第21讲 用一次函数解决问题（2考点3题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第21讲 用一次函数解决问题 课程标准 学习目标 1 引导学生学会从实际情境中抽象出一次函数模型，识别其中变量关系。 2 使学生能够运用一次函数的性质与图象，求解实际问题中的未知量与最值。 3 培养学生通过建立一次函数解决多领域（如经济、行程等）实际问题的能力与意识。 1. 掌握用一次函数解决问题的一般步骤和方法，理解其适用场景。 2. 能根据实际问题构建一次函数并求解，解释结果的实际意义，提升应用能力。 3. 体会一次函数在生活中的实用性，增强运用数学知识解决实际问题的信心。 知识点一、一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 知识点二、一次函数图像的应用 1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型01 方案分配问题 1．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克 B．甲园的门票费用是60元 C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠 D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多 2．某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示 （1）请直接写出y与x之间的函数解析式； （2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用． 3．学校需要添置教师办公桌椅A，B两种型号，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元． （1）直接写出A型桌椅每套 　　元，B型桌椅每套 　　元； （2）若学校需购买两种型号桌椅共200套，若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于60套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套，总费用为y元． ①求y与x之间的函数关系，并直接写出x的取值范围； ②求出总费用最少的购置方案． 题型02 销售利润问题 1．某商店销售甲、乙两种商品．如表为两次销售记录： 甲商品/个 乙商品/个 总销售额/元 第一次 50 40 500 第二次 60 30 420 （1）求甲和乙的销售单价分别是多少？ （2）该商场计划再次购进两种商品共100个，根据市场实际需求，甲的数量不低于乙数量的4倍．已知甲的进价为1元/个，乙的进价为6元/个．设购买甲x个，获得的利润为W元； ①求W关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 2．某服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．现计划购进两种服装共100件，设购买甲种服装x件，购进这100件服装的费用为y元． （1）写出y（元）与x（件）之间的函数关系式； （2）若购进甲种服装不少于70件，且购进这100件服装的费用不得超过7600元，试求出甲种服装购进多少件时该服装店才能获得最大利润？最大利润是多少？ 3．某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段AB﹣﹣BC图象． （1）当50≤x≤100时，求出此时y与x的函数关系式； （2）求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 题型03 行程问题 1．某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息5min后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离s（m）与时间t（min）之间的函数图象如图所示．下列说法中①从A地到C地的距离为1500m；②小明从B地到C地的速度是150m/min；③小明出发15min后到达C地；④小明距B地750m时所用的时间是12min．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．甲乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC之间的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，d1，d2与t的函数关系如图．下列说法①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③t＝0.6h时甲、乙两船相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0⩽t⩽2.5．其中正确的是 　①②④　（填序号）． 4．甲骑电动车，乙骑自行车从西流湖公园门口出发沿同一路线匀速行驶，甲、乙两人距出发地的距离S（km）与乙的行驶时间x（h）的函数图象如图①所示；甲、乙两人之间的距离y（km）与乙的行驶时间x（h）的函数图象如图②所示．请结合图象信息解决以下问题： （1）对比图①、图②可知：a＝ 　　，b＝ 　　． （2）求出图①中交点M的坐标，并指出它的实际意义． （3）请直接写出乙出发多长时间，甲、乙两人之间的距离为5km？ 1．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后，反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），若光线AB满足的函数关系式为：yx+b，则b的值是（　　） A． B． C． D． 2．哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　） A．A点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米 C．他们家与学校之间的距离为800米 D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000 3．在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，不计绳重和摩擦，他把得到的拉力F（N）和所悬挂重物的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（　　） A．当拉力F＝2N时，物体的重力G＝5N B．拉力随着重物重力的增加而增大 C．拉力F与重力G成正比例函数关系 D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为0.5N 4．如表是声音在空气中传播的速度（简称声速）v（m/s）与温度t（℃）的数量关系： 温度t/℃ … ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 … 声速v/（m/s） … 318 324 330 336 342 348 … 则下列说法错误的是（　　） A．自变量是温度t，因变量是声速v B．当空气温度为10℃时，声速为336m/s C．声速v（m/s）与温度t（℃）之间的函数关系式为 D．当空气温度为40℃时，声速为350m/s 5．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米． （2）该同学在体育场锻炼了15分钟． （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍． （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．某市去年居民用水按照4.6元/吨收取费用，为提倡居民节约用水，自今年1月1日起对居民用水实行阶梯水费，规定：若用水超过a吨，超过a吨的部分每吨增加2元．图中l1，l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系．实行阶梯水费后，若用水超过a吨，则超过a吨的部分每吨水费为 　 　元． 7．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面100m处，同时出发去距离甲1300m的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为y m，乙行驶的时间为x s，y与x之间的关系如图所示，则C的坐标为 　 　． 8．火星探测车是登陆火星并进行探测的可移动探测器，为应对极端温度环境，制造火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率（W/m•K）与温度（℃）的关系如表： 温度（℃） 100 150 200 250 300 导热率（W/m•K） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.75W/m•K，则温度为 　 　℃． 9．明明和亮亮家住在同一栋楼，星期天相约到新华书店看书．明明步行一段时间后，亮亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（m）与明明出发时间t（min）之间的函数关系如图所示． （1）明明步行的速度为　 　m/min； （2）图中a的值为　 　． 10．甲、乙两车分别从M、N两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发1h后出发，到达M地后停止行驶，甲车到达N地后，立即按原路原速返回M地（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距N地的路程y（单位：km）与甲车出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示，下列结论正确的有 　 　． ①M，N两地相距360km； ②乙车的速度约为51.4km/h； ③a＝257； ④甲车的速度为120km/h； ⑤当乙车出发或4h，甲、乙两车相遇． 11．为迎接“创城活动”，银川市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元． （1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？ （2）需购买A、B两种型号的垃圾箱共30个，其中A型垃圾箱a个，求购买垃圾箱的总费用w（元）与A型垃圾箱a（个）之间的函数关系式． 12．某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． （1）若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ （2）若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 13．2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元． 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 1 B型医疗器材 0.8 0.9 （1）求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台； （2）现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（5≤x≤15），求总运费为y（万美元）， ①求y关于x的函数关系式； ②求出总运费y最低的调运方案，最低总运费是多少万美元． 14．2024年9月28日北师大二附中举行“校友秩年返校活动”，二附中校友发展基金会为校友们准备了印有“三色帆”logo的礼物．已知没有校标的礼物价格是150元，印制logo后每份礼物的价格是x元．经核算发现，礼物的份数y与x之间有如下关系：y＝﹣10x+2000（150≤x＜200）．设在这次活动中印制logo花费w元． （1）求w与x之间的函数表达式． （2）请你帮助基金会算一下给礼物印制logo最多需要花费多少钱？ 15．甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和y（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间x（单位：天）之间的关系如图所示． （1）乙工程队铺设沥青路面　 　天；甲每天铺设　 　米． （2）求乙工程队停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工　 　天． 16．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80千米/小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间的距离是 　 　千米，a＝ 　 　； （2）求货车返回时的速度； （3）在整个运输途中，巡逻车与货车何时相遇？ 17．已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是 　 　； （2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式； （3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 用一次函数解决问题 课程标准 学习目标 1 引导学生学会从实际情境中抽象出一次函数模型，识别其中变量关系。 2 使学生能够运用一次函数的性质与图象，求解实际问题中的未知量与最值。 3 培养学生通过建立一次函数解决多领域（如经济、行程等）实际问题的能力与意识。 1. 掌握用一次函数解决问题的一般步骤和方法，理解其适用场景。 2. 能根据实际问题构建一次函数并求解，解释结果的实际意义，提升应用能力。 3. 体会一次函数在生活中的实用性，增强运用数学知识解决实际问题的信心。 知识点一、一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 知识点二、一次函数图像的应用 1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 题型01 方案分配问题 1．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克 B．甲园的门票费用是60元 C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠 D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图象可得， 草莓优惠前的销售价格是150÷5＝30（元/千克），故选项A正确； 甲园的门票费用是60元，故选项B正确； 乙园超过5千克后，超过的部分价格是（元/千克），15÷30×100%＝50%，故选项C正确； 若顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更少，故选项D错误； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示 （1）请直接写出y与x之间的函数解析式； （2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用． 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x之间的函数解析式； （2）根据题意可以得到W与B种足球数量之间的函数关系，再根据购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，可以求得B种足球数量的取值范围，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【解答】解：（1）设当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝kx， 则20k＝2400，得k＝120， 即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝120x， 设当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝ax+b， ，得， 即当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝96x+480， 由上可得，y与x的函数关系式为y； （2）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球（50﹣m）个， 50﹣m≤m≤30，得25≤m≤30， ∵W＝100（50﹣m）+96m+480＝﹣4m+5480， ∴当m＝30时，W取得最小值，此时W＝﹣4×30+5480＝5360，50﹣m＝20， 答：当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．学校需要添置教师办公桌椅A，B两种型号，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元． （1）直接写出A型桌椅每套 　　元，B型桌椅每套 　　元； （2）若学校需购买两种型号桌椅共200套，若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于60套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套，总费用为y元． ①求y与x之间的函数关系，并直接写出x的取值范围； ②求出总费用最少的购置方案． 【分析】（1）根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元”，建立方程组即可得出结论； （2）①根据题意建立函数关系式，由A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于60套，确定出x的范围； ②根据一次函数的性质，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元， 根据题意得，， 解得， 即：A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元； 故答案为：600；800； （2）①根据题意知，， 解得120≤x≤140； 由题意得y＝600x+800（200﹣x）+200×10 ＝﹣200x+162000（120≤x≤140）； ②由①知，y＝﹣200x+162000（120≤x≤140）， ∴当x＝140时，总费用最少，最少费用为134000元． 即：购买A型桌椅140套，购买B型桌椅60套，总费用最少，最少费用为134000元． 【点评】本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出方程组或不等式是解本题的关键． 题型02 销售利润问题 1．某商店销售甲、乙两种商品．如表为两次销售记录： 甲商品/个 乙商品/个 总销售额/元 第一次 50 40 500 第二次 60 30 420 （1）求甲和乙的销售单价分别是多少？ （2）该商场计划再次购进两种商品共100个，根据市场实际需求，甲的数量不低于乙数量的4倍．已知甲的进价为1元/个，乙的进价为6元/个．设购买甲x个，获得的利润为W元； ①求W关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲和乙的销售单价； （2）①根据题意，可以得到利润与购进甲数量的函数关系式，再根据甲的数量不低于乙数量的4倍．可以求得甲数量的取值范围；②根据一次函数的性质，即可解答本题． 【解答】解：（1）设甲的销售单价为a元/个，乙的销售单价为b元/个， 由题意得：， 解得，， 答：甲和乙的销售单价分别是2元/个，10元/个； （2）①设购买甲x个，获得的利润为W元， 由题意得：W＝（2﹣1）x+（10﹣6）×（100﹣x）＝﹣3x+400， ∵甲的数量不低于乙数量的4倍． ∴x≥4×（100﹣x）， 解得，x≥80， ∴W＝﹣3x+400（80≤x≤100）； ②对于W＝﹣3x+400（80≤x≤100）， ∵﹣3＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x＝80时，W取得最大值，此时W＝160，100﹣x＝20， 答：该商店购进甲80个，乙20个才能使销售总利润最大，最大利润是160元． 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 2．某服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．现计划购进两种服装共100件，设购买甲种服装x件，购进这100件服装的费用为y元． （1）写出y（元）与x（件）之间的函数关系式； （2）若购进甲种服装不少于70件，且购进这100件服装的费用不得超过7600元，试求出甲种服装购进多少件时该服装店才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）由总费用等于两种服装的费用之和可得函数关系式． （2）先求出自变量的取值范围，再建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，设购买甲种服装x件，则购买乙种服装（100﹣x）件， ∴y＝80x+60（100﹣x）＝20x+6000， 其中0≤x≤100， （2）由题意得， ∴70≤x≤80， 设总利润为w元，则： w＝（120﹣80）x+（90﹣60）（100﹣x）＝10x+3000， ∵w＝10x+3000中，10＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝80时，w最大，w最大值为10×80+3000＝3800（元）， 即购进甲种服装80件时，该服装店才能获得最大利润，最大利润是3800元． 【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． 3．某经销商以24元/箱的价格进了一批矿泉水，商家批发时发现在批发数量不超过100箱时，该矿泉水的批发价y（元/箱）与批发数量x（箱）之间满足如下折线段AB﹣﹣BC图象． （1）当50≤x≤100时，求出此时y与x的函数关系式； （2）求该批发商在批发出多少箱矿泉水时才能获取最大利润． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据“总利润＝每箱的利润×批发的箱数”，分别求出0≤x≤50、50≤x≤100两种情况下总利润的最大值，通过比较，确定总利润的最大值，从而写出对应批发的箱数即可． 【解答】解：（1）当50≤x≤100时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常量，且k≠0）． 将坐标B（50，40）和C（100，30）代入y＝kx+b， 得，解得， ∴当50≤x≤100时，y与x的函数关系式为yx+50（50≤x≤100）． （2）设该批发商获得的利润为W元． 当0≤x≤50时，W＝（40﹣24）x＝16x， ∵16＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝50时，W最大，W最大＝16×50＝800； 当50≤x≤100时，W＝（x+50﹣24）xx2+26x（x﹣65）2+845， ∵50≤x≤100， ∴当x＝65时，W最大，W最大＝845； ∵845＞800， ∴该批发商在批发出65箱矿泉水时才能获取最大利润． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数关系式、求二次函数的最大值是本题的关键． 题型03 行程问题 1．某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离y（m）与甲出发的时间x（min）之间的函数关系． 那么以下结论： ①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min； ②甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m； ③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100min； ④A，B两地之间的距离是11200m． 其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】①由乙比甲晚出发30min及当x＝50时y第一次为0，可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确； ②观察函数图象，可得出当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600，进而可得出结论②正确； ③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min，利用路程＝速度×时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的之，将其代入86中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，进而可得出结论③错误； ④利用路程＝速度×时间，即可求出A，B两地之间的距离是11200m． 【解答】解：①∵乙比甲晚出发30min，且当x＝50时，y＝0， ∴乙出发50﹣30＝20（min）时，两人第一次相遇， 即甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min，结论①正确； ②观察函数图象，可知：当x＝86时，y取得最大值，最大值为3600， ∴甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m，结论②正确； ③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min， 根据题意得：， 解得：， ∴868698， ∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，结论③错误； ④∵200×（86﹣30）＝11200（m）， ∴A，B两地之间的距离是11200m，结论④正确． 综上所述，正确的结论有①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，逐一分析各结论的正误是解题的关键． 2．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息5min后按原速跑步到达C地．小明距B地的距离s（m）与时间t（min）之间的函数图象如图所示．下列说法中①从A地到C地的距离为1500m；②小明从B地到C地的速度是150m/min；③小明出发15min后到达C地；④小明距B地750m时所用的时间是12min．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】纵坐标代表距B 地的距离s（m），横坐标代表时间t（min），小明一开始在A地，即A地距B 地的距离为450m，用时3min；3min到8min期间距离B 地0m，即此时小明在B 地；按原速跑步到达C地后，距离B 地1050m，据可判断①；根据速度等于路程除以时间即可判断②③④． 【解答】解：①A地到达C地的距离为：450m+1050m＝1500m，原说法正确，符合题意； ②小明原速度为：，原说法正确，符合题意； ③小明到达C 地实际用时为：，原说法正确，符合题意； ④小明距 B 地750m时所用的时间为：，原说法错误，不符合题意． ∴说法正确的有①②③． 故选：C． 【点评】本题考查了从函数图象中获取信息，正确读懂图象中给出的信息是解题关键． 3．甲乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC之间的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，d1，d2与t的函数关系如图．下列说法①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③t＝0.6h时甲、乙两船相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0⩽t⩽2.5．其中正确的是 　①②④　（填序号）． 【分析】①根据速度＝路程÷时间计算即可； ②根据图象计算AC之间的距离，根据速度＝路程÷时间计算甲船的速度，再由时间＝路程÷速度计算甲船航行到达B处所用时间； ③当t＝0.6时，甲船还没有航行到B处，两船分别位于点B的两侧且与点B之间的距离相等； ④当时间为t（0≤t≤3）时，根据路程＝速度×时间分别写出甲、乙两船离点A的距离，根据甲、乙两船的距离不小于10千米列关于t的绝对值方程并求解即可． 【解答】解：乙船的速度是120÷3＝40（千米/小时）， ∴①正确，符合题意； 甲船的速度是（60+120）÷3＝60（千米/小时）， 甲船航行到达B处所用时间是60÷60＝1（小时）， ∴②正确，符合题意； ③当t＝0.6时，甲船还没有航行到B处，两船分别位于点B的两侧且与点B之间的距离相等， ∴③不正确，不符合题意； ④当时间为t（0≤t≤3）时，甲船离点A的距离为60t，乙船离点A的距离为60+40t， 当甲、乙两船的距离不小于10千米时，得|60+40t﹣60t|≥10， 解得t≤2.5或t≥3.5， ∵0≤t≤3， ∴0≤t≤2.5， ∴④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键． 4．甲骑电动车，乙骑自行车从西流湖公园门口出发沿同一路线匀速行驶，甲、乙两人距出发地的距离S（km）与乙的行驶时间x（h）的函数图象如图①所示；甲、乙两人之间的距离y（km）与乙的行驶时间x（h）的函数图象如图②所示．请结合图象信息解决以下问题： （1）对比图①、图②可知：a＝ 　　，b＝ 　　． （2）求出图①中交点M的坐标，并指出它的实际意义． （3）请直接写出乙出发多长时间，甲、乙两人之间的距离为5km？ 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度，再分别得到a、b的值； （2）交点M的实际意义是甲追上乙，根据题意和图象中的数据即可求解； （3）由图象可知甲乙相距5km有三种情况，然后分别计算三种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【解答】解：（1）甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h）， 乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h）， ∴a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10， b＝1.5， 故答案为：10，1.5； （2）设乙出发x h后甲追上乙， 10x＝25（x﹣0.5）， ∴， ， ∴交点M的坐标为， 交点M的实际意义是乙出发后甲追上乙； （3）0.5h时，乙行驶的路程为：10×0.5＝5（km），甲、乙两人之间的距离为5km； 设乙出发xh时， 当时， 10x﹣25（x﹣0.5）＝5， ∴（不符合题意，舍去）； 当时， 25（x﹣0.5）﹣10x＝5， ∴， 当1.5＜x＜2.5时， 25﹣10x＝5， ∴x＝2， 即乙出发或或2h时，甲、乙两人之间的距离为5km． 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 1．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后，反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），若光线AB满足的函数关系式为：yx+b，则b的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】延长AB，交与x轴于点D，根据光的反射定律，可证明△BOC≌△BOD（ASA），从而求得AB延长线与x轴的交点坐标，将它代入函数AB的函数关系式即可． 【解答】解：延长AB交x轴于点D， 根据光的反射可得∠ABE＝∠CBO， 又∵∠ABE＝∠DBO ∴∠CBO＝∠DBO， 在△BOC和△BOD中， ， ∴△BOC≌△BOD（ASA）， ∴OD＝OC， ∵C（﹣1，0）， ∴OC＝1， ∴OD＝OC＝1， ∴D（1，0）， ∵点D（1，0）在光线AB：上，将点D的坐标代入得： ， 解得：， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，熟练光的反射定律是解题的关键． 2．哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　） A．A点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米 C．他们家与学校之间的距离为800米 D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000 【分析】A．哥哥的速度始终大于弟弟的速度，故在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，据此判断即可； B．根据A可知，A点时二人之间的距离最大，利用路程＝速度×时间，计算二人的路程之差即可； C．由A可知，A点表示哥哥已经到达学校，利用路程＝速度×时间求出A点时哥哥骑行的路程即可； D．设坐标B（t，a），利用弟弟在AB段和BC段的路程＝速度×时间列关于t和a的二元一次方程组并求解，再利用待定系数法求出BC的函数表达式即可． 【解答】解：∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度， ∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小， ∴A点表示哥哥已经到达学校， ∴A正确，不符合题意； 哥哥与弟弟相距的最大距离是（160﹣60）×5＝500（米）， ∴B正确，不符合题意； 他们家与学校之间的距离为160×5＝800（米）， ∴C正确，不符合题意； 设坐标B（t，a）， 根据题意，得， 解得， 设BC的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标B（10，200）和C（12，0）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴BC的函数表达式为y＝﹣100x+1200， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键． 3．在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行实验，不计绳重和摩擦，他把得到的拉力F（N）和所悬挂重物的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（　　） A．当拉力F＝2N时，物体的重力G＝5N B．拉力随着重物重力的增加而增大 C．拉力F与重力G成正比例函数关系 D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为0.5N 【分析】由函数图象可以直接判断B、C，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，令F＝2N，G＝0N代入函数解析式求值即可判断A、D． 【解答】解：由图象可知，拉力F与重力G成一次函数关系，拉力F随着重力的增加而增大，故C错误，B正确； 设拉力F与重力G的函数解析式为F＝kG+b（k≠0），则， ， ∴F＝0.3G+0.5， 当F＝2N时，拉力2＝0.3×G+0.5，解得：G＝5N，故A正确； 当G＝0N时，拉力F＝0.5，故D正确； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用． 4．如表是声音在空气中传播的速度（简称声速）v（m/s）与温度t（℃）的数量关系： 温度t/℃ … ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 … 声速v/（m/s） … 318 324 330 336 342 348 … 则下列说法错误的是（　　） A．自变量是温度t，因变量是声速v B．当空气温度为10℃时，声速为336m/s C．声速v（m/s）与温度t（℃）之间的函数关系式为 D．当空气温度为40℃时，声速为350m/s 【分析】AB．根据表格直接判断即可； C．由表格可知，温度升高10℃，声速增加6m/s，故声速是温度的一次函数，利用待定系数法求出v与t之间的函数关系式即可； D．将t＝40代入v与t之间的函数关系式，求出对应v的值即可． 【解答】解：自变量是温度t，因变量是声速v， ∴A正确，不符合题意； 当空气温度为10℃时，声速为336m/s， ∴B正确，不符合题意； ∵温度升高10℃，声速增加6m/s， ∴声速是温度的一次函数， 设v与t之间的函数关系式为v＝kt+b（k、b为常数，且k≠0）， 将t＝0，v＝330和t＝10，v＝336分别代入v＝kt+b， 得， 解得， ∴v与t之间的函数关系式为vt+330， ∴C正确，不符合题意； 当t＝40时，v40+330＝354， ∴当空气温度为40℃时，声速为354m/s， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断方法及待定系数法求函数关系式是解题的关键． 5．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米． （2）该同学在体育场锻炼了15分钟． （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍． （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据函数的图象与坐标的关系求解． 【解答】解：（1）体育场离该同学家2.5千米，故（1）是正确的； （2）该同学在体育场锻炼的时间为：30﹣15＝15分钟，故（2）是正确的； （3）该同学跑步的平均速度：步行平均速度＝（65﹣30）÷15＞2，故（3）是错误的； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍， 则：a÷（103﹣88）＝1.5， 解得：a＝3.75， 故（4）是正确的； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握数形结合思想是解题的关键． 6．某市去年居民用水按照4.6元/吨收取费用，为提倡居民节约用水，自今年1月1日起对居民用水实行阶梯水费，规定：若用水超过a吨，超过a吨的部分每吨增加2元．图中l1，l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系．实行阶梯水费后，若用水超过a吨，则超过a吨的部分每吨水费为 　5.5　元． 【分析】根据图象l1求出a的值，再根据图象l2求出今年用水不超过a吨时每吨的水费，最后根据超过a吨的部分每吨增加2元计算超过a吨的部分每吨水费即可． 【解答】解：根据图象，得a＝92÷4.6＝20， 今年用水不超过20吨时，每吨的水费为70÷20＝3.5（元）， ∵超过20吨的部分每吨增加2元， ∴超过20吨的部分每吨水费为3.5+2＝5.5（元）． 故答案为：5.5． 【点评】本题考查一次函数的应用，根据图象求出a的值是解题的关键． 7．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面100m处，同时出发去距离甲1300m的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为y m，乙行驶的时间为x s，y与x之间的关系如图所示，则C的坐标为 　　． 【分析】由函数图象在B点处可知50秒时甲追上乙，C点为甲到达目的地，D点为乙达到目的地，可设甲的速度为x m/s，根据题意列出方程，求出甲、乙的速度，再求出甲到达目的地所用的时间，即可求出点C的横坐标，求出甲到达目的地时，乙行驶的路程，即可求出点C的纵坐标． 【解答】解：由题意和图象得：甲用50s追上乙，乙用300s到达目的地， 则乙的速度为：（1300﹣100）÷300＝4m/s， 设甲的速度为x m/s， 则：50x﹣50×4＝100， 解得：x＝6， 甲∴到达目的地行驶的时间为， 此时乙距目的地的距离为： ， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查函数图象的应用，解题的关键是根据函数图象得到实际的含义，再列式求解． 8．火星探测车是登陆火星并进行探测的可移动探测器，为应对极端温度环境，制造火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率（W/m•K）与温度（℃）的关系如表： 温度（℃） 100 150 200 250 300 导热率（W/m•K） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 根据表格中两者的对应关系，若导热率为0.75W/m•K，则温度为 　700　℃． 【分析】根据表格数据可知，导热率（W/m•K）与温度（℃）的函数关系为一次函数，然后用待定系数法求函数解析式，再把y＝0.75代入解析式求出x的值即可． 【解答】解：根据表格数据可知，温度每增加50℃，导热率增加0.05W/m•K， ∴该材料导热率（W/m•K）与温度（℃）的函数关系为一次函数， 设导热率（W/m•K）与温度（℃）的函数关系式为y＝kx+b， 把x＝100，y＝0.15；x＝150，y＝0.2代入解析式得：， 解得：， ∴设导热率（W/m•K）与温度（℃）的函数关系式为y＝0.001x+0.05， 当y＝0.75时，0.001x+0.05＝0.75， 解得x＝700， ∴当导热率为0.75W/m•K时，温度为700℃， 故答案为：700． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 9．明明和亮亮家住在同一栋楼，星期天相约到新华书店看书．明明步行一段时间后，亮亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s（m）与明明出发时间t（min）之间的函数关系如图所示． （1）明明步行的速度为　80　m/min； （2）图中a的值为　20　． 【分析】根据图象，先求出两人的速度，即可求出学校到青少年宫的距离，然后用这个距离减去明明走的路程即得答案． 【解答】解：由题意可知：明明先出发9分钟，两人相距720米，此时亮亮出发， ∴明明步行的速度为：720÷9＝80（米/分）， 12﹣9＝3（分钟） 亮亮出发后用了3分钟追上明明， ∴亮亮的速度是（米/分）， 亮亮先到青少年宫，共用时14﹣9＝5分钟，骑行了320×5＝1600米， ∴明明到终点的时间为：1600÷80＝20（秒）； 故答案为：80，20． 【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂图象提供的信息、得到解题所需要的条件是关键． 10．甲、乙两车分别从M、N两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发1h后出发，到达M地后停止行驶，甲车到达N地后，立即按原路原速返回M地（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距N地的路程y（单位：km）与甲车出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示，下列结论正确的有 　①④⑤　． ①M，N两地相距360km； ②乙车的速度约为51.4km/h； ③a＝257； ④甲车的速度为120km/h； ⑤当乙车出发或4h，甲、乙两车相遇． 【分析】根据题意，两车距N地的路程为因变量，由图象可知两车起始距离为360km，从而得到甲、乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量即可． 【解答】解：①由图象可知：因为乙车在甲车出发1h后出发，到达M地后停止行驶，所以M，N两地相距 360km，故①正确； ②由题意得：乙车的行驶速度是360÷（7﹣1）＝60（km/h），故②错误； ③由图象可知：a＝60×（5﹣1）＝240（km），故③错误； ④由题意得：甲车的行驶速度是 （360+240）÷5＝120（km/h），故④正确； ⑤设当乙车出发 t小时，甲、乙两车相遇，由题意得： 第一次相遇得120（t+1）+60t＝360， 解得， 第二次相遇得120（t+1）﹣60t＝360， 解得t＝4， 综上所述：当乙车出发 或4h小时，甲、乙两车相遇，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，关键要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态． 11．为迎接“创城活动”，银川市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元． （1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？ （2）需购买A、B两种型号的垃圾箱共30个，其中A型垃圾箱a个，求购买垃圾箱的总费用w（元）与A型垃圾箱a（个）之间的函数关系式． 【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据等量关系：买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，且B型垃圾箱比A型垃圾箱贵10元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据总费用等于购买A、B两种垃圾箱费用的和，即可得到函数关系式． 【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元， 由题意得：， 解得：； 答：每个A型垃圾箱30元，每个B型垃圾箱40元； （2）由题意A型垃圾箱买a个，则B型垃圾箱买（30﹣a）个， 则：w＝30a+40（30﹣a）＝﹣10a+1200； 答：购买垃圾箱的总费用w（元）与A型垃圾箱a（个）之间的函数关系式为w＝﹣10a+1200． 【点评】本题考查了二元一次方程组和一次函数，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，列出一次函数解析式或二元一次方程组． 12．某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． （1）若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ （2）若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）设购进A种型号智能手表x只，则购进B种型号智能手表（60﹣x）只，根据“该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，”建立方程求解，即可解题； （2）设购进A种型号智能手表m只，则购进B种型号智能手表（60﹣m）只，根据题意建立不等式求解，得到m的取值范围，再根据题意表示出利润，结合m的取值范围求解，即可解题． 【解答】解：（1）设购进A种x只，则购进B种（60﹣x）只， 1200x+2000（60﹣x）＝84000， 解得x＝45， ∵60﹣45＝15（只）， 答：购进A种型号智能手表45只，则购进B种型号智能手表15只； （2）设购进A种m只，则购进B种（60﹣m）只， 由题意可得：1200m+2000（60﹣m）≤88000， 解得m≥40， ∵A型号的智能手表不得超过44只． ∴m≤44， ∴40≤m≤44， ∵利润＝（1800﹣1200）m+（2500﹣2000）（60﹣m）， ＝100m+30000， 根据式子可知，当m取值越大，利润越大， ∴当m＝44时，利润最大为100×44+30000＝34400（元）， 60﹣44＝16（只）， 答：该商店应进A型号的智能手表44只，B种型号智能手表16只，才能使得获利最大，最大利润是34400元． 【点评】本题考查一元一次方程的运用，一元一次不等式的实际运用，一次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立等量或不等关系求解． 13．2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元． 甲（万美元/台） 乙（万美元/台） A型医疗器材 0.7 1 B型医疗器材 0.8 0.9 （1）求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台； （2）现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（5≤x≤15），求总运费为y（万美元）， ①求y关于x的函数关系式； ②求出总运费y最低的调运方案，最低总运费是多少万美元． 【分析】（1）根据两种器材数量和为50台和总费用2300万美元为等量关系列方程组； （2）用x表示运往甲仓库的B型器材数、运往乙仓库的A、B型器材数，根据题意求运费和，得到y关于x的函数为一次函数，且x的系数为负数，所以x越大y越小． 【解答】解：（1）设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，根据题意得： ， ∴， 答：该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材． （2）依题意得，运往甲仓库的B型医疗器材为（30﹣x）台，运往乙仓库的A型为（20﹣x）台，运往乙仓库的B型为x台， ∴y＝0.7x+（20﹣x）+0.8（30﹣x）+0.9x， 整理得：y＝﹣0.2x+44， ∴y随x的增大而减小， ∵5≤x≤15， ∴当x＝15时，y有最小值，最小值为y＝﹣0.2×15+44＝41， 答：y与x的函数关系式为y＝﹣0.2x+44；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元． 【点评】本题考查了二元一次方程组应用，一次函数的应用，为方程和函数综合应用的常规题型．准确用x表示运往甲、乙仓库的各种器材数是解题关键． 14．2024年9月28日北师大二附中举行“校友秩年返校活动”，二附中校友发展基金会为校友们准备了印有“三色帆”logo的礼物．已知没有校标的礼物价格是150元，印制logo后每份礼物的价格是x元．经核算发现，礼物的份数y与x之间有如下关系：y＝﹣10x+2000（150≤x＜200）．设在这次活动中印制logo花费w元． （1）求w与x之间的函数表达式． （2）请你帮助基金会算一下给礼物印制logo最多需要花费多少钱？ 【分析】（1）根据题意可得：w＝xy＝x（﹣10x+2000）＝﹣10x2+2000x； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得： w＝xy＝x（﹣10x+2000）＝﹣10x2+2000x（150≤x＜200）； （2）∵w＝﹣10x2+2000x＝﹣10（x﹣100）2+100000， 且﹣10＜0，150≤x＜200， ∴当x＝150时，w有最大值，最大值为75000元， 答：给礼物印制logo最多需要花费75000元钱． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出函数关系式，以及应用二次函数的性质解答问题． 15．甲、乙两个工程组同时铺设高速路段的沥青路面，两组工程队每天铺设沥青路面的长度均保持不变，合作一段时间后，乙工程队因维修设备而停工，甲工程队单独完成了剩下的任务，甲、乙两工程队铺设沥青路面的长度之和y（单位：m）与甲工程队铺设沥青路面的时间x（单位：天）之间的关系如图所示． （1）乙工程队铺设沥青路面　30　天；甲每天铺设　3　米． （2）求乙工程队停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当甲工程队铺设沥青路面的总长度与乙工程队铺设沥青路面的总长度相等时，乙工程队已经停工　10　天． 【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两工程队合作，30天以后甲工程队单独做，据此计算即可； （2）设乙工程队停工后y关于x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算甲乙两工程队每天各铺设沥青多少千米，再计算乙工程队铺设沥青的总长度，设乙工程队已停工的天数为a，根据甲工程队铺设沥青的总长度与乙工程队铺设沥青的总长度相等列方程计算即可． 【解答】解：（1）∵由题意分析可知：甲工程队铺设沥青了60天，乙工程队铺设沥青了30天， ∴甲每天铺设（300﹣210）÷30＝3（米）； 故答案为：30；3； （2）设乙工程队停工后为y＝kx+b， 将（30，210）和（60，300）两个点代入y＝kx+b， 可得， ∴， ∴y＝3x+120（30＜x≤60）； （3）甲工程队每天铺设沥青（米）， 甲乙合作每天铺设沥青（米）， ∴乙工程队每天铺设沥青7﹣3＝4（米），乙工程队铺设沥青的总长度为30×4＝120（米）， 设乙工程队已停工的天数为a， 则3（30+a）＝120， 解得：a＝10， 答：乙工程队已停工的天数为10天． 【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． 16．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80千米/小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地之间的距离是 　60　千米，a＝ 　1　； （2）求货车返回时的速度； （3）在整个运输途中，巡逻车与货车何时相遇？ 【分析】（1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程＝速度×时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）利用路程除以时间即可求解； （3）分两车从A前往B途中和货车从B往A途中，两种情况建立方程求解即可． 【解答】解：（1）千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 故答案为：60，1； （2）60÷（2﹣1）＝60（km/h）， 答：货车返回时的速度为60km/h； （3）由题意得，巡逻车的速度为：， 则点C（0，10），点D（2，60）， 设巡逻车对应的函数表达式为：y＝kx+10， ∴60＝2k+10， 解得k＝25， ∴巡逻车对应的函数表达式为：y＝25x+10； 点，点F（1，60），点G（2，0）， 同理求得线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120， 货车对应的函数表达式为：， 当时，80x＝25x+10， 解得：； 当1≤x≤2时，﹣60x+120＝25x+10， 解得：； 综上所述：巡逻车与货车相遇时间为小时或小时． 【点评】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 17．已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是 　120　； （2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式； （3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km． 【分析】（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入，解方程即可得到结论； （2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），把y＝240代入y＝120x求得货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得*出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x，可得出租车的速度为120km/h，于是得到相遇时，货车的速度为120120＝60（km/h）故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直线BG的解析式为y＝60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，于是得到结论； （3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）由图象知，C（4，480）， 设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k， 解得k＝120， ∴直线OC的解析式为y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120， 故答案为：120； （2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为小时， ∵a＝120（km）， ∴货车卸货时与乙地相距120km， ∴出租车距离乙地为120+120＝240（km）， ∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km）， 把y＝240代入y＝120x得，240＝120x， 解得x＝2， ∴货车装完货物时，x＝2，B（2，120）， 根据货车继续出发h后与出租车相遇， 可得（出租车的速度+货车的速度）＝120， 根据直线OC的解析式为y＝120x（0≤x≤4）， 可得出租车的速度为120km/h， ∴相遇时，货车的速度为120120＝60（km/h）， 故可设直线BG的解析式为y＝60x+b， 将B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b， 解得b＝0， ∴直线BG的解析式为y＝60x（2≤x≤8）， 故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y＝60x， （3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x， 解得x＝8， ∴G（8，480）， ∴F（8，0）， 根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF， ∴， ∴出租车返回后的速度为480÷（）＝128km/h， 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km， 此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km， ①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12， 解得t1； ②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12， 解得t2， 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km． 【点评】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意，根据题中信息求得所需的数据是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$