第02讲 电场能的性质（复习）【5知识点+6强化点】--【寒假自学课】2025年高二物理寒假提升精品讲义（人教版2019）

第02讲 电场能的性质（复习篇） 考点聚焦：复习要点+知识网络，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：电势和电势能 1．静电力做功 （1）特点：静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关． （2）计算方法 ①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离． ②WAB＝qUAB，适用于任何电场． 2．电势能 （1）定义：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功． （2）静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp. （3）电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷无穷远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面的电势能规定为零． 3．电势 （1）定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值． （2）定义式：φ＝. （3）矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)． （4）相对性：电势具有相对性 ，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同． 4．电势差 （1）定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力所做的功 与移动电荷的电荷量的比值． （2）定义式：UAB＝. （3）电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA. 5．等势面 （1）定义：电场中电势相等的各点组成的面． （2）四个特点： ①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功 ②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高 的等势面指向电势低 的等势面． ③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。 ④任意两个等势面都不相交． （3） 几种典型的电场的等势面 匀强电场 点电荷的电场 等量异种电荷的电场 等量同种正电荷的电场 正电荷周围电势大于零；负电荷周围电势小于零 连线上：E先减小后增加， 电势一直减小 中垂线：从中间往两端，电场强度E一直减小，电势不变（0势面） 连线上：中点电场强度最小， 电势最低且； 中垂线上：从中间往两端，电场强度E先增大后减小；中点的电势最高 6. 电势高低的判断 判断依据 判断方法 电场线方向 沿电场线方向电势降低，并且降低最快 场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势大于零，越靠近正电荷电势越高；取无穷远处电势为零，负电荷周围电势小于零，越靠近负电荷电势越低 电势能的高低 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能小 电场力做功 根据，将WAB、q的正负号带入，由UAB的正负判断A、B的高低 知识点2：电势差和电场强度 1. 公式E＝的理解 （1）只适用于匀强电场． （2）d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离． （3）电场强度的方向是电势降低最快的方向． 2. 电场线、电势、电场强度的关系 （1）电场线与电场强度的关系：电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向． （2）电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面． （3）电场强度大小与电势无直接关系：零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高． 3．E＝在非匀强电场中的三点妙用 判断电势差大小及电势高低 距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低 判断场强变化 φ－x图象的斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示场强的大小，正负表示场强的方向 判断场强大小 等差等势面越密，场强越大 4. 解题思路 匀强电场中的两个推论 推论1：匀强电场中的任意线段AB的中点的电势：，如图甲所示： 推论1：匀强电场中若两线段AB//CD，且AB=CD，则UAB=UCD（或），如图乙所示： 知识点3：电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线． 2. 带电粒子运动轨迹的分析 （1）判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向． （2）判断电场力(或场强)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹的凹侧，再根据粒子的正、负判断场强的方向． （3）判断电场力做功的正、负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．　 知识点4：电场中的图像问题 几种常见电场图象的特点及规律 v ­t图象 根据v ­t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化 φ ­x图象 (1)电场强度的大小等于φ ­x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ ­x图线存在极值，其切线的斜率为零； (2)在φ ­x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； (3)在φ ­x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断 E­x图象 (1)反映了电场强度随位移变化的规律； (2)E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向； (3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定 Ep­x图象 (1)反映了电势能随位移变化的规律； (2)图线的切线斜率大小等于电场力大小； (3)进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况 知识点5：电场力做功与功能关系 1．电场力做功的计算 (1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α. (2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场． (3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk. (4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB. 2．几种功能关系 (1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变； (2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变； (3)除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化． (4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化． 强化点一 电场中的电场线和等势面 （1）由于等势面和电场线垂直，已知等势面的分布，可以绘制电场线，从而确定电场大体分布。 （2）由等差等势面的疏密情况，可以定性地比较电场强度的大小。 【典例1】（多选）如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA=5 V，φB=2 V，φC=3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是（　　） A．  B．  C．  D．   【变式1-1】（23-24高二上·北京房山·期末）如图所示为某电场等势面的分布情况，下列说法正确的是（　　） A．A点的电势比B点的电势高 B．电子在A点受到的静电力小于在B点受到的静电力 C．把电子从A点移动至B点静电力做的功与路径有关 D．电子在c等势面上比在d等势面上的电势能大 【变式1-2】（23-24高二上·北京东城·期末）图（a）为某带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图（b）为分析器内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则（　　） A．P点电势比M点的低 B．P点电场强度比M点的大 C．M点电场强度方向沿z轴负方向 D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变 强化点二 等分法分析匀强电场 (1)用“等分法”计算匀强电场中的电势:在匀强电场中，已知电场中几个点的电势时，依据相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等，使用“等分法”即可快速求解电场中某点电势的大小。 (2)用“等分法”确定匀强电场中的电场线:一般会给出匀强电场中几个点的电势，我们可以用“等分法”找到两个等势点，两等势点的连线就是等势线，垂直等势线的直线即为电场线。 【典例2】（23-24高二下·四川眉山·期末）如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，场强方向平行于正方形ABCD所在平面。已知A、B、C三点的电势分别为，，，则（    ） A．D点的电势，场强方向平行于AB方向 B．D点的电势，场强方向平行于AC方向 C．D点的电势，场强方向平行于BC方向 D．把一个电子从C移到B，电场力做功为4eV 【变式2-1】（多选）（23-24高二上·四川成都·期末）如图，A、B、C为圆周上三点，O为圆心，半径为，空间中存在与纸面平行的匀强电场，A、B、C三点的电势分别为，下列说法正确的是（　　） A．电场强度沿OB方向 B．电场强度沿AC方向 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 【变式2-2】（多选）（23-24高二上·江西南昌·期末）如图所示的虚线为等腰梯形，、两点为底边的三等分点，且，，在与等腰梯形所在平面平行的空间内存在匀强电场，已知、、三点的电势分别为、、。则下列说法正确的是（　　） A．D点的电势为 B．M点的电势为 C．N点的电势为 D．电场强度的大小为 强化点三 应用U=Ed定性分析非匀强电场 在等差等势面分布图中，电场强度E越大，等势面间的距离d越小，由此可以判定等差等势面越密的地方电场强度越大。 【典例3】（22-23高二上·安徽合肥·期末）如图甲，高大建筑物上通常都装有避雷针，雷雨天气时避雷针发生尖端放电现象，中和空气中的电荷，达到避免雷击的目的。图乙所示是某次避雷针放电时的电场线分布，电场线关于直线ac对称，且。以下说法正确的是（　　） A． B．接近建筑物的雷雨云带负电 C．电子在c点的加速度小于在a点的加速度 D．将质子从图中d点由静止释放，质子可能沿电场线运动 【变式3-1】（多选）如图所示，一电场的电场线分布关于y轴（沿竖直方向）对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM=MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是（　　） A．M点的电势比P点的电势高 B．将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功 C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差 D．M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差 【变式3-2】（多选）如图所示，一簇电场线的分布关于y轴对称，O是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的一个圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，则　　 A．M点的电势比P点的电势低 B．O、M间的电势差小于N、O间的电势差 C．一正电荷在O点时的电势能小于在Q点时的电势能 D．将一负电荷由M点移到P点，电场力做正功 强化点四 电场中的图像问题 (1)E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律； (2)-x图像的斜率的绝对值等于电场强度的大小； (3)Ep-x图像的斜率的绝对值等于电场力的大小。 【典例4】（23-24高二上·安徽淮北·期末）如图所示，在轴上放有两个电荷量分别为和的点电荷，其中位于轴的坐标原点，电荷的右侧各点电势随变化的关系如图曲线所示，其余部分的电势变化情况没有画出，其中点电势为零，段中的电势最低点为点，则下列说法正确的是（    ） A．两点电荷的电荷量 B．A点的电场强度强度方向向右 C．从点到点的电场强度先增大后减小 D．将一带负电的试探电荷从点移到点，电场力做正功 【变式4-1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能，随位移x变化的关系如图所示，其中段是关于直线对称的曲线，段是直线，则下列说法正确的是（    ） A．处电场强度最小，但不为零 B．粒子在段做匀变速运动，段做匀速直线运动 C．若、处电势为、，则 D．段的电场强度大小、方向均不变 【变式4-2】（多选）（23-24高二下·湖南·期末）如图甲所示，倾角为、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，空间存在场强方向与斜面平行的匀强电场。一个带正电的滑块以一定的初速度从斜面底端开始上滑，上滑过程中滑块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示。已知，，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的重力大小为 B．滑块受到的电场力大小为 C．滑块上滑的过程中，重力势能增加了 D．滑块上滑的过程中，重力势能与电势能之和减少 强化点五 电场强度、电势差和电势能的综合问题 (1)确定电场强度大小、方向的方法:由WAB=qUAB，求两点电势差；由，求匀强电场的电场强度大小；利用电场线垂直等势面，确定电场强度的方向。 (2)利用电场线、等势面分析带电粒子的功能关系。 【典例5】（23-24高二上·福建福州·期末）用一长1m的轻质柔软绝缘细线，拴一质量为2kg、电荷量为的小球，细线的上端固定于O点，现加一水平向右的匀强电场，平衡时细线与铅垂线成37°（g取，sin37°=0.6，cos37°=0.8），则： （1）小球带什么电； （2）匀强电场的场强多大； （3）平衡时细线的拉力为多大； （4）若施加外力把小球从A点移到左边B点，此时细线与铅垂线成53°，求电场力对小球做了多少功，小球的电势能改变量。      【变式5-1】（多选）（22-23高二下·云南玉溪·期末）如图所示，边长为4cm的正方形abcd处在匀强电场中，电场方向与abcd平面平行。a点有粒子源，可沿纸面内任意方向发射电子，发射的电子初动能均为40eV，电子经过b点时动能为28eV，经过d点时动能为24eV。运动过程中电子仅受电场力作用，且不计电子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　）    A．正方形abcd上c点电势最低 B．a、b两点间电势差为 C．电子通过c点时动能为15eV D．匀强电场的电场强度大小为5V/cm 【变式5-2】（23-24高二下·四川成都·期末）如图所示，A、B、C、D为边长为l的正四面体的四个顶点，M、N分别为CD边、BC边的中点。将带电量均为+Q的同种点电荷分别固定在A、B两顶点处，则下列说法正确的是（    ） A．N点处的电场强度大小为 B．C点与D点处的电场强度相同 C．C、D、M三点的电势大小关系为 D．将一带电量为+q的试探电荷从C点沿直线移至D点过程中其电势能先减小后增大 强化点六 带电粒子在电场中的能量变化 (1)电荷在电场中运动与力学问题相比，只是多了一个静电力做功，从能量角度看，多了电势能。 (2)在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒，有时也会用到功能关系。应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)，应用能量守恒时需注意电势能和其他形式能之间的转化，应用功能关系解决该类问题需明确静电力做功与电势能改变之间的对应关系。 【典例6】如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g。 (1)若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，从释放到滑块到达与圆心O等高的C点这一过程的电势能变化量； (2)若滑块从水平轨道上距离B点s=10R的A点由静止释放，求滑块到达D点时对轨道的作用力大小； (3)改变s的大小仍使滑块由静止释放，且滑块始终沿轨道滑行，并从G点飞出轨道，求s的最小值。 【变式6-1】（23-24高二下·贵州遵义·期末）研究人员利用电场控制带电物体的运动，如图所示，实验区域内充满与水平面夹角斜向上的匀强电场，电场强度大小。为竖直固定的绝缘光滑半圆弧轨道，为圆心，半径，圆弧与绝缘光滑水平面平滑连接并相切于B点，间距离。一质量、电荷量的带正电小球，轻放于水平面上A点，一段时间后，小球从C点飞出，立即撤去圆弧轨道。不考虑空气阻力，重力加速度取。求： （1）A、C两点的电势差； （2）小球通过C点时的速度大小； （3）小球从圆弧轨道C点飞出后，运动到距C点处所用的时间。 【变式6-2】（23-24高二上·福建泉州·期末）如图甲，倾角为的斜面底端固定一轻弹簧，顶端与一水平面相连，一绝缘轻绳将斜面上的物块A通过轻质定滑轮与水平面上的物块B相连。A、B的质量分别为和，A不带电，B带正电且电荷量为。先将B锁定，使细绳处于拉紧状态，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧细绳与水平面平行。解除锁定，A、B从静止开始运动，B始终处于水平向右的匀强电场中且不会与滑轮相碰，带电量保持不变。以物块A的初始位置为原点，沿斜面向下建立坐标系，A的加速度与其位置的关系如图乙所示。弹簧未超过弹性限度，重力加速度大小为，图乙中已知，忽略一切摩擦。 （1）求A刚接触弹簧时速度大小； （2）求匀强电场的场强大小； （3）取B物体的初始位置为零电势点，求B电势能的最大值。 真题感知 1．（2024·重庆·高考真题）沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，其电电势的φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷都为e带负电的试探电荷，经过x2点时动能为1.5eV，速度沿x轴正方向若该电荷仅受电场力。则其将（   ） A．不能通过x3点 B．在x3点两侧往复运动 C．能通过x0点 D．在x1点两侧往复运动 2．（2024·北京·高考真题）如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且。下列说法正确的是（　　） A．P点电场强度比Q点电场强度大 B．P点电势与Q点电势相等 C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来的2倍 D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变 3．（2024·广西·高考真题）如图，将不计重力、电荷量为q带负电的小圆环套在半径为R的光滑绝缘半圆弧上，半圆弧直径两端的M点和N点分别固定电荷量为和的负点电荷。将小圆环从靠近N点处静止释放，小圆环先后经过图上点和点，已知，则小圆环从点运动到点的过程中（　　） A．静电力做正功 B．静电力做负功 C．静电力先做正功再做负功 D．静电力先做负功再做正功 4．（2024·河北·高考真题）我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 5．（2024·湖南·高考真题）真空中有电荷量为和的两个点电荷，分别固定在x轴上和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势随x变化的图像正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高考真题）在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在的该点的电势的代数和。电荷量分别为和的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示（图中数字的单位是伏特），则（　　） A．， B．， C．， D．， 7．（2024·江西·高考真题）蜡烛火焰是一种含有电子、正离子、中性粒子的气体状物质, 将其置于电压恒定的两平行金属板间, 板间电场视为匀强电场, 如图所示. 若两金属板间距减小, 关于火焰中电子所受的电场力, 下列说法正确的是 （  ） A．电场强度增大，方向向左 B．电场强度增大，方向向右 C．电场强度减小，方向向左 D．电场强度减小，方向向右 提升专练 1．如图所示，A、B两个等量同种点电荷固定在同一水平线上，将一个质量为m、电荷量为q的带电小球C放在A、B连线的竖直平分线上某处时，小球恰好处于静止状态，此时A、C连线与水平方向的夹角为θ，已知重力加速度为g，小球可视为质点，则下列判断正确的是（　　） A．点电荷B和小球C可能带异种电荷 B．点电荷A在小球C处产生的场强大小为 C．将小球C沿竖直方向下移一些再由静止释放，小球一定向下运动 D．将小球C沿竖直方向下移（不到A、B连线）的过程中，小球的电势能一定增大 2．真空中，距孤立点电荷r处的电势（取无穷远处电势为零，Q为点电荷的带电荷量，k为静电力常量）。如图所示，在直径为5d的圆O直径两端点A、B分别固定、的点电荷，M是圆周上的点，，则M点的电势为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，ABCD是边长为L的正方形，O为正方形的中心，M、N分别为AB和BC边的中点，A、B和C分别固定有电荷量为+Q、+Q和-Q的点电荷，则（　　） A．M点的电场强度大于N点的电场强度 B．将电子由M移动到D，电势能增大 C．将质子由O移动到N，电场力做负功 D．O、D、M三点，O点的电势最高 4．光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示。一质量m＝1g的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点（图中未画出），其运动过程的v－t图像如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确定（　　） A．中垂线上B点电场强度最小 B．A、B两点之间的位移大小 C．B点是连线中点，C与A点必在连线两侧 D．UBC>UAB 5．在轴附近固定有两个点电荷和，其连线与轴平行。以无穷远处为电势零点，测得轴上各点的电势随坐标的分布如图所示。下列说法正确的是（　　） A．处的电场强度为零 B．和带有异种电荷 C．将试探电荷从沿轴正方向移到的过程中，电势能先增大后减小 D．将试探电荷从沿轴正方向移到的过程中，电场力一直做正功 6．如图所示， 在直角坐标系xOy中有a、b、c、d四点， c点坐标为（-4cm，3cm）。现加上一方向平行于xOy 平面的匀强电场， b、c、d三点电势分别为9V、25V、16V， 将一电荷量为的点电荷从a点沿 abcd移动到d点，下列说法正确的是（　　） A．坐标原点O的电势为7V B．电场强度的大小为500 V/m C．该点电荷在a点的电势能为2×10-4J D．该点电荷从a点移动到d点的过程中，电场力做功为8×10-4J 7．如图所示，充电后水平放置的平行板电容器与电源断开，金属板相距为d，一质量为m、电荷量为的油滴从下极板边缘射入，并沿直线从上极板边缘射出（轨迹如图中虚线所示），若仅将平行板电容器上极板平行上移距离后，其他条件保持不变，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．平移后油滴将做匀加速直线运动 B．平移后电场强度大于，方向竖直向下 C．平移后下板和上板之间的电势差大小为 D．平移后油滴穿越两板之间的电场后电势能减少了 8．如图所示，圆心为O、半径的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，和为该圆直径且夹角为60°。将一带电荷量为的点电荷从a点移动到b点，电场力做功为；若将该粒子从d点移动到c点，电场力做功为。求： (1)取c点电势为零，则d点电势； (2)该匀强电场的场强大小和方向。 9．如图所示，水平轨道AB与竖直半圆轨道BC相切于B点，半圆轨道半径为R，AB长度为。在AB上方、直径BC左侧存在水平向右的匀强电场。一个质量为m带正电的小球自A点由静止释放，经过B点后进入半圆轨道，小球进入半圆轨道后立即撤去电场。已知小球所受电场力大小（g为重力加速度的大小），水平面和半圆轨道均光滑且绝缘。求： （1）小球运动到最高点时的速度大小； （2）小球运动到最高点时距水平面AB的距离。 10．光滑平面右侧固定一光滑轻质定滑轮，通过轻质绝缘细线分别连接绝缘带电小滑块A和绝缘带电长滑块C（足够长），A和C的质量均为m，电荷量均为+q，A和C可在相互平行的方向上沿平面运动。开始时系统静止在水平向左、电场强度大小为E的匀强电场中。如图所示，某时刻起，长滑块C上表面有一质量为2m、带电荷量为+2q的绝缘小滑块B以初速度v0水平向右运动。已知B、C之间的滑动摩擦力大小为qE且略小于最大静摩擦力，A与C在运动过程中没有与定滑轮发生碰撞，A、B、C之间的静电力可忽略。求： （1）初始时B和C的加速度大小； （2）B向右的最大位移以及达到最大位移过程中静电力对整个系统所做的功。 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 电场能的性质（复习篇） 考点聚焦：复习要点+知识网络，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：电势和电势能 1．静电力做功 （1）特点：静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关． （2）计算方法 ①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离． ②WAB＝qUAB，适用于任何电场． 2．电势能 （1）定义：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功． （2）静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp. （3）电势能的相对性：电势能是相对的，通常把电荷离场源电荷无穷远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面的电势能规定为零． 3．电势 （1）定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值． （2）定义式：φ＝. （3）矢标性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)． （4）相对性：电势具有相对性 ，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同． 4．电势差 （1）定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力所做的功 与移动电荷的电荷量的比值． （2）定义式：UAB＝. （3）电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA. 5．等势面 （1）定义：电场中电势相等的各点组成的面． （2）四个特点： ①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功 ②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高 的等势面指向电势低 的等势面． ③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。 ④任意两个等势面都不相交． （3） 几种典型的电场的等势面 匀强电场 点电荷的电场 等量异种电荷的电场 等量同种正电荷的电场 正电荷周围电势大于零；负电荷周围电势小于零 连线上：E先减小后增加， 电势一直减小 中垂线：从中间往两端，电场强度E一直减小，电势不变（0势面） 连线上：中点电场强度最小， 电势最低且； 中垂线上：从中间往两端，电场强度E先增大后减小；中点的电势最高 6. 电势高低的判断 判断依据 判断方法 电场线方向 沿电场线方向电势降低，并且降低最快 场源电荷的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势大于零，越靠近正电荷电势越高；取无穷远处电势为零，负电荷周围电势小于零，越靠近负电荷电势越低 电势能的高低 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能小 电场力做功 根据，将WAB、q的正负号带入，由UAB的正负判断A、B的高低 知识点2：电势差和电场强度 1. 公式E＝的理解 （1）只适用于匀强电场． （2）d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离． （3）电场强度的方向是电势降低最快的方向． 2. 电场线、电势、电场强度的关系 （1）电场线与电场强度的关系：电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某点的切线方向表示该点的电场强度方向． （2）电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等势面． （3）电场强度大小与电势无直接关系：零电势可人为选取，电场强度的大小由电场本身决定，故电场强度大的地方，电势不一定高． 3．E＝在非匀强电场中的三点妙用 判断电势差大小及电势高低 距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低 判断场强变化 φ－x图象的斜率k＝＝＝Ex，斜率的大小表示场强的大小，正负表示场强的方向 判断场强大小 等差等势面越密，场强越大 4. 解题思路 匀强电场中的两个推论 推论1：匀强电场中的任意线段AB的中点的电势：，如图甲所示： 推论1：匀强电场中若两线段AB//CD，且AB=CD，则UAB=UCD（或），如图乙所示： 知识点3：电场线、等势面及带电粒子的运动轨迹问题 1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线． 2. 带电粒子运动轨迹的分析 （1）判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向． （2）判断电场力(或场强)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹的凹侧，再根据粒子的正、负判断场强的方向． （3）判断电场力做功的正、负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．　 知识点4：电场中的图像问题 几种常见电场图象的特点及规律 v ­t图象 根据v ­t图象中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化，确定电场的方向、电势高低及电势能变化 φ ­x图象 (1)电场强度的大小等于φ ­x图线的斜率大小，电场强度为零处，φ ­x图线存在极值，其切线的斜率为零； (2)在φ ­x图象中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； (3)在φ ­x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断 E­x图象 (1)反映了电场强度随位移变化的规律； (2)E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向； (3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定 Ep­x图象 (1)反映了电势能随位移变化的规律； (2)图线的切线斜率大小等于电场力大小； (3)进一步判断场强、动能、加速度等随位移的变化情况 知识点5：电场力做功与功能关系 1．电场力做功的计算 (1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qElcos α. (2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场． (3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk. (4)由电势能的变化来计算：WAB＝EpA－EpB. 2．几种功能关系 (1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变； (2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变； (3)除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化． (4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化． 强化点一 电场中的电场线和等势面 （1）由于等势面和电场线垂直，已知等势面的分布，可以绘制电场线，从而确定电场大体分布。 （2）由等差等势面的疏密情况，可以定性地比较电场强度的大小。 【典例1】（多选）如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA=5 V，φB=2 V，φC=3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是（　　） A．  B．  C．  D．   【答案】BC 【详解】AB．根据匀强电场的特点可知，H、F点的电势分别为 φH=4 V，φF=3 VG点的电势 则φH=φG 由于等势面与电场线垂直，因此电场线垂直GH，A错误，B正确； CD．又由于φC=φF=3 V 因此电场线与CF垂直，C正确，D错误。 故选BC。 【变式1-1】（23-24高二上·北京房山·期末）如图所示为某电场等势面的分布情况，下列说法正确的是（　　） A．A点的电势比B点的电势高 B．电子在A点受到的静电力小于在B点受到的静电力 C．把电子从A点移动至B点静电力做的功与路径有关 D．电子在c等势面上比在d等势面上的电势能大 【答案】D 【详解】A．A点和B点在同一个等势面上，A点的电势和B点的电势一样高，故A错误； B．A点的等势面比B点的等势面密集，所以A点的电场强度大于B点，设电子电荷量大小为，由 电子在A点受到的静电力大于在B点受到的静电力。故B错误； C．A点和B点在同一个等势面上，把电子从A点移动至B点静电力做的功等于零，与路径无关。故C错误； D．c等势面电势为，d等势面上电势为，故 电子带负电在电势低的地方电势能大，电子在c等势面上比在d等势面上的电势能大。故D正确。 故选D。 【变式1-2】（23-24高二上·北京东城·期末）图（a）为某带电粒子质量分析器的局部结构示意图，图（b）为分析器内垂直于x轴的任意截面内的等势面分布图，相邻两等势面间电势差相等，则（　　） A．P点电势比M点的低 B．P点电场强度比M点的大 C．M点电场强度方向沿z轴负方向 D．沿x轴运动的带电粒子，电势能不变 【答案】D 【详解】A．由图（b）可知，P点与O点相比较，更靠近正电极一些，则P点电势高于O点电势，M点与O点相比较，更靠近负电极一些，则M点电势低于O点电势，所以P点电势比M点的高。故A错误； B．等差等势面的疏密可以表示电场的强弱，由图（b）可知P点电场强度比M点的小。故B错误； C．根据电场线的特点“由正电荷发出，终止于负电荷”可知M点电场强度方向沿z轴正方向。故C错误； D．x轴到四个电极的距离相等，根据电势的叠加可知x轴为等势面，根据 可知沿x轴运动的带电粒子，电势能不变。故D正确。 故选D。 强化点二 等分法分析匀强电场 (1)用“等分法”计算匀强电场中的电势:在匀强电场中，已知电场中几个点的电势时，依据相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等，使用“等分法”即可快速求解电场中某点电势的大小。 (2)用“等分法”确定匀强电场中的电场线:一般会给出匀强电场中几个点的电势，我们可以用“等分法”找到两个等势点，两等势点的连线就是等势线，垂直等势线的直线即为电场线。 【典例2】（23-24高二下·四川眉山·期末）如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，场强方向平行于正方形ABCD所在平面。已知A、B、C三点的电势分别为，，，则（    ） A．D点的电势，场强方向平行于AB方向 B．D点的电势，场强方向平行于AC方向 C．D点的电势，场强方向平行于BC方向 D．把一个电子从C移到B，电场力做功为4eV 【答案】B 【详解】ABC．匀强电场中，由公式可知，沿着任意方向，每前进相同的距离，电势差都相等。则电场线如图所示 连接AC，AC连线的中点为E，则E点的电势为 连接BE，则BE为一条等势线，D点在BE连线上，所以D点电势 电场线垂直于等势线，且由高电势指向低电势，故上图所示场强方向平行AC方向，故AC错误，B正确； D．把一个电子从C移到B，电场力做正功 故D错误。 故选B 【变式2-1】（多选）（23-24高二上·四川成都·期末）如图，A、B、C为圆周上三点，O为圆心，半径为，空间中存在与纸面平行的匀强电场，A、B、C三点的电势分别为，下列说法正确的是（　　） A．电场强度沿OB方向 B．电场强度沿AC方向 C．电场强度的大小为 D．电场强度的大小为 【答案】BD 【详解】AB．A、C中点在OB上，A、C中点电势 所以OB所在直线是等势线，场强方向垂直于等势线且由高电势指向低电势，所以电场强度沿AC方向，故A错误，B正确； CD．根据几何关系，A、C距离 电场强度的大小为 故C错误，D正确。 故选BD。 【变式2-2】（多选）（23-24高二上·江西南昌·期末）如图所示的虚线为等腰梯形，、两点为底边的三等分点，且，，在与等腰梯形所在平面平行的空间内存在匀强电场，已知、、三点的电势分别为、、。则下列说法正确的是（　　） A．D点的电势为 B．M点的电势为 C．N点的电势为 D．电场强度的大小为 【答案】AD 【详解】A．根据题意可知，则有 可得D点的电势为 故A正确； BC．根据 ，则有 可得， 故BC错误； D．根据 可知沿方向的分场强大小为 沿方向的分场强大小为 则电场强度的大小为 故D正确。 故选AD。 强化点三 应用U=Ed定性分析非匀强电场 在等差等势面分布图中，电场强度E越大，等势面间的距离d越小，由此可以判定等差等势面越密的地方电场强度越大。 【典例3】（22-23高二上·安徽合肥·期末）如图甲，高大建筑物上通常都装有避雷针，雷雨天气时避雷针发生尖端放电现象，中和空气中的电荷，达到避免雷击的目的。图乙所示是某次避雷针放电时的电场线分布，电场线关于直线ac对称，且。以下说法正确的是（　　） A． B．接近建筑物的雷雨云带负电 C．电子在c点的加速度小于在a点的加速度 D．将质子从图中d点由静止释放，质子可能沿电场线运动 【答案】C 【详解】A．电场线的疏密程度表示场强的大小，由图可知ab段的平均电场强度要大于bc段的电场强度，根据定性分析可得 故A错误； B．由图乙电场线分布可知，接近建筑物的雷雨云带正电，故B错误； C．a点电场线较密，场强较大，电子在a点所受电场力大于c点，c点的加速度小于在a点的加速度，故C正确； D．质子的受力方向沿电场线的切线的方向，将质子从图中d点由静止释放，由于电场线是曲线，质子不可能沿电场线运动，故D错误。 故选C。 【变式3-1】（多选）如图所示，一电场的电场线分布关于y轴（沿竖直方向）对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM=MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是（　　） A．M点的电势比P点的电势高 B．将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功 C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差 D．M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差 【答案】AD 【详解】A．根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，故A正确； B．将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，故B错误； CD．根据，电场线疏密代表场强大小，且U=Ed 可知UMN<UOM 故C错误，D正确。 故选AD。 【变式3-2】（多选）如图所示，一簇电场线的分布关于y轴对称，O是坐标原点，M、N、P、Q是以O为圆心的一个圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，则　　 A．M点的电势比P点的电势低 B．O、M间的电势差小于N、O间的电势差 C．一正电荷在O点时的电势能小于在Q点时的电势能 D．将一负电荷由M点移到P点，电场力做正功 【答案】ABD 【详解】A：根据等势线与电场线垂直，顺着电场线的方向电势降低；可知M点的电势比P点的电势低．故A项正确． B：O、M间的场强小于N、O间的场强，，由公式分析得知，O、M间的电势差小于N、O间的电势差．故B项正确． C：根据等势线与电场线垂直，顺着电场线的方向电势降低；可得O点的电势高于Q点的电势，则正电荷在O点时的电势能大于在Q点时的电势能．故C项错误． D：M点的电势比P点的电势低，则负电荷在M点的电势能比在P点的电势能大，所以将一负电荷由M点移到P点时，电势能减小，电场力将正功．故D项正确． 【点睛】本题关键要根据电场线方向及等势线与电场线垂直判断出各点电势的高低，利用分析电荷电势能的变化，再据判断电荷所受电场力做功的正负． 强化点四 电场中的图像问题 (1)E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律； (2)-x图像的斜率的绝对值等于电场强度的大小； (3)Ep-x图像的斜率的绝对值等于电场力的大小。 【典例4】（23-24高二上·安徽淮北·期末）如图所示，在轴上放有两个电荷量分别为和的点电荷，其中位于轴的坐标原点，电荷的右侧各点电势随变化的关系如图曲线所示，其余部分的电势变化情况没有画出，其中点电势为零，段中的电势最低点为点，则下列说法正确的是（    ） A．两点电荷的电荷量 B．A点的电场强度强度方向向右 C．从点到点的电场强度先增大后减小 D．将一带负电的试探电荷从点移到点，电场力做正功 【答案】D 【详解】A．因为图像的斜率等于场强，可知C点场强为零，该点距离q2较近，距离q1较远，可知两点电荷的电荷量，选项A错误； B．由图可知，q1带负电，q2为正电，可知A点的电场强度强度方向向左，选项B错误； C．因为图像的斜率等于场强，C点场强为零，可知从点到点的电场强度先减小后增大，再减小，选项C错误； D．从点移到点场强方向向左，则将一带负电的试探电荷从点移到点，电场力做正功，选项D正确。 故选D。 【变式4-1】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能，随位移x变化的关系如图所示，其中段是关于直线对称的曲线，段是直线，则下列说法正确的是（    ） A．处电场强度最小，但不为零 B．粒子在段做匀变速运动，段做匀速直线运动 C．若、处电势为、，则 D．段的电场强度大小、方向均不变 【答案】D 【详解】A．图像的斜率表示粒子所受电场力F，根据可知处电场强度最小且为零，选项A错误； B．粒子在段切线的斜率发生变化，电场力发生变化，所以加速度也在变化，不是做匀变速运动，段斜率不变，所以做的是匀变速直线运动，选项B错误； C．带负电的粒子从到的过程中电势能增加，说明电势降低，即 选项C错误； D．段斜率不变，所以这段电场强度大小、方向均不变，选项D正确。 故选D。 【变式4-2】（多选）（23-24高二下·湖南·期末）如图甲所示，倾角为、足够长的光滑斜面固定在水平地面上，空间存在场强方向与斜面平行的匀强电场。一个带正电的滑块以一定的初速度从斜面底端开始上滑，上滑过程中滑块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示。已知，，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的重力大小为 B．滑块受到的电场力大小为 C．滑块上滑的过程中，重力势能增加了 D．滑块上滑的过程中，重力势能与电势能之和减少 【答案】BC 【详解】AB．由图像可知，滑块的动能由减为零，滑块的机械能由减为，又由于机械能在减小，可知电场力做负功，故匀强电场方向沿斜面向下。机械能随位移变化图像的斜率表示除重力之外的外力，即 由于动能随位移变化图像的斜率表示合外力，即，解得， 故A错误，B正确； C．由重力做功与重力势能关系有 由于上滑过程重力对滑块做负功，所以重力势能增加，即 故C正确； D．由能量守恒定律可知，滑块的能量为滑块的动能、电势能、重力势能之和，滑块上滑的过程中动能减小，所以重力势能与电势能之和增加，故D错误。 故选BC。 强化点五 电场强度、电势差和电势能的综合问题 (1)确定电场强度大小、方向的方法:由WAB=qUAB，求两点电势差；由，求匀强电场的电场强度大小；利用电场线垂直等势面，确定电场强度的方向。 (2)利用电场线、等势面分析带电粒子的功能关系。 【典例5】（23-24高二上·福建福州·期末）用一长1m的轻质柔软绝缘细线，拴一质量为2kg、电荷量为的小球，细线的上端固定于O点，现加一水平向右的匀强电场，平衡时细线与铅垂线成37°（g取，sin37°=0.6，cos37°=0.8），则： （1）小球带什么电； （2）匀强电场的场强多大； （3）平衡时细线的拉力为多大； （4）若施加外力把小球从A点移到左边B点，此时细线与铅垂线成53°，求电场力对小球做了多少功，小球的电势能改变量。      【答案】（1）正电；（2）；（3）25N；（4）-21J，电势能增加了 【详解】（1）小球受重力、电场力、拉力而平衡，受力情况如图所示 由于小球受到的电场力方向与场强方向相同，故小球带正电。 （2）根据平衡条件可得，解得 （3）根据平衡条件可得细线拉力为，解得 （4）把小球从A点水平移到B点，电场力做负功，电势能增大，电势能的改变量为 由几何关系可得，解得 故电场力对小球做了-21J的功，电势能增加了。 【变式5-1】（多选）（22-23高二下·云南玉溪·期末）如图所示，边长为4cm的正方形abcd处在匀强电场中，电场方向与abcd平面平行。a点有粒子源，可沿纸面内任意方向发射电子，发射的电子初动能均为40eV，电子经过b点时动能为28eV，经过d点时动能为24eV。运动过程中电子仅受电场力作用，且不计电子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　）    A．正方形abcd上c点电势最低 B．a、b两点间电势差为 C．电子通过c点时动能为15eV D．匀强电场的电场强度大小为5V/cm 【答案】AD 【详解】A．运动过程中电子仅受电场力作用，设是边的中点，为边的中点，a点动能均为40eV，d点动能为24eV，根据对称性可得e点动能为32eV，同理f点动能为28eV，可得b、f点在等势面上，连接bf，做bf的垂线，可知电场强度方向为垂直bf向下，根据沿电场线方向电势降低可知，正方形abcd上c点电势最低，故A正确； B．a、b两点间根据动能定理有 解得a、b两点间电势差为 故B错误； D．根据几何关系得 匀强电场的电场强度大小为 故D正确； C．b、c两点间电势差为 b、c两点间根据动能定理有 解得电子通过c点时动能为 故C错误。 故选AD。 【变式5-2】（23-24高二下·四川成都·期末）如图所示，A、B、C、D为边长为l的正四面体的四个顶点，M、N分别为CD边、BC边的中点。将带电量均为+Q的同种点电荷分别固定在A、B两顶点处，则下列说法正确的是（    ） A．N点处的电场强度大小为 B．C点与D点处的电场强度相同 C．C、D、M三点的电势大小关系为 D．将一带电量为+q的试探电荷从C点沿直线移至D点过程中其电势能先减小后增大 【答案】A 【详解】A．如图所示 N点处的电场强度大小为 , 解得 故A正确； B．C点与D点处的电场强度大小相等，方向不同，故B错误； C．M点距两点电荷距离更近，因此C、D、M三点的电势大小关系为，故C错误； D．根据 得试探电荷在C、D、M三点的电势能大小关系为 因此试探电荷从C点沿直线移至D点过程中其电势能先增大后减小，故D错误。 故选A。 强化点六 带电粒子在电场中的能量变化 (1)电荷在电场中运动与力学问题相比，只是多了一个静电力做功，从能量角度看，多了电势能。 (2)在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒，有时也会用到功能关系。应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)，应用能量守恒时需注意电势能和其他形式能之间的转化，应用功能关系解决该类问题需明确静电力做功与电势能改变之间的对应关系。 【典例6】如图所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g。 (1)若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，从释放到滑块到达与圆心O等高的C点这一过程的电势能变化量； (2)若滑块从水平轨道上距离B点s=10R的A点由静止释放，求滑块到达D点时对轨道的作用力大小； (3)改变s的大小仍使滑块由静止释放，且滑块始终沿轨道滑行，并从G点飞出轨道，求s的最小值。 【答案】(1) (2)0 (3) 【详解】（1）若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，从释放到滑块到达与圆心O等高的C点这一过程的电场力做功为 电场力做正功，电势能减小，故电势能变化量为 （2）若滑块从水平轨道上距离B点s=10R的A点由静止释放，设滑块到达D点时的速度为，从A点到D点过程运用动能定理，可得,解得 在D点，根据牛顿第二定律,解得 滑块到达D点时受到轨道的作用力大小为0。 （3）等效竖直平面圆周运动，要使滑块从G点飞出，则必须可以通过等效最高点，当恰好通过等效最高点时，满足题意的s最小。 等效重力由重力和电场力的合力提供 等效重力与重力的夹角,解得 当恰好通过等效最高点时的速度设为v，则此时满足 从A点由静止释放到达等效最高点过程，由动能定理可得 解得 【变式6-1】（23-24高二下·贵州遵义·期末）研究人员利用电场控制带电物体的运动，如图所示，实验区域内充满与水平面夹角斜向上的匀强电场，电场强度大小。为竖直固定的绝缘光滑半圆弧轨道，为圆心，半径，圆弧与绝缘光滑水平面平滑连接并相切于B点，间距离。一质量、电荷量的带正电小球，轻放于水平面上A点，一段时间后，小球从C点飞出，立即撤去圆弧轨道。不考虑空气阻力，重力加速度取。求： （1）A、C两点的电势差； （2）小球通过C点时的速度大小； （3）小球从圆弧轨道C点飞出后，运动到距C点处所用的时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据匀强电场中电势差与场强的关系 做出辅助线，如图 由几何关系，可得,联立，解得 （2）小球从A点运动到C点过程，根据动能定理，可得 其中， 联立，解得 （3）对小球受力分析，如图 可得，,解得 可知小球从圆弧轨道C点飞出后，做水平方向的匀变速直线运动，有,解得 【变式6-2】（23-24高二上·福建泉州·期末）如图甲，倾角为的斜面底端固定一轻弹簧，顶端与一水平面相连，一绝缘轻绳将斜面上的物块A通过轻质定滑轮与水平面上的物块B相连。A、B的质量分别为和，A不带电，B带正电且电荷量为。先将B锁定，使细绳处于拉紧状态，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧细绳与水平面平行。解除锁定，A、B从静止开始运动，B始终处于水平向右的匀强电场中且不会与滑轮相碰，带电量保持不变。以物块A的初始位置为原点，沿斜面向下建立坐标系，A的加速度与其位置的关系如图乙所示。弹簧未超过弹性限度，重力加速度大小为，图乙中已知，忽略一切摩擦。 （1）求A刚接触弹簧时速度大小； （2）求匀强电场的场强大小； （3）取B物体的初始位置为零电势点，求B电势能的最大值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由图乙，在A运动过程中，A、B一起以加速度做匀加速运动，则有 , 联立解得 （2）在A运动过程中，若绳子的拉力为，对A受力分析，由牛顿第二定律可得 对B受力分析，由牛顿第二定律可得,解得 （3）由图可知，当A运动时，弹簧压缩量为，A的加速度是0，则B的加速度也是0，设弹簧的劲度系数为，对AB组成系统可得 设弹簧压缩量为时，A、B间的绳子恰好松弛，设此时A、B的加速度都为，对B有 对有 联立可得, 可知当A运动时，则有 由图像的对称性可得A、B两者的速度相等，为 之后B在电场力作用下，以加速度做匀减速运动，有 取B物体的初始位置为电势能零势能点，B电势能的最大值,解得 真题感知 1．（2024·重庆·高考真题）沿空间某直线建立x轴，该直线上的静电场方向沿x轴，其电电势的φ随位置x变化的图像如图所示，一电荷都为e带负电的试探电荷，经过x2点时动能为1.5eV，速度沿x轴正方向若该电荷仅受电场力。则其将（   ） A．不能通过x3点 B．在x3点两侧往复运动 C．能通过x0点 D．在x1点两侧往复运动 【答案】B 【详解】带负电的试探电荷在x2处动能为1.5eV，电势能为-1eV，总能量为0.5eV，且试探电荷速度沿x轴正方向，在x2 ~ x3区域试探电荷受到沿x轴正方向的静电力，做加速运动，在x3处速度最大，试探电荷继续运动到x3右侧，做减速运动，当速度为零时，电势能为0.5eV，即运动到电势为－0.5V处减速到零，开始向x轴负方向运动，后反向回到x2处动能仍为1.5eV，继续向左运动，在电势为－0.5V处减速到零又反向，不会运动到x0、x1处，即试探电荷在x3点两侧往复运动。 故选B。 2．（2024·北京·高考真题）如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N两点，P、Q是MN连线上的两点，且。下列说法正确的是（　　） A．P点电场强度比Q点电场强度大 B．P点电势与Q点电势相等 C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P点电场强度大小也变为原来的2倍 D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，P、Q两点间电势差不变 【答案】C 【详解】A．由等量异种点电荷的电场线分布特点知，P、Q两点电场强度大小相等，A错误； B．由沿电场线方向电势越来越低知，P点电势高于Q点电势，B错误； CD．由电场叠加得P点电场强度 若仅两点电荷的电荷量均变为原来的2倍，则P点电场强度大小也变为原来的2倍，同理Q点电场强度大小也变为原来的2倍，而PQ间距不变，根据定性分析可知P、Q两点间电势差变大，C正确，D错误。 故选C。 3．（2024·广西·高考真题）如图，将不计重力、电荷量为q带负电的小圆环套在半径为R的光滑绝缘半圆弧上，半圆弧直径两端的M点和N点分别固定电荷量为和的负点电荷。将小圆环从靠近N点处静止释放，小圆环先后经过图上点和点，已知，则小圆环从点运动到点的过程中（　　） A．静电力做正功 B．静电力做负功 C．静电力先做正功再做负功 D．静电力先做负功再做正功 【答案】A 【详解】解法一：设在小圆环在、间的任意一点，与的夹角为，根据几何关系可得 带负电的小圆环与M点固定的电电荷间库仑力为 ，方向由 带负电的小圆环与N点固定的电电荷间库仑力为 ，方向由 连接，将两个库仑力沿着方向（半径方向）和垂直（圆弧切线方向）分解，则沿切线方向 因素分解可得 则小圆环在半圆弧上运动时，，则、、均大于0，则当时，即时，，静电力做正功。当时，，静电力做负功。可得小圆环后经过图上点和点的过程中受到的静电力在切线方向的分力一直大于等于0，则则静电力一直做正功。 故选A。 解法二：设在小圆环在、间的任意一点，与的夹角为，根据几何关系可得 带负电的小圆环在两个负点电荷电场中的电势能 关于求导可得 当时，， 为单调递减函数。 当时， ， 为单调递增函数， 从点运动到点时 由增大到，故一直变小，静电力一直做正功。故A正确。 故选A。 4．（2024·河北·高考真题）我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔。雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是（    ） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【答案】C 【详解】在静电场中，等差等势线的疏密程度反映电场强度的大小。图中c点的等差等势线相对最密集，故该点的电场强度最大。 故选C。 5．（2024·湖南·高考真题）真空中有电荷量为和的两个点电荷，分别固定在x轴上和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势随x变化的图像正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据点电荷周围的电势公式，设处的电势为0，得，解得 故可知当时，；当时，。 故选D。 6．（2024·全国·高考真题）在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单独存在的该点的电势的代数和。电荷量分别为和的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示（图中数字的单位是伏特），则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】根据两点电荷周围的电势分布可知带正电，带负电；由图中电势为0的等势线可知 由图中距离关系可知 联立解得 故选B。 7．（2024·江西·高考真题）蜡烛火焰是一种含有电子、正离子、中性粒子的气体状物质, 将其置于电压恒定的两平行金属板间, 板间电场视为匀强电场, 如图所示. 若两金属板间距减小, 关于火焰中电子所受的电场力, 下列说法正确的是 （  ） A．电场强度增大，方向向左 B．电场强度增大，方向向右 C．电场强度减小，方向向左 D．电场强度减小，方向向右 【答案】B 【详解】由题知，两极板电压保持不变，则根据电势差和电场强度的关系有 当电极板距离减小时，电场强度E增大，再结合题图可知极板间的电场线水平向左，则可知电子受到的电场力方向向右。 故选B。 提升专练 1．如图所示，A、B两个等量同种点电荷固定在同一水平线上，将一个质量为m、电荷量为q的带电小球C放在A、B连线的竖直平分线上某处时，小球恰好处于静止状态，此时A、C连线与水平方向的夹角为θ，已知重力加速度为g，小球可视为质点，则下列判断正确的是（　　） A．点电荷B和小球C可能带异种电荷 B．点电荷A在小球C处产生的场强大小为 C．将小球C沿竖直方向下移一些再由静止释放，小球一定向下运动 D．将小球C沿竖直方向下移（不到A、B连线）的过程中，小球的电势能一定增大 【答案】D 【详解】A．由题意可知，小球C受到B和C的斥力作用，可知点电荷B和小球C带同种电荷，选项A错误； B．对小球C受力分析可知 可得点电荷A在小球C处产生的场强大小为，选项B错误； C．在AB连线的中垂线上，在水平线上方存在一个场强最大的位置，若开始时小球C在该位置上方平衡，则将小球C沿竖直方向下移一些则受电场力变大，再由静止释放，小球将向上运动；若开始时小球C在该位置下方平衡，则将小球C沿竖直方向下移一些则受电场力变小，再由静止释放，小球将向下运动，选项C错误； D．将小球C沿竖直方向下移（不到A、B连线）的过程中，电场力对小球做负功，则小球的电势能一定增大，选项D正确。 故选D。 2．真空中，距孤立点电荷r处的电势（取无穷远处电势为零，Q为点电荷的带电荷量，k为静电力常量）。如图所示，在直径为5d的圆O直径两端点A、B分别固定、的点电荷，M是圆周上的点，，则M点的电势为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据几何关系可知 根据点电荷的电势表达式可知，M点的电势为 故选A。 3．如图所示，ABCD是边长为L的正方形，O为正方形的中心，M、N分别为AB和BC边的中点，A、B和C分别固定有电荷量为+Q、+Q和-Q的点电荷，则（　　） A．M点的电场强度大于N点的电场强度 B．将电子由M移动到D，电势能增大 C．将质子由O移动到N，电场力做负功 D．O、D、M三点，O点的电势最高 【答案】B 【详解】A．对于A、B两处的点电荷在M点的合场强为零，B、C两处的点电荷在N的场强不为零，根据对称性可知，C处的点电荷在M点的场强大小与A处的点电荷在N点的场强大小相等，故M点的场强小于N点的场强，A错误； B．A处点电荷形成的电场中，M点的电势高于D点的电势，同理可知,B处的处点电荷形成的电场中，M点的电势也高于D点的电势，C处的点电荷形成的电场中，M点的电势依然大于D点的电势，综合而言，M点的电势高于D点的电势，根据电场力做功 即电子由M移动到D，电场力做负功，电势能增大，B正确； C．在B、C两处点电荷形成的电场中，O、N两点的电势相等，而A处点电荷形成的电场中，O点的电势高于N点的电势，故质子由O移动到N，电场力做正功，C错误； D．A、B两处点电荷形成的电场中，M点的电势高于O点的电势，C处电荷形成的电场中，M点的电势依然高于O点的电势，故M点的电势高于O点的电势，综合上述各项分析可知，O、D、M三点，M点的电势最高，D错误。 故选B。 4．光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示。一质量m＝1g的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两点（图中未画出），其运动过程的v－t图像如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确定（　　） A．中垂线上B点电场强度最小 B．A、B两点之间的位移大小 C．B点是连线中点，C与A点必在连线两侧 D．UBC>UAB 【答案】D 【详解】A．v－t图像的斜率表示加速度，可知小物块在B点的加速度最大，所受的电场力最大，所以B点的电场强度最大。故A错误； B．v－t图像中图线与坐标轴所围面积表示位移，由乙图可知，小物块从A到B的位移大小不可确定。故B错误； C．由乙图可知，小物块一直做加速运动，则B、C两点均在A点的上边，且B点离A点较近。故C错误； D．由动能定理，可得， 代入数据，可得UBC>UAB 故D正确。 故选D。 5．在轴附近固定有两个点电荷和，其连线与轴平行。以无穷远处为电势零点，测得轴上各点的电势随坐标的分布如图所示。下列说法正确的是（　　） A．处的电场强度为零 B．和带有异种电荷 C．将试探电荷从沿轴正方向移到的过程中，电势能先增大后减小 D．将试探电荷从沿轴正方向移到的过程中，电场力一直做正功 【答案】B 【详解】A．图像的斜率表示电场强度，处图像的斜率不为零，则处的电场强度不为零，故A错误； B．以无穷远处为电势零点，则正电荷附近的点的电势是大于零，而负电荷附近的电势是小于零，由图可知有的位置电势大于零，有的位置电势小于零，可知和带有异种电荷，故B正确； CD．由图可知将试探电荷从沿轴正方向移到的过程中，电势先降低后升高，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，故CD错误。 故选B。 6．如图所示， 在直角坐标系xOy中有a、b、c、d四点， c点坐标为（-4cm，3cm）。现加上一方向平行于xOy 平面的匀强电场， b、c、d三点电势分别为9V、25V、16V， 将一电荷量为的点电荷从a点沿 abcd移动到d点，下列说法正确的是（　　） A．坐标原点O的电势为7V B．电场强度的大小为500 V/m C．该点电荷在a点的电势能为2×10-4J D．该点电荷从a点移动到d点的过程中，电场力做功为8×10-4J 【答案】B 【详解】A．由于该电场是匀强电场，故沿着同一个方向相同距离电势差相等，则有 解得 故A错误； B．该电场沿轴方向的分场强大小为 沿轴方向的分场强大小为 则该电场的电场强度的大小为 故B正确； C．因，则有,解得 该点电荷在a点的电势能为 故C错误； D．该点电荷从a点移到d点，电场力做功为 故D错误。 故选B。 7．如图所示，充电后水平放置的平行板电容器与电源断开，金属板相距为d，一质量为m、电荷量为的油滴从下极板边缘射入，并沿直线从上极板边缘射出（轨迹如图中虚线所示），若仅将平行板电容器上极板平行上移距离后，其他条件保持不变，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．平移后油滴将做匀加速直线运动 B．平移后电场强度大于，方向竖直向下 C．平移后下板和上板之间的电势差大小为 D．平移后油滴穿越两板之间的电场后电势能减少了 【答案】C 【详解】AB．由于油滴沿直线从上极板边缘射出，可知油滴在极板间一定做匀速直线运动，有 可得 方向竖直向下，根据,由电容定义式有 由电容决定式有,联立解得 可知，当上极板向上移动时，E不变，方向仍然竖直向下，仍有 所以油滴仍做匀速直线运动，故AB错误； C．综上分析，由于E不变，根据 当仅将平行板电容器上极板平行上移距离后，上、下两极板间的电势差U变大，大小为 故C正确； D．当上极板向上移动后，E不变，所以粒子射出电场时的位置也不变，重力做功 则电场力做功 根据功能关系可知，油滴的电势能减少了mgd，故D错误。 故选C。 8．如图所示，圆心为O、半径的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，和为该圆直径且夹角为60°。将一带电荷量为的点电荷从a点移动到b点，电场力做功为；若将该粒子从d点移动到c点，电场力做功为。求： (1)取c点电势为零，则d点电势； (2)该匀强电场的场强大小和方向。 【答案】(1)-2V (2)   由a指向b 【详解】（1）该粒子从d点运动到点，根据电势差的定义式,代入数据解得 根据电势差与电势的关系，有 因为所以 （2）由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的思路，沿cd方向建立x轴（水平方向），垂直于cd方向建立y轴，如图所示 在x方向有,解得 在y方向有解得 电场方向与水平方向夹角θ满足 电场方向与水平方向成60°，则电场与ab平行，且由a指向b 9．如图所示，水平轨道AB与竖直半圆轨道BC相切于B点，半圆轨道半径为R，AB长度为。在AB上方、直径BC左侧存在水平向右的匀强电场。一个质量为m带正电的小球自A点由静止释放，经过B点后进入半圆轨道，小球进入半圆轨道后立即撤去电场。已知小球所受电场力大小（g为重力加速度的大小），水平面和半圆轨道均光滑且绝缘。求： （1）小球运动到最高点时的速度大小； （2）小球运动到最高点时距水平面AB的距离。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）假设小球沿半圆轨道运动到D点脱离轨道，如图所示。 小球由A点运动到D点，由动能定理，得,又 在D点沿半径方向，由牛顿第二定律，得 联立解得, 小球离开半圆轨道后做斜抛运动，小球运动到最高点时的速度等于在D点时的水平分速度，有几何关系得，D点时的水平分速度 （2）小球从A点运动到最高点的过程中，由动能定理，得,联立解得 10．光滑平面右侧固定一光滑轻质定滑轮，通过轻质绝缘细线分别连接绝缘带电小滑块A和绝缘带电长滑块C（足够长），A和C的质量均为m，电荷量均为+q，A和C可在相互平行的方向上沿平面运动。开始时系统静止在水平向左、电场强度大小为E的匀强电场中。如图所示，某时刻起，长滑块C上表面有一质量为2m、带电荷量为+2q的绝缘小滑块B以初速度v0水平向右运动。已知B、C之间的滑动摩擦力大小为qE且略小于最大静摩擦力，A与C在运动过程中没有与定滑轮发生碰撞，A、B、C之间的静电力可忽略。求： （1）初始时B和C的加速度大小； （2）B向右的最大位移以及达到最大位移过程中静电力对整个系统所做的功。 【答案】（1），；（2）， 【详解】（1）小滑块B刚在长滑块C上运动时，B、C之间发生发生相对滑动，B、C间的摩擦力为滑动摩擦力。对B受力分析，其受到水平向左摩擦力和电场力，根据牛顿第二定律及题意可得 ,解得 初始时，AC处于静止状态。B在C上运动时，AC的加速度大小相等，对AC整体进行受力分析，根据牛顿第二定律及题意可得,解得 （2）由（1）分析可知B在C上做匀减速运动，AC做匀加速运动，设B在C上开始运动到ABC达到同速率所需时间为t，则根据匀变速直线运动规律有 此过程B和AC运动的位移分别为， 解得，，， 当ABC达到共速后，ABC均做匀减速运动，假设共速后BC不发生相对滑动，则对ABC整体，根据牛顿第二定律有 以B为研究对象，根据牛顿第二定律有,解得， 故假设成立，共速后ABC以共同的加速度做匀减速直线运动，当B的速度减为零时，B向右的位移达到最大值。根据匀变速直线运动规律可知，此过程ABC运动的位移为,解得 故B向右的最大位移为 整个过程中A、C运动的位移大小相等、方向相反。故静电力对A和C做功的总和为零，故整个过程静电力对整个系统所做的功为 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$