长线上时，的值最大， 在中，∵， ∴， ∴，, 在中，， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，OA是⊙O的半径，延长AO至点B，使得OB=3OA=3，以B为直角顶点，作等腰直角△BMC，且满足点M始终在⊙O上（如图所示），连接OC，则OC的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由“SAS”可证△NBM≌△OBC，可得MN=OC，则当点O在线段MN上时，MN有最大值，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作BN⊥AB，且BN=OB，连接ON，OM，MN， ∴∠NBO=90°=∠MBC，∴∠MBN=∠OBC， 在△NBM和△OBC中，∵MB=BC，∠MBN=∠OBC，BN=OB， ∴△NBM≌△OBC（SAS），∴MN=OC， ∵MN≤OM+ON，∴当点O在线段MN上时，MN有最大值， ∵OB=3OA=3，∴， ∴MN的最大值为，∴OC的最大值为，故答案为： 【点睛】本题考查了圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（2024·江苏扬州·校考一模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______． 【答案】 【分析】过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可． 【详解】如图，过点F作GF∥CD，过点C作GC∥DF，二线交于点G， ∴ 四边形DFGC是平行四边形，∴GF=CD=4, ∴点F在以G为圆心，以CD长为半径的圆上，∴当A、F、G三点共线时，AF最小， ∵四边形DFGC是平行四边形，四边形ABFD是平行四边形， ∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，∴四边形ABGC是平行四边形， ∵AB=AC，∴四边形ABGC是菱形，∴AG，BC互相垂直平分，设交点为H， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴AH=ABsin60°=， ∴AG=2AH=，∴AF=AG-FG=故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆的最值性，特殊角的三角函数值，熟练菱形的判定和性质，圆的性质是解题的关键． 9．（2024·广东·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________． 【答案】 【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为，在x轴上取OD=OA=6，连接CD， ∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线∴OM=CD， ∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8), ∴OM=CD，即OM的最大值为， ∵M是AC的中点，则M（4,4），故答案为：（4,4）． 【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点． 10．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，点为所在平面内一点，，以、为边作平行四边形，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质可得，可得，可以证明，可得，点的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点所在圆的圆心为，连接 ，， ，与交于点 ，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，即为的最小值，利用勾股定理可得的值，进而可得的最小值． 【详解】如图，延长交于点，连接，      ∵四边形是平行四边形，∴，，， ∵，，， ∴，，，， ∴，，， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∴点的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点所在圆的圆心为，连接，，，与交于点，则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最小值，如图，        ∴，∵，， ∴，，∴， 在中，有勾股定理得：， ∴，即的最小值为：，故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，解题的关键是综合运用以上知识． 11．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是 ．    【答案】①②④ 【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确；由“”可证≌，可得，则当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，由勾股定理可求的长，可判断④正确；即可求解． 【详解】解：在上截取，连接，，，如图所示：    四边形是正方形，，，， ，，，， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确； 在和中，，≌，， 当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ，故DE的最小值为，故④正确； 当点在上时，有最小值为，此时，与不一定相等，故③不一定正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆上点距离最值问题等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 12．（2023·浙江宁波·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点E是对角线上的动点，点F是边上的动点，点P是半径为1的上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据两点之间线段最短及垂线段最短作出辅助线，确定点P，E，F的位置，再根据勾股定理及相似三角形的判定及性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接BP，BE，则BP=1， 则要求的最小值，就是要求， 当点B、P、E共线时，BP+PE=BE，当点B、P、E不共线时，BP+PE＞BE， ∴如图，当点B、P、E共线时，BP+PE才会取得最小值，最小值为BE的长， 则，如图，作点B关于AC的对称点，连接，， 则，∴， 当点、E、F共线时，，当点、E、F共线时，， ∴当点、E、F共线时，才会取得最小值，最小值为的长，如图所示 又∵点F为BC上的一动点，∴如图，当⊥BC时，取得最小值， 连接，交AC于点H，∵，，∠ABC=90°，∴， ∵，∴，∴， ∵∠BHC=∠BF=90°，∴，∴， 又∵，∴，∴， 即，解得，∴的最小值为， ∴的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，圆的定义以及相似三角形的判定及性质，根据两点之间线段最短及垂线段最短作出辅助线，确定点P，E，F的位置是解答此题的关键． 13．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点的运动轨迹是解题的关键． 如图所示，连接，先证明，，进而证明得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，故当三等共线，最大，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴点在以点为圆心， 为半径的圆上运动， ∴当三等共线时，最大，∴的最大值为； 故答案为：， ． 14．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，点P为矩形内一点，且，所以点P在的劣弧上运动，根据点绕点逆时针旋转到点，所以，，则，所以当最小时，最小，然后连接，交于P，此时，最小，则也最小，最后过点O作于E，交延长线于F，利用勾股定理求出，的长，从而求得，即可求解． 【详解】解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，如图，    ∵点P为矩形内一点，且，∴点P在的劣弧上运动， ∵点绕点逆时针旋转到点，∴，， ∴∴当最小时，，连接，交于P，此时，最小，则也最小， 在中，∵，，∴，∴， 过点O作于E，交延长线于F，∴， ∵，，∴ ∵矩形∴∴∴四边形正方形， ∴，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴∴，故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出取最小值的点P位置是解题的关键． 15．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形，，， 是的中点，，， 由旋转得：，， ，的值最小为．故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 16．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，点P为矩形内一点，且，所以点P在的劣弧上运动，根据点绕点逆时针旋转到点，所以，，则，所以当最小时，最小，然后连接，交于P，此时，最小，则也最小，最后过点O作于E，交延长线于F，利用勾股定理求出，的长，从而求得，即可求解． 【详解】解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，如图，    ∵点P为矩形内一点，且，∴点P在的劣弧上运动， ∵点绕点逆时针旋转到点，∴，，∴ ∴当最小时，，连接，交于P，此时，最小，则也最小， 在中，∵，，∴，∴， 过点O作于E，交延长线于F，∴， ∵，，∴∵矩形∴∴ ∴四边形正方形，∴，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴∴，故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出取最小值的点P位置是解题的关键． 17．（2023上·江苏·九年级校考周测）如图，已知的半径是6，点A，B在上，且，动点C在上运动（不与A，B重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】取的中点E，根据三角形中位线定理得到，得到点D在以E为圆心，3为半径的圆上，得到的最小值就是点A与圆E上的点的距离的最小值，根据勾股定理求得，得到的最小值为． 【详解】如图，取的中点E，连接，，，∵的半径是6，∴， ∵D是中点，∴是的中位线，∴．∴点D在以E为圆心，以3为半径的圆上． ∴求的最小值就是求点A与上的点的距离的最小值． ∵，∴， ∵∴当点D在上时，取最小值为．故答案为：．    【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，三角形的中位线，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握点D的运动路径是以E为圆心3为半径的圆，三角形的中位线定理，勾股定理解直角三角形． 18．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点；②连接交线段于点求证： (2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON，即可求出；（2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则． (1)解：①点Q如下图所示． ∵点，∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，∴， ∵点关于点的对称点为，，∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点，在坐标系内找出该点即可； ②证明：如图延长ON至点，连接AQ， ∵ ，∴，在与中， ，∴，∴， ∵ ，，，∴，，， ∴，∴，∴；    (2)解：如图所示，连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使， ∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，∴， ∵点关于点的对称点为，∴，又∵，∴OM∥ST， ∴NM为的中位线，∴，， ∵，∴，∴，    在中，，结合题意，，， ∴，即长的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键． 19．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【模型建立】如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】(1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． (3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________．(4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2)2或6(3)(4) 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； （3）连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答；（4）取点，连接，并延长交于点，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】（1）解：如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时，∵在中，， 又，∴，即， 当点C与点B重合时，，∴综上可得，， ∵点C为上任意一点，∴的长是点P到上的点的最长距离． （2）（1）若点P在外，如图①， 则，，∴，∴的半径为2； 若点P在内，如图②，则，，∴， ∴的半径为6；综上所述，的半径为2或6．故答案为：2或6． （3）连接，交于点D，由（1）可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长， ∵在中，，，∴， ∴，∴的最小值是． （4）取点，连接，并延长交于点， ∵，，∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点，∴，∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，，∴，∵的半径为，即， ∴，∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质，直线外一点到圆的距离等，掌握题意中的模型是解题的关键． 20．（2024九年级·山东·专题练习）若，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接． (1)如图1，取点B，使为等腰直角三角形，，将点P绕点A顺时针旋转得到． ①点的轨迹是　　（填“线段”或者“圆”）；②的最小值是　　； (2)如图2，以为边作等边（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求的最大值．(3)如图3，将点A绕点P逆时针旋转，得到点M，连接，则的最小值为　　． 【答案】(1)①圆；②(2)6(3) 【分析】（1）①连接、，证明，得出，即点到点B的距离等于定长，即可得出答案；②由等腰直角三角形的性质得出，当在线段上时，得出最小；（2）以为边长作等边，连接，证明，得出，当C、D、Q三点共线时，有最大值； （3）M点的轨迹是一个圆，求出和圆的半径，即可解决问题． 【详解】（1）解：①连接、，如图1所示： 是等腰直角三角形，，， 由旋转的性质得：，，，， 在和中，，， ，即点到点B的距离等于定长， 点的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，故答案为：圆； ②是等腰直角三角形，，， 当点在线段上时，最小,故答案为： ； （2）解：以为边长作等边，连接、，如图2所示： 和是等边三角形，，，，， 在和中，，，， 当C、D、Q三点共线时，有最大值； （3）解：如图3所示：M点的轨迹是以为直径的一个圆， 则，，则是梯形的中位线， ，连接，则， ，，，是等腰直角三角形， ，，，故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了轨迹、圆的定义、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最值问题；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）模型 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 13 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1．（2023.江苏九年级期中）如图， 中， 于点 是半径为2的上一动点， 连结 ， 若是的中点， 连结， 则长的最大值为 （ ） A．3 B． C．4 D． 例2．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，AB为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（    ） A． B． C． D． 例3.（2023.湖北九年级期末）如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6 例4.（2024.江苏九年级期中）如下图，在正方形中，，点是以为直径的圆上的点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最大值与最小值的和 ．    例5．（2024·山东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为________． 例6．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 例7．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是 ． 例8．（2023·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，． 对于点给出如下定义：将点向右（）或向左（）平移个单位长度，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点，点在线段的延长线上，若点，点为点的“对应点”． ①在图中画出点；②连接，交线段于点．求证：；(2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）． 1．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点的坐标为轴于点，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为 ．    3．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，E是上的任意一点，将线段绕点D顺时针方向旋转并缩短到原来的一半，得到线段，连接，则的最小值是 ．    4．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为 ． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，是以原点为圆心、半径为4的圆，，点A为上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转，得到线段AC，连接OC，则OC的最小值是 ． 6．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为 ． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知，OA是⊙O的半径，延长AO至点B，使得OB=3OA=3，以B为直角顶点，作等腰直角△BMC，且满足点M始终在⊙O上（如图所示），连接OC，则OC的最大值为 ． 8．（2024·江苏扬州·校考一模）如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是______． 9．（2024·广东·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________． 10．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，点为所在平面内一点，，以、为边作平行四边形，则的最小值为 ．    11．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是 ．    12．（2023·浙江宁波·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点E是对角线上的动点，点F是边上的动点，点P是半径为1的上的动点，则的最小值为 ． 13．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 14．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    15．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    16．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    17．（2023上·江苏·九年级校考周测）如图，已知的半径是6，点A，B在上，且，动点C在上运动（不与A，B重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是 ． 18．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点；②连接交线段于点求证： (2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示） 19．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【模型建立】如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】(1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． (3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________．(4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 20．（2024九年级·山东·专题练习）若，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接． (1)如图1，取点B，使为等腰直角三角形，，将点P绕点A顺时针旋转得到． ①点的轨迹是　　（填“线段”或者“圆”）；②的最小值是　　； (2)如图2，以为边作等边（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求的最大值．(3)如图3，将点A绕点P逆时针旋转，得到点M，连接，则的最小值为　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$