清单04 相交线和平行线（10个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

清单04 相交线和平行线（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【清单02】垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【清单03】平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【清单04】三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 图5 【清单05】平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【清单06】平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【清单07】平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【考点题型一】对顶角 【典例1】下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【变式1-1】下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各组角中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】点到直线的距离 【典例2】 如图，已知三角形中，垂足为D，则表示点A到直线 的距离的是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式2-1】如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【变式2-2】如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 【考点题型三】垂线段最短 【典例3】如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点，则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 ．    【变式3-1】如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【变式3-2】如图，在中，，，，点P是边BC上的动点，则的长不可能是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【变式3-3】如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 【考点题型四】三线八角 【典例4】如图，按各组角的位置判断错误的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【变式4-1】下列图形中，与是同位角的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 【变式4-2】如图，下列说法错误的是（    ） A．与是对顶角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【变式4-3】如图所示，的一边和的一边相交于一点，下列说法错误的是（    ）． A．和是同位角 B．和是同旁内角 C．和是内错角 D．和是同位角 【考点题型五】平行线的有关定义 【典例 5】下列说法中正确的个数为（    ） ①同一平面内不相交的两条直线互相平行；②经过一点能作一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式5-2】已知直线，，则下列结论正确的是（　　） A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行 C．直线a与c相交 D．直线a与b相交 【变式5-3】下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型六】平行线的判定 【典例6】如图，，分别是的角平分线，，求证：．    【变式6-1】如图，下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在四边形中，连接，下列条件中，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，，平分，，求证：． 【变式6-4】如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【考点题型七】平行线的性质求角度 【典例7】如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为 ． 【变式7-4】如图，已知，，，则 ． 【变式7-5】如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为 ． 【考点题型八】平行线的性质在生活中的应用 【典例8】一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【变式8-1】在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】某市提倡绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行， ，若 ，则 的度数为（     ）    A． B． C． D． 【考点题型九】平行线的判定与综合 【典例9】如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式9-1】如图，，． (1)求证：． (2)若平分，于点，，求的度数． 【变式9-2】如图，于点，点是上任意一点，过点作于点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【变式9-3】如图，在三角形中，E，F是边上的点，连结，过点A作交于D，点G在边上，且满足． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【考点题型十】平行线间的距离 【典例10】如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【变式10-1】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是 ． 【变式10-2】如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（    ）    A． B． C． D． 【变式10-3】已知直线，，互相平行，直线与的距离是厘米，直线与的距离是厘米，那么直线与的距离是（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米或厘米 D．不能确定 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 相交线和平行线（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O。 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。 注意：两个角互为对顶角的特征是： （1）角的顶点公共； （2）角的两边互为反向延长线； （3）两条相交线形成2对对顶角。 3. 对顶角的性质：对顶角相等。 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。 【清单02】垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂直于点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 注意： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。 注意： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【清单03】平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 【清单04】三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 图5 【清单05】平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 【清单06】平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【清单07】平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【考点题型一】对顶角 【典例1】下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义次进行判断即可得；掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； B、是对顶角，选项说法正确，符合题意； C、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； D、不是对顶角，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义，解此题的关键是能正确理解对顶角的定义，数形结合思想的运用．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可． 【详解】解： A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； C、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列各组角中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义，熟悉定义是关键． 对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断， A、B、C都不是由两条直线相交构成的图形，选项错误，不符合定义； D是由两条直线相交构成的图形，选项正确，符合定义． 故选：D． 【变式1-3】如图图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，解题关键是两个角有公共顶点，且两边互为反向延长线，本题属于基础题型．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角逐一判断即可得解． 【详解】解：A、和是邻补角，不符合题意； B、与两角是对顶角，故B符合题意； C、D、与两边不互为反向延长线，故C、D不符合题意； 故选：B． 【考点题型二】点到直线的距离 【典例2】 如图，已知三角形中，垂足为D，则表示点A到直线 的距离的是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，进行判断即可． 【详解】解：由点到直线的距离定义可知：线段的长度表示点A到直线 的距离． 故选：C． 【变式2-1】如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离判断．根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是5， 故选：C． 【变式2-2】如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键． 根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题． 【详解】解：点B到直线的距离是， 故答案为：． 【考点题型三】垂线段最短 【典例3】如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点，则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 ．    【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题的关键． 根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可得答案． 【详解】解：根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可知其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【变式3-1】如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短的应用．熟练掌握：在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短作答即可． 【详解】解：由题意知，依据为垂线段最短， 故选：B． 【变式3-2】如图，在中，，，，点P是边BC上的动点，则的长不可能是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质．利用垂线段最短分析． 【详解】解：已知，在中，，， 根据垂线段最短，可知的长不可小于3，当和重合时，， 则的长不可能是， 故选：A． 【变式3-3】如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据垂线段最短的性质进行解答解答． 【详解】解：根据题意可得：垂直马路方向走斑马线更节省时间，体现了垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 【考点题型四】三线八角 【典例4】如图，按各组角的位置判断错误的是（    ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； B、与是内错角，原说法正确，不符合题意； C、与不是同旁内角，原说法错误，符合题意； D、与是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】下列图形中，与是同位角的有（    ） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此求解即可． 【详解】解：根据同位角的定义可知，图①，图②，图④中的与是同位角，图③中的与不是同位角， 故选：A． 【变式4-2】如图，下列说法错误的是（    ） A．与是对顶角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】本题考查对顶角和三线八角，根据对顶角，三线八角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、与是对顶角，说法正确； B、与是内错角，说法正确； C、与是同旁内角，说法正确； D、与是同旁内角，原说法错误； 故选D． 【变式4-3】如图所示，的一边和的一边相交于一点，下列说法错误的是（    ）． A．和是同位角 B．和是同旁内角 C．和是内错角 D．和是同位角 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，利用同位角以及内错角和同旁内角的定义分别分析得出即可． 【详解】解：A、和是同位角是正确的，不合题意； B、和是同旁内角，正确，不合题意； C、和是内错角，正确，不合题意； D、和不是同位角，符合题意； 故选：D． 【考点题型五】平行线的有关定义 【典例 5】下列说法中正确的个数为（    ） ①同一平面内不相交的两条直线互相平行；②经过一点能作一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质、平行公理及推论． 由题意直接根据平行线的判定与性质、平行公理及推论依次进行分析即可判断． 【详解】解：①同一平面内不相交的两条直线互相平行，所以①正确； ②经过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，所以②错误； ③平行于同一条直线的两条直线平行，所以③正确； ④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直，所以④正确． 故选：C． 【变式5-1】小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 【变式5-2】已知直线，，则下列结论正确的是（　　） A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行 C．直线a与c相交 D．直线a与b相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行公理的应用，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即直线a与c互相平行． 故选：B． 【变式5-3】下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行公理及推论，逐项判断即可，熟记平行线的定义、平行公理及推论是解题的关键． 【详解】解：∵（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，是平行的定义，故正确； （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条，是平行公理，故正确； （3）如果，，则，是平行公理推论，故正确； （4）两条不平行的射线，在同一平面内也不一定相交，例如“在同一平面内，点在点的正北方向，点向正西方向作射线，点向正南方向作射线”，两射线不平行也不相交，故原说法错误． ∴正确的是（1）（2）（3）共3个， 故选：C． 【考点题型六】平行线的判定 【典例6】如图，，分别是的角平分线，，求证：．    【答案】见解析 【分析】先利用角平分线定义得到，，而，则，结合题意可得，最后根据平行线的判定定理得到． 【详解】证明：∵分别是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义．掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题关键． 【变式6-1】如图，下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次分析并判断． 【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意； ∵，∴，故B选项符合题意； 由，不能证明哪两条直线平行，故C选项不符合题意； 由不能证明哪两条直线平行，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】如图，在四边形中，连接，下列条件中，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，正确把握平行线的判定方法是解题的关键； 利用平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，即可得出答案． 【详解】A．当时，，故此选项不符合题意； B． 当时，，故此选项符合题意； C． 当时，得平分，无法得，故此选项不符合题意； D． 当时，得平分，无法得，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-3】如图，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【详解】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 【变式6-4】如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可； （2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得，∠3＝∠4． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【考点题型七】平行线的性质求角度 【典例7】如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，得到，进而得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式7-1】将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-2】如图，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作，得到，利用邻补角求得的度数，根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-3】如图，将一块含有的直角三角板放置在两条平行线上，若，则为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查平行线的性质．过点作，根据平行线的性质可得，，由，计算可得结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-4】如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由可得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-5】如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与对应，若，若则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．设，即可得到的度数，再根据平行线的性质即可得到，依据列方程解答即可． 【详解】解：设， ∴， 由折叠可得：， 又∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 【考点题型八】平行线的性质在生活中的应用 【典例8】一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的应用．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意； C、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向不同，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式8-1】在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，，    ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式8-2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得：，，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ， ∵， ， ， ， ， 故选：C． 【变式8-3】某市提倡绿色出行，推出了共享单车服务．图1 是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行， ，若 ，则 的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵． ∴ 故选：C． 【考点题型九】平行线的判定与综合 【典例9】如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，连接，，点F是线段上一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后等量代换得到，然后根据平行线的判定定理求解即可； （2）首先根据垂直的定义得到，然后根据平行线的性质得到，然后求出，然后就平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 【变式9-1】如图，，． (1)求证：． (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能够正确掌握角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据题意得出，进行等量代换确定，再由平行线的判定即可证明． （2）根据角平分线及（1）中过程得出，再结合垂直即可求解． 【详解】（1）解： ， 又， ， ． （2）解：∵， ∴， 平分， ， ∴， ∵， ， ∴． 【变式9-2】如图，于点，点是上任意一点，过点作于点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，由平行线的性质得出，结合题意得出，即可得证； （2）由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式9-3】如图，在三角形中，E，F是边上的点，连结，过点A作交于D，点G在边上，且满足． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义，关键是掌握平行线的性质． （1）由平行线的性质推出，而，由补角的性质推出． （2）由邻补角的性质求出，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【考点题型十】平行线间的距离 【典例10】如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴平行线a、b之间的距离为， 故答案为：8． 【变式10-1】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查平行线之间的距离，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解： 如图①，a与c之间的距离为； 如图②，a与c之间的距离为． ∴a与c之间的距离为或， 故答案为：或． 【变式10-2】如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．据，可得，进而得出a与c的距离为． 【详解】解：∵a与b的距离是，b与c的距离是，， ∴， ∴， 即a与c的距离为． 故选：B. 【变式10-3】已知直线，，互相平行，直线与的距离是厘米，直线与的距离是厘米，那么直线与的距离是（    ） A．厘米 B．厘米 C．厘米或厘米 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能求出所有情况是解此题的关键．画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况，如图：    （1）直线与的距离是厘米； （2）直线与的距离是厘米； 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$