清单03 图形的初步认识（20个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

清单03 图形的初步认识（20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】立体图形 1． 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展： 常见的立体图形有两种分类方法： 2． 棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3．点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【清单02】展开与折叠 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 【清单03】截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 【清单04】从三个方向看物体的形状 一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图） 【清单05】直线、射线与线段 1.直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 2.基本事实 （1）经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 （2）两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 3.线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 4. 基本概念 （1）两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 （2） 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 5.双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【清单06】 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【考点题型一】认识立体图形 【典例1】下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列实物图中，其形状类似圆柱的是（   ） A．  B．  C．   D．   【变式1-2】围成下列几何体的各个面中，含有曲的面的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式1-3】如图，这个几何体的名称是 ． 【考点题型二】 点﹑线﹑面﹑体 【典例2】中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【变式2-1】汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 【变式2-2】中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（    ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【变式2-3】纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了 ． 【考点题型三】几何体的展开图 【典例3】如图所示的图形，折叠后能围成（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．直五棱柱 D．直六棱柱 【变式3-1】图所示的平面图形经过折叠后能围成棱柱的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【变式3-2】下列平面图形中，能围成圆柱的是（    ） A．B． C． D． 【变式3-3】如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ）    A．  B．   C．   D．   【考点题型四】正方体相对两个面文字 【典例4】小王同学在立方体盒子的每个面上都写了一个字，分别是美、丽、的、吉、首、市，其平面展开图如图所示，那么该立方体盒子上，“市”相对的面上所写的文字是（　　） A．美 B．吉 C．首 D．丽 【变式4-1】如图是正方体展开图，每个面均有一个字，把它折成正方体后，“通”字对面的字是（     ） A．天 B．寨 C．欢 D．迎 【变式4-2】如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中与1所在的面相对的面上的数字为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-3】如图，是一个正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对两面的点数之和为7，“面”应该是（    ）． A． B． C． D． 【考点题型五】 判断展开物标志物的位置 【典例5】如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】在下列四个正方体中，只有一个是用如图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图所示正方体的展开图的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式5-3】如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 【考点题型六】截一个几何体 【典例6】如图所示，用一个平面沿与棱平行的方向去截一个棱柱，则截面的形状应为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．长方形 【变式6-1】用平面去截一个正方体，截面形状不可能是（    ） A．等边三角形 B．长方形 C．六边形 D．正八边形 【变式6-2】用一个平面去截如图所示的圆柱，则截面的形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】用一个平面去截一个八棱柱，截面最多可能是 边形． 【考点题型七】 由展开图计算几何体的表面积和体积 【典例7】如图为一直三棱柱，试画出它的侧面展开图，并求侧面展开图的面积． 【变式7-1】某种包装盒的形状是长方体，长比高的三倍多2，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示（不考虑包装盒的黏合处） (1)设该包装盒的高为分米，则该长方体的长为______分米，边的长度为______分米；（用含的式子表示） (2)若的长为12分米，现对包装盒外表而涂色，每平方分米涂料的价格是0.5元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色） 【变式7-2】如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称； (2)求该几何体的表面积； (3)求该几何体的体积． 【变式7-3】将一个长方体展开后如图所示，已知E、B两个面的面积之和是，且F面是一个长为5cm，宽为2cm的长方形．    (1)求这个长方体的表面积； (2)若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？（写出两个即可） 【考点题型八】 从不同的方向看几何体 【典例8】由5个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则该几何体从左面看得到的平面图形是（    ）    A．  B．  C．  D．   【变式8-1】如图是由4个完全相同的小立方块搭成的立体图形．若从左面看该立体图形，得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，由两个相同的小正方体和一个圆锥组成的几何体，从上面看得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图是一个由11个相同的小正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个立体图形，画出你所看到的立体图形的形状图． 【考点题型九】 补一个面使图形围成正方体 【典例9】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【变式9-2】如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（    ） A．B．C． D． 【变式9-3】如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面． 【考点题型十】直线﹑射线和线段 【典例10】下列说法正确的是（    ） A．点O在线段上 B．点B是直线的一个端点 C．射线和射线是同一条射线 D．图中共有3条线段 【变式10-1】下列说法错误的是（    ） A．直线和直线是同一条直线 B．两点之间，直线最短 C．射线和射线不是同一射线 D．两点确定一条直线 【变式10-2】下列几何图形与相应语言描述相符的有（    ）    ①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-3】如图，下列表述不正确的是（    ）    A．直线和直线相交于点C B．点D在直线外 C．线段和射线都是直线的一部分 D．直线不经过点A 【考点题型十一】直线和线段的性质 【典例11】下面两个生活中的现象，用数学知识解释是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．现象1：两点之间，线段最短；现象2：两点确定一条直线 D．现象1：两点确定一条直线；现象2：两点之间，线段最短 【变式11-1】在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是 （填序号）． 【变式11-2】期中考试布置教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很容易就整整齐齐了．这其中蕴含的数学道理是 ． 【变式11-3】墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【考点题型十二】线段和与差运算 【典例12】线段长，在直线上画长为的线段，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式12-1】在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 【考点题型十三】线段中点运算 【典例13】如图，线段．C是线段的中点，D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点E，满足，求的长． 【变式13-1】如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式13-2】有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【变式13-3】已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【变式13-4】如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【考点题型十四】角度制单位换算 【典例14】用度来表示 ． 【变式14-1】计算： ． 【变式14-2】 ． 【变式14-3】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型十五】方位角 【典例15】如图，是直角，则射线表示的方向是（ ） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 【变式15-1】如图，一艘船在A处遇险后向相距位于B处的救生船报警，A处相对于B处的位置，下列描述最准确的是（    ） A．距救生船处 B．南偏西方向上的处 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上的处 【变式15-2】如图，点A，B，C分别表示学校、小明家、超市，已知学校在小明家的北偏东方向上，且，则超市在小明家的（　　） A．北偏西方向上 B．北偏西方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 【变式15-3】如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【考点题型十六】钟面角 【典例16】如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】如图是一个钟面，上午8时正的时针和分针位置如图所示，则分针和时针所成角的度数是 ． 【考点题型十七】余角和补角 【典例17】若，则的补角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式17-1】若和互余，与互补，，则与的度数分别为（　　） A． B． C． D． 【变式17-2】有一个角的补角为，则这个角的余角是 ． 【变式17-3】若，则的余角为 ． 【考点题型十八】角分线的定义及简单运算 【典例18】已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【变式18-1】已知，射线平分，则的度数为 【变式18-2】如图，是平角，是射线，、分别是、的平分线，若，则的度数为 ． 【变式18-3】如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数． 【考点题型十九】三角板中角度计算问题 【典例19】一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 【变式19-2】把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，平分，平分，则 ． 【变式19-3】如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【考点题型二十】作线段（尺规作图） 【典例20】如图，已知四点，请按要求作图并解答．    (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 【变式20-1】如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段、射线、直线； (2)在射线上作线段； (3)连接，在四边形内求作一点，使得最小． 【变式20-2】如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求： (1)画出线段（尺规作图） (2)求线段、的长． 【变式20-3】如图，已知平面上有不共线的三点，，．用直尺和圆规作图： (1)作线段，射线； (2)在射线上作出一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 图形的初步认识（20个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】立体图形 1． 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 拓展： 常见的立体图形有两种分类方法： 2． 棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 拓展：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形． 3．点、线、面、体： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 【清单02】展开与折叠 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 【清单03】截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 【清单04】从三个方向看物体的形状 一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图） 【清单05】直线、射线与线段 1.直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 2.基本事实 （1）经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 （2）两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 3.线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 4. 基本概念 （1）两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 （2） 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 5.双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【清单06】 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【考点题型一】认识立体图形 【典例1】下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱柱、球、圆柱、四棱柱的定义逐一判断即可．本题主要考查认识立体图形，熟练掌握三棱柱、球、圆柱、四棱柱的定义是解题的关键． 【详解】解：A．本图是圆柱，故本选项符合题意； B．本图是三棱柱，故本选项不符合题意； C．本图是球，故本选项不符合题意； D．本图是四棱柱，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列实物图中，其形状类似圆柱的是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了立体图形．根据个选项实物特征，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、其形状类似圆，故本选项不符合题意； B、其形状类似棱柱，故本选项不符合题意； C、其形状类似棱柱，故本选项不符合题意； D、其形状类似圆柱，故本选项符合题意； 故选：D 【变式1-2】围成下列几何体的各个面中，含有曲的面的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键． 【详解】解：结合图形特征，得 球体是由曲面围成的，圆锥是由平面和曲面围成，四棱柱、正方体都是由平面围成的， 所以②③是含有曲的面的图形， 故选：C． 【变式1-3】如图，这个几何体的名称是 ． 【答案】三棱柱 【分析】本题主要的就是考查了学生对几何体的认识情况，在解答这个题目时，首先是要仔细观察几何体，找出几何体的组成情况．观察几何体，有2个底面，3个侧面，经过每个顶点有3条棱，每个底面各有3个顶点，即可求解． 【详解】解：几何体的名称是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 【考点题型二】 点﹑线﹑面﹑体 【典例2】中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称． 如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B． 【变式2-1】汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，灵活运用点、线、面、体知识点进行解题是本题的重点．可将汽车的雨刷看成一条线，雨刷在刷玻璃上的雨水时形成了面，所以属于线动成面的实际应用． 【详解】解：汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明线动成面， 故选：B． 【变式2-2】中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（    ） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【答案】A 【分析】本题考查点、线、面、体．从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【详解】解：枪挑一条线即为点动成线，棍扫一大片即为线动成面， 故选：A． 【变式2-3】纸翻花是我国传统的纸制工艺品，它花里有花，花中变花，花姿优美，栩栩如生，深受儿童的喜爱，转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了 ． 【答案】面动成体 【分析】本题主要考查了面动成体．根据面动成体解答即可． 【详解】解：转动翻花的花柄平面图形变换成不同的美丽的立体图形，这说明了面动成体， 故答案为：面动成体． 【考点题型三】几何体的展开图 【典例3】如图所示的图形，折叠后能围成（   ） A．直三棱柱 B．直四棱柱 C．直五棱柱 D．直六棱柱 【答案】B 【分析】本题考查几何体的展开图，侧面为四个长方形，底边为长方形，故原几何体为直四棱柱． 【详解】解：根据展开图可知，侧面为四个长方形，底边为长方形， 所以此表面展开图是直四棱柱的展开图． 故选：B. 【变式3-1】图所示的平面图形经过折叠后能围成棱柱的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的展开图，掌握棱柱的特点及展开图的特点是解题的关键． 【详解】解：①②③能围成棱柱，④围成棱柱时，有两个面重合，不能围成棱柱， 故选：C． 【变式3-2】下列平面图形中，能围成圆柱的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了展开图折叠成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．根据几何体的展开图的特征即可求解． 【详解】解：A、能围成三棱柱，故本选项不符合题意； B、能围成圆柱，故本选项符合题意； C、能围成正方体，故本选项不符合题意； D、能围成圆锥，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-3】如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（   ）    A．  B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图的特征及应用，掌握圆柱侧面展开图的特征是解题的关键．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：因圆柱的展开面为长方形，展开应该是两直线，且有公共点， 故选：． 【考点题型四】正方体相对两个面文字 【典例4】小王同学在立方体盒子的每个面上都写了一个字，分别是美、丽、的、吉、首、市，其平面展开图如图所示，那么该立方体盒子上，“市”相对的面上所写的文字是（　　） A．美 B．吉 C．首 D．丽 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：正方体的平面展开图中，“市”相对的面上所写的文字是“美”， 故选：A． 【变式4-1】如图是正方体展开图，每个面均有一个字，把它折成正方体后，“通”字对面的字是（     ） A．天 B．寨 C．欢 D．迎 【答案】B 【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 本题考查了正方体展开图中的相对字问题，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得“通”字一面相对的面上的字为“寨”， 故选B． 【变式4-2】如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中与1所在的面相对的面上的数字为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，1和4相对，2和5相对，3和6相对， 故选：B． 【变式4-3】如图，是一个正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对两面的点数之和为7，“面”应该是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立体图形平面展开图还原，熟记正方体的平面展开图，运用空间想象能力是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，若底面是4点，则上面是3点，就是面；后面是1点，则前面是6点，就是面；右面是2点，则左面是5点，就是面， 面应该是3点， 故选：B． 【考点题型五】 判断展开物标志物的位置 【典例5】如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】解：观察图形可知，A选项中的圆和纸巾是邻面，且纸巾的上面是圆． 故选B． 【变式5-1】在下列四个正方体中，只有一个是用如图所示的纸片折叠而成的，那么这个正方体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，熟练掌握正方体侧面展开图是解题的关键． 根据正方体的侧面展开图特点一一排除即可． 【详解】解：由图可知，A、B的正方体展开后，黑点所在的面分别在小三角形所在面的上面和右边，与所给纸片不符，故不符合要求；可排除； C的小圆圈的右边是空白，与所给纸片不符合，故不符合要求；也可排除； 故选：D． 【变式5-2】如图所示正方体的展开图的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】此题考查了几何体的展开图，关键是熟练掌握正方体展开图的特征． 根据题干，三个所在的面图案交于一点，五角星和正方形的顶点正对，依此即可求解． 【详解】解：根据正方体展开图的特点分析，选项A是它的展开图． 故选：A． 【变式5-3】如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据圆面、正方形面、三角形面是相邻面，且圆面、正方形面与三角形面只有一个公共顶点，可得答案． 【详解】解：根据图形得： A、C、D选项中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符； B选项中折叠后与原立方体符合，所以正确的是B． 故选：B 【考点题型六】截一个几何体 【典例6】如图所示，用一个平面沿与棱平行的方向去截一个棱柱，则截面的形状应为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．长方形 【答案】D 【分析】本题考查了空间几何图形特别是棱柱的截面知识．解题的关键在于理解平行于棱的截面对棱柱各面的影响以及截面的形状． 通过分析截面平面与棱柱各个侧面的相交情况，可以推断出截面的形状为长方形． 【详解】解：用一个平面沿与棱平行的方向去截一个棱柱，则截面的形状应为长方形. 故选D． 【变式6-1】用平面去截一个正方体，截面形状不可能是（    ） A．等边三角形 B．长方形 C．六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体，用一个平面去截一个正方体，截面经过几个面，截面就是几边形，即可解答． 【详解】解：用一个平面去截一个正方体，则截面的形状可能为等边三角形，长方形，六边形，不可能是正八边形， 故选：D． 【变式6-2】用一个平面去截如图所示的圆柱，则截面的形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何体截面．根据题意观察图形即可得到本题答案． 【详解】解：对于选项A∶当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆； 对于选项B∶当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形； 对于选项C∶当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆； 对于选项D∶截面的形状不可能是三角形∶ 故选∶D． 【变式6-3】用一个平面去截一个八棱柱，截面最多可能是 边形． 【答案】十 【分析】本题考查截一个几何体，用平面去截几何体，平面与几何体几个面相加，就产生几条交线，就形成几边形，八棱柱有十个面，最多截面与十个面相交，产生十条交线，形成十边形． 【详解】解：用一个平面去截一个八棱柱，截面最多可能是十边形． 故答案为：十． 【考点题型七】 由展开图计算几何体的表面积和体积 【典例7】如图为一直三棱柱，试画出它的侧面展开图，并求侧面展开图的面积． 【答案】侧面展开图见解析， 【分析】本题考查棱柱的侧面展开图，以及求棱柱的侧面积，解题的关键是将立体图形展开为平面图形．先画出侧面展开图，再求侧面展开图的面积． 【详解】解：直三棱柱的侧面展开图如图所示： ． 【变式7-1】某种包装盒的形状是长方体，长比高的三倍多2，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示（不考虑包装盒的黏合处） (1)设该包装盒的高为分米，则该长方体的长为______分米，边的长度为______分米；（用含的式子表示） (2)若的长为12分米，现对包装盒外表而涂色，每平方分米涂料的价格是0.5元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色） 【答案】(1)， (2)为每个包装盒涂色的费用是23元 【分析】根据长比高的三倍多2，及展开图即可求解， 根据的长为12分米，可求的值，进而求出表面积，根据每平方分米涂料的价格即可求解， 本题考查了几何体的展开图，求几何体的表面积，解题的关键是：确定几何体的长宽高． 【详解】（1）解：长比高的三倍多2，， ，， 故答案为：，， （2） 的长为12分米， ，解得：， （分米），（分米）， 长方体的表面积为：（平方分米）， 费用为：（元）， 故答案为：为每个包装盒涂色的费用是23元． 【变式7-2】如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称； (2)求该几何体的表面积； (3)求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2)平方米 (3)立方米 【分析】（1）根据几何体的展开图可知，该几何体为长方体； （2）求出各个面的面积，然后相加即可； （3）根据长方体体积公式求出体积即可． 【详解】（1）解：该几何体展开图中六个面均为长方形，因此该几何体为长方体． （2）解：（平方米）， 答：该几何体的表面积为22平方米． （3）解：（平方米）， 答：该几何体的体积为6立方米． 【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积和体积，解题的关键是熟记长方体的展开图． 【变式7-3】将一个长方体展开后如图所示，已知E、B两个面的面积之和是，且F面是一个长为5cm，宽为2cm的长方形．    (1)求这个长方体的表面积； (2)若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？（写出两个即可） 【答案】(1) (2)三角形、长方形（答案不唯一） 【分析】本题主要考查长方体的性质，长方体展开图的表面积以及长长方体的截面． （1）根据长方体的性质得对应面的面积相等解题即可． （2）用一个平面去截长方体，所得到的截面形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形． 【详解】（1）解：由题意可知：E与C对应，B与D对应，A与F对应， 所以C、D两个面的面积之和是， A的面积的面积， 所以这个长方体的表面积为：． （2）三角形、长方形．（答案不唯一） 【考点题型八】 从不同的方向看几何体 【典例8】由5个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则该几何体从左面看得到的平面图形是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图． 根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看有两列，第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形， 即   故选：D． 【变式8-1】如图是由4个完全相同的小立方块搭成的立体图形．若从左面看该立体图形，得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体．根据从不同方向看几何体画出从左面看到的图形即可． 【详解】解：左面看到的图形如下： 故选：B． 【变式8-2】如图，由两个相同的小正方体和一个圆锥组成的几何体，从上面看得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体．从上面看，图形是两个正方形，左边正方形上面是圆锥的底，并且圆形的中心是圆锥的顶部，即一个点，由此得出答案即可． 【详解】解：从上面看，图形是两个正方形，左边正方形上面是圆锥的底，并且圆形的中心是圆锥的顶部，即一个点，由此可得选项C的图形． 故选：C． 【变式8-3】如图是一个由11个相同的小正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个立体图形，画出你所看到的立体图形的形状图． 【答案】见解析 【分析】根据从正面、左面、上面看到的形状画图即可． 本题考查了从不同方向看立体图形，解题的关键是建立空间观念，准确画图． 【详解】画图如下： 【考点题型九】 补一个面使图形围成正方体 【典例9】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 【变式9-1】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 【变式9-2】如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、折叠后才能围成一个正方体，故本选项符合题意； B、含有“田”字形，，故本选项不符合题意； C、折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺个面，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意； D、含有“田”字形，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了几何体的折叠和展开图形，熟练掌握“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图是解题的关键． 【变式9-3】如（1）（2）（3）图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，请在原图上画出所添的面． 【答案】见解析 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，添加一个正方形，折叠后才能围成一个正方体， 【点睛】本题考查展开图折叠成几何体的知识，注意掌握只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 【考点题型十】直线﹑射线和线段 【典例10】下列说法正确的是（    ） A．点O在线段上 B．点B是直线的一个端点 C．射线和射线是同一条射线 D．图中共有3条线段 【答案】D 【分析】此题考查直线、线段、射线，关键是根据直线、线段、射线的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、点O在线段外，选项说法错误，不符合题意； B、点B是直线的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意； C、射线和射线不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式10-1】下列说法错误的是（    ） A．直线和直线是同一条直线 B．两点之间，直线最短 C．射线和射线不是同一射线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查的是直线，射线，线段的含义，根据定义逐一分析判断即可，熟记基本概念是解本题的关键． 【详解】解：直线和直线是同一条直线，故A不符合题意； 两点之间，线段最短，故B符合题意； 射线和射线不是同一射线，故C不符合题意， 两点确定一条直线，故D不符合题意； 故选B 【变式10-2】下列几何图形与相应语言描述相符的有（    ）    ①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用线段、直线和射线的语言描述逐一判断即可解题． 【详解】①直线a、b相交于点A，描述正确； ②射线与线段有公共点，描述错误； ③延长线段，描述正确； ④直线不经过点A，描述错误； 故选B． 【点睛】本题考查线段、射线和直线的语言描述，熟练把图形语言转化为文字语言是解题的关键． 【变式10-3】如图，下列表述不正确的是（    ）    A．直线和直线相交于点C B．点D在直线外 C．线段和射线都是直线的一部分 D．直线不经过点A 【答案】C 【分析】根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A、直线和直线相交于点C，此选项正确，故不符合题意； B、点D在直线外，此选项正确，故不符合题意； C、线段是直线的一部分，射线不是直线的一部分，此选项错误，故符合题意； D、直线不经过点A，此选项正确，故不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，注意它们之间的区别与联系． 【考点题型十一】直线和线段的性质 【典例11】下面两个生活中的现象，用数学知识解释是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．现象1：两点之间，线段最短；现象2：两点确定一条直线 D．现象1：两点确定一条直线；现象2：两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短．直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案． 【详解】解：现象1：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 现象2：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 故选：C． 【变式11-1】在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③会场摆直茶杯，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”； 所以，在上列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③， 故答案为：①②③． 【变式11-2】期中考试布置教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很容易就整整齐齐了．这其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，直接利用两点确定一条直线可得答案． 【详解】解：期中考试布置教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很容易就整整齐齐了．这其中蕴含的数学道理是：两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线 【变式11-3】墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握这一知识点是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【考点题型十二】线段和与差运算 【典例12】线段长，在直线上画长为的线段，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分当点C在线段上时，当点C在线段的延长线上时，两种情况根据线段的和差关系讨论求解即可． 【详解】解：当点C在线段上时，则， 当点C在线段的延长线上时，则， 故选：D． 【变式12-1】在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点、、，得出，再代数计算，即可作答． 【详解】解：在直线上顺次取三点、、， ， ，， ， 故选：D． 【变式12-2】如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 先根据题意设可设，，，即可表示，再根据中点的定义表示出，进而表示出，再结合的长列出方程，求出解，最后根据得出答案． 【详解】解：由B，C两点把线段分成三部分，可设，，， 所以． 因为M是的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 【考点题型十三】线段中点运算 【典例13】如图，线段．C是线段的中点，D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点E，满足，求的长． 【答案】(1)的长为18 (2)的长为10或14 【分析】本题主要考查线段的和差运算，掌握中点的运算是解题的关键． （1）根据线段的中点先算出的长，再根据线段的和差即可求解； （2）根据题意可算出的长，分类讨论，当点E在之间时；当点E在之间时；由此即可求解． 【详解】（1）∵点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， ∴线段的长为18； （2）∵， ∴， 当点E在之间时，； 当点E在之间时，； 综上所述，的长为10或14． 【变式13-1】如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． 【变式13-2】有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 【变式13-3】已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 【变式13-4】如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点有关的计算． （1）先求出，再求出，根据线段的中点求出的长即可； （2）求出，，把代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 【考点题型十四】角度制单位换算 【典例14】用度来表示 ． 【答案】 【分析】本题考查角度换算，涉及，先将秒化为分，再将分化为度即可得到答案，熟记角度之间的换算关系是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 【变式14-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度数的加减计算法则，解题的关键是掌握角度数的加减计算法则． 根据角度数的加减计算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式14-2】 ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题关键是掌握计算法则，注意度、分、秒之间的单位换算．按照角度的加减计算法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式14-3】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的比较大小．将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ∵． ∴， 故选：A． 【考点题型十五】方位角 【典例15】如图，是直角，则射线表示的方向是（ ） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题考查方位角．根据题意，求出即可判断． 【详解】解：如图， 射线表示的方向是南偏东． 故选：B． 【变式15-1】如图，一艘船在A处遇险后向相距位于B处的救生船报警，A处相对于B处的位置，下列描述最准确的是（    ） A．距救生船处 B．南偏西方向上的处 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上的处 【答案】D 【详解】解：由方向角的定义可知， A在B的北偏东方向上的处， 故选：D． 【变式15-2】如图，点A，B，C分别表示学校、小明家、超市，已知学校在小明家的北偏东方向上，且，则超市在小明家的（　　） A．北偏西方向上 B．北偏西方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 【答案】A 【分析】此题主要考查了方向角表示位置，根据题意可得，则由角的和差关系可得，再根据方向角的定义即可解答． 【详解】解：∵学校在小明家的北偏东方向上， ∴， ∵， ∴， ∴超市在小明家的北偏西方向上， 故选：A． 【变式15-3】如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，根据题意即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键 【详解】解：如图所示标注字母， 由题意知：， ， ∴， 故答案为：． 【考点题型十六】钟面角 【典例16】如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用钟表表盘的特征解答．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为． 【详解】解：下午四点半钟，时针和分针中间相差1.5个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 下午四点半钟分针与时针的夹角是． 故选：C 【变式16-1】在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键．根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：时针与分针相距份，每份的度数是， 在时刻，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为． 故选：B． 【变式16-2】如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角问题，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度．时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，由此即可算出时分钟时，时针、分针与12时的夹角，即得答案． 【详解】∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转， ∴钟表上时分钟时，时针从时转过分钟转了，此时时针与垂直线的夹角为，分针从的位置顺时针转了， ∴时分钟时分针与时针的夹角． 故选C． 【变式16-3】如图是一个钟面，上午8时正的时针和分针位置如图所示，则分针和时针所成角的度数是 ． 【答案】/度/ 【分析】本题主要考查了角度的运算，解题的关键是掌握时针转一圈是一个周角． 根据时针转一圈是可求出每小时时针转动的角度，即可求解． 【详解】解：根据图形，8点整分针与时针的夹角正好是． 故答案为：． 【考点题型十七】余角和补角 【典例17】若，则的补角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了补角的定义，两角相加为，则两角互补．根据补角的定义进行解答即可． 【详解】解：的补角的度数为． 故选：C． 【变式17-1】若和互余，与互补，，则与的度数分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了互为余角互为补角的定义，若两角的和为，则两角互余；若两角的和为，则两角互补，比较简单． 根据若两角的和为，则两角互余；若两角的和为，则两角互补，解答即可． 【详解】解：∵与互补，， ∴； 又∵和互余， ∴， 故选：B． 【变式17-2】有一个角的补角为，则这个角的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，解一元一次方程，设这个角是，则它的补角是，它的余角是，求出即可求解，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】设这个角是，则它的补角是，它的余角是， 根据题意有： ， 解得 ， 它的余角， 故答案为：． 【变式17-3】若，则的余角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，解题的关键是熟练掌握互余的两个角和为．根据余角定义列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为：． 故答案为：． 【考点题型十八】角分线的定义及简单运算 【典例18】已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，数形结合根据射线的位置分类讨论是解题关键． （1）根据平角的定义计算求值即可； （2）根据余角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再计算角度和即可； （3）由余角的定义可得，分射线在内部、射线在外部两种情况，分别计算角的差、和即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵与互余， ∴， ∴， ①当射线在内部时，如图，   ； ②当射线在外部时，如图，   ． 综上所述，的度数为或． 【变式18-1】已知，射线平分，则的度数为 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得的度数是关键，因考虑不周，容易漏掉一种情况的解．分两种情况在内或外），分别首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数． 【详解】解：当在内时，如图1， 则， 射线平分， ； 当在外时，如图2， 则， 射线平分， ． 综上，或． 故答案为：或． 【变式18-2】如图，是平角，是射线，、分别是、的平分线，若，则的度数为 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据角平分线的定义求出，推出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：平分， ． ． 平分， ． 故答案为：． 【变式18-3】如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算．先根据角平分线的定义得出，，再根据，算出，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十九】三角板中角度计算问题 【典例19】一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差．熟练掌握角的和差计算，是解决问题的关键． 利用与的和减去的差即得． 【详解】∵， ∴， ∵， ， ∴． 故选：B． 【变式19-1】如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 【答案】180 【详解】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据进行求解即可． 【分析】解：由题意得，， ∴． 故答案为：180． 【变式19-2】把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，平分，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质；利用角平分线的基本性质来计算角度是关键．先容易求得，在根据、分别平分，由图可知所求角等于加上的一半． 【详解】解：由题可知： ∵平分，平分， ∴ 故答案为 【变式19-3】如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，用含x的代数式表示出后根据建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【考点题型二十】作线段（尺规作图） 【典例20】如图，已知四点，请按要求作图并解答．    (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 【答案】(1)见解析 (2)②③ 【分析】（1）①根据射线的定义作图即可；②直接连接即可；③以A为圆心，以为半径画圆弧，与射线直线交于M；④连接与的交点即为所求； （2）根据直线、线段、射线的定义逐个判断即可解答． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②线段即为所求； ③线段即为所求； ④点P即所求．    （2）解：①图中的线段有，共9条，则①错误； ②由与的交点，则点P是点在线段的延长线上，即②正确； ③图中射线，共2条，则③正确；图中共有6条线段的说法是正确的； ④由射线本来就无限延伸，故不需要延长，则④错误． 故答案为②③． 【点睛】本题主要考查了基本作图，直线、线段、射线的定义，线段的性质等知识点，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． 【变式20-1】如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段、射线、直线； (2)在射线上作线段； (3)连接，在四边形内求作一点，使得最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了线段、射线、直线的画法，两点之间，线段最短的应用，准确画图，知道线段和最小值的确定方法是解题的关键． （1）根据线段的特点，直线的特点画出，注意直线的双向伸展性； （2）先画射线，点是起始点，点是方向点，用圆规截取等长即可； （3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点； 【详解】（1）根据题意作图如下：    （2）根据题意作图如下：    （3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点，作图如下：    【变式20-2】如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求： (1)画出线段（尺规作图） (2)求线段、的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查尺规作图——作线段等于已知线段，线段的中点，线段的和差． （1）作射线，以点M为圆心，的长为半径画弧，与交于点E，则，同理作，则，以点F为圆心，的长为半径，交线段于点G，则，则，为所求． （2）根据线段的和差与线段的中点即可解答． 【详解】（1）解：如图，，，则线段，为所求图形． （2）解：∵ ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴． 【变式20-3】如图，已知平面上有不共线的三点，，．用直尺和圆规作图： (1)作线段，射线； (2)在射线上作出一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——作线段，线段和射线的定义，根据题意正确画图是解题关键． （1）根据线段和射线的定义作图即可； （2）以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，此时，则，即可得解． 【详解】（1）解：如图，线段，射线即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$