专题06 几何图形与点线面体（14个考点梳理+题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材北京版

专题06 几何图形与点线面体（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 几何图形 ①几何图形的定义：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。 ②几何图形分为立体图形图形平面图形图形。 ③ 平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面 内的图形，如直线、三角形等。 ④ 立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体。 【清单02】 常见的立体图形 ①柱体：A棱柱： B 圆柱 ② 椎体：A棱锥 B圆锥 球体等 【清单03】立体图形的三视图 从不同方向观察几何体,从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做主视图、左视图、俯视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。 ①会观察小正方体堆积图形画出三视图 ②会根据三视图知道堆积的小正方体的个数 【清单04】 立体图形的展开图 ①圆柱的侧面展开图是长方形。②圆锥的侧面展开图是扇形。③n棱柱的侧面展开图是 n边 形 ，n棱柱有 两个底面，都是n边形 ，n棱柱的侧面展开图是长方形。④n棱锥的侧面展开图是 n个三角形 形 ，n棱锥有一个底面，是多边形。⑤正方体的展开图共分四类： ①掌握在正方体展开图中找相对面的方法 ②会根据展开图中的图案判断是哪个图形的展开图 【清单04】 点、线、面、体 1、立体图形是几何体，简称体；包围着体的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线；线和线相交的地方是点。 2、几何图形都是由点、线、面、体组成，点是构成图形的基本元素。 【考点题型一】立体图形 【例1】下列物体中，给我们以“圆柱”形象的是（   ） A． B． C． D． 【变式1 -1】下列图形中，不属于立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1 -2】下列几何体中，是六面体的为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】平面图形 【例2】下列图形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2 -1】将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】从不同方向看立体图形 【例3】在下面四个几何体中，从上面看得到的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3 -1】下面四个立体图形中，从正面去观察它，得到的平面图形是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3 -2】如图是由一个圆锥和一个长方体组成的几何体，从上面看它得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【变式3 -3】从上面看几何体，则看到的是下面哪一个图形（   ） A． B． C． D． 【变式3 -4】在如图所示的几何体中，从不同方向看得到的平面图形中有长方形的是（    ） A．① B．② C．①② D．①②③ 【变式3 -5】下列几何体中，从上面看得到的平面图形是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3 -6】分别从正面、上面、左面观察下列每个物体，得到的平面图形完全相同的物体是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式3 -7】如图所示的圆柱体从正面看得到的平面图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3 -8】分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是 填写序号． 【考点题型四】立体图形的展开图 【例4】下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【变式4 -1】如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（    ） A． B．   C．   D．   【变式4 -2】如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，所得的圆柱侧面展开图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式4 -3】下图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（    ） A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥 【变式4 -4】如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图是扇形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4 -5】将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4 -6】如图是某个几何体的展开图，则该几何体是（    ） A．五棱柱 B．长方体 C．五棱锥 D．六棱柱 【变式4 -7】如图为一个立体图形的平面展开图，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【变式4 -8】下列图形中，能折叠成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【变式4 -9】如图是某几何体的展开图，该几何体是 ．    【变式4 -10】下列几何体的展开图中，能围成圆锥的是 ． 【考点题型五】点线面体 【例5】课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【变式5 -1】你见过一种折叠灯笼吗？它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【变式5 -2】下列生活形象解释正确的一项是（    ） A．旋转一扇门，门在空中运动的轨迹：点动成线 B．天空划过的流星：线动成面 C．汽车雨刷在挡风玻璃上划过的痕迹：线动成面 D．将一张纸折叠后，纸上会出现一条线：面动成体 【变式5 -3】飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）流星从空中划过留下的痕迹可解释为 ； （2）自行车的辐条运动可解释为 ； （3）一只蚂蚁行走的路线可解释为 ； （4）打开折扇得到扇面可解释为 ； （5）一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为 ． 【考点题型六】直线、射线、线段 【例6】如图，已知平面上四个点，请按要求画图并回答问题． (1)连接，延长到，使； (2)分别画直线、射线； (3)在射线上找点，使最小．此画图的依据是_______． 【变式6 -1】如图，点，，在直线上，下列说法正确的是（    ）    A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 【变式6 -2】在学习了“简单的几何图形”一章后，小宇同学构建了本章的知识结构图（如下图所示），请把图中的补充完整，应为 ，应为 ．    【变式6 -3】如图，已知，点在射线上． (1)请按照下列步骤画图(保留作图痕迹)： ①用圆规在射线上取一点，使； ②在内部作射线，使； ③在射线上取一点(不与点重合)，连接，； (2)由图可知， (填“”“”或“”)． 【变式6 -4】如图，已知四点A、B、C、D，请按要求完成下列问题： (1)画直线； (2)连接并延长到E，使； (3)画射线、并度量 °（结果精确到度）； (4)画的角平分线． 【变式6 -5】如图，同一平面内的四个点A，B，C，D，按要求画图，并回答问题． (1)分别画直线，射线； (2)连接，并延长到点E，使得； (3)在直线上确定一点P，使得点P到点B与点D的距离之和最小；此画图的依据是__________． 【变式6 -6】如图，平面内有，，，四点， (1)利用直尺，按照下面的要求作图 ①作射线； ②作线段； ③作直线； (2)A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，若A，C两个小区之间的距离为4千米，B，D两个小区之间的距离为3千米，现要在四个小区之间建一个供水站P，要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置，并写出该最短距离为 千米． 【变式6 -7】按照下列要求完成作图及问题解答：如图，已知点A和线段． (1)连接； (2)作射线； (3)延长至点D，使得； (4)通过测量可得的度数是______． 【考点题型七】两点确定一条直线 【例7】要把一个横排挂钩在墙上钉牢，至少要钉两枚钉子，这样做的依据是： ． 【变式7 -1】木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）． A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．经过一点有无数条直线 【变式7 -2】同一平面内A，B，C三点，经过任意两点画直线，共可画（    ） A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．不能确定 【变式7 -3】要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉 枚钉子，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【考点题型八】点与线的位置关系 【例8】以下关于图的表述，不正确的是（　　） A．点C在直线外 B．点D在直线上 C．射线是直线的一部分 D．直线和直线相交于点B 【变式8 -1】如图，已知三点，作直线． (1)用语句表述图中点与直线的关系：______； (2)用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：连接，在线段的延长线上作线段，使． (3)连接，比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整： ，， ， ______，（______）（填推理的依据） ______． 【考点题型九】直线、线段、射线的数量问题 【例9】如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中线段的条数有（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【变式9 -1】如图，点，是直线上的两点，则图中分别以，为端点的射线的条数为（　　　） A． B． C． D． 【变式9 -2】已知个点，，，…，在同一平面内，且其中没有任何三点在同一条直线上．设表示过这n个点中的任意两个点所作的直线的最多条数，推断 ． 【考点题型十】两点之间线段最短 【例10】亮亮准备从学校出发，开车去南山滑雪场滑雪，他打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学知识是 ． 【变式10 -1】如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是，②号路线是.小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是 ． 【变式10 -2】小明一家准备自驾去居庸关长城游玩．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为，小明用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为，如图所示，小明发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．请你用所学数学知识说明其中的道理： ． 【变式10 -3】按要求画图，并回答问题： 如图，已知平面上四个点 A，B，C，D，请按要求回答下列问题： (1)画直线，射线，连接； (2)取线段中点E； (3)请在直线上确定一点F，使点F到点E与点C的距离之和最短，并写出画图依据（保留作图痕迹）． 【考点题型十一】两点之间的距离 【例11】两条线段，一条长，另一条长，将它们一端重合且放在同一条直线上，则这两条线段的中点之间的距离是 ． 【变式11 -1】已知为直线l上的三点，如果线段，，那么两点间的距离为 cm． 【变式11 -2】如图所示，点A，点D这两点间的距离是线段 的长度． 【变式11 -3】两根长度分别为8cm和10cm的直木条，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条中点之间的距离为 ． 【考点题型十二】线段的和与差 【例12】如图，在下列各关系式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12 -1】如图，下列关系式中与图不符合的式子是（）    A． B． C． D． 【变式12 -2】一种零件的图纸如图所示，若AB＝10mm，BC＝50mm，CD＝20mm，则AD的长为 mm． 【变式12 -3】点A，B，C在同一条直线上，如果，，那么＝ ． 【变式12 -4】已知A、B、C三点在一条直线上，，且，则线段的长为 cm． 【变式12 -5】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点 　　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） (2)若 ，点C是线段A的巧点，则　　； (3)如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由． 【考点题型十三】线段中点问题 【例13】如图，已知，为线段上顺次两点，，分别是，的中点． (1)若，，求的长． (2)若，，请用含、的式子表示出的长． 【变式13 -1】如图，是线段的中点，是线段的中点，若，则线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式13 -2】已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，则的长是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式13 -3】如图，点是线段上一点，，点是的中点，则的长为（  ）    A．3 B．9 C．12 D．15 【变式13 -4】已知是直线上的点，线段，，是线段的中点，则线段的长为 ． 【变式13 -5】如图，已知点为线段上一点，线段，，点是线段的中点，则线段的长为 ．    【变式13 -6】已知线段，点在射线上，且，为的中点． (1)依题意，画出图形； (2)直接写出线段的长． 【变式13 -7】已知：点C是线段的中点，点D在直线上，且，． (1)求线段的长； (2)直接写出线段的长． 【变式13 -8】如图，点，在线段上，，，为线段的中点．    (1)求线段的长； (2)若是直线上一点，且，求线段的长． 【变式13 -9】已知点C，N在射线AB上，点M是线段AC的中点． (1)如图，当点C在线段AB上时，若点N是线段CB的中点，AC＝10，BC＝14，求线段MN的长； (2)当点C在线段AB的延长线上时，若CN∶BN＝1∶2，AC＝a，BC＝b，直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）． 【变式13 -10】将下面的解答过程补充完整： 已知：如图，点B在线段上，，点D，E分别是线段的中点，． 求：线段的长． 解：因为点E是线段的中点，， 所以__________． 又因为，__________， 所以． 所以__________． 所以__________． 又因为点D是线段的中点， 所以____________________． 【变式13 -11】如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【考点题型十四】与线段有关的动点问题 【例14】如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【变式14 -1】如图，已知，点C是线段上一动点（不与A、B重合），点M是线段的中点，点N是线段的中点．求线段的长． 【变式14 -2】点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点． （1）点B表示的数为________； （2）若线段，则线段OM的长为________； （3）若线段（），求线段BM的长（用含a的式子表示）． 【变式14 -3】如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【变式14 -4】已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． （1）若线段，点C恰好是的中点，则线段______； （2）如图，若线段，，求线段的长； （3）若线段的长为a，则线段的长为______（用含a的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何图形与点线面体（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 几何图形 ①几何图形的定义：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形。 ②几何图形分为立体图形图形平面图形图形。 ③ 平面图形：图形所表示的各个部分都在同一平面 内的图形，如直线、三角形等。 ④ 立体图形：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体。 【清单02】 常见的立体图形 ①柱体：A棱柱： B 圆柱 ② 椎体：A棱锥 B圆锥 球体等 【清单03】立体图形的三视图 从不同方向观察几何体,从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做主视图、左视图、俯视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。 ①会观察小正方体堆积图形画出三视图 ②会根据三视图知道堆积的小正方体的个数 【清单04】 立体图形的展开图 ①圆柱的侧面展开图是长方形。②圆锥的侧面展开图是扇形。③n棱柱的侧面展开图是 n边 形 ，n棱柱有 两个底面，都是n边形 ，n棱柱的侧面展开图是长方形。④n棱锥的侧面展开图是 n个三角形 形 ，n棱锥有一个底面，是多边形。⑤正方体的展开图共分四类： ①掌握在正方体展开图中找相对面的方法 ②会根据展开图中的图案判断是哪个图形的展开图 【清单04】 点、线、面、体 1、立体图形是几何体，简称体；包围着体的是面，面有平面和曲面；面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线；线和线相交的地方是点。 2、几何图形都是由点、线、面、体组成，点是构成图形的基本元素。 【考点题型一】立体图形 【例1】下列物体中，给我们以“圆柱”形象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查认识立体图形，解题的关键是结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．据此解答即可． 【详解】解：A．此物体给我们以“球”的形象，故此选项不符合题意； B．此物体给我们以“正方体”的形象，故此选项不符合题意； C．此物体给我们以“圆柱”的形象，故此选项符合题意； D．此物体给我们以“圆锥”的形象，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式1 -1】下列图形中，不属于立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若图形上的所有点都在同一个平面内，则这个图形是平面图形；若图形上的点不都在同一个平面内，则这个图形是立体图形；根据平面图形与立体图形的含义即可完成． 【详解】A、是圆，是平面图形，故符合题意；B、C、D三个选项中的图形分别是圆锥、长方体、圆柱，它们都是立体图形，不符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了立体图形与平面图形的识别，掌握立体图形与平面图形的含义是关键． 【变式1 -2】下列几何体中，是六面体的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体指由6个长方形所围成的立体图形判断即可． 【详解】解：A、该几何体是长方体，是六面体，故本选项符合题意； B、该几何体是四棱锥，是五面体，故本选项不符合题意； C、几何体是圆锥，是旋转体，是由曲面和平面围成的，不是多面体，故本选项不符合题意； D、几何体是圆柱体，是曲面和两个平面围成的，不是平面图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了对立体图形的认识，熟悉各种常见立体图形即可轻松解答． 【考点题型二】平面图形 【例2】下列图形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角，即可得出结果． 【详解】解：A．正方形； B．菱形； C．平行四边形； D．矩形； 故选：A． 【点睛】本题考查了认识平面图形，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 【变式2 -1】将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】严格按照所给方法斜着向右上对折，再斜着向左上对折，向右左对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案． 【详解】解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间． 故选A． 【点睛】本题主要考查了剪纸问题；学生空间想象能力，动手操作能力是比较重要的，做题时，要注意培养． 【考点题型三】从不同方向看立体图形 【例3】在下面四个几何体中，从上面看得到的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，目的在考查学生的空间想象能力． 【详解】解：A、从上面看得到的图形是长方形，不符合题意； B、从上面看得到的图形是圆，不符合题意； C、从上面看得到的图形是圆，不符合题意； D、从上面看得到的图形是三角形，符合题意； 故选：D． 【变式3 -1】下面四个立体图形中，从正面去观察它，得到的平面图形是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出每个立体图形，从正面观察，得到的图形，即可求解． 【详解】解：A、从正面去观察，得到的平面图形是三角形，符合题意； B、从正面去观察，得到的平面图形是圆，不符合题意； C、从正面去观察，得到的平面图形是长方形，不符合题意； D、从正面去观察，得到的平面图形是长方形，不符合题意； 故选：A 【点睛】此题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是理解题意，掌握相关基础知识． 【变式3 -2】如图是由一个圆锥和一个长方体组成的几何体，从上面看它得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体的特点和观察的方位即可求解． 【详解】解：如图，圆锥从上面看到的平面图形是含圆心的圆，长方体从上面看到的是一个长方形， 所以组合图形为长方形内含有一个带圆心的圆，圆位于长方形的左上角． 故选：D 【点睛】本题考查了从不同方向观察几何体得到的平面图形，认真观察几何体，明确观察的方向是解题的关键，注意此题从上方看圆锥得到的是含圆心的圆． 【变式3 -3】从上面看几何体，则看到的是下面哪一个图形（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从上面看几何体只能看到左右并排的正方形，即可求解． 【详解】从上面看几何体，看见两个左右并排的正方形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是从不同方向观察几何体，锻炼了空间想象能力． 【变式3 -4】在如图所示的几何体中，从不同方向看得到的平面图形中有长方形的是（    ） A．① B．② C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】分别找出每个图形从三个方向看所得到的图形即可得到答案． 【详解】①正方体从上面、正面、左侧三个不同方向看到的形状都是正方形，符合要求； ②圆柱从左面和正面看都是长方形，从上边看是圆，符合要求； ③圆锥，从左边看是三角形，从正面看是三角形，从上面看是圆，不符合要求；故选：C． 【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，掌握定义是关键．注意正方形是特殊的长方形． 【变式3 -5】下列几何体中，从上面看得到的平面图形是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别找出从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：A、圆柱从上面看得到的平面图形是圆，故此选项不符合题意； B、三棱锥从上面看得到的平面图形是三角形，故此选项合题意； C、长方体从上面看得到的平面图形是矩形，故此选项不合题意； D、六棱柱从上面看得到的平面图形是六边形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握简单几何体的三视图． 【变式3 -6】分别从正面、上面、左面观察下列每个物体，得到的平面图形完全相同的物体是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据正面、上面、左面观察到的形状分析即可． 【详解】解：图①、图②、图③、图④可以近似的看作正方体，圆锥体，长方体、圆柱体， 正方体的三视图都是正方形的， 圆锥体的主视图、左视图是三角形的，而俯视图是圆形的， 长方体的三视图虽然都是长方形的，但它们的大小不相同， 圆柱的主视图、主视图是长方形的，但俯视图是圆形的， 因此从正面、上面、左面看所得到的平面图形完全相同的是正方体， 故选：A． 【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，良好的空间想象能力是解答本题的关键． 【变式3 -7】如图所示的圆柱体从正面看得到的平面图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱从正面看的平面图形是矩形进行解答即可． 【详解】解：一个倒在水平面上的圆柱体，从正面看是一个矩形， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置，以及注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 【变式3 -8】分别从正面、上面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的是 填写序号． 【答案】 【分析】从正面，上面，左面看：图、图、图、图分别是长方体，圆锥，正方体、圆柱，根据它们三视图的形状进行判断即可． 【详解】解：图、图、图、图分别是长方体，圆锥，正方体、圆柱， 长方体的三视图虽然都是长方形的，但它们的大小不相同， 圆锥体的主视图、左视图是三角形的，而俯视图是圆形的， 正方体的三视图都是正方形的， 圆柱的主视图、主视图是长方形的，但俯视图是圆形的， 因此从正面、上面、左面看所得到的平面图形完全相同的是正方体， 故答案为：． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，掌握简单组合体的三视图的形状是正确判断的前提． 【考点题型四】立体图形的展开图 【例4】下列图形中，可以作为一个正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，可利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”(即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况)判断，熟记展开图的11种形式是解题的关键． 【详解】解：A．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意； B．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意； C．可以作为一个正方体的展开图，符合题意； D．不可以作为一个正方体的展开图，不合题意． 故选：C． 【变式4 -1】如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图的特点是解题的关键．根据展开图，从相对面的特点出发，判断即可． 【详解】解：根据展开图，可得有两个空白面是相对面，故A不符合题意； 三角形符号的相对面是空白面，可得3个空白面两两相邻，没有相对面，故C不符合题意； 星号与圆是相对面，故D不符合题意； 只有B符合题意， 故选B． 【变式4 -2】如图，已知是圆柱底面的直径，是圆柱的高，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，所得的圆柱侧面展开图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题主要考查了圆柱的展开图，熟练掌握根据圆柱的侧面展开是长方形，线段的性质，是解决问题的关键． 根据圆柱的侧面展开是长方形，“两点之间，线段最短”的特点解题． 【详解】∵圆柱的侧面展开是长方形，“两点之间，线段最短”， ∴展开后A与C的金属丝应是两条线段，且有公共点C． 故选：B． 【变式4 -3】下图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（    ） A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥 【答案】A 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面， 因此该几何体是三棱柱． 故选：． 【变式4 -4】如图，下列水平放置的几何体中，其侧面展开图是扇形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】侧面展开图是把一个立方体从其侧面竖直剪开，展开后的那个平面即为侧面展开图，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项侧面展开图是矩形； B选项侧面展开图是矩形； C选项侧面展开图是矩形； D选项侧面展开图是扇形； 故选：D． 【点睛】本题考查几何体的侧面展开图，侧面展开图是把立方体从其侧面竖直剪开，展开后的那个平面即为侧面展开图，理解侧面展开图的定义是解题的关键． 【变式4 -5】将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意； B、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意； C、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意； D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键． 【变式4 -6】如图是某个几何体的展开图，则该几何体是（    ） A．五棱柱 B．长方体 C．五棱锥 D．六棱柱 【答案】A 【分析】根据简单几何体的展开图，即可得到答案． 【详解】解：几何体的展开图为长方形和五边形，据此可判断该几何体为五棱柱，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了简单几何体的展开图，解题的关键是熟记几种几何体的展开图，错因分析：没有熟练掌握几何体的展开图． 【变式4 -7】如图为一个立体图形的平面展开图，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立体图形的展开图是平面图形以及四棱锥的侧面展开图是三角形，底面是四边形，据此可解答． 【详解】解：∵四棱锥的展开图侧面是三角形，底面是四边形， ∴这个立体图形是四棱锥； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【变式4 -8】下列图形中，能折叠成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见形式作答即可．注意只要有“田”“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 【详解】解：A、不能折叠成一个正方体，故选项不符合题意； B、能折叠成三棱柱，故选项不符合题意； C、能折叠成一个正方体，故选项正确，符合题意； D、不能折叠成正方体，故选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢． 【变式4 -9】如图是某几何体的展开图，该几何体是 ．    【答案】圆锥 【分析】展开图为一个圆，一个扇形，可得是圆锥的展开图． 【详解】解：∵展开图为一个圆，一个扇形， ∴可得此几何体为圆锥． 故答案为：圆锥． 【点睛】此题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力． 【变式4 -10】下列几何体的展开图中，能围成圆锥的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据三棱柱、圆柱及圆锥的展开图特点依次判断即可得． 【详解】解：①围成三棱柱； ②围成圆锥； ③围成圆柱； ④围成圆锥； 综合可得：围成圆锥的有②④； 故答案为：②④． 【点睛】题目主要考查基本几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图特点是解题关键． 【考点题型五】点线面体 【例5】课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【答案】(1)C (2)①侧面积相等  ②体积比为 (3)侧面积相等；体积比为 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积和体积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）① 分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积，然后比较大小即可； ②分别计算出甲、乙圆柱体的体积，求出其比值即可； （3）根据（2）计算的结果得出甲、乙圆柱体侧面积的关系以及体积比的关系． 【详解】（1）解：根据题意得：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：①甲圆柱的侧面积为：， 乙圆柱的侧面积为：， 所以甲乙两圆柱的侧面积相等； ②甲圆柱的体积为：， 乙圆柱的体积为：， 所以甲乙两圆柱的体积比为：； （3）解：由（2）知甲、乙圆柱体的侧面积相等，体积比． 【变式5 -1】你见过一种折叠灯笼吗？它看起来是平面的，可是提起来后却变成了美丽的灯笼，这个过程可近似地用哪个数学原理来解释（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【答案】C 【分析】根据点、线、面、体相关的知识进行解答即可． 【详解】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据点、线、面、体的相关知识，解题的关键在于掌握几何变换之间的关系． 【变式5 -2】下列生活形象解释正确的一项是（    ） A．旋转一扇门，门在空中运动的轨迹：点动成线 B．天空划过的流星：线动成面 C．汽车雨刷在挡风玻璃上划过的痕迹：线动成面 D．将一张纸折叠后，纸上会出现一条线：面动成体 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键，点动成线、线动成面、面动成体． 【详解】解：A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹，此现象给我们“面动成体”的感觉，故A不符合题意； B．天空划过的流星，给我们的感觉为“点动成线”，故B不符合题意 C．汽车雨刷在挡风玻璃上划过的痕迹，给我们的感觉是“线动成面”，故C符合题意； D．将一张纸折叠后，纸上会出现一条线不是面动成体，故D不符合题意； 故选：C． 【变式5 -3】飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）流星从空中划过留下的痕迹可解释为 ； （2）自行车的辐条运动可解释为 ； （3）一只蚂蚁行走的路线可解释为 ； （4）打开折扇得到扇面可解释为 ； （5）一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为 ． 【答案】 点动成线 线动成面 点动成线 线动成面 面动成体． 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握四者之间的关系．根据点线面体之间的关系为：点动成线，线动成面，面动成体的规律来解答即可． 【详解】解：（1）流星是点，光线是线，流星划出一条长线，所以流星从空中划过留下的痕迹可解释为点动成线； 故答案为：点动成线； （2）自行车的辐条是线，在运动过程中形成面，所以自行车的辐条运动可解释为线动成面； 故答案为：线动成面； （3）蚂蚁可看做是点，行走的路线是线，所以一只蚂蚁行走的路线可解释为点动成线； 故答案为：点动成线； （4）折扇合起来时是一条线，打开折扇得到扇面可解释为线动成面； 故答案为：线动成面； （5）一个圆是面，球是立体图形，一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为面动成体． 故答案为：面动成体； 【考点题型六】直线、射线、线段 【例6】如图，已知平面上四个点，请按要求画图并回答问题． (1)连接，延长到，使； (2)分别画直线、射线； (3)在射线上找点，使最小．此画图的依据是_______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题考查基本作图，涉及作等线段、作直线、作射线、利用对称性作图，熟记直线、射线、线段及对称性概念是解决问题的关键． （1）连接，并延长，以为圆心、以为半径作圆交延长线于即可得到； （2）根据直线、射线定义作图即可得到答案； （3）由两点之间线段最短直接连接交于即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 线段即为所求； （2）解：如图所示： 直线，射线即为所求； （3）解：如图所示： 点即为所求；此画图的依据是两点之间线段最短． 【变式6 -1】如图，点，，在直线上，下列说法正确的是（    ）    A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与线段的关系，线段与线段的关系，射线的判定，熟练掌握点与线段的关系是解题的关键．根据点与线段的关系，线段之间的关系，射线的判定判断即可． 【详解】解：点在线段的延长线上，故A错误，不符合题意； 点在线段点的延长线上，故B错误，不符合题意； 射线与射线不是同一条射线，故C错误，不符合题意； 因为，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式6 -2】在学习了“简单的几何图形”一章后，小宇同学构建了本章的知识结构图（如下图所示），请把图中的补充完整，应为 ，应为 ．    【答案】 线段 相交直线 【分析】此题考查了简单的几何图形，根据有关概念即可，解题的关键是正确理解简单的几何图形的有关概念． 【详解】根据简单的几何图形可知：线有直线，射线，线段，两直线的位置关系有：异面直线，平行直线和相交直线， 故答案为：线段；相交直线． 【变式6 -3】如图，已知，点在射线上． (1)请按照下列步骤画图(保留作图痕迹)： ①用圆规在射线上取一点，使； ②在内部作射线，使； ③在射线上取一点(不与点重合)，连接，； (2)由图可知， (填“”“”或“”)． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查基本的几何图形： （1）按要求作图即可； （2）根据线段比较的方法，借助圆规，即可求得答案． 【详解】（1）如图所示： （2）借助圆规可知，． 故答案为： 【变式6 -4】如图，已知四点A、B、C、D，请按要求完成下列问题： (1)画直线； (2)连接并延长到E，使； (3)画射线、并度量 °（结果精确到度）； (4)画的角平分线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解，70 (4)见详解 【分析】本题考查作图：直线、射线、线段以及角平分线，根据直线、射线、线段以及角平分线的的定义作图即可． （1）根据直线的定义画图即可． （2）连接并延长，使得，则点即为所求． （3）根据射线的定义画图，再测量角度即可 （4）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如下图，直线即为所求． （2）如下图，点即为所求． （3）射线、即为所求，度量． 故答案为：70． （4）如图，射线即为所求， 【变式6 -5】如图，同一平面内的四个点A，B，C，D，按要求画图，并回答问题． (1)分别画直线，射线； (2)连接，并延长到点E，使得； (3)在直线上确定一点P，使得点P到点B与点D的距离之和最小；此画图的依据是__________． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析；两点之间，线段最短 【分析】本题考查作图应用与设计作图，直线，射线，线段的定义等知识： （1）根据直线，射线的定义画出图形即可； （2）根据线段的定义以及题目要求画出图形即可； （3）根据两点之间线段最短解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线，射线即为所求； （2）解：如图，线段，点E即为所求； （3）解：如图，连接，交于点P，则点P即为所求； 此画图的依据是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短 【变式6 -6】如图，平面内有，，，四点， (1)利用直尺，按照下面的要求作图 ①作射线； ②作线段； ③作直线； (2)A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，若A，C两个小区之间的距离为4千米，B，D两个小区之间的距离为3千米，现要在四个小区之间建一个供水站P，要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置，并写出该最短距离为 千米． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析 (2)7 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）①根据射线的定义画图即可．②根据线段的定义画图即可．③根据直线的定义画图即可． （2）线段与直线的交点即为满足题意的点的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图，射线即为所求． ②如图，线段即为所求． ③如图，直线即为所求． （2）解：如图，线段与直线的交点即为满足题意的点的位置． 此时供水站到，，，四个小区的距离之和为（千米）， 即该最短距离为7千米． 故答案为：7． 【变式6 -7】按照下列要求完成作图及问题解答：如图，已知点A和线段． (1)连接； (2)作射线； (3)延长至点D，使得； (4)通过测量可得的度数是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)150° 【分析】（1）根据题意进行作图，不能超过两点即可； （2）根据射线概念进行作图即可； （3）根据题意进行作图即可； （4）用测量工具进行测量即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，点D即为所求； （4）解：通过测量可得的度数是150°， 故答案为：150°． 【点睛】本题主要考查了画射线和线段，用测量工具测量角，熟知线段和射线的画图方法是解题的关键． 【考点题型七】两点确定一条直线 【例7】要把一个横排挂钩在墙上钉牢，至少要钉两枚钉子，这样做的依据是： ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质解答即可，利用直线的性质是解此题的关键． 【详解】解：要把一个横排挂钩在墙上钉牢，至少要钉两枚钉子，这样做的依据是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【变式7 -1】木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下，能解释这一实际应用的数学知识是（    ）． A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，直线最短 D．经过一点有无数条直线 【答案】A 【分析】本题考查了直线的性质，理解“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键． 【详解】解：木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下，能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，故A正确． 故选：A． 【变式7 -2】同一平面内A，B，C三点，经过任意两点画直线，共可画（    ） A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．不能确定 【答案】C 【分析】分A，B，C三点在一条直线上和不在一条直线上两种情况，分别讨论即可． 【详解】解：当A，B，C三点在一条直线上时，经过任意两点画直线，共可画1条； 当A，B，C三点不在一条直线上时，根据两点确定一条直线，可知经过任意两点画直线，共可画3条； 因此共可画1条或3条直线． 故选C． 【点睛】本题考查直线的概念，解题的关键是掌握两点确定一条直线，注意分类讨论． 【变式7 -3】要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉 枚钉子，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【答案】 ； 两点确定一条直线． 【分析】本题考查了直线的性质，根据两点确定一条直线解答即可，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】要把一根木条在墙上钉牢，至少要钉颗钉子，这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线， 故答案为：；两点确定一条直线． 【考点题型八】点与线的位置关系 【例8】以下关于图的表述，不正确的是（　　） A．点C在直线外 B．点D在直线上 C．射线是直线的一部分 D．直线和直线相交于点B 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，用到的知识点是直线、射线、线段的定义，点与直线、直线与直线的位置关系，熟记有关定义是本题的关键． 根据直线、线段、射线的定义，然后逐项进行判断即可选出答案． 【详解】解：A、点在直线外，正确，不符合题意； B、点在直线外，故原说法错误，符合题意； C、射线是直线的一部分，正确，不符合题意； D、直线和直线相交于点，正确，不符合题意； 故选：B． 【变式8 -1】如图，已知三点，作直线． (1)用语句表述图中点与直线的关系：______； (2)用直尺和圆规完成以下作图（保留作图痕迹）：连接，在线段的延长线上作线段，使． (3)连接，比较线段与线段的长短，并将下面的推理补充完整： ，， ， ______，（______）（填推理的依据） ______． 【答案】(1)点在直线外； (2)见解析 (3)；两点之间，线段最短； 【分析】（1）根据直线与点的位置关系进行求解； （2）根据几何语言画出几何图形； （3）利用两点之间线段最短得到，从而可判断． 【详解】（1）解：点与直线的关系为：点在直线外， 故答案为：点在直线外； （2）解：作出图如图所示；     （3）解：，， ， ，（两点之间，线段最短）      ， 故答案为：；两点之间，线段最短；． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了两点之间的距离． 【考点题型九】直线、线段、射线的数量问题 【例9】如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中线段的条数有（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】D 【分析】根据线段的定义，写出所有线段后再计算条数． 【详解】解：由图可得，线段有：线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD，共6条． 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段的定义，注意解决计数问题时要做到不重不漏． 【变式9 -1】如图，点，是直线上的两点，则图中分别以，为端点的射线的条数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由射线有一个端点，同时具备向一个方向可以无限延伸的特点，从而可得答案． 【详解】解：图中以为端点的射线有条，以为端点的射线有条， 所以一共有条射线， 故选： 【点睛】本题考查的是射线的特点，掌握“射线有一个端点，可以向一个方向无限延伸．”是解题的关键． 【变式9 -2】已知个点，，，…，在同一平面内，且其中没有任何三点在同一条直线上．设表示过这n个点中的任意两个点所作的直线的最多条数，推断 ． 【答案】 【分析】分别得出过2个点，过3个点，…，共有多少条直线，分析得出规律即可． 【详解】解：当过2个点时，， 当过3个点时，， 当过4个点时，， 当过5个点时，， … ∴当有n个点时，， 故答案为：． 【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【考点题型十】两点之间线段最短 【例10】亮亮准备从学校出发，开车去南山滑雪场滑雪，他打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，即两点之间，线段最短． 【详解】解：亮亮打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，， 能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式10 -1】如图，从学校A到书店B有两条路线，①号路线是，②号路线是.小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，属于基础题，注意两点之间，线段最短这一知识点的灵活运用． 【详解】解：小明认为学校到书店最近的路线是①号路线，得出这个结论的数学原理是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式10 -2】小明一家准备自驾去居庸关长城游玩．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为，小明用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为，如图所示，小明发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．请你用所学数学知识说明其中的道理： ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：其中的道理为两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式10 -3】按要求画图，并回答问题： 如图，已知平面上四个点 A，B，C，D，请按要求回答下列问题： (1)画直线，射线，连接； (2)取线段中点E； (3)请在直线上确定一点F，使点F到点E与点C的距离之和最短，并写出画图依据（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，依据：两点之间线段最短 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据要求作图即可； （3）根据两点之间线段最短，连接，与的交点即为点． 【详解】（1）解：如图所示：直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图所示：点即为所求； （3）如图，连接，与的交点即为点； 根据两点之间线段最短，所以当三点共线时，最短，为的长度． 【点睛】本题考查直线，射线，线段，线段的中点，以及线段的性质．熟练掌握直线，射线，线段的定义，以及两点之间线段最短，是解题的关键． 【考点题型十一】两点之间的距离 【例11】两条线段，一条长，另一条长，将它们一端重合且放在同一条直线上，则这两条线段的中点之间的距离是 ． 【答案】2或8/8或2 【分析】分两种情况，两条线段在重合一端的同侧，两条线段在重合一端的异侧． 【详解】解：设较长的线段为cm，较短的线段为cm， 分两种情况： 当两条线段在重合一端的同侧，如图：    ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴，， ∴cm， 当两条线段在重合一端的异侧，如图：    ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴，， ∴， 所以，两条线段的中点之间的距离是或， 故答案为：2或8． 【点睛】本题考查了两点间距离，掌握分类讨论思想，根据题目的已知条件画出图形是关键． 【变式11 -1】已知为直线l上的三点，如果线段，，那么两点间的距离为 cm． 【答案】或/11或1 【分析】分两种情况，当在延长线上时或当在延长线上时，分别求解即可. 【详解】解：当在延长线上时， ； 当在延长线上时， ； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了线段的和差求解，解题的关键是理解题意，找到线段的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解． 【变式11 -2】如图所示，点A，点D这两点间的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】根据两点间的距离的定义可得点与点的距离． 【详解】解：点与点的距离为线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两点间距离的定义，掌握两点间距离的定义是解题的关键． 【变式11 -3】两根长度分别为8cm和10cm的直木条，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条中点之间的距离为 ． 【答案】1cm或9cm/9cm或1cm 【分析】设较长的木条为AB，较短的木条为BC，根据中点定义求出BM、BN的长度，然后分两种情况：BC不在AB上和BC在AB上时，分别代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：设较长的木条为AB=10cm，较短的木条为BC=8cm， ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴BM=5cm，BN=4cm， ①如图1，BC不在AB上时，MN=BM+BN=5+4=9(cm)， ②如图2，BC在AB上时，MN=BM−BN=5−4=1(cm)， 综上所述，两根木条的中点间的距离是1cm或9cm， 故答案为：1cm或9cm． 如图， 【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 【考点题型十二】线段的和与差 【例12】如图，在下列各关系式中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化是解题的关键．根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案． 【详解】解：A．∵ ，， ∴，故A选项不符合题意； B．∵ ，， ∴，故B符合题意； C．∵ ，， ∴，故C选项不符合题意； D．∵，， ∴   ， 故D选项不符合题意． 故选：B． 【变式12 -1】如图，下列关系式中与图不符合的式子是（）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案． 【详解】解：．∵，， ∴，故A选项不符合题意； ．∵，， ∴，故B选项不符合题意； ．∵，， ∴，故C不选项符合题意； ．∵，， ∴，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题的关键． 【变式12 -2】一种零件的图纸如图所示，若AB＝10mm，BC＝50mm，CD＝20mm，则AD的长为 mm． 【答案】80 【分析】根据AD＝AB+BC+CD即可得答案． 【详解】解：由图可知：AD＝AB+BC+CD＝10+50+20＝80（mm）． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了线段的和差，掌握连接两点间的线段长叫两点间的距离是解本题的关键． 【变式12 -3】点A，B，C在同一条直线上，如果，，那么＝ ． 【答案】3或9/9或3 【分析】根据题意分点A在点B左边和点A在点B右边两种情况讨论，分别求出AB的长度，然后根据线段之间的和差求解即可． 【详解】解：当点A在点B左边时，如图所示， ∵， ∴， ∴； 当点A在点B右边时，如图所示， ∵， ∴， ∴， 综上所述，AC的长度为3或9． 故答案为：3或9． 【点睛】此题考查了线段之间的和差计算，解题的关键是根据题意分两种情况讨论． 【变式12 -4】已知A、B、C三点在一条直线上，，且，则线段的长为 cm． 【答案】4或12 【分析】分点C在线段AB之间和点B在BA的延长线上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：若点C在线段AB之间，如下图： ∵，且， ∴， ∴； 若点C在线段BA的延长线上，如下图： ∵，且， ∴， ∴； 故答案为：4或12． 【点睛】本题考查线段的和差．能分类讨论画出图形是解题关键． 【变式12 -5】如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点 　　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） (2)若 ，点C是线段A的巧点，则　　； (3)如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点，理由见解析． 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，准确理解“巧点”的概念，利用分类讨论思想解题是关键． （1）根据“巧点”的定义即可求解； （2）分，进行讨论求解即可； （3）t秒后，，然后分当P为A、Q的巧点，Q为A、P的巧点时列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，当C是线段的中点，则， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”． 故答案为：是； （2）解：∵线段，点C是线段AB的“巧点”， ∴①当时， 此时； ②当时， 此时； ③当时， 此时； 综上，AC的长为或或， 故答案为：或或． （3）解：t秒后，， ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除； ②当P为A、Q的巧点时， i）当，即时， ∴， 解得：； ii）当，即时， ∴， 解得：； iii）当，即时， ∴(12﹣t)， 解得：； ③当Q为A、P的巧点时， i）当，即时， ∴， 解得：（舍去）； ii）当，即时， ∴， 解得：； iii）当，即时， ∴， 解得：； 综上，t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点． 【考点题型十三】线段中点问题 【例13】如图，已知，为线段上顺次两点，，分别是，的中点． (1)若，，求的长． (2)若，，请用含、的式子表示出的长． 【答案】(1)17 (2) 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题的关键． （1）利用，分别是，的中点，可以得出，，再利用线段的和差关系表示即可求出答案； （2）和方法（1）一样，利用线段的和差关系表示出关系式即可． 【详解】（1）解：，分别是，的中点， ，， ， 故的长是17． 答：的长是17． （2）由（1）可知， ， ，， ， 答：的长是． 【变式13 -1】如图，是线段的中点，是线段的中点，若，则线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，由是线段的中点，得出，由是线段的中点得出，最后有计算即可得出答案，找准线段之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：是线段的中点，， ， 是线段的中点， ， ， 故选：C． 【变式13 -2】已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，点E在线段上，且，则的长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，分类求解可得的长． 【详解】解：∵，点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 当点E在点C的左边， ∴； 当点E在点C的左边， ∴； 综上，的长是或， 故选：D． 【变式13 -3】如图，点是线段上一点，，点是的中点，则的长为（  ）    A．3 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差，与线段中点有关的计算，先求出，再根据点是的中点得出，最后由进行计算即可，根据图形得出线段之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 点是的中点， ， ， 故选：D． 【变式13 -4】已知是直线上的点，线段，，是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】5或11 【分析】本题考查的是与线段中点有关的线段计算，掌握线段中点的定义、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分两种情况：（1）当点在线段上时，当点在线段的反向延长线上时，分别画出图形，结合图形利用线段和差求解即可． 【详解】解：（1）当点在线段上时， ， 又，， 点是线段的中点， ； （2）当点在线段的反向延长线上时， ， 又，， 点是线段的中点， ． 综上，的长为5或11． 故答案为：5或11． 【变式13 -5】如图，已知点为线段上一点，线段，，点是线段的中点，则线段的长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了两点间的距离．先利用线段的和差关系可得，然后利用线段的中点定义可得，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， 点是线段的中点， ， ， 故答案为：5． 【变式13 -6】已知线段，点在射线上，且，为的中点． (1)依题意，画出图形； (2)直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】本题考查的是两点间的距离，解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据图形求出长，再求出的长，即可求出． 【详解】（1）解：画出图形如图1、图2所示：   ，   ； （2）解：①如图1所示， ，， ， 是线段的中点， ， ； ②如图2所示， ，， ， 是线段的中点， ， ． 【变式13 -7】已知：点C是线段的中点，点D在直线上，且，． (1)求线段的长； (2)直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)或13 【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，熟练掌握线段的中点是解题的关键； （1）根据线段中点的性质可直接进行求解； （2）由题意可分当点D在线段上时或点D在线段的延长线上时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：∵点C是线段的中点，， ∴； （2）解：由题意可分：①当点D在线段上时，则有； ②当点D在线段的延长线上时，则有：． 【变式13 -8】如图，点，在线段上，，，为线段的中点．    (1)求线段的长； (2)若是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)5 (2)7或17 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算、线段之间的和差关系，利用数形结合的思想，找准线段之间的关系是解此题的关键． （1）先求出，再由为线段的中点得出，即可得出答案； （2）分两种情况：当在点右侧时，当在点左侧时，分别画出图形，根据线段之间的关系进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可知， ，， ， 为线段的中点， ； （2）解：当在点右侧时，如图，   ，且， ， 当在点左侧时，如图，   ，且， ， 综上所述，的长为7或17． 【变式13 -9】已知点C，N在射线AB上，点M是线段AC的中点． (1)如图，当点C在线段AB上时，若点N是线段CB的中点，AC＝10，BC＝14，求线段MN的长； (2)当点C在线段AB的延长线上时，若CN∶BN＝1∶2，AC＝a，BC＝b，直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】（1）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论； （2）若点在的延长线上，分点在之间和点在的延长线上时两种情况再根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：（1）∵点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴ ∵AC＝10，BC＝14， ∴MC＝5，CN＝7， ∴MN＝MC＋CN＝12． （2）若点在的延长线上，点在之间时，如图， 是的中点， ， ，且， ， ． 若点在的延长线上，点在的延长线上时，如图， 是的中点， ， ，且， ， ． 故答案为：或． 【变式13 -10】将下面的解答过程补充完整： 已知：如图，点B在线段上，，点D，E分别是线段的中点，． 求：线段的长． 解：因为点E是线段的中点，， 所以__________． 又因为，__________， 所以． 所以__________． 所以__________． 又因为点D是线段的中点， 所以____________________． 【答案】10；；2；8；；4 【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算．根据点E是线段的中点，可得再根据，可得，然后根据点D是线段的中点，进而求解． 【详解】解：因为点E是线段的中点，， 所以． 又因为，， 所以． 所以． 所以． 又因为点D是线段的中点， 所以． 故答案为：10；；2；8；；4 【变式13 -11】如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发6秒后； (2)，理由见解析； (3)选，，理由见解析． 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：，，， ； （3）解：选； ，，，， 定值； 变化． 【考点题型十四】与线段有关的动点问题 【例14】如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解． 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 【变式14 -1】如图，已知，点C是线段上一动点（不与A、B重合），点M是线段的中点，点N是线段的中点．求线段的长． 【答案】5 【详解】本题考查与线段中点有关的计算，掌握线段中点的定义是解题的关键． 解：∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴． 【变式14 -2】点O为数轴的原点，点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍．点C在数轴上，M为线段OC的中点． （1）点B表示的数为________； （2）若线段，则线段OM的长为________； （3）若线段（），求线段BM的长（用含a的式子表示）． 【答案】（1）－1；（2）4或6；（3）或. 【分析】(1)由AB=1.2OA=6，得OB=1，而点B在原点的左侧，故B表示-1； (2)由B表示-1，BM=5，确定点M表示的数为4或-6，根据点的几何意义确定线段的长度即可. (3)根据AC的长度，分类确定点C表示的数，继而确定中点M表示的数，线段的和与差分别表示线段长度即可. 【详解】（1）∵AB=1.2OA=6， ∴OB=1， ∵点B在原点的左侧， ∴B表示-1， 故填-1； （2）设M表示的数为x， ∵B表示的数为-1，且BM=5， ∴|x+1|=5, ∴x=4或x=-6, ∴M表示的数为4或-6， ∴MO=4或MO=6， 故填4或6； （3）∵，点A表示的数为5， 当点C在点A右侧，， ∴， ∴； 点C在线段OA上，， ∴， ∴； 答：线段BM的长为：或. 【点睛】本题考查了数轴上点的几何意义，以及线段的和与差的意义，熟练用表示的数与线段的长度表示动点表示的数是解题的关键，灵活运用分类思想是解题的主要方法. 【变式14 -3】如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【答案】（1） 4 ；1；（2）①线段BP的长为 2t ；②当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可； （2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t, ②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其余两点的内二倍分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可． 【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为 4 ；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1； （2）① 则线段BP的长为 2t． ② 当P在线段AB上时，有以下两种情况： 如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP， 所以50-2t = 2×2t， 解得t=； 如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP， 所以2t=2（50-2t）， 解得t=； 当P在点A左侧时，有以下两种情况： 如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA， 所以50=2（2t-50） 解得t=； 如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA， 所以2t-50=2×50， 解得t=75； 综上所述：当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键． 【变式14 -4】已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． （1）若线段，点C恰好是的中点，则线段______； （2）如图，若线段，，求线段的长； （3）若线段的长为a，则线段的长为______（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）5（2）（3） 【分析】（1）根据题意分别求得，根据即可求解； （2）先求得，进而根据中点的性质求得，再根据即可求解； （3）根据（1）的方法求解即可 【详解】（1），是的中点， 点D，E分别是线段和的中点 故答案为： （2），， cm 点D，E分别是线段和的中点 （3）， 点D，E分别是线段和的中点 故答案为： 【点睛】本题考查了线段的和差，线段中点相关的计算，掌握线段中点的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$