专项16：数学广角——数与形（三大考点）（学生版+解析版）-2024-2025学年六年级数学上学期期末备考真题分类汇编（人教版）

人教版六年级数学上册第八单元：数学广角——数与形 专项突破16、数学广角——数与形（三大考点） （重难点讲解+方法点拨+同步练习+答案解析） 【考点一】算式的规律 【考点二】数字排列的规律 【考点三】图形的变化规律 考点一、算式的规律 【方法点拨】在数学算式中探索规律，应仔细观察算式的特点和结果的特点，进而根据规律找出这一类算式的结果。 【典型例题】根据下面一组有规律的算式，可以推出下一个算式是（   ）。 6×7＝42 66×67＝4422 666×667＝444222 A．6666×667＝4446222 B．666×6667＝4440222 C．6666×6677＝44508882 D．6666×6667＝44442222 【答案】D 【分析】第一个算式1个6和1个7相乘等于42，第二个算式2个6和67相乘等于4422，第三个算式3个6和667相乘等于444222，第四个算式应该是4个6和6667相乘等于44442222，据此选择即可。 【详解】可以推出下一个算式是6666×6667＝44442222。 故答案为：D 【变式训练1】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝（ ）2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ ）2＋（ ）2＝（ ） 5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝（ ）2－（ ）2＝（ ） 【答案】8；6；5；61；9；2；77 【分析】从1开始的连续奇数相加，和等于加数个数的平方，据此规律进行解答即可。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82 1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11）＋（9＋7＋5＋3＋1） ＝62＋52 ＝36＋25 ＝61 5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17）－（1＋3） ＝92－22 ＝81－4 ＝77 【变式训练2】 。 【答案】 【分析】观察算式，发现规律：，，，……，据此规律把算式进行简算。 【详解】 考点二、数字排列的规律 【方法点拨】数字排列的规律 （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。 （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律。 （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律。 （4）相邻两数的关系中隐含着规律。 【典型例题】按规律填数：，0.1，15%，，（ ），（ ）。 【答案】0.25；30% 【分析】观察数字的排列规律可知，数字的排列是分数、小数、百分数、分数、小数、百分数…，将分数和百分数都化成小数，分别是0.05，0.1，0.15，0.2…，第一个数0.05＝0.05×1、0.1＝0.05×2、0.15＝0.05×3、0.2＝0.05×4，由此可知，第几个数就是0.05×几，据此分析。 【详解】＝1÷20＝0.05 15%＝0.15 ＝1÷5＝0.2 0.05×1＝0.05 0.05×2＝0.1 0.05×3＝0.15 0.05×4＝0.2 0.05×5＝0.25 0.05×6＝0.3＝30% ，0.1，15%，，0.25，30%。 【变式训练1】找规律填空。 （ ），，（ ），，（ ），… 【答案】；； 【分析】观察数字，分子都是1，分母是连续的偶数，那么第一空是，其它两空分别是和。据此填空。 【详解】找规律填空。 ，，，，，… 【变式训练2】找规律，接着填数：1，，，（    ），（    ）。 【答案】； 【知识点】数字排列的规律、分数的连乘运算 【分析】根据题意：1可以写成：1×1×1；可以写成：××；可以写成：××；……，第n个数，就是××；据此解答。 【详解】根据分析可知，第n个数，就是××； 当n＝4时 ××＝ 当n＝5时 ××＝ 找规律，接着填数：1，，，，。 考点三、图形的变化规律 【方法点拨】根据已知的图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是解决图形的变化规律问题的关键。 【典型例题】下列图形都是由大小相同的黑点按一定规律组成的，第1个图中有1个黑点，第2个图中有5个黑点，第4个图中有13个黑点，按此规律排列第16个图中有（    ）个黑点。 A．51 B．61 C．55 D．65 【答案】B 【分析】第1个图有1个小黑点，可写成：4×1－3；第2个图有5个黑点，可写成：4×2－3；第3个图有9个小黑点，可写成：4×3－3；…由此可以推理得出一般规律解答问题。 【详解】根据分析可知：第1个图有小黑点数量：4×1－3； 第2个图有小黑点的数量：4×2－3； 第3个图有小黑点的数量：4×3－3； …… 第n个图有小黑点的数量：4n－3 当n＝16时； 4×16－3 ＝64－3 ＝61（个） 下列图形都是由大小相同的黑点按一定规律组成的，第1个图中有1个黑点，第2个图中有5个黑点，第4个图中有13个黑点，按此规律排列第16个图中有61个小黑点。 故答案为：B 【变式训练1】根据图中四幅图的规律，第5幅图中有（ ）个●，第n幅图中有（ ）个△。    【答案】16；2n－1 【分析】第一幅图有（1－1）×（1－1）（个）●；第二幅图有（2－1）×（2－1）（个）●；第三幅图有（3－1）×（3－1）（个）●； .....第5幅图有（5－1）×（5－1）（个）●。第一幅图有（2×1－1）（个）O；第二幅图有（2×2－1）（个）O；第三幅图有（2×3－1）（个）O；⋯⋯第n幅图中的△照此规律即可求。 【详解】第5幅图中●的个数为：（5－1）×（5－1） ＝4×4 ＝16 则第5幅图中有16个●，第n幅图中有（2n－1）个△。 【变式训练2】如下图所示，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐10人……照这样，4张桌子可以坐（ ）人；（ ）张桌子可以坐30人。 【答案】18；7 【分析】第一张桌子坐下6人，第二张桌子比第一张桌子多坐下4人，第三张桌子比第一张桌子多坐下2个4人，因此第四张桌子应该比第一张桌子多坐下3个4人，可以发现桌子的张数减去1，就是比第一张桌子的人数多几个4人，所以当桌子数是4的时候能够坐下（6＋4×3），当坐下30人的时候，用（30－6）÷4就是比第一张桌子多几张桌子，再加1就是桌子数。 【详解】6＋4×3 ＝6＋12 ＝18（人） （30－6）÷4＋1 ＝24÷4＋1 ＝6＋1 ＝7（张） 所以4张桌子可以坐18人，7张桌子可以坐30人。 一、选择题 1．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的是（    ）。 A．52＋32 B．82 C．52－32 【答案】A 【分析】把算式1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1看作两部分，1＋3＋5＋7＋9和5＋3＋1，根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”可得，1＋3＋5＋7＋9＝52，5＋3＋1＝32，据此解答。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1） ＝52＋32 ＝25＋9 ＝34 所以，与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的是52＋32。 故答案为：A 2． 的结果是（    ）。 A． B． C．不确定 【答案】B 【分析】可运用加法的简便运算，相同的数字可运用乘法计算，得出结果；再依次计算出各个选项的结果，最后得出答案。 【详解】 ； A．，与题干式子答案不相等； B．，与题干式子答案相等； C．不确定。 故本题答案为：B。 3．根据规律，，，…第6个数是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据给出的分数可知，第几个分数，分子就是几，第几个分数，分母就是几加1的和的平方，由此即可知道第6个分数的分子是6，分母是6＋1＝7，7×7＝49，由此即可选择。 【详解】由分析可知，第6个分数的分子是6，分母是：（6＋1）²＝7×7＝49 所以第6个分数是： 故答案为：C。 二、填空题 4．，，，…，那么＝（ ）。 【答案】2×2×2×2×2 【分析】本题重在观察所给算式中的规律。通过观察可以发现这个题的规律为：一个数连续相乘几次，就等于这个数的几次方。反过来说就是：一个数的几次方就等于这个数连续相乘几次。 【详解】通过观察规律可知，一个数的几次方就等于这个数相乘几次。所以，＝2×2×2×2×2。 5． ＋＋＋＋＝（ ）； 1＋3＋5＋7＋…＋97＋99＝（ ）。 【答案】1；2500 【分析】把看作（），把看作（），把看作（），把看作（），再去掉小括号化简即可；把头尾两个数分别相加，即（1＋99），（3＋97）……，其中（1＋3＋5＋7＋…＋97＋99）一共有（50÷2）组这样的数相加，用（1＋99）乘（50÷2）计算，据此解答。 【详解】 1＋3＋5＋7＋…＋97＋99 ＝（1＋99）×（50÷2） ＝100×25 ＝2500 因此；1＋3＋5＋7＋…＋97＋99＝2500。 6．在括号里填上合适的数。，1，，，（ ）。   【答案】 【分析】＝，，，所以这列数的规律为：前一项乘等于后一项； 【详解】 这组数字是：，1，，，。 7．找规律填空。，，，，（ ），（ ）。 【答案】； 【分析】×＝，×＝，据此可得：前两个数相乘的积等于第三个数。据此解答。 【详解】×＝ ×＝ 则第一空是，第二空是。 8． 3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（ ）。 【答案】99 【分析】观察算式发现是从3开始的9个连续奇数相加，给这个算式补上一个加数1，改写成（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19）－1，这样括号里面有10个连续奇数相加； 根据“连续奇数的和等于奇数个数的平方”，可知括号里面10个数的和是102，再减去1，即是原式的计算结果。 【详解】3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19）－1 ＝102－1 ＝100－1 ＝99 所以，3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝99。 9．根据规律填空。 （1），，，，。 （2），，，，（    ）… 【答案】（1）16；（2） 【分析】（1）观察数列可知，前一个数乘即可得到后一个数； （2）观察数列可知，前一个数乘即可得到后一个数。 【详解】（1）×＝ 则，，，，。 （2）×＝ 则，，，，… 10．下图每个小三角形都是边长为1厘米的等边三角形。按照图1、图2、图3……这样的规律摆放，图10共摆了（ ）个小三角形，图10中最大三角形的周长是（ ）厘米。 图1   图2   图3      图10 【答案】100；30 【分析】观察题意可知，图1摆了1个三角形，图2摆了4个三角形，图3摆了9个三角形，……以此类推可知，图n摆了n2个三角形；图1最大三角形的边长是1厘米，图2最大三角形的边长是2厘米，图3最大三角形的边长是3厘米，……以此类推可知，图n最大三角形的边长是n厘米；已知等边三角形的三条边相等，所以图n最大三角形的周长为3n厘米。 【详解】图1摆了1个三角形， 1＝1×1 图2摆了4个三角形， 4＝2×2 图3摆了9个三角形， 9＝3×3 …… 图n摆的三角形个数：n2。 当n＝10时， 10×10＝100（个） 因为图n最大三角形的边长是n厘米， 所以图n最大三角形的周长为3n厘米， 当n＝10时， 3×10＝30（厘米） 图10共摆了100个小三角形，图10中最大三角形的周长是30厘米。 11．同学们用小棒玩搭房子游戏，如下图：一间房子要6根小棒，两间房子要11根小棒，3间房子要16根小棒，照这样的方法，芳芳想搭20间房子，要（ ）根小棒，明明准备了46根小棒，可以搭（ ）间房子。 【答案】101；9 【分析】根据图示发现：摆1间房子需要小棒：6根；摆2间房子需要小棒（6＋5）根；摆3间房子需要小棒（6＋5＋5）根；……摆n间房子需要小棒的根数是6＋5（n－1）。据此解答。 【详解】摆n间房子需要小棒： 6＋5（n－1） ＝6＋5n－5 ＝（5n＋1）根 当n＝20时， 5×20＋1 ＝100＋1 ＝101（根） 5n＋1＝46 解：5n＝46－1 5n＝45 n＝45÷5 n＝9 芳芳想搭20间房子，要101根小棒，明明准备了46根小棒，可以搭9间房子。 12．看图数一数阴影部分正方形的个数。 照这样继续画下去，第10个图形中有（    ）个灰色小正方形。 【答案】7；19 【分析】观察图形可知，在1×1的方格中，阴影的小正方形的个数是：（个）；在2×2的方格中，阴影的小正方形的个数是：（个）；在3×3的方格中，阴影的小正方形的个数是：（个）；在4×4的方格中，阴影的小正方形的个数是：（个）；按照上述规律可得：若照这样的规律接着画下去，第10个图形是10×10的方格，有（个）阴影小正方形，据此即可解答。 【详解】（个） （个） （个） （个） （个） 第4个图形有有7个灰色小正方形，第10个图形有19个灰色小正方形。 13．如图所示，第①幅图有2颗☆，第②幅图有8颗☆，第③幅图有18颗☆。 （1）第④幅图有（ ）颗☆。 （2）当有200颗☆时，这是第（ ）幅图。 【答案】（1）32；（2）⑩ 【分析】第①幅图中☆的颗数表示成；第②幅图中☆的颗数表示成2＋4＋2＝2×4＝2×22；第③幅图中☆的颗数表示成2＋4＋6＋4＋2＝2×9＝2×32；……；由此可得。第④幅图中☆的颗数是2×42＝32（颗）；当有200颗☆时，200÷2＝100（颗），100＝10×10，故第⑩幅图中有200颗☆。 【详解】（1）2×42＝32（颗） （2）200÷2＝100（颗），100＝10×10 14．如图，用灰白两种正方形瓷砖拼成大的正方形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用灰瓷砖。如果所用的图形中用了25块白瓷砖，那么灰瓷砖用了（ ）块。 【答案】24 【分析】根据图示，第1个图中白色瓷砖的块数为12＝1（块），灰色瓷砖的块数为：32－12＝8（块）；第2个图中白色瓷砖的块数为22＝4（块），灰色瓷砖的块数为：42－22＝12（块）；第3个图中白色瓷砖的块数为32＝9（块），灰色瓷砖的块数为：52－32＝16（块）；依次类推……；第n个图形白色瓷砖的块数是n2块，灰色瓷砖的块数是（4n＋4）块。据此解答。 【详解】第1个图中灰色瓷砖的块数：8＝2×4 第2个图中灰色瓷砖的块数：12＝3×4 第3个图中灰色瓷砖的块数：16＝4×4 …… 第n个图中灰色瓷砖的块数：（n＋1）×4＝4n＋4 根据分析可知，第n个图形白色瓷砖的块数是n2块，灰色瓷砖的块数是（4n＋4）块。 当n2＝25时， n＝5 4×5＋4 ＝20＋4 ＝24（块） 如果所用的图形中用了25块白瓷砖，那么灰瓷砖用了24块。 15．把同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，则第8个图形需要黑色棋子的数量是（ ）枚。 【答案】80 【分析】第一个图形需要3枚黑色棋子；第二个图形需要8枚黑色棋子；第三个图形需要15枚黑色棋子；第四个图形需要24枚黑色棋子，由此可知，规律是依次相差5、7、9……枚黑色棋子。据此解答。 【详解】由分析可知，第8个图形需要： 24＋11＋13＋15＋17 ＝35＋13＋15＋17 ＝48  ＋15＋17 ＝63＋17 ＝80（枚） 即第8个图形需要黑色棋子的数量是80枚。 16．按规律填空： （1）1，6，11，（ ），… （2），，，，（ ），… 【答案】（1）16；（2） 【分析】（1）观察数列：1＋5＝6，6＋5＝11，11＋5＝16，可发现：后数＝前数＋5； （2）分子、分母的规律都是逐渐递增，分数的分子与分母分开查看，分子的规律：后数＝前数＋2；分母的规律：后数＝前数＋3； 【详解】（1）11＋5＝16 所以，1，6，11，（16）…… （2）8＋2＝10，10＋3＝13 所以，，，，，（）…… 17．观察图的排列规律，照这样排下去，第（8）个图要画（ ）个圆。 【答案】36 【分析】观察可得，第（1）个图形是1个圆，第（2）个图形是（1＋2）个圆，第（3）个图形是（1＋2＋3）个，……第（8）个图形是（1＋2＋3＋…＋8）个，据此解答即可。 【详解】1＋2＋3＋…＋8 ＝（1＋8）×8÷2 ＝9×8÷2 ＝72÷2 ＝36（个） 则第（8）个图要画36个圆。 三、计算题 18．计算。 【分析】运用定律和性质及数字的特点可以进行分数巧算和简算。一般地，形如的分数可以拆成。形知的分数可以拆成，形如的分数可以拆成。这种方法就是拆分法，运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。因为这个算式中的每个加数都可以拆成两个数的差，如，，…其中的部分分数可以互相抵消，这样计算即可简算。 【详解】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版六年级数学上册第八单元：数学广角——数与形 专项突破16、数学广角——数与形（三大考点） （重难点讲解+方法点拨+同步练习+答案解析） 【考点一】算式的规律 【考点二】数字排列的规律 【考点三】图形的变化规律 考点一、算式的规律 【方法点拨】在数学算式中探索规律，应仔细观察算式的特点和结果的特点，进而根据规律找出这一类算式的结果。 【典型例题】根据下面一组有规律的算式，可以推出下一个算式是（   ）。 6×7＝42 66×67＝4422 666×667＝444222 A．6666×667＝4446222 B．666×6667＝4440222 C．6666×6677＝44508882 D．6666×6667＝44442222 【变式训练1】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝（ ）2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ ）2＋（ ）2＝（ ） 5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝（ ）2－（ ）2＝（ ） 【变式训练2】 。 考点二、数字排列的规律 【方法点拨】数字排列的规律 （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。 （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律。 （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律。 （4）相邻两数的关系中隐含着规律。 【典型例题】按规律填数：，0.1，15%，，（ ），（ ）。 【变式训练1】找规律填空。 （ ），，（ ），，（ ），… 【变式训练2】找规律，接着填数：1，，，（    ），（    ）。 考点三、图形的变化规律 【方法点拨】根据已知的图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是解决图形的变化规律问题的关键。 【典型例题】下列图形都是由大小相同的黑点按一定规律组成的，第1个图中有1个黑点，第2个图中有5个黑点，第4个图中有13个黑点，按此规律排列第16个图中有（    ）个黑点。 A．51 B．61 C．55 D．65 【变式训练1】根据图中四幅图的规律，第5幅图中有（ ）个●，第n幅图中有（ ）个△。    【变式训练2】如下图所示，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以坐10人……照这样，4张桌子可以坐（ ）人；（ ）张桌子可以坐30人。 一、选择题 1．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的是（    ）。 A．52＋32 B．82 C．52－32 2． 的结果是（    ）。 A． B． C．不确定 3．根据规律，，，…第6个数是（    ）。 A． B． C． 二、填空题 4．，，，…，那么＝（ ）。 5． ＋＋＋＋＝（ ）； 1＋3＋5＋7＋…＋97＋99＝（ ）。 6．在括号里填上合适的数。，1，，，（ ）。   7．找规律填空。，，，，（ ），（ ）。 8． 3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（ ）。 9．根据规律填空。 （1），，，，。 （2），，，，（    ）… 10．下图每个小三角形都是边长为1厘米的等边三角形。按照图1、图2、图3……这样的规律摆放，图10共摆了（ ）个小三角形，图10中最大三角形的周长是（ ）厘米。 图1   图2   图3      图10 11．同学们用小棒玩搭房子游戏，如下图：一间房子要6根小棒，两间房子要11根小棒，3间房子要16根小棒，照这样的方法，芳芳想搭20间房子，要（ ）根小棒，明明准备了46根小棒，可以搭（ ）间房子。 12．看图数一数阴影部分正方形的个数。 照这样继续画下去，第10个图形中有（    ）个灰色小正方形。 13．如图所示，第①幅图有2颗☆，第②幅图有8颗☆，第③幅图有18颗☆。 （1）第④幅图有（ ）颗☆。 （2）当有200颗☆时，这是第（ ）幅图。 14．如图，用灰白两种正方形瓷砖拼成大的正方形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用灰瓷砖。如果所用的图形中用了25块白瓷砖，那么灰瓷砖用了（ ）块。 15．把同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，则第8个图形需要黑色棋子的数量是（ ）枚。 16．按规律填空： （1）1，6，11，（ ），… （2），，，，（ ），… 17．观察图的排列规律，照这样排下去，第（8）个图要画（ ）个圆。 三、计算题 18．计算。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$