精品解析：湖南省永州市博雅高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

永州博雅高级中学2024年高一数学期中考试 一、单选题 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合， ，若，则等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 设， ，则有（ ） A. B. C. D. 4. 若集合，，则（ ） A. B. C. R D. 或 5. 若存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. 1≤a≤3 B. －1≤a≤3 C. 1<a<3 D. 0≤a≤2 7. 已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于（ ） A. －3 B. 1 C. －1 D. 3 8. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题 9. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知下列说法： ①命题“”的否定是“”； ②命题“”的否定是“”； ③“”是“”的必要不充分条件； ④命题：对任意，总有. 其中说法正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 12. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最小值为5 D. 当，时， 三、填空题 13. 命题“，”的否定是___________. 14. 若“”是“”的充分不必要条件，则a的最小值是______． 15. 不等式的解集为,则_______,________. 16. 若正数x、y满足，则的最小值等于________. 四、解答题 17. 设全集，，，求，，，. 18. 已知正数，满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 19. 甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元.要使生产该产品小时获得的利润不低于元，求的取值范围. 20. 请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？ 21. 已知f(x)＝x2－x＋1. （1）当a＝时，解不等式f(x)≤0； （2）若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0. 22. （1）不等式的解集为，求不等式的解集． （2）当时，不等式恒成立，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州博雅高级中学2024年高一数学期中考试 一、单选题 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算，可得答案. 【详解】由题意，显然. 故选：C. 2. 已知集合， ，若，则等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合相等即元素相同解出，再根据集合元素互异性求出值. 【详解】由有，解得或3， 当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意. 故选：C. 3. 设， ，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作差法判断两式大小. 【详解】，∴. 故选：A. 4. 若集合，，则（ ） A. B. C. R D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】化解集合，根据交集定义计算. 【详解】或，， ∴或. 故选：D. 5. 若存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象有在轴下方的部分，即，解得， 故选：A. 6. 已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（ ） A. 1≤a≤3 B. －1≤a≤3 C. 1<a<3 D. 0≤a≤2 【答案】B 【解析】 【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案. 【详解】由题意:命题是假命题, 其否定: 为真命题, 即，解得， 故选：B 7. 已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于（ ） A. －3 B. 1 C. －1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 先解一元二次不等式得到集合A和B，求得交集，再利用解集求得一元二次不等式x2＋ax＋b＜0系数的关系，即得结果. 【详解】由题意：A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}． A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知： a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3. 故选：A. 8. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可. 【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可， ， ， 当且仅当即时等号成立，， 或舍去，即 所以正实数a的最小值为4. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值. 二、多选题 9. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次不等式的解集可知，相应的二次函数图像开口向下，由相应的一元二次方程的两根结合起韦达定理可求的符号，将代入即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误； 易知2和是方程的两个根，则有，， 又，故，，故BC正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 10. 已知下列说法： ①命题“”的否定是“”； ②命题“”的否定是“”； ③“”是“”的必要不充分条件； ④命题：对任意，总有. 其中说法正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】BC 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定是全称命题即可判断； ②根据全称命题的否定是特称命题即可判断； ③根据必要条件和充分条件的概念即可判断； ④判断命题的真假. 【详解】对于①，命题“”的否定是“”，故错误； 对于②，命题“”的否定是“”，故正确； 对于③，“”是“”的必要不充分条件，故正确； 对于④，当时，故错误. 故选：BC 11. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过反例可说明A BD错误；根据不等式的性质可证明C正确. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，，，又，，故C正确； 对于D，若，，，，则，，，故D错误. 故选：ABD. 12. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最小值为5 D. 当，时， 【答案】AD 【解析】 【分析】 利用基本不等式和等号成立时取最值对选项逐一判断即可. 【详解】选项A中，时，，当且仅当，即时等号成立，故正确； 选项B中，时，， 当且仅当时，即时取等号， 但是，取不到最小值2，故错误； 选项C中，时，，则， 故， 当且仅当时，即时等号成立，取得最大值1，不存在最小值，故错误； 选项D中，当，时，，故 ， 当且仅当时等号成立，故正确. 故选：AD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、填空题 13. 命题“，”的否定是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解. 【详解】因为命题“，”是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即为， 故答案为： 14. 若“”是“”的充分不必要条件，则a的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】求解绝对值不等式可得|x|≤2的解集，再根据充分不必要条件的概念，可知，，进而得解. 【详解】由，得． “”是“”的充分不必要条件，⊆，．． 即a的最小值是2． 故填：2． 【点睛】本题考查了利用充分条件、必要条件确定参数；一般情况下，在涉及求字母参数的充分条件和必要条件中，常利用集合的包含、相等关系来解决；考查了数学转化思想方法，是基础题． 15. 不等式的解集为,则_______,________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 根据不等式的解集，得出方程的根，依据韦达定理列方程组求出参数的值. 【详解】解:由题意知,且不等式对应方程的两个根分别为,,根据根与系数的关系得 解得. 故答案为：， 【点睛】此题考查根据不等式的解集求参数的值，关键在于弄清二次不等式与二次方程的关系，结合韦达定理列方程组求解即可. 16. 若正数x、y满足，则的最小值等于________. 【答案】9 【解析】 【分析】把要求的式子变形为，利用基本不等式即可得结果. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当时取等号，故答案为. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 四、解答题 17. 设全集，，，求，，，. 【答案】或，，或，或. 【解析】 【分析】根据集合交集、补集的概念及运算方法求解即可. 【详解】全集，，， 或，， 所以或， 故或. 【点睛】本题考查集合的交集、补集的运算，较简单. 18. 已知正数，满足. （1）求的最小值； （2）求的最小值. 【答案】（1）36. （2）. 【解析】 【分析】（1）由基本不等式可得，再求解即可； （2）利用“1”的灵活运用，结合基本不等式即得. 【小问1详解】 由得，当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为36. 【小问2详解】 由题意可得， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 19. 甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元.要使生产该产品小时获得的利润不低于元，求的取值范围. 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意列不等式，化为标准形式后，可解得结果. 【详解】由题可知：， 化简可得：， 所以， 所以或， 又，所以. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 20. 请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？ 【答案】 若选择条件①，实数m的取值范围是； 若选择条件②，实数的取值范围是； 若选择条件③，不存在满足条件的实数. 【解析】 【分析】若选择条件①，可得集合A是集合B的真子集，列出不等式组可得实数m的取值范围；若选择条件②，可得集合B是集合A的真子集，列出不等式组可得实数的取值范围；若选择条件③，列出方程组可得集合A等于集合B可得答案. 【详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得， 所以，实数m的取值范围是； 若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有，解得， 所以，实数的取值范围是； 若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解， 所以，不存在满足条件的实数. 21. 已知f(x)＝x2－x＋1. （1）当a＝时，解不等式f(x)≤0； （2）若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0. 【答案】（1）； （2）当0<a<1时，有，所以不等式的解集为； 当a>1时，有，所以不等式的解集为 ； 当a=1时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）当a＝时，分解因式即可求解； （2）分解因式得，分类讨论与的大小关系即可. 【详解】（1）当a＝时，不等式为f(x)＝x2－x＋1≤0， ∴(x－2)≤0， ∴不等式的解集为； （2）， 当0<a<1时，有，所以不等式的解集为； 当a>1时，有，所以不等式的解集为 ； 当a=1时，不等式的解集为 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法（含参与不含参），遇含参问题常采用分类讨论法，属于基础题. 22. （1）不等式的解集为，求不等式的解集． （2）当时，不等式恒成立，求的范围． 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】(1) 不等式的解集为,则2,3是方程的两个实数根且,由韦达定理可得的关系，再代入中可解出答案. (2) 不等式恒成立,即,讨论函数的最大值即可. 【详解】(1) 不等式的解集为 所以2,3是方程的两个实数根且. 所以由韦达定理有：,即. 则不等式化为. 即，即.则. 所以不等式的解集为：. (2) 设. 不等式恒成立,即().. 函数的开口向上，对称轴为 当,即 时，=,则， 所以. 当,即 时，=,则， 所以. 综上，. 【点睛】本题考查三个二次间的关系，不等式恒成立求参数的范围，二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $