九年级数学期末模拟卷（一模，沪教版九上全部）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期末模拟考试

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 48 分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题:(本大题共 7 小题，共 78 分) 19．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10 分） 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九上全部。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题(本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4 分）已知三条线段长分别是 3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线 段长不可能是 ( ) A．1 B．9 C．20 D．16 2．（4 分）已知线段b和线段 a、 c有关系： a b b c  ，且 3a  ， 4c  ，则 (b  ) A． 2 3 B． 2 3 C． 2 3 D．无法确定 3．（4 分）如果 2 (a b a    、b  均为非零向量），那么下列结论错误的是 ( ) A． | | 2 | |a b  B． / /a b  C． 2 0a b    D． a 与b  方向相同 4．（4 分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC，其中 AB AC ， 27ABC  ， 36BC cm ， 则高 AD约为 ( )（参考数据： sin 27 0.45  ， cos 27 0.89  ， tan 27 0.51)  A．8.10cm B．11.22cm C．9.18cm D．16.02cm 5．（4 分）把函数 2 1 3 y x 的图象平移变换，得到函数 2 1 ( 2) 3 3 y x   的图象，需要 ( ) A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 D．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 6．（4 分）如图所示的 4 个三角形中，相似三角形有 ( ) A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 第二部分（非选择题 共 126 分） 二、填空题(本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分)【请将结果直接填入题纸的相应位置上】 7．（4 分）如图， : 4 :1AG GD  ， : 1: 2BD DC  ，则 AE与 EC的比值是 ． 8．（4 分）在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的 五角星中，C、D两点都是线段 AB的黄金分割点．若 2AC  ，则 AB的长为 .（结果保留根号） 9．（4 分）若 1 sin( 15 ) 2     ，则  等于 度． 10．（4 分）在Rt ABC 中， 90C  ，如果 3 4 AC BC  ，那么 sin A的值是 ． 11．（4 分）点 1( 4, )A y 、 2( 1, )B y 在二次函数 21 ( 2) 1 3 y x   的图象上，要比较 1y 、 2y 的大小，只要 把 A、B两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的 二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的 大小．如图，点 A到对称轴的距离为 2，点 B到对称轴的距离为 1，于是 1 2y y ．试用上述方法解答下列 问题：已知二次函数 2( 2) ( 0)y a x c a    ，当自变量 x分别取 2,3,0 时，对应的函数值分别为 1y 、 2y 、 3y ，则 1y 、 2y 、 3y 的大小关系是 ． 12．（4 分）若长方形的周长为 12 厘米，设长方形的一边长为 x厘米，面积为 y平方厘米，则 y与 x的函数 解析式为 ．（并写出解析式） 13．（4 分）抛物线 23( 2) 5y x    的顶点坐标是 ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 14．（4 分）如图，在 ABC 中，D是 BC的中点，点G 是 ABC 的重心． 6AD  ，则 AG  ． 15．（4 分）如图，在教学楼走廊上有一拖把以 45的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自 觉地将拖把从点 A挪动到了点 A的位置，使其倾斜角变为 60．如果拖把的长为 2 米，则行走的通道拓宽 了 米．（结果保留根号） 16．（4 分）两个相似三角形的相似比为3 : 5，则对应的角平分线之比为 ． 17．（4 分）如图，把矩形纸片 ABCD沿 EF 、GH 折叠（点 E、H 在 AD边上，点 F 、G 在 BC边上）， 使得点 B、点C落在 AD边上同一点 P处，点 A的对称点为 A，点D的对称点为D，若 90FPG  ，△ A EP 的面积为 4，△D PH 的面积为 1，则 :AE HD  ． 18．（4 分）已知二次函数 2 4 2 ( 0)y ax ax a a    图象与 y轴交于点 A，点C 在二次函数的图象上，且 / /AC x轴，以 AC 为斜边向上作等腰直角三角形 ABC，当等腰直角三角形 ABC的边与 x轴有两个公共点 时， a的取值范围是 ． 三、解答题:(本大题共 7 小题，共 78 分) 19．（10 分）如图，在 ABC 中， 5AB AC  ， 4BC  ， BD AC 于点D． （1）求 tan ABC 的值； （2）求 BD的长． 20．（10 分）如图，在 ABC 中，D、E在 AB边上，且 AD DE EB  ， 2CF AF ， 1.2DF  ． （1）求 BC的长． （2）填空：设 EB a   ， EC b   ，则DF   ． 21．（10 分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ( 1,4)M  ，且过点 ( 3,0)A  ． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次 函数的解析式及图象与 x轴的另一个交点的坐标． 22．（10 分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面 36 米的 P处，无人机测 得操控者 A的俯角为37，测得教学楼楼顶的点C处的俯角为 45，又经过人工测量，操控者 A和教学楼 BC 间的距离为 68 米，求教学楼 BC的高度．（注：点 A，B，C，P都在同一平面上．参考数据：sin 37 0.60  ， cos 37 0.80  ， tan 37 0.75)  23．（12 分）如图，等边 ABC ，点 E，F 分别在 AC ，BC边上，AE CF ，连接 AF ，BE ，相交于点 P． （1）求 BPF 的度数； （2）求证： BP BE BF BC   ． 24．（12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 2y ax x c   经过点 (2,8) ，且与 y轴交于点 A， 与 x轴交于点 (6,0)B ，点 P是第一象限抛物线上一动点，过 P作 / /PQ y轴，交 AB于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，过点 P作 PR AB 于点 R，当△ PQR的周长最小时，动点M 在直线 PQ上运动，动点 N在 y轴上运动，且 / /MN x 轴，连接 BM 、 NQ，求 BM NQ 的最小值； （3）如图 3，点C在第一象限内，连接 AC ，OC ，且 AC AO ，将线段CO绕点C逆时针旋转90得到 线段 CD，连接OD ， AD ，OD 交 AB 于点 E ，点 F 在第二象限内直线 AB 上，连接OF ， BD，若 OFB BAD   ， 2BDO AOC   ， 2 6 PH EF ，请直接写出点 P的坐标． 25．（14 分）如图，已知正方形 ABCD，将边 AD绕点 A逆时针方向旋转 (0 90)n n   到 AP的位置，分别 过点C、D作CE BP ，DF BP ，垂足分别为点 E、 F ． （1）求证：CE EF ； （2）联结CF ，如果 1 3 DP CF  ，求 ABP 的正切值； （3）联结 AF ，如果 2 2 AF AB ，求 n的值． 2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九上全部。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是　　 A．1 B．9 C．20 D．16 2．（4分）已知线段和线段、有关系：，且，，则　　 A． B． C． D．无法确定 3．（4分）如果、均为非零向量），那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D．与方向相同 4．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为　　（参考数据：，， A． B． C． D． 5．（4分）把函数的图象平移变换，得到函数的图象，需要　　 A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 6．（4分）如图所示的4个三角形中，相似三角形有　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入题纸的相应位置上】 7．（4分）如图，，，则与的比值是 　 　． 8．（4分）在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 　 　（结果保留根号） 9．（4分）若，则等于 　 　度． 10．（4分）在中，，如果，那么的值是 　 　． 11．（4分）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为2，点到对称轴的距离为1，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 　 　． 12．（4分）若长方形的周长为12厘米，设长方形的一边长为厘米，面积为平方厘米，则与的函数解析式为 　 　．（并写出解析式） 13．（4分）抛物线的顶点坐标是 　 　． 14．（4分）如图，在中，是的中点，点是的重心．，则　 　． 15．（4分）如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把从点挪动到了点的位置，使其倾斜角变为．如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了 　 　米．（结果保留根号） 16．（4分）两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为 　 　． 17．（4分）如图，把矩形纸片沿、折叠（点、在边上，点、在边上），使得点、点落在边上同一点处，点的对称点为，点的对称点为，若，△的面积为4，△的面积为1，则　 　． 18．（4分）已知二次函数图象与轴交于点，点在二次函数的图象上，且轴，以为斜边向上作等腰直角三角形，当等腰直角三角形的边与轴有两个公共点时，的取值范围是 　 　． 三、解答题:(本大题共7小题，共78分) 19．（10分）如图，在中，，，于点． （1）求的值； （2）求的长． 20．（10分）如图，在中，、在边上，且，，． （1）求的长． （2）填空：设，，则　 　． 21．（10分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次函数的解析式及图象与轴的另一个交点的坐标． 22．（10分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面36米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得教学楼楼顶的点处的俯角为，又经过人工测量，操控者和教学楼间的距离为68米，求教学楼的高度．（注：点，，，都在同一平面上．参考数据：，， 23．（12分）如图，等边，点，分别在，边上，，连接，，相交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，且与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上一动点，过作轴，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过点作于点，当△的周长最小时，动点在直线上运动，动点在轴上运动，且轴，连接、，求的最小值； （3）如图3，点在第一象限内，连接，，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点，点在第二象限内直线上，连接，，若，，，请直接写出点的坐标． 25．（14分）如图，已知正方形，将边绕点逆时针方向旋转到的位置，分别过点、作，，垂足分别为点、． （1）求证：； （2）联结，如果，求的正切值； （3）联结，如果，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九上全部。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题(本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4 分）已知三条线段长分别是 3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线 段长不可能是 ( ) A．1 B．9 C．20 D．16 【答案】C 【解答】解： A、 1 12 3 4   ，这四条线段能成比例，故本选项不符合题意； B、 3 12 9 4   ，这四条线段能成比例，故本选项不符合题意； C 、 4 12 3 20   ，这四条线段不能成比例，故本选项符合题意； D、 4 12 3 16   ，这四条线段能成比例，故本选项不符合题意． 故选：C ． 2．（4 分）已知线段b和线段 a、 c有关系： a b b c  ，且 3a  ， 4c  ，则 (b  ) A． 2 3 B． 2 3 C． 2 3 D．无法确定 【答案】 A 【解答】解：根据题意得： 3 : : 4b b ， 解得 2 3b  或 2 3b   （舍去）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 故选： A． 3．（4 分）如果 2 (a b a    、b  均为非零向量），那么下列结论错误的是 ( ) A． | | 2 | |a b  B． / /a b  C． 2 0a b    D． a与b  方向相同 【答案】D 【解答】解： 2a b   ， | | 2 | |a b   ； / /a b  ； 2 0a b    ； a  与b  的方向相反， 故 A， B，C 正确，D错误， 故选：D． 4．（4 分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC，其中 AB AC ， 27ABC  ， 36BC cm ， 则高 AD约为 ( )（参考数据： sin 27 0.45  ， cos 27 0.89  ， tan 27 0.51)  A．8.10cm B．11.22cm C．9.18cm D．16.02cm 【答案】C 【解答】解： AB AC ， AD BC ， 36BC cm ， 1 18 2 BD BC cm   ． 在Rt ABD 中， tan AD ABC BD   ， 27ABC  ， tanAD ABC BD    0.51 18  9.18( )cm ． 故选：C ． 5．（4 分）把函数 2 1 3 y x 的图象平移变换，得到函数 2 1 ( 2) 3 3 y x   的图象，需要 ( ) A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 D．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 【答案】 B 【解答】解：依题意： A、把函数 2 1 3 y x 的图象平移变换，先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到函数 2 1 ( 2) 3 3 y x   的图象，故该选项是错误的； B、把函数 2 1 3 y x 的图象平移变换，先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到函数 2 1 ( 2) 3 3 y x   的图象，故该选项是正确的； C 、把函数 2 1 3 y x 的图象平移变换，先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到函数 2 1 ( 2) 3 3 y x   的图象，故该选项是错误的； D、把函数 2 1 3 y x 的图象平移变换，先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到函数 2 1 ( 2) 3 3 y x   的图象，故该选项是错误的； 故选： B． 6．（4 分）如图所示的 4 个三角形中，相似三角形有 ( ) A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 【答案】 A 【解答】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1: 2 : 5 ， 第二个三角形的三边的三边之比为： 2 : 5 : 5 ， 第三个三角形的三边的三边之比为：1: 2 : 5 ， 第四个四角形的三边的三边之比为：1:1: 2 ， 只有第一和第三个三角形的三边成比例， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 所以只有第一和第三个三角形相似， 故选： A． 第二部分（非选择题 共 126 分） 二、填空题(本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分)【请将结果直接填入题纸的相应位置上】 7．（4 分）如图， : 4 :1AG GD  ， : 1: 2BD DC  ，则 AE与 EC的比值是 ． 【答案】 4 : 3 ． 【解答】解：如图，过点作 / /DF BE交 AC 于点 F ， 由平行线分线段成比例定理得， 则 2 CF CD EF DB   ， 4 AE AG EF GD   ， 2CF EF  ， 4AE EF ， 3EC CF EF EF    ， : 4 : 3 4 : 3AE EC EF EF   ， 故答案为： 4 : 3 ． 8．（4 分）在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五 角星中，C 、D两点都是线段 AB的黄金分割点．若 2AC  ，则 AB的长为 .（结果保留根号） 【答案】3 5 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【解答】解： C 、D两点都是线段 AB的黄金分割点， 2AC  ，  5 1 2 AC BC   ， 解得： 5 1BC   ， 2 5 1 3 5AB AC BC        ， 故答案为：3 5 ． 9．（4 分）若 1 sin( 15 ) 2     ，则  等于 度． 【答案】15． 【解答】解： 1 sin( 15 ) 2     ， 1 sin 30 2   ， 15 30    ， 解得： 15  ， 故答案为：15． 10．（4 分）在Rt ABC 中， 90C  ，如果 3 4 AC BC  ，那么 sin A的值是 ． 【答案】 4 5 ． 【解答】解：由于在Rt ABC 中， 90C  ， 3 4 AC BC  ， 可设 3AC k ，则 4BC k ， 由勾股定理可得， 2 2 5AB AC BC k   ， 4 sin 5 BC A AB    ， 故答案为： 4 5 ． 11．（4 分）点 1( 4, )A y 、 2( 1, )B y 在二次函数 21 ( 2) 1 3 y x   的图象上，要比较 1y 、 2y 的大小，只要把 A、 B两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二 次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大 小．如图，点 A到对称轴的距离为 2，点 B到对称轴的距离为 1，于是 1 2y y ．试用上述方法解答下列问题： 已知二次函数 2( 2) ( 0)y a x c a    ，当自变量 x分别取 2,3,0 时，对应的函数值分别为 1y 、 2y 、 3y ，则 1y 、 2y 、 3y 的大小关系是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【答案】 1 2 3y y y  ． 【解答】解：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方， 又二次函数 2( 2) ( 0)y a x c a    ， 在该函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方， 当自变量 x分别取 2,3,0 时， 2 0 3 2 2 2     ， 1 2 3y y y   ． 故答案为： 1 2 3y y y  ． 12．（4 分）若长方形的周长为 12 厘米，设长方形的一边长为 x厘米，面积为 y平方厘米，则 y与 x的函数 解析式为 ．（并写出解析式） 【答案】 (6 )(0 6)y x x x    ． 【解答】解：长方形的周长为 12 厘米，长方形的一边长为 x厘米， 该边的邻边长为 12 2 (6 ) 2 x x    厘米． 根据题意得： (6 )y x x  ． x ， 6 x 均为正值， 0 6x   ， y 与 x的函数解析式为 (6 )(0 6)y x x x    ． 故答案为： (6 )(0 6)y x x x    ． 13．（4 分）抛物线 23( 2) 5y x    的顶点坐标是 ． 【答案】 ( 2, 5)  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【解答】解： 23( 2) 5y x    ， 顶点坐标是 ( 2, 5)  ， 故答案为： ( 2, 5)  ． 14．（4 分）如图，在 ABC 中，D是 BC的中点，点G 是 ABC 的重心． 6AD  ，则 AG  ． 【答案】4． 【解答】解：点G 为 ABC 的重心， 2 4 3 AG AD  ， 故答案为：4． 15．（4 分）如图，在教学楼走廊上有一拖把以 45的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自 觉地将拖把从点 A挪动到了点 A的位置，使其倾斜角变为 60．如果拖把的长为 2 米，则行走的通道拓宽 了 米．（结果保留根号） 【答案】 ( 2 1) ． 【解答】解：在△ ABC中， 90C  ， 2AB  米， 45BAC  ， cos AC BAC AB   ， 2 cos 2 2 2 AC AB BAC       （米 )， 在△ A B C  中， 90C  ， 2A B   米， 60B AC    ， cos AC B AC A B         ， 1 cos 2 1 2 AC A B B AC            （米 )， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 则 ( 2 1)AA AC AC      米， 所以行走的通道拓宽了 ( 2 1) 米， 故答案为： ( 2 1) ． 16．（4 分）两个相似三角形的相似比为3 : 5，则对应的角平分线之比为 ． 【答案】3 : 5． 【解答】解：两个相似三角形的相似比为3 : 5， 它们的对应角的角平分线的比为3 : 5． 故答案为：3 : 5． 17．（4 分）如图，把矩形纸片 ABCD沿 EF 、GH 折叠（点 E、H 在 AD边上，点 F 、G 在 BC边上），使 得点 B、点C 落在 AD边上同一点 P处，点 A的对称点为 A，点D的对称点为D，若 90FPG  ，△ A EP 的面积为 4，△D PH 的面积为 1，则 :AE HD  ． 【答案】4． 【解答】解：四边形 ABCD是矩形， AB CD  ， AD BC ， 设 AB CD x  ， 由翻折可知： PA AB x   ，DP CD x   ， 90A PF B C D PG           ， 90FPG   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 A P  90D  ，即 90A PE D PH      ， 90D PH D HP      ， A PE D HP     ， △ A EP ∽△D PH ， △ A EP 的面积为 4，△D PH 的面积为 1， 2 2 2 2: 4 :1 :A P D H A E D P      ， : 2 :1 :A P D H A E D P      ， 2A P D H   ， 2A E D P  ， PA x D P   ， 1 2 D H x   ， 2A E x  ， AE A E ，HD D H ， 1 : (2 ) : ( ) 4 2 AE HD x x   ， 故答案为：4． 18．（4 分）已知二次函数 2 4 2 ( 0)y ax ax a a    图象与 y轴交于点 A，点C 在二次函数的图象上，且 / /AC x 轴，以 AC 为斜边向上作等腰直角三角形 ABC，当等腰直角三角形 ABC的边与 x轴有两个公共点时， a的 取值范围是 ． 【答案】 0 1a  ． 【解答】解： 2 24 2 ( 2) 6y ax ax a a x a      ， 抛物线 2 4 2y ax ax a   的对称轴为： 2x  ， 令 0x  ，则 2 4 2 2y ax ax a a     ， (0, 2 )A a  ， 点C 在二次函数的图象上．且 / /AC x轴， (4, 2 )C a  ， 4AC  ， 过 B作 BD AC 于D，如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 90ABC   ， AB BC ， 1 2 2 BD AC   ， 等腰直角三角形 ABC的边与 x轴有两个公共点， BD OA  ， (0, 2 )A a ， 2OA a  ， 2 2a  ， 1a  ， 则 0 1a  ， 故答案为： 0 1a  ． 三、解答题:(本大题共 7 小题，共 78 分) 19．（10 分）如图，在 ABC 中， 5AB AC  ， 4BC  ， BD AC 于点D． （1）求 tan ABC 的值； （2）求 BD的长． 【解答】解：（1）如图，过点 A作 AE BC 交 BC于点 E， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 AB AC ， AE BC ，  1 2 BE EC BC  ， 90AEB  ， 4BC  ，  1 2 2 BE EC BC   ， 在Rt AEB 中， 90AEB   ， 2 2 2AE AB BE   ， 5AB AC  ， 2BE  ， 2 2 25 2 21AE    ，  21AE  ． 在Rt AEB 中， 90AEB   ， 21AE  ， 2BE  ，  21tan 2 AE ABC BE    ． .............................5 分 （2）如图，同（1），过点 A作 AE BC 交 BC于点 E， AE BC ，  1 2ABC S BC AE    ， 又 BD AC ，  1 2ABC S AC BD    ，  1 1 2 2ABC S BC AE AC BD       ， 5AC  ， 4BC  ， 又由（1）求得 21AE  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1  4 21 5 BC AE BD AC    ． .............................10 分 20．（10 分）如图，在 ABC 中，D、 E在 AB边上，且 AD DE EB  ， 2CF AF ， 1.2DF  ． （1）求 BC的长． （2）填空：设 EB a   ， EC b   ，则DF   ． 【解答】解：（1） AD DE EB  ， / /DF BC ， 3AB AD  ， ADF ABC ∽ ，  1 3 3 DF AD AD BC AB AD    ， 3BC DF  ， 1.2DF  ， 3.6BC  ； .............................5 分 （2）由（1）知， 3BC DF ．  BC EC EB     ，即3DF b a     ，  1 1 3 3 DF a b     ． 故答案为： 1 1 3 3 a b   ． .............................10 分 21．（10 分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ( 1,4)M  ，且过点 ( 3,0)A  ． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次 函数的解析式及图象与 x轴的另一个交点的坐标． 【解答】解：（1）二次函数图象的顶点为 ( 1,4)M  ， 设二次函数的解析式为 2( 1) 4y a x   ， 把点 ( 3,0)A  代入得： 4 4 0a   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 解得： 1a   ， 二次函数的解析式为 2 2( 1) 4 2 3y x x x        ； .............................5 分 （2）令 0y  得： 2 2 3 0x x    ， 解得： 1 3x   ， 2 1x  ， 二次函数图象与 x轴的两个交点分别为 ( 3,0) 和 (1,0) ， 二次函数图象上的点 ( 3,0) 向右平移 3 个单位后经过坐标原点， 平移后的二次函数的图象与 x轴的另一个交点的坐标为 (4,0) ， 平移后的二次函数的解析式为 2( 4) 4y x x x x      ． .............................10 分 22．（10 分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面 36 米的 P处，无人机测得 操控者 A的俯角为37，测得教学楼楼顶的点C 处的俯角为 45，又经过人工测量，操控者 A和教学楼 BC间 的距离为 68 米，求教学楼 BC的高度．（注：点 A，B，C ，P都在同一平面上．参考数据：sin 37 0.60  ， cos 37 0.80  ， tan 37 0.75)  【解答】解：过点 P作 PE AB 于 E，过点C 作CF PE 于 F ，如图所示： 则四边形 BCFE是矩形， CF BE  ， 由题意得， 68AB  米， 36PE  米， 37A DPA    ， 45PCF HPC    ， 在Rt APE 中， 90AEP  ， tan 37 0.75 PE AE     ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 36 48 0.75 PE AE AE     （米 )， .............................4 分 68 48 20BE AB AE      （米 )， 20CF  米， ..............................6 分 90PFC   ， 45PCF  ， PCF 是等腰直角三角形， 20PF CF   米， 36 20 16BC EF PE PF       （米 )， .............................10 分 答：教学楼 BC高约为 16 米． 23．（12 分）如图，等边 ABC ，点 E，F 分别在 AC ，BC边上，AE CF ，连接 AF ，BE ，相交于点 P． （1）求 BPF 的度数； （2）求证： BP BE BF BC   ． 【解答】（1）解： ABC 是等边三角形， AB AC  ， 60BAC C    ． 在 ABE 和 CAF 中， AE CF BAC C AB CA       ， ( )ABE CAF SAS   ， .............................4 分 ABE CAF   ． 60BAF CAF     ， 60BAF ABE   ， 60BPF BAF ABE      ； .............................6 分 （2）证明： 60BPF C     ， PBF CBE   ， BPF BCE ∽ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1  BP BC BF BE  ， BP BE BF BC    ． .............................10 分 24．（12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 2y ax x c   经过点 (2,8) ，且与 y轴交于点 A， 与 x轴交于点 (6,0)B ，点 P是第一象限抛物线上一动点，过 P作 / /PQ y轴，交 AB于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，过点 P作 PR AB 于点 R，当△ PQR的周长最小时，动点M 在直线 PQ上运动，动点 N 在 y 轴上运动，且 / /MN x 轴，连接 BM 、 NQ，求 BM NQ 的最小值； （3）如图 3，点C 在第一象限内，连接 AC ，OC ，且 AC AO ，将线段CO绕点C 逆时针旋转90得到线 段CD，连接OD，AD，OD交 AB于点 E，点 F 在第二象限内直线 AB上，连接OF ，BD，若 OFB BAD   ， 2BDO AOC   ， 2 6 PH EF ，请直接写出点 P的坐标． 【解答】解：（1）抛物线 2 2y ax x c   经过点 (2,8) 和点 (6,0)B ，  4 4 8 36 12 0 a c a c        ， 解得： 1 2 6 a c       ， 抛物线的解析式为 2 1 2 6 2 y x x    ； .............................2 分 （2）抛物线 2 1 2 6 2 y x x    与 y轴交于点 A， (0,6)A ， 6OA OB   ， △ AOB是等腰直角三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 45BAO  ， / /PQ y 轴， 45PQR BAO   ， PR AB ， 90PRQ  ， △ PQR是等腰直角三角形， 2 2 PR QR PQ   ， △ PQR的周长为 ( 2 1)PR QR PQ PQ    ， 当△ PQR的周长最大时， PQ最大， 设直线 AB的解析式为 y kx b  ，将 (0,6)A 、 (6,0)B 代入得 6 6 0 b k b     ， 解得 1 6 k b     ， 直线 AB的解析式为 6y x   ， .............................4 分 设 21( , 2 6) 2 P t t t   ，则 ( , 6)Q t t  ， 2 21 12 6 ( 6) 3 2 2 PQ t t t t t           ， 当 3 3 1 2 ( ) 2 t      时， PQ最大，此时，△ PQR的周长最大， 15 (3, ) 2 P ， (3,3)Q ， 如图，作点 (3,0)H ， ( 3,0)K  ，连接 NH ， NK ，QK， 则 / /MN BH ，MN BH ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 四边形MNHB是平行四边形， NH MB  ， 又 y 轴垂直平分KH ， NH NK  ， 2 2 2 26 3 3 5BM NQ NK NQ KQ KH QH         ， BM NQ  的最小值为3 5 ； .............................6 分 （3）如图，过点D作 x轴的垂线GW 分别交 x轴和直线 AC 于点W ，G ， 则 90CGD OAC    ， 90DCG CDG    ， 由旋转得： 90OCD  ，OC CD ， 90DCG ACO    ， ACO CDG   ， △OCA  △ ( )CDG AAS ， 6CG OA   ，DG AC ， 设 AOC   ， AC DG m  ， 则 6DW WG DG m    ， BW OW OB AG OB m     ， △OCD是等腰直角三角形， 45COD CDO    ， 45BOD     ， OFB BAD   ， 2BDO AOC   ， 2BDO   ， 45 2 45DBW BOD BDO               ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 90DWB   ， 90 45BDW DBW        ， BDW BOD   ， 又 90DWB DWO     ， △DWB∽△OWD，  DW BW OW DW  ，即 6 6 6 m m m m     ， 解得： 2m  ， 2BW  ， 4DW  ， 2 2 2 22 4 2 5BD BW DW      ， 2 2 2 28 4 4 5OD OW DW     ， 45ABO   ， 45DBW     ， 180 90DBE ABO DBW          ， 90DEB ABO DOB         ， 90DEB DBE       ， 2 5DE DB   ， OE DE BD   ， 又 OEF DEB DBE     ， OFB BAD   ， △ EOF △ ( )BDA AAS ， 2 6 2EF AB OA    ， 2 2 6 PQ EF   ， 由（2）可知 2 1 3 2 2 PQ t t    ， 解得： 3 5t   ， 当 3 5t   时， 21 2 6 5 5 2 y t t      ， 此时， (3 5P  ，5 5) ； 当 3 5t   时， 21 2 6 5 5 2 y t t      ， 此时， (3 5P  ，5 5) ； 综上所述，点 P的坐标为 (3 5 ，5 5) 或 (3 5 ，5 5) ．.............................12 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 25．（14 分）如图，已知正方形 ABCD，将边 AD绕点 A逆时针方向旋转 (0 90)n n   到 AP的位置，分别 过点C 、D作CE BP ，DF BP ，垂足分别为点 E、 F ． （1）求证：CE EF ； （2）联结CF ，如果 1 3 DP CF  ，求 ABP 的正切值； （3）联结 AF ，如果 2 2 AF AB ，求 n的值． 【解答】（1）证明：如图 1， 作DG CE 于G ， CE PB ， 90DGC BEC    ， 90CBE BCE    ， 四边形 ABCD是正方形， 90BCD  ， BC CD ， 90BCE DCG    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 CBE DCG   ， ( )BCE CDG AAS   ， DG CE  ， CE PB ，DF PB ，DG CE ， 90GEF DFE DGE      ， 四边形 EFDG是矩形， EF DG  ， CE CF  ； .............................4 分 （2）解：如图 2， 设 ABP   ，设 PD a ， 3CF a ， 四边形 ABCD是正方形， AB AD  ， 90ABC BCD BAD      ， AP AD ， AB AP  ， APB ABP     ， 180 180 2BAP ABP APB          ， 90 2PAD PAB BAD        ， AP AD ， 180 45 2 PAD APB ADP         ， 45FPD APD APB     ， PDF 是等腰直角三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2 2 2 2 EG DF PD a    ， 由（1）得： EF CE ， EFC 也是等腰直角三角形， 2 3 2 2 2 DG EF CE CF a     ， 3 2 2 2 2 2 CG CE EG a a a      ， 2 tan 3 CG CDG DG     ， 同理（1）可证： BCE ABP     ， BCE CDG   ， ABP CDG   ， 2 tan 3 ABP   ；.............................8 分 （3）解：如图 3， 连接 AF ，CF ， 四边形 ABCD是正方形， 45BAC CAD    ， CEF 是等腰直角三角形， 45CFE  ， CFE BAC   ， 点 A、 B、C 、 F 共圆， 180AFE ABC   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 90ABC   ， 90AFC  ， 2 2 AF AB ， 2 2 AB AC ，  1 2 AF AC  ， 即： 1 cos 2 CAF  ， 60CAF  ， 60 45 15DAF CAF DAC         ， 由（2）得： PFD 是等腰直角三角形， FD FP  ， AP AD ， AF 是 PD的垂直平分线， 2 30PAD DAF    ．.............................12 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九上全部。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题(本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4 分）已知三条线段长分别是 3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线 段长不可能是 ( ) A．1 B．9 C．20 D．16 2．（4 分）已知线段b和线段 a、 c有关系： a b b c  ，且 3a  ， 4c  ，则 (b  ) A． 2 3 B． 2 3 C． 2 3 D．无法确定 3．（4 分）如果 2 (a b a    、b  均为非零向量），那么下列结论错误的是 ( ) A． | | 2 | |a b  B． / /a b  C． 2 0a b    D． a 与b  方向相同 4．（4 分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC，其中 AB AC ， 27ABC  ， 36BC cm ， 则高 AD约为 ( )（参考数据： sin 27 0.45  ， cos 27 0.89  ， tan 27 0.51)  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．8.10cm B．11.22cm C．9.18cm D．16.02cm 5．（4 分）把函数 2 1 3 y x 的图象平移变换，得到函数 2 1 ( 2) 3 3 y x   的图象，需要 ( ) A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 D．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 6．（4 分）如图所示的 4 个三角形中，相似三角形有 ( ) A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 第二部分（非选择题 共 126 分） 二、填空题(本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分)【请将结果直接填入题纸的相应位置上】 7．（4 分）如图， : 4 :1AG GD  ， : 1: 2BD DC  ，则 AE与 EC的比值是 ． 8．（4 分）在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五 角星中，C、D两点都是线段 AB的黄金分割点．若 2AC  ，则 AB的长为 .（结果保留根号） 9．（4 分）若 1 sin( 15 ) 2     ，则  等于 度． 10．（4 分）在Rt ABC 中， 90C  ，如果 3 4 AC BC  ，那么 sin A的值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 11．（4 分）点 1( 4, )A y 、 2( 1, )B y 在二次函数 21 ( 2) 1 3 y x   的图象上，要比较 1y 、 2y 的大小，只要把 A、 B两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二 次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大 小．如图，点 A到对称轴的距离为 2，点 B到对称轴的距离为 1，于是 1 2y y ．试用上述方法解答下列问题： 已知二次函数 2( 2) ( 0)y a x c a    ，当自变量 x分别取 2,3,0 时，对应的函数值分别为 1y 、 2y 、 3y ，则 1y 、 2y 、 3y 的大小关系是 ． 12．（4 分）若长方形的周长为 12 厘米，设长方形的一边长为 x厘米，面积为 y平方厘米，则 y与 x的函数 解析式为 ．（并写出解析式） 13．（4 分）抛物线 23( 2) 5y x    的顶点坐标是 ． 14．（4 分）如图，在 ABC 中，D是 BC的中点，点G 是 ABC 的重心． 6AD  ，则 AG  ． 15．（4 分）如图，在教学楼走廊上有一拖把以 45的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自 觉地将拖把从点 A挪动到了点 A的位置，使其倾斜角变为 60．如果拖把的长为 2 米，则行走的通道拓宽 了 米．（结果保留根号） 16．（4 分）两个相似三角形的相似比为3 : 5，则对应的角平分线之比为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 17．（4 分）如图，把矩形纸片 ABCD沿 EF 、GH 折叠（点 E、H 在 AD边上，点 F 、G 在 BC边上），使 得点 B、点C落在 AD边上同一点 P处，点 A的对称点为 A，点D的对称点为D，若 90FPG  ，△ A EP 的面积为 4，△D PH 的面积为 1，则 :AE HD  ． 18．（4 分）已知二次函数 2 4 2 ( 0)y ax ax a a    图象与 y轴交于点 A，点C在二次函数的图象上，且 / /AC x 轴，以 AC 为斜边向上作等腰直角三角形 ABC，当等腰直角三角形 ABC的边与 x轴有两个公共点时， a的 取值范围是 ． 三、解答题:(本大题共 7 小题，共 78 分) 19．（10 分）如图，在 ABC 中， 5AB AC  ， 4BC  ， BD AC 于点D． （1）求 tan ABC 的值； （2）求 BD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 20．（10 分）如图，在 ABC 中，D、 E在 AB边上，且 AD DE EB  ， 2CF AF ， 1.2DF  ． （1）求 BC的长． （2）填空：设 EB a   ， EC b   ，则DF   ． 21．（10 分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ( 1,4)M  ，且过点 ( 3,0)A  ． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次 函数的解析式及图象与 x轴的另一个交点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 22．（10 分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面 36 米的 P处，无人机测得 操控者 A的俯角为37，测得教学楼楼顶的点C处的俯角为 45，又经过人工测量，操控者 A和教学楼 BC间 的距离为 68 米，求教学楼 BC的高度．（注：点 A，B，C，P都在同一平面上．参考数据：sin 37 0.60  ， cos 37 0.80  ， tan 37 0.75)  23．（12 分）如图，等边 ABC ，点 E，F 分别在 AC ，BC边上，AE CF ，连接 AF ，BE ，相交于点 P． （1）求 BPF 的度数； （2）求证： BP BE BF BC   ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 24．（12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 2 2y ax x c   经过点 (2,8) ，且与 y轴交于点 A， 与 x轴交于点 (6,0)B ，点 P是第一象限抛物线上一动点，过 P作 / /PQ y轴，交 AB于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，过点 P作 PR AB 于点 R，当△ PQR的周长最小时，动点M 在直线 PQ上运动，动点 N在 y 轴上运动，且 / /MN x 轴，连接 BM 、 NQ，求 BM NQ 的最小值； （3）如图 3，点C在第一象限内，连接 AC ，OC ，且 AC AO ，将线段CO绕点C逆时针旋转90得到线 段CD，连接OD，AD，OD交 AB于点 E，点 F 在第二象限内直线 AB上，连接OF ，BD，若 OFB BAD   ， 2BDO AOC   ， 2 6 PH EF ，请直接写出点 P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 25．（14 分）如图，已知正方形 ABCD，将边 AD绕点 A逆时针方向旋转 (0 90)n n   到 AP的位置，分别 过点C、D作CE BP ，DF BP ，垂足分别为点 E、 F ． （1）求证：CE EF ； （2）联结CF ，如果 1 3 DP CF  ，求 ABP 的正切值； （3）联结 AF ，如果 2 2 AF AB ，求 n的值． 2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九上全部。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是　　 A．1 B．9 C．20 D．16 【答案】 【解答】解：、，这四条线段能成比例，故本选项不符合题意； 、，这四条线段能成比例，故本选项不符合题意； 、，这四条线段不能成比例，故本选项符合题意； 、，这四条线段能成比例，故本选项不符合题意． 故选：． 2．（4分）已知线段和线段、有关系：，且，，则　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【解答】解：根据题意得：， 解得或（舍去）． 故选：． 3．（4分）如果、均为非零向量），那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D．与方向相同 【答案】 【解答】解：， ；；；与的方向相反， 故，，正确，错误， 故选：． 4．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为　　（参考数据：，， A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，，， ． 在中， ，， ． 故选：． 5．（4分）把函数的图象平移变换，得到函数的图象，需要　　 A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 【答案】 【解答】解：依题意： 、把函数的图象平移变换，先向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象，故该选项是错误的； 、把函数的图象平移变换，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到函数的图象，故该选项是正确的； 、把函数的图象平移变换，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象，故该选项是错误的； 、把函数的图象平移变换，先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到函数的图象，故该选项是错误的； 故选：． 6．（4分）如图所示的4个三角形中，相似三角形有　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】 【解答】解：第一个三角形的三边的三边之比为：， 第二个三角形的三边的三边之比为：， 第三个三角形的三边的三边之比为：， 第四个四角形的三边的三边之比为：， 只有第一和第三个三角形的三边成比例， 所以只有第一和第三个三角形相似， 故选：． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入题纸的相应位置上】 7．（4分）如图，，，则与的比值是 　 　． 【答案】． 【解答】解：如图，过点作交于点， 由平行线分线段成比例定理得， 则，， ，， ， ， 故答案为：． 8．（4分）在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 　 　（结果保留根号） 【答案】． 【解答】解：、两点都是线段的黄金分割点，， ， 解得：， ， 故答案为：． 9．（4分）若，则等于 　 　度． 【答案】15． 【解答】解：，， ， 解得：， 故答案为：15． 10．（4分）在中，，如果，那么的值是 　 　． 【答案】． 【解答】解：由于在中，，， 可设，则， 由勾股定理可得，， ， 故答案为：． 11．（4分）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为2，点到对称轴的距离为1，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 　 　． 【答案】． 【解答】解：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方， 又二次函数， 在该函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方， 当自变量分别取 时， ， ． 故答案为：． 12．（4分）若长方形的周长为12厘米，设长方形的一边长为厘米，面积为平方厘米，则与的函数解析式为 　 　．（并写出解析式） 【答案】． 【解答】解：长方形的周长为12厘米，长方形的一边长为厘米， 该边的邻边长为厘米． 根据题意得：． ，均为正值， ， 与的函数解析式为． 故答案为：． 13．（4分）抛物线的顶点坐标是 　 　． 【答案】． 【解答】解：， 顶点坐标是， 故答案为：． 14．（4分）如图，在中，是的中点，点是的重心．，则　 　． 【答案】4． 【解答】解：点为的重心， ， 故答案为：4． 15．（4分）如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把从点挪动到了点的位置，使其倾斜角变为．如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了 　 　米．（结果保留根号） 【答案】． 【解答】解：在△中，，米，， ， （米， 在△中，，米，， ， （米， 则米， 所以行走的通道拓宽了米， 故答案为：． 16．（4分）两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为 　 　． 【答案】． 【解答】解：两个相似三角形的相似比为， 它们的对应角的角平分线的比为． 故答案为：． 17．（4分）如图，把矩形纸片沿、折叠（点、在边上，点、在边上），使得点、点落在边上同一点处，点的对称点为，点的对称点为，若，△的面积为4，△的面积为1，则　 　． 【答案】4． 【解答】解：四边形是矩形， ，， 设， 由翻折可知：，，， ， ，即， ， ， △△， △的面积为4，△的面积为1， ， ， ，， ， ，， ，， ， 故答案为：4． 18．（4分）已知二次函数图象与轴交于点，点在二次函数的图象上，且轴，以为斜边向上作等腰直角三角形，当等腰直角三角形的边与轴有两个公共点时，的取值范围是 　 　． 【答案】． 【解答】解：， 抛物线的对称轴为：， 令，则， ， 点在二次函数的图象上．且轴， ， ， 过作于，如图， ，， ， 等腰直角三角形的边与轴有两个公共点， ， ， ， ， ， 则， 故答案为：． 三、解答题:(本大题共7小题，共78分) 19．（10分）如图，在中，，，于点． （1）求的值； （2）求的长． 【解答】解：（1）如图，过点作交于点， ，， ，， ， ， 在中， ， ， ，， ， ． 在中， ，，， ． .............................5分 （2）如图，同（1），过点作交于点， ， ， 又， ， ， ，， 又由（1）求得， ． .............................10分 20．（10分）如图，在中，、在边上，且，，． （1）求的长． （2）填空：设，，则　 　． 【解答】解：（1），， ，， ， ， ， ； .............................5分 （2）由（1）知，． ，即， ． 故答案为：． .............................10分 21．（10分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次函数的解析式及图象与轴的另一个交点的坐标． 【解答】解：（1）二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为； .............................5分 （2）令得：， 解得：，， 二次函数图象与轴的两个交点分别为和， 二次函数图象上的点向右平移3个单位后经过坐标原点， 平移后的二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为， 平移后的二次函数的解析式为． .............................10分 22．（10分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面36米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得教学楼楼顶的点处的俯角为，又经过人工测量，操控者和教学楼间的距离为68米，求教学楼的高度．（注：点，，，都在同一平面上．参考数据：，， 【解答】解：过点作于，过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ， 由题意得，米，米，，， 在中，， ． （米， .............................4分 （米， 米， ..............................6分 ，， 是等腰直角三角形， 米， （米， .............................10分 答：教学楼高约为16米． 23．（12分）如图，等边，点，分别在，边上，，连接，，相交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 【解答】（1）解：是等边三角形， ，． 在和中， ， ， .............................4分 ． ， ， ； .............................6分 （2）证明：，， ， ， ． .............................10分 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，且与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上一动点，过作轴，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过点作于点，当△的周长最小时，动点在直线上运动，动点在轴上运动，且轴，连接、，求的最小值； （3）如图3，点在第一象限内，连接，，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点，点在第二象限内直线上，连接，，若，，，请直接写出点的坐标． 【解答】解：（1）抛物线经过点和点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； .............................2分 （2）抛物线与轴交于点， ， ， △是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， △的周长为， 当△的周长最大时，最大， 设直线的解析式为，将、代入得， 解得， 直线的解析式为， .............................4分 设，则， ， 当时，最大，此时，△的周长最大， ，， 如图，作点，，连接，，， 则，， 四边形是平行四边形， ， 又轴垂直平分， ， ， 的最小值为； .............................6分 （3）如图，过点作轴的垂线分别交轴和直线于点，， 则， ， 由旋转得：，， ， ， △△， ，， 设，， 则，， △是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， △△， ，即， 解得：， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 又，， △△， ， ， 由（2）可知， 解得：， 当时，， 此时，，； 当时，， 此时，，； 综上所述，点的坐标为，或，．.............................12分 25．（14分）如图，已知正方形，将边绕点逆时针方向旋转到的位置，分别过点、作，，垂足分别为点、． （1）求证：； （2）联结，如果，求的正切值； （3）联结，如果，求的值． 【解答】（1）证明：如图1， 作于， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， ； .............................4分 （2）解：如图2， 设，设，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）得：， 也是等腰直角三角形， ， ， ， 同理（1）可证：， ， ， ；.............................8分 （3）解：如图3， 连接，， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点、、、共圆， ， ， ， ，， ， 即：， ， ， 由（2）得：是等腰直角三角形， ， ， 是的垂直平分线， ．.............................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 1、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 C A D C B A 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7． 8． 9．15 10． 11． 12． 13． 14．4 15． 16． 17．4 18． 三、解答题:(本大题共7小题，共78分) 19．（10分） 【解答】解：（1）如图，过点作交于点， ，， ，， ， ， 在中， ， ， ，， ， ． 在中， ，，， ． .............................5分 （2）如图，同（1），过点作交于点， ， ， 又， ， ， ，， 又由（1）求得， ． .............................10分 20．（10分） 【解答】解：（1），， ，， ， ， ， ； .............................5分 （2）由（1）知，． ，即， ． 故答案为：． .............................10分 21．（10分） 【解答】解：（1）二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为； .............................5分 （2）令得：， 解得：，， 二次函数图象与轴的两个交点分别为和， 二次函数图象上的点向右平移3个单位后经过坐标原点， 平移后的二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为， 平移后的二次函数的解析式为． .............................10分 22．（10分） 【解答】解：过点作于，过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ， 由题意得，米，米，，， 在中，， ． （米， .............................4分 （米， 米， ..............................6分 ，， 是等腰直角三角形， 米， （米， .............................10分 答：教学楼高约为16米． 23．（12分） 【解答】（1）解：是等边三角形， ，． 在和中， ， ， .............................4分 ． ， ， ； .............................6分 （2）证明：，， ， ， ． .............................10分 24．（12分） 【解答】解：（1）抛物线经过点和点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； .............................2分 （2）抛物线与轴交于点， ， ， △是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， △的周长为， 当△的周长最大时，最大， 设直线的解析式为，将、代入得， 解得， 直线的解析式为， .............................4分 设，则， ， 当时，最大，此时，△的周长最大， ，， 如图，作点，，连接，，， 则，， 四边形是平行四边形， ， 又轴垂直平分， ， ， 的最小值为； .............................6分 （3）如图，过点作轴的垂线分别交轴和直线于点，， 则， ， 由旋转得：，， ， ， △△， ，， 设，， 则，， △是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， △△， ，即， 解得：， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 又，， △△， ， ， 由（2）可知， 解得：， 当时，， 此时，，； 当时，， 此时，，； 综上所述，点的坐标为，或，．.............................12分 25．（14分） 【解答】（1）证明：如图1， 作于， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， ； .............................4分 （2）解：如图2， 设，设，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）得：， 也是等腰直角三角形， ， ， ， 同理（1）可证：， ， ， ；.............................8分 （3）解：如图3， 连接，， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点、、、共圆， ， ， ， ，， ， 即：， ， ， 由（2）得：是等腰直角三角形， ， ， 是的垂直平分线， ．.............................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 7. _______________ 8. ________________ 9. ________________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. _______________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 17. ________________ 18. ________________ 三、解答题:(本大题共7小题，共78分) 19．（10分） 三、解答题（共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九上全部。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．（4分）已知三条线段长分别是3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段长不可能是　　 A．1 B．9 C．20 D．16 2．（4分）已知线段和线段、有关系：，且，，则　　 A． B． C． D．无法确定 3．（4分）如果、均为非零向量），那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D．与方向相同 4．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为　　（参考数据：，， A． B． C． D． 5．（4分）把函数的图象平移变换，得到函数的图象，需要　　 A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 6．（4分）如图所示的4个三角形中，相似三角形有　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入题纸的相应位置上】 7．（4分）如图，，，则与的比值是 　 　． 8．（4分）在“国旗在心中”活动中，小曲星近距离触摸五星红旗，聆听红旗的故事，如图，在国旗上的五角星中，、两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为 　 　（结果保留根号） 9．（4分）若，则等于 　 　度． 10．（4分）在中，，如果，那么的值是 　 　． 11．（4分）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为2，点到对称轴的距离为1，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 　 　． 12．（4分）若长方形的周长为12厘米，设长方形的一边长为厘米，面积为平方厘米，则与的函数解析式为 　 　．（并写出解析式） 13．（4分）抛物线的顶点坐标是 　 　． 14．（4分）如图，在中，是的中点，点是的重心．，则　 　． 15．（4分）如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把从点挪动到了点的位置，使其倾斜角变为．如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了 　 　米．（结果保留根号） 16．（4分）两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为 　 　． 17．（4分）如图，把矩形纸片沿、折叠（点、在边上，点、在边上），使得点、点落在边上同一点处，点的对称点为，点的对称点为，若，△的面积为4，△的面积为1，则　 　． 18．（4分）已知二次函数图象与轴交于点，点在二次函数的图象上，且轴，以为斜边向上作等腰直角三角形，当等腰直角三角形的边与轴有两个公共点时，的取值范围是 　 　． 三、解答题:(本大题共7小题，共78分) 19．（10分）如图，在中，，，于点． （1）求的值； （2）求的长． 20．（10分）如图，在中，、在边上，且，，． （1）求的长． （2）填空：设，，则　 　． 21．（10分）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次函数的解析式及图象与轴的另一个交点的坐标． 22．（10分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面36米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得教学楼楼顶的点处的俯角为，又经过人工测量，操控者和教学楼间的距离为68米，求教学楼的高度．（注：点，，，都在同一平面上．参考数据：，， 23．（12分）如图，等边，点，分别在，边上，，连接，，相交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，且与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上一动点，过作轴，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过点作于点，当△的周长最小时，动点在直线上运动，动点在轴上运动，且轴，连接、，求的最小值； （3）如图3，点在第一象限内，连接，，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点，点在第二象限内直线上，连接，，若，，，请直接写出点的坐标． 25．（14分）如图，已知正方形，将边绕点逆时针方向旋转到的位置，分别过点、作，，垂足分别为点、． （1）求证：； （2）联结，如果，求的正切值； （3）联结，如果，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$