第1章解直角三角形单元测试（培优提高卷）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（浙教版2024）

第1章解直角三角形单元测试（培优提高卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，，，则的余弦值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及求余弦值，解决本题的关键是熟练掌握三角函数，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：由勾股定理得， ， 由锐角三角函数的定义可知， 的余弦值，即， 故选：B． 2．（23-24浙江绍兴·模拟预测）点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，特殊角的三角函数值．先根据特殊三角函数值求出点坐标，再根据对称性解答． 【详解】解：，， 点． 点关于轴对称点的坐标， 关于轴的对称点的坐标是． 故选：B． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意为求点A到直线的距离，即求中边上的高，构造直角三角形，利用已知信息结合三角函数的定义解之即可．本题考查了解直角三角形−构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：依题意，过点A作，交延长线于点D， ∵， ∴， 在中， ， ∴． 故选：A． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）在中，已知，则，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的概念．根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析． 【详解】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是． 根据锐角三角函数的概念，得 ，． 所以， 再根据三角形的三边关系，得， 故． 故选：D． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据坡度等于铅直高与水平距离的比值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴； ∴； 故选A． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，于D，，下列说法正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，结合直角三角形的性质求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质求出，即可判断①；设，则，再根据勾股定理求出，，即可判断②；再根据锐角三角函数定义判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故①正确，符合题意； 设，则， ∵， ∴（负值已舍）， ∴，， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，， ∴， 故③正确，符合题意； ∵， ∴（负值已舍）， ∴， 故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 7．（2024·浙江·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线，应用转化思想求．连接，，由等腰直角三角形的性质推出，得到，求即可． 【详解】解：连接，，设小正方形的边长是1， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C 8．（2024·浙江金华·三模）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若，，CD与地面垂直且，则灯项A到地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用．连接，延长交于点，由题意可知：，然后利用锐角三角函数的定义可求出的长度． 【详解】解：连接，延长交于点， 由题意可知：， 在中， ， ， 点到地面的高度为：， ， ， 故选：A． 9．（2024·浙江杭州·三模）如图，是的直径，点在线段上，交于点，连接．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形．根据，，可得，，所以，，代入式子化简即可． 【详解】解：，， ，， ，， ． 故选：B． 10．（2024·浙江·中考真题）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作，根据平行线的性质得出，从而得出，设，则，证明四边形是平行四边形，得出，在中，勾股定理算出，得出，证明，得出，根据，得出，在中，列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，作交于点，延长、交于点，过点作， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴解得：或， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习） ；若，则锐角 ． 【答案】 40 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键，根据特殊锐角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ； ，为锐角， ， ， 故答案为：，40． 12．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点与点 关于轴对称，如果函数的图象经过点，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可知点坐标；代入函数关系式求解．主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和特殊角的三角函数值及坐标系中的对称点的坐标特点． 【详解】解：， 点， ∵点与点 关于轴对称 ∴点为， 函数的图象经过点， ． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图是公园里一处小土坡，这个土坡的坡比，经测得坡顶A与坡脚C的水平距离为，则小土坡的长为 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，根据坡比，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长是 ． 【答案】 【分析】在中，可求出的长度，根据折叠的性质可得出，在中，利用即可得出的长度．此题考查了翻折变换、勾股定理及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握翻折变换前后对应边相等、对应角相等． 【详解】解：∵，， ，， 由折叠的性质得，， 则， ． ． ． 故答案为：． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，是直径，弦于点，点是上一点，弦，连接交于点，与的延长线交于点．设，已知，当时， ，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】先根据直径所对的圆周角是以及垂直定义，得，结合，，即可证明，得，证明，则，即，故，根据勾股定理列式作答即可；如图，因为，是直径，所以，因为，所以，设，，则，由三角函数得，即可列式计算作答． 【详解】解：是直径，弦于点 ，， ， ， ，， ， ， 故， ，， ， ， 即 ， ， 故， ， 在中，， ， 解得， ， 则， 如图：当时， ∵是直径，弦于点， ， ， ， 设，， 则， 由三角函数得，， ，， ． 解得． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，锐角三角函数，勾股定理，圆周角定理，平行线的性质：难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱，灯臂绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即和）．在转动过程中，总是与桌面平行．当时，，，测得（点M在墙壁上，且）；当灯臂转到位置时，测得，则点E到桌面的距离为 ．若此时点C，F，M在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为 ． 【答案】 38 39 【分析】本题考查了勾股定理的实际运用、相似三角形的性质与判定、垂径定理。解题关键是掌握相似三角形、勾股定理、垂径定理，并学会将实际问题转化为数学问题． 通过作平行线和垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出相应的边，再依次连接C，F，M，作，证，根据相似三角形对应边成比例可得所对的弦的长度，再利用垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ，，， 延长，，则M、D、A在一条直线上，N、F、E、Q在一条直线上， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 即点E到桌面的距离为， 过点F作，垂足为P，则， ， ， ， 即， 解得， ， 如图3， 可得，， 设半径为r，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 故答案为：38，39． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． （1），据此即可求解； （2）由（1）中的三角函数值即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，已知在锐角三角形中，，，． (1)求，，的长． (2)的值为________． 【答案】(1)，， (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理： （1）先解得到，再利用勾股定理求出，即可得到； （2）先利用勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 19．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在的网格中，已知的三个顶点均为格点，请按下列要求画图， (1)如图1，作格点，使为等腰三角形，且的面积等于的面积； (2)如图2，作格点，使，且的面积与的面积相等． 【答案】(1)详见解析 (2)即为所求，详见解析 【分析】（1）在的垂直平分线上取点，使到的距离等于到的距离，连接，，则即为所求； （2）取上方的格点，连接，以为直径作交上方第三条格线于，连接，，则即为所求； 本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是利用同弧所对的圆周角相等确定的位置． 【详解】（1）解：在的垂直平分线上取点，使到的距离等于到的距离，连接，，如图： ∴即为所求； （2）解：取上方的格点，连接，以为直径作交上方第三条格线于，连接，，如图： ∴即为所求； 理由： ，是直径， 过点， ， ， ，， ， ， 又到的距离等于到的距离， 满足条件的点． 20．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）（1）已知，在中，，，，分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． （2）在中，，，，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形；掌握锐角三角函数的概念是关键； （1）由勾股定理求得斜边c的长，再由正弦函数求得，由互余关系可求得，从而得解； （2）过A作于D，在中，解直角三角形可求得，再在中，由勾股定理可求得，则即可求解． 【详解】解：（1）由勾股定理得：， ， ， ； （2）如图，过A作于D， 在中，，， ， 由勾股定理得：； 在中，由勾股定理可得， 则． 21．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，从地面，两地测量空中处一个气球，分别测得仰角为，． 已知两地相距，当气球沿着与平行的线路飘移5秒后到达点，在处测得气球的仰角为． 求： (1)气球距离地面的高度． (2)气球飘移的速度． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)（米/秒） 【分析】本题主要考查了三角形函数，熟练解直角三角形是解题的关键． （1）如图． 过点作，垂足为．由，得 由，，得，求解即可得，进而即可得解； （2）利用三角函数求得．从而得．于是即可求解． 【详解】（1）解：如图． 过点作，垂足为． ， ，， ， ， ． （2）解：如答图，过点作，垂足为． ． ． ． 气球飘移的速度为（米/秒）． 22．（2024·浙江宁波·一模）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； (2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据） 【答案】(1) (2)所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据代入数据求出的值即可； （2）延长光线交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：作于， 在中，， ． 即的点到墙面的距离为； （2）解：如图，延长光线交于点，延长交于点， 可得，，， 在中，，， ， 由题意，四边形是矩形，则， 由可知，， 在中，， 即：， ， ，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行． 23．（2024·浙江宁波·三模）【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． 任务1：计算，两点的垂直高度差． 任务2：求顶点到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为． 任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 【答案】任务1：10米；任务2：38.7米；任务3：小组一：30.1米；小组二：31.16米 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，正确记忆相关知识点是解题关键． 任务一，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，再求出的长即可； 任务二，延长交的延长线于点，延长交于点，米，则米，利用三角函数求出和，即可求出； 任务三，选择任意一个方案，利用三角函数进行求解即可． 【详解】解：任务1：过点作，垂足为， 斜坡的坡比为， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， ，两点的垂直高度差为10米； 任务 延长交的延长线于点，延长交于点， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， ， 解得：， ．（米， 顶点到水平地面的垂直高度为38.7米； 任务 若选择小组一的方案： 在中，，米， （米， （米， 旗杆的高度为30.1米； 若选择小组二的方案： 在中，，（米， （米， 在中，， （米， （米， 旗杆的高度为31.16米． 24．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，为的直径，点C、D都在上，且平分，交于点E． (1)求的大小． (2)若，求的半径； (3)于点F，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)．见解析 【分析】（1）由平分，根据圆周角定理，可得； （2）过点E作于点M，求出长，则，可求出，则答案得出； （3）过点D作，交的延长线于点N，证明与，则，则结论可得出． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：如图1，过点E作于点M， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 如图2，过点D作，交的延长线于点N， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键． ( 21 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章解直角三角形单元测试（培优提高卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，，，则的余弦值是（） A． B． C． D． 2．（23-24浙江绍兴·模拟预测）点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）在中，已知，则，则（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，于D，，下列说法正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024·浙江·模拟预测）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P．则的值为（     ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江金华·三模）某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若，，CD与地面垂直且，则灯项A到地面的高度为（    ） A． B． C． D． （第8题） （第9题） （第10题） 9．（2024·浙江杭州·三模）如图，是的直径，点在线段上，交于点，连接．设，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江·中考真题）如图，在正方形中，分别是边上的点，且分别在边上，且与交于点O，记，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习） ；若，则锐角 ． 12．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点与点 关于轴对称，如果函数的图象经过点，那么 ． 13．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）如图是公园里一处小土坡，这个土坡的坡比，经测得坡顶A与坡脚C的水平距离为，则小土坡的长为 m． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长是 ． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，是直径，弦于点，点是上一点，弦，连接交于点，与的延长线交于点．设，已知，当时， ，连接，若，则 ． 16．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱，灯臂绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即和）．在转动过程中，总是与桌面平行．当时，，，测得（点M在墙壁上，且）；当灯臂转到位置时，测得，则点E到桌面的距离为 ．若此时点C，F，M在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）求值： (1)； (2)． 18．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）如图，已知在锐角三角形中，，，． (1)求，，的长． (2)的值为________． 19．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，在的网格中，已知的三个顶点均为格点，请按下列要求画图， (1)如图1，作格点，使为等腰三角形，且的面积等于的面积； (2)如图2，作格点，使，且的面积与的面积相等． 20．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）（1）已知，在中，，，，分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． （2）在中，，，，求的长． 21．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，从地面，两地测量空中处一个气球，分别测得仰角为，． 已知两地相距，当气球沿着与平行的线路飘移5秒后到达点，在处测得气球的仰角为． 求： (1)气球距离地面的高度． (2)气球飘移的速度． （参考数据：，，，，，） 22．（2024·浙江宁波·一模）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离； (2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据） 23．（2024·浙江宁波·三模）【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． 任务1：计算，两点的垂直高度差． 任务2：求顶点到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为． 任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 24．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，为的直径，点C、D都在上，且平分，交于点E． (1)求的大小． (2)若，求的半径； (3)于点F，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$