江苏省2024-2025学年高一上学期数学期末专题复习讲义04：函数的概念与性质部分

2024-2025学年度江苏省高一上学期数学期末专题复习--函数的基本性质部分 一、函数的概念 1．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)同一函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 2. 常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． 4. 对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域 二、函数的单调性 1．单调函数的定义 2.单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 3．复合函数单调性的规律 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”． 4．函数单调性的性质 (1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同． (4)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反 5．函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 6.函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值． 7．利用函数的单调性求解函数最值的步骤 (1)判断或证明函数的单调性； (2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值． 三、函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 2.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南通·期末）函数，的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数，若，则的值是（     ） A． B．3或 C．或 D．3或或 3．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数，若，则，，的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，．当时，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知为上的奇函数，，若对于，，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数，则（    ） A．当时，的值域为 B．当时，的值域为 C．当时，在上单调递增 D．当时，在上单调递增 11．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．的一个周期是 C．在上的值域为 D．的图象关于直线轴对称 三、填空题 12．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数是上的偶函数，为奇函数，则函数的最小正周期为 . 13．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知定义域为的奇函数，当时，，若当时，的最大值为，则的最小值为 . 14．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为 . 四、解答题 15．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数是R上的奇函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)在给定的坐标系中画出函数的图象，并求不等式的解集． 16．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图像过点，满足且函数是偶函数，函数. (1)求二次函数的解析式； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 17．（23-24高一上·江苏无锡·期末）设函数， (1)当时，判断的奇偶性，并说明理由； (2)当时，若对任意的，均有成立，求的最大值． 18．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数，函数. (1)求不等式的解集； (2)如果对于任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·江苏镇江·期末）定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数． (1)若，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若是“距”增函数，求的取值范围； (3)若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值． 参考答案： 1．B 【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【详解】因为，则，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数，的最小值为. 故选：B. 2．A 【分析】利用给定的分段函数，列式求解即得. 【详解】函数，由，得，解得；或，无解， 所以的值是. 故选：A 3．C 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意， 故，又，则. 故选：C 4．A 【分析】先根据求得，再根据不等式性质结合中间值比较大小即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又， 所以. 故选：A 5．D 【分析】根据函数奇偶性结合函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 当时，在上单调递增，且，， 当时，根据奇函数的性质可知在上单调递增，且， ， 所以. 故选：D. 6．A 【分析】分析出函数的对称性和周期性，再根据求出值，最后利用对称性和周期性计算的值即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 则，故， 又，所以，即， 所以，则的周期为， 当时，，又， 则，即，即，解得， 则当时，， 由，得，又， 则. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过函数的对称性和奇偶性解得，再通过其对称性和周期性求出的值. 7．A 【分析】判断出函数在上的单调性以及函数值正负情况，结合奇偶性，可判断函数在上的单调性，以及函数值的正负情况，由此可得不等式的解集. 【详解】由题意知对任意，且，都有，， 则在上单调递减，且当时，；当时，； 又是定义在上的偶函数，则在上单调递增，， 且当时，；当时，； 不妨画出图象示意图如图： 则不等式的解集是， 故选：A 8．B 【分析】令，由题可知为上的偶函数且在上单调递减，由，将不等式转化为或，结合的单调性即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则有，即. 令，则在上单调递减. 因为为上的奇函数，所以， 所以为上的偶函数，故在上单调递增. 又， 则不等式可转化为 所以，解得. 又当时，，不合题意. 所以的解集为. 故选：B 9．CD 【分析】求出命题为真时的范围，再根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】由命题函数在上单调递减，可得或，即， 由必要不充分条件的定义知只有C,D选项符合. 故选：CD. 10．BD 【分析】根据对勾函数和“川字”函数的单调性和值域并结合图象意一一分析即可. 【详解】当时，，定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数， 当时，，当且仅当时等号成立， 因为为奇函数，则当时，， 作出对勾函数的图象如图所示： 则其值域为，故A错误， 取，，则，则C错误； 当当时，，定义域为，关于原点对称， 且，则为奇函数， 当时，因为均单调递增，则单调递增，故D正确； 当且时，；当时，，结合其奇偶性作出函数图象： 则当时，的值域为，故B正确. 故选：BD. 11．ABC 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质、结合赋值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由为上的奇函数，得，，A正确； 对于B，由，得，则的一个周期是，B正确； 对于C，显然函数的定义域为，，即是奇函数， 当时，的值域为，则当时，的值域为， 即函数在上的值域为，当时，，， 因此，C正确； 对于D，由，得，没有条件求得成立，D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 12．4 【分析】根据题意得到，结合推出，求出答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 将替换为得， 又是上的偶函数，故， 所以，故， 所以，所以函数的一个正周期为4， 又，故2不是函数的周期， 所以函数的最小正周期为4. 故答案为：4 13． 【分析】根据函数为奇函数可知时，最小值为，考查时的最值情况，可得到的范围，即可求解. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，的最大值为， 则时，最小值为， 又当时，， 当时，， 当时，，单调递减， 又当时，， 故则时，最小值为， 必有， 则， 故的最小值为， 故答案为：. 14．4048 【分析】先计算得到，再构造函数，定义法判断奇偶性，利用对称性有，即可求解. 【详解】令得，所以， 令得，所以， 令，则，， 因为，又定义域关于原点对称，所以是奇函数， 所以，即，所以. 故答案为：4048 15．(1) (2)图象见解析， 【分析】（1）利用的奇偶性可得答案； （2）画出图象，结合图象可得答案. 【详解】（1）当时，，所以， 因为为上的奇函数，所以， 又满足， 所以； （2）由（1）可得图象如下图所示，    不等式转化为，或； 所以，或， 解得或或， 综上所述，不等式的解集为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）由（1）可得在单调递增，结合条件转化为，然后构造函数，求得其最小值即可. 【详解】（1）设二次函数解析式为， 由题意可得，所以， 又函数是偶函数，则其函数图像关于轴对称， 所以的图像关于对称，即，所以， 故，所以. （2）由（1）可得，则， 当时，单调递增，则， 若，使成立， 即，即， 令， 当时，，不符合； 当时，在单调递减，则， 即，解得； 当时，在单调递增，， 即，解得，且，则； 综上所述，，即实数的取值范围为. 17．(1)非奇非偶函数；理由见解析 (2) 【分析】由题意得当时，函数，且函数的定义域为，利用函数奇偶性的定义进行判定，即可得出答案； 讨论去绝对值，然后讨论，以及对称轴与区间的位置关系，可求出与的关系式，然后分别求出的最大值，从而可求出所求． 【详解】（1）由题意得当时，函数，且函数的定义域为， ， ，， 是非奇非偶函数； （2）因为当时，若对任意的， 均有成立， 令， 当时，，对任意的恒成立， 即，解得，的最大值为； 当时，，， 对称轴为， ，则，不等号方向改变，即， 所以，则，的最大值为； 时，，即，所以，即，无解； 时，，所以，即， 即，所以无解； 当时，，， 对称轴为， ，则，即，无解； 时，，即，，，则， 则， ，的最大值为； 时，，，， 则且， ，则，的最大值为； 当时，， ，，， 即，则， 而， ，则， 令，， 则，即在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以的最大值为 综上所述，对任意的，均有成立， 则的最大值为所有最大值中的最小值 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的能力，属于难题． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用函数单调性解不等式； （2）分别求出在上和在上的值域，利用包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）函数，定义域为R，， 函数为奇函数， 时，，则在上单调递增，所以在R上单调递增， 不等式，即，得，解得， 所以不等式的解集为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， ，，，则时； 在上单调递增，当时，， 依题意有：，解得. 所以实数的取值范围为. 19．(1)是“1距”增函数，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，作差比较大小即可； （2）根据定义可知恒成立，代入转化为一元二次方程大于零恒成立，利用判别式求解即可； （3）先根据“2距”增函数的定义，利用复合函数单调性分类讨论去绝对值求出的取值范围，再由结合的范围求出的最小值即可. 【详解】（1）对任意,， 因为，， 所以，即， 所以是 “1距”增函数. （2）因为， 又是“距”增函数， 所以恒成立， 因为，所以恒成立， 所以，即， 解得. （3）因为，，其中，且为“2距”增函数， 所以当时，恒成立， 因为是增函数， 所以根据复合函数单调性可知对恒成立， 当时，，即恒成立， 只需，即，解得， 当时，，即恒成立， 所以解得， 综上所述， 又， 因为，， 所以当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数的最小值为， 当时，在时取得最小值，最小值为， 此时函数的最小值为， 综上. 学科网（北京）股份有限公司 $$