第24章 解直角三角形 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

第24章 解直角三角形 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第24章（解直角三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．的值等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，中，，，则，， ∴， 故选：C． 2．如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∵米，， ∴米； 故选B． 3．如图，在中，，则等于（ ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键． 根据含30度直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴； 故选：C． 4．在中，，若，则的正切值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，掌握直角三角形中各锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据题意，设，，利用勾股定理得到，最后由三角函数的定义可得的值． 【详解】解：如图所示， 在中，，， ∴设，， ∴ ∴． 故选：A． 5．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点，、都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了网格与勾股定理逆定理，锐角三角函数的定义，连接，由网格可知，，，则由勾股定理逆定理得，利用余弦定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键，根据题意设，，根据勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 设，， 由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 7．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选D． 8．如图，矩形中，，，点P为的中点，若点P绕上的点Q旋转后可以与点B重合，则的长为（    ） A．6 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据点绕上的点旋转后可以与点重合，得到，作于点，则，根据矩形中，，，点为的中点， 求得，得到，得到，解答即可． 【详解】解：根据点绕上的点旋转后可以与点重合， ∴， 作于点， ∴， ∵矩形中，，，点为的中点， ∴，，， ， ∴，， ∵ ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转性质，正弦函数的应用，熟练掌握勾股定理，正弦函数是解题的关键． 9．如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为（    ） A．秒 B．秒 C．或秒 D．或秒 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形中所对的边是斜边的一半，解一元一次方程，代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据所对的边是斜边的一半，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为直角三角形，， ∴当时，则， ∴， 解得：， 当时，则， ∴， 解得：， 综上，当的值为秒或秒，为直角三角形， 故选：D． 10．如图，矩形中，，，点E在边上，且．动点P从点A出发，沿射线运动．过点E作交射线于点F，连接．设M是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，线段的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形为矩形以及得，连接，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得在的垂直平分线上运动，故当与垂直平分线垂直时，最小，过点作 于点Q，过点M作于点R，则四边形为矩形，故，，，，设，则，，则，可得，则，故，解得：，则，故， 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵， ∴， 连接，如图所示： ∴，即， ∵， ∴， 连接，如图所示： ∵是线段的中点，， ∴， ∴在线段的垂直平分线上运动， ∴当与线段的垂直平分线垂直时，最小，如图： 过点作 于点Q，过点M作于点R， ∴四边形为矩形， ∴，，， 此时， ∴在中，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，要用的辅助线较多，关键在确定所在的轨迹以及最小值的位置． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．如果直角三角形的斜边长8，那么斜边中线的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的斜边长为8， ∴它斜边上的中线长为， 故答案为：4． 13．如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【详解】解：在中，，，点为斜边上的中点， ， 故答案为：3． 14．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵， ∴米， 故答案为：． 15．如图，竖直放置的旗杆在某一时刻的影子恰好落在斜坡的处．已知此时1米高的竹杆的影长为，测得为，为，斜坡与地面成角，则旗杆的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，理解1米高的竹杆的影长为是解答关键． 延长交的延长线于，根据1米高的竹杆的影长为求出，利用锐角三角函数值的求出得到，进而得到，再利用来求解． 【详解】解：延长交的延长线于，如图 米的杆影恰好为米， ． 四边形是矩形， （米），． 在中 ，（米），， （米）， （米）， （米），（米）， （米）． 故答案为：． 16．如图，在中，，D在上，且，，则 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点E，连接，根据垂直定义可得：，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得：，然后利用三角形的外角性质可得，再根据等量代换可得：，从而可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：取的中点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．由勾股定理求出，根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，，，证明，由得到，则，由，解得，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点B落在边的上方点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 18．如图，四边形为平行四边形，，，对角线，P为上一动点，Q为上一定点，则的最小值为 ． 【答案】30 【分析】过点作射线的垂线，垂足分别为，由平行四边形得到，可证明，则，那么，故，而，故，由，则的最小值为，而即可求解． 【详解】解：过点作射线的垂线，垂足分别为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，解直角三角形，垂线段最短，难点在于需要利用“胡不归模型”进行转化． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 20．在 中，． (1)若，，求 的长． (2)若，，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴； （2）如图， ∵，，， ∴在中，． 21．如图，在中，，． (1)用无刻度的直尺与圆规作出的角平分线（保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质． （1）根据角平分线的作法即可作的平分线，交于点D； （2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定，证得，根据含30度直角三角形的性质得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：在中，． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 22．如图，在中，，，，，垂足为点．求的长和的余弦值． 【答案】， 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出及的长，进而得出的长，最后根据勾股定理及余弦的定义即可得出答案． 【详解】解：，，， ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，线段的和与差，勾股定理，求角的余弦值等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数值、勾股定理及余弦的定义是解题的关键． 23．图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 24．【信息阅读】关于三角函数有如下公式： ； ； ． 【解决问题】利用上述公式解决问题： (1)求的值； (2)如图，建筑物前方有一个水塘，点B，D，C在同一直线上，，在C，D处测得建筑物顶端A的仰角分别为．求水塘的宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解直角三角形的实际应用： （1）根据，再结合公式计算求解即可； （2）先求出，再解求出的长，再利用公式求出的值，进而解直角三角形求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：由题意得，， ∴， 在中，， ∵ = ， ∴在中，， ∴ 答：水塘的宽度为． 25．问题背景：如图1，在和中，，当时，我们称 和互为“M三角形”，的边上的高叫做的“M高”，点A叫做“M中心”． (1)特例研究：在图2中，和互为“M三角形”， 是的“M高”．当时，写出与之间的数量关系，并给出证明． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给出证明． (3)迁移应用：如图3，在四边形中，， ，四边形的内部是否存在点P，使得与互为“M三角形”，若存在，请给出证明，并求出的“M高”的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)存在，见解析， 【分析】（1）根据定义可得，，则 可证明，得到，再证明都是等腰直角三角形，得到，则； （2）过点A作于点F，由定义可得，，由三线合一定理可得，，则，据此证明，得到，则； （3）连接，作的垂直平分线交于点P，连接，证明，得到，，再证明为等边三角形，得到，，进一步证明为等边三角形，得到，，则，即可得到与互为“M三角形”过点P作于点H，则为的“M高”，在中，，则． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵和互为“M三角形”， ∴，， ∴， ∴， 又∵为的高，为等腰直角三角形， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 过点A作于点F， ∵和互为“M三角形”， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，作的垂直平分线交于点P，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵（线段垂直平分线的性质） ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴与互为“M三角形” 过点P作于点H，则为的“M高”， 在中，， ∴； ∴存在点P，使得与互为“M三角形”，此时的“M高”的长为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，正确理解“M三角形”的定义是解题的关键. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 解直角三角形 单元测试 总分：150分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第24章（解直角三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．的值等于（ ） A．1 B． C． D． 2．如图，是电线杆的一根拉线，米，，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，在中，，则等于（ ） A．4 B．6 C．8 D． 4．在中，，若，则的正切值等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点，、都是格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，一根长5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，P为的中点，当梯子的一端A沿墙面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（    ） A．先增大，后减小 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．不变 8．如图，矩形中，，，点P为的中点，若点P绕上的点Q旋转后可以与点B重合，则的长为（    ） A．6 B． C．3 D．4 9．如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为（    ） A．秒 B．秒 C．或秒 D．或秒 10．如图，矩形中，，，点E在边上，且．动点P从点A出发，沿射线运动．过点E作交射线于点F，连接．设M是线段的中点，则在点P运动的整个过程中，线段的最小值是（   ） A．5 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．计算： ． 12．如果直角三角形的斜边长8，那么斜边中线的长是 ． 13．如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为 ． 14．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 15．如图，竖直放置的旗杆在某一时刻的影子恰好落在斜坡的处．已知此时1米高的竹杆的影长为，测得为，为，斜坡与地面成角，则旗杆的高度为 ． 16．如图，在中，，D在上，且，，则 ． 17．如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则 ． 18．如图，四边形为平行四边形，，，对角线，P为上一动点，Q为上一定点，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．计算：． 20．在 中，． (1)若，，求 的长． (2)若，，求 的长． 21．如图，在中，，． (1)用无刻度的直尺与圆规作出的角平分线（保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 22．如图，在中，，，，，垂足为点．求的长和的余弦值． 23．图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 24．【信息阅读】关于三角函数有如下公式： ； ； ． 【解决问题】利用上述公式解决问题： (1)求的值； (2)如图，建筑物前方有一个水塘，点B，D，C在同一直线上，，在C，D处测得建筑物顶端A的仰角分别为．求水塘的宽度．（结果保留根号） 25．问题背景：如图1，在和中，，当时，我们称 和互为“M三角形”，的边上的高叫做的“M高”，点A叫做“M中心”． (1)特例研究：在图2中，和互为“M三角形”， 是的“M高”．当时，写出与之间的数量关系，并给出证明． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给出证明． (3)迁移应用：如图3，在四边形中，， ，四边形的内部是否存在点P，使得与互为“M三角形”，若存在，请给出证明，并求出的“M高”的长；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$