专题08锐角三角函数（考点清单，8个考点清单+12种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

专题08锐角三角函数（考点清单，8个考点清单+12种题型解读） 【清单01】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 【清单02】特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 【清单03】解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 【清单04】仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【清单05】坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 【清单06】方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 【清单07】解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 【清单08】解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【考点题型一】求三角函数的值 1.（22-23九年级下·河北张家口·期末）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为2，，则的值是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，是上一点，连接，若，则的值是 ． 3.（22-23九年级上·北京通州·期末）如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知．    (1)求线段的长； (2)求的值． 【考点题型二】锐角三角函数在几何图形中的应用 4．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（    ） A． B． C． D． 5.（23-24九年级下·湖北·期末）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点，，，．    (1)求的大小； (2)若点，分别为，的中点，求的长． 【考点题型三】三角函数在实际中应用 7．（23-24九年级上·山东泰安·期末）数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点处测得灯塔最高点的仰角，再沿方向前进至处测得最高点的仰角，则灯塔的高度大约是（结果精确到，参考数据：）（    ）    A． B． C． D． 8．（20-21九年级上·陕西铜川·期末）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 【考点题型四】三角函数在生活中的应用 9．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，一个钟摆的摆长的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角为，点C是的中点，与交于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级下·江苏常州·期末）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）． 11．（23-24九年级上·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为，从室内看门框露在外面部分的宽为，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到，） 【考点题型五】在一般四边形中应用 12．（20-21九年级上·湖南邵阳·期末）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD=2米，BC=5米，，则AB=（　　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 13．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，，，求的长． 14．（22-23九年级上·云南楚雄·期末）如图，在四边形中，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【考点题型六】在平行四边形中应用 15.（21-22九年级上·重庆涪陵·期末）如图，在平行四边形中，，，以为直径作，点恰好在上，则图中阴影部分的面积为 ． 16.（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：∠BAE=∠DAF； （2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的长． 【考点题型七】在菱形中应用 17．（21-22九年级上·陕西西安·期末）在菱形ABCD中，连接AC、BD，若，且AC＝4，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，于点，的延长线与的延长线交于点，则 ．（表示面积）      19．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，菱形中，，点E、F分别是边上的动点，点E与点A，B不重合，且，作，交边于点G，连接，将四边形沿直线翻折得到四边形． (1)当E是AB的中点时，求四边形面积； (2)设，四边形面积为S，求S关于x的函数关系式． 【考点题型八】在矩形中应用 20．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在矩形中，点E在上，使点D落在边上的点F处，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，P为边上一个动点，连接，将沿所在直线折叠后，点A的对应点落在点处，连接，则当取最小值时，的值为 ． 22．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于. (1)求证：点是的重心； (2)如果，求的正弦值. 【考点题型九】在正方形中应用 23．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为 ． 25．（22-23九年级上·海南儋州·期末）如图，在正方形中，P是边上的一点，且，Q是的中点． (1)求证：； (2)求的值． 【考点题型十】在圆中求三角函数值 26．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，的半径为8，内接于，于点D，F为弦的中点，连接，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 27．（20-21九年级上·河南信阳·期末）如图，，两点在以为直径的上，若，的半径为2，则的值为 ． 28．（20-21九年级下·浙江·期末）如图，四边形中，，以为直径画恰好经过点C，与交于点E． （1）求证：与相切； （2）若，求． 【考点题型十一】在圆中求三角函数求角 29．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，G是的重心，的中点为D，以G为圆心，长为半径画⊙G，过C点作⊙G的两切线段，其中E、F为切点，则与的度数和为（    ） A． B． C． D． 30．（2022九年级下·全国·专题练习）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是和 ，则∠BAC的度数是 ． 31．（22-23九年级下·黑龙江绥化·期末）如图，是的直径，切于点B，的延长线交直线于点A，点F在上，．      (1)求的度数； (2)求的长． 【考点题型十二】在圆中利用三角函数求线段长 32．（22-23九年级上·重庆·期末）如图，为的弦，直径，交于点，连接、、、，若，的半径为2，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 33．（22-23九年级上·湖北随州·期末）如图，内接于⊙，是⊙的直径，切⊙于点B，E为上一点，且，延长交于点D． (1)求证：； (2)若⊙的半径为5，，求的长． 34．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为E，连接，过点B作的切线，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若点是的中点，且，求线段的长； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08锐角三角函数（考点清单，8个考点清单+12种题型解读） 【清单01】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 【清单02】特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 【清单03】解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 【清单04】仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【清单05】坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 【清单06】方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 【清单07】解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型： 解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解. 【清单08】解直角三角形实际应用的一般步骤 （1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； （2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； （3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【考点题型一】求三角函数的值 1.（22-23九年级下·河北张家口·期末）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为2，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先连接，由是圆O的直径，可得，又由圆O的半径为，，即可求得的值，又由，即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵是圆O的直径， ∴， ∵的半径为2，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及三角函数的定义．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． 2.（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图，在中，是上一点，连接，若，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，取的中点E，连接，根据直角三角形的性质可得，再由，可得，可证明，从而得到，设，则，可得，，从而得到的长，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴可设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3.（22-23九年级上·北京通州·期末）如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知．    (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 【考点题型二】锐角三角函数在几何图形中的应用 4．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先推导，得到，然后利用相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】如图，设对角线与交于点O， ∵，是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴矩形与矩形面积的比为， 故选B． 5.（23-24九年级下·湖北·期末）如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 【答案】 【分析】过作于点，交于点，由旋转和矩形的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求出，进而得到，根据同角的余角相等可得，推出，可求出，进而求出、和，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， 由旋转和矩形的性质可得：，，， ， 设，则， 在中，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点，，，．    (1)求的大小； (2)若点，分别为，的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据等腰三角形的判定可得，在中，可得，即可求解； （2）根据直角三角形的性质可得，再由三角形中位线定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴． 【考点题型三】三角函数在实际中应用 7．（23-24九年级上·山东泰安·期末）数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点处测得灯塔最高点的仰角，再沿方向前进至处测得最高点的仰角，则灯塔的高度大约是（结果精确到，参考数据：）（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，由题意得：，设，则，，再结合得出，求出的值即可得解，熟练掌握锐角三角函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 灯塔的高度大约是， 故选：A． 8．（20-21九年级上·陕西铜川·期末）如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 【答案】(1)40米 (2)楼的高度约为80米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得，设米，则米，然后利用勾股定理可求出．据此即可求得的长； （2）过点D作，垂足为G，则米，，然后设米，在中，利用锐角是三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵山坡CF的坡度， ∴， 设米，则米， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，（米）； （2）解：过点D作，垂足为G，则四边形是矩形， ∴米，， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴米， ∴楼的高度约为80米 【考点题型四】三角函数在生活中的应用 9．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，一个钟摆的摆长的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角为，点C是的中点，与交于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，由点C是的中点，为，可得的度数，已知的长为a，用余弦公式可表示，根据，可得的长． 【详解】解：点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 10．（23-24九年级下·江苏常州·期末）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质．作于点E，于点H，延长交于点K，则，则四边形是矩形，在中，可得，，从而得到，然后在中，根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作于点E，于点H，延长交于点K，则，则四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为： 11．（23-24九年级上·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为，从室内看门框露在外面部分的宽为，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到，） 【答案】室内露出的墙的厚度约为 【分析】该题主要考查了解直角三角的应用，此题读懂题意，理解题目叙述的意义是解题的关键，理解实际图形后才能把它转化成数学问题，然后利用三角函数解决问题． 宽为的门框及开成的门之间构成了一个直角三角形，且其中有一个角为60°，根据已知条件解直角三角形就可以求出a． 【详解】解：从图中可以看出，在室内厚为的墙面、宽为的门框及开成的门之间构成了一个直角三角形，且其中有一个角为60度． 从而 ． 即室内露出的墙的厚度约为． 【考点题型五】在一般四边形中应用 12．（20-21九年级上·湖南邵阳·期末）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD=2米，BC=5米，，则AB=（　　　） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【答案】D 【分析】过点D作DE⊥AB于E，得到四边形DEBC是矩形，得到BE=DC=2米，DE=BC=5米，根据，求得AD=13米，根据勾股定理求出AE=12米，即可得到答案． 【详解】过点D作DE⊥AB于E， ∴∠DEB=∠B=∠C=90°， ∴四边形DEBC是矩形， ∴BE=DC=2米，DE=BC=5米， ∵， ∴， ∴AD=13米， ∴AE=米， ∴AB=AE+BE=12+2=14米， 故选：D． ． 【点睛】此题考查矩形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，正确引出辅助线构建直角三角形解决问题是解题的关键． 13．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理和通过余弦值求边长，过作于点，证明四边形是矩形，根据性质得出，由求出，最后通过勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线． 【详解】过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 14．（22-23九年级上·云南楚雄·期末）如图，在四边形中，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)37.5 【分析】（1）根据所给条件证出，即可得出； （2）先根据三角函数求出的值，再根据勾股定理求出的值，最后根据和三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在中，，，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，三角函数和勾股定理是解题的关键． 【考点题型六】在平行四边形中应用 15.（21-22九年级上·重庆涪陵·期末）如图，在平行四边形中，，，以为直径作，点恰好在上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连结OM，过点M作MC⊥AB于C，根据圆周角定理得出∠MOB=2∠MAB=60°，由得出OA=OB=OM=4，根据扇形面积公式求得，在Rt△OMC中，利用三角函数求得MC=OMsin∠MOC=4，利用割补法求阴影部分面积即可． 【详解】解：连结OM，过点M作MC⊥AB于C， ∴∠MOB=2∠MAB=60°， ∵， ∴OA=OB=OM=4， ， 在Rt△OMC中，MC=OMsin∠MOC=4， ∴S平行四边形ABNM=AB·MC=8×，S△MAO=， ∴S阴影部分= S平行四边形ABNM- S△MAO-， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积，掌握圆周角定理，锐角三角函数，平行四边形的面积，三角形面积，扇形面积是解题关键 16.（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：∠BAE=∠DAF； （2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到∠B=∠D，AB=CD，再由∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°即可得到∠BAE=∠DAF； （2）由tan∠BAE，AE=4，得到BE=3，可求出，证明△ABE∽△ADF 得到，求出DF的长，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B=∠D，AB=CD， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB=90°，∠AFD=90° ∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90° ∴∠BAE=∠DAF； （2）解：∵tan∠BAE，AE=4， ∴BE=3， ∴在△ABE中，， ∴ ∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF， ∴△ABE∽△ADF ∴， ∴， ∴FC==． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，熟记相关知识是解题的关键． 【考点题型七】在菱形中应用 17．（21-22九年级上·陕西西安·期末）在菱形ABCD中，连接AC、BD，若，且AC＝4，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据菱形的性质和三角函数的意义，即可得到AB的长，再根据勾股定理求得BO的长，即可得到BD的长，最后根据菱形的面积计算公式，即可得到结论． 【详解】解：设AC与BD交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝AC＝2， ∴∠AOB＝90°， ∵，且AO＝2， ∴， ∴AB＝3， ∴Rt△ABO中，BO＝＝＝， ∴BD＝2BO＝2， ∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和三角函数，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 18．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，于点，的延长线与的延长线交于点，则 ．（表示面积）      【答案】 【分析】设，则，根据勾股定理求出，然后证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶ ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切、相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 19．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，菱形中，，点E、F分别是边上的动点，点E与点A，B不重合，且，作，交边于点G，连接，将四边形沿直线翻折得到四边形． (1)当E是AB的中点时，求四边形面积； (2)设，四边形面积为S，求S关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过作于，延长交于点P，作于，记与的交点为，证明三角形是等边三角形，则，可求，由，可得，，由翻折的性质可知，，，则，，可得，四边形是矩形，则，，，则，，由E是的中点，可得，，，，根据，计算求解即可； （2）由，可得，同理（1）可知，，，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，过作于，延长交于点P，作于，记与的交点为， ∵，， ∴三角形是等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形面积为； （2）解：∵， ∴， 同理（1）可知，，，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，余弦等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，余弦是解题的关键． 【考点题型八】在矩形中应用 20．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在矩形中，点E在上，使点D落在边上的点F处，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和翻折的性质以及勾股定理，求出，再求出，在中，根据勾股定理得：，可求出，再利用锐角三角形函数即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折可知：，， ∴， ∴， ∵， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数等知识，解决本题的关键是掌握翻折的性质，灵活利用勾股定理求出未知线段的长 21．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，P为边上一个动点，连接，将沿所在直线折叠后，点A的对应点落在点处，连接，则当取最小值时，的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，根据折叠可得出，则在以B为圆心，为半径的圆上运动，则当B、、D三点共线时，取最小值，最小值为，然后在中利用正切的定义求解即可． 【详解】解：连接， ∵折叠， ∴， ∴在以B为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当B、、D三点共线时，取最小值，最小值为， ∴． 故答案为：． 22．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于. (1)求证：点是的重心； (2)如果，求的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查重心的判定，三角函数的定义，熟练掌握求正弦值的方法是解题的关键． （1）证明是的中线，是的中线即可得到结论． （2）根据重心的性质得到，求出的值，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中线， ， ， 是的中线， 点是的重心； （2）解：点是的重心， ， ，， ， ， ，， ， ， 在中，， 【考点题型九】在正方形中应用 23．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边． 【详解】解：小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5， 设直角三角形中较短的直角边为，则较长的直角边是，其中， 由勾股定理得：， 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）． ， ． 故选：D． 24．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先求出，然后利用利用解题即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（22-23九年级上·海南儋州·期末）如图，在正方形中，P是边上的一点，且，Q是的中点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，进而推出，即可证得结论； （2）设，则，勾股定理求出，根据相似三角形的性质证得，勾股定理求出即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵，Q是的中点． ∴， ∴， ∴； （2）设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值，正确掌握各知识点并熟练应用是解题的关键 【考点题型十】在圆中求三角函数值 26．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，的半径为8，内接于，于点D，F为弦的中点，连接，若，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，求角的正弦值．连接，推出，等角的余角相等，得到，得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，，    ∵F为弦的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 27．（20-21九年级上·河南信阳·期末）如图，，两点在以为直径的上，若，的半径为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD=∠DBA，根据AB为⊙O是直径，可知∠ADB=90°，然后利用勾股定理求出BD，则tan∠ACD=tan∠DBA =． 【详解】解：∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠ACD=∠DBA， 又∵AB为⊙O是直径， ∴∠ADB=90°， ∵AD=3，AB=4， ∴BD=， ∴tan∠ACD=tan∠DBA =， 故答案为：． 【点睛】本题考查求一个角的正切及圆周角，解题的关键是掌握同弧或等弧所对的圆周角相等． 28．（20-21九年级下·浙江·期末）如图，四边形中，，以为直径画恰好经过点C，与交于点E． （1）求证：与相切； （2）若，求． 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）连接OC，证明OC∥AD即可； （2）连接AC，EC，证明△DEC∽△DCA，求得CD，证明△DAC∽△CAB，求． 【详解】（1）连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠B=∠OCB， ∴∠COB+∠B+∠OCB=180°， 即∠COB+2∠B=180°， ∵∠DAB+2∠B=180°， ∴∠DAB=∠COB， ∴OC∥AD， ∴∠OCD=∠D， ∵∠D=90°， ∴∠OCD=90°， ∴与相切； （2）如图，连接AC，EC， ∵四边形AECB是圆的内接四边形， ∴∠DEC=∠B， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=90°-∠CAB， ∵∠DCA=90°-∠ACO，∠CAB=∠ACO， ∴∠B=∠DCA， ∴∠DEC=∠DCA， ∴△DEC∽△DCA， ∴DC：DA=DE：DC， ∴， ∴DC=DE； ∵∠DAB=∠COB，∠DAB=∠DAC+∠OAC，∠COB=2∠OAC， ∴∠DAC=∠OAC， ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△DAC∽△CAB， ∴AC：BC=AD：DC， ∴= AC：BC=AD：DC=5DE：DE=． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，三角形的相似，圆的内接四边形的性质，三角函数的定义，直径的性质，熟练掌握连接半径证垂直证切线，灵活证明三角形的相似是解题的关键． 【考点题型十一】在圆中求三角函数求角 29．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，中，，，G是的重心，的中点为D，以G为圆心，长为半径画⊙G，过C点作⊙G的两切线段，其中E、F为切点，则与的度数和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，根据重心的性质得出，进而得出，根据切线长定理得出，根据三角形内角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵是的重心，的中点为， ∴在上， ∴， ∵、是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线长定理，根据特殊角的三角函数值求角度，三角形重心的性质，三角形内角和定理，掌握三角形重心的性质是解题的关键 30．（2022九年级下·全国·专题练习）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是和 ，则∠BAC的度数是 ． 【答案】15°或75°/75°或15° 【分析】由题意可知半径为1，弦AB、AC分别是和 ，作OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可求出AM与AN的长度，然后分别在直角三角形AOM与直角三角形AON中，利用余弦函数，可求出∠OAM=45°，∠OAN=30°，然后根据AC与AB的位置情况分两种进行讨论即可． 【详解】解：如图，作OM⊥AB，ON⊥AC； 由垂径定理，可得AM=AB，AN=AC， ∵弦AB、AC分别是、， ∴AM=，AN=； ∵半径为1， ∴OA=1； ∵， ∴∠OAM=45°； 同理∵， ∴∠OAN=30°； ∴∠BAC=∠OAM+∠OAN或∠OAM-∠OAN ∴∠BAC=75°或15°． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理以及三角形函数．本题综合性强，关键是画出图形，作好辅助线，利用垂径定理和直角三角形的特殊余弦值求得角的度数，注意要考虑到两种情况． 31．（22-23九年级下·黑龙江绥化·期末）如图，是的直径，切于点B，的延长线交直线于点A，点F在上，．      (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）如图1，连接，由切于点B，可得，由是的直径，，可得，，由，可得，则，由圆周角定理得，计算求解即可； （2）如图2，连接，由是的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，    ∵切于点B， ∴， ∵是的直径，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； （2）解：如图2，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，切线的性质，正弦，余弦，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点题型十二】在圆中利用三角函数求线段长 32．（22-23九年级上·重庆·期末）如图，为的弦，直径，交于点，连接、、、，若，的半径为2，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，再求出先求出，即可求出． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，特殊三角函数等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 33．（22-23九年级上·湖北随州·期末）如图，内接于⊙，是⊙的直径，切⊙于点B，E为上一点，且，延长交于点D． (1)求证：； (2)若⊙的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角和切线的性质得到，则，再由等边对等角，对顶角相等证明，推出，即可证明； （2）由得到，设，则，，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径，切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，锐角三角函数等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 34．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为E，连接，过点B作的切线，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若点是的中点，且，求线段的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线性质定理，勾股定理，正切函数计算； （1）根据切线性质，垂直的定义，圆周角定理，余角的性质，证明即可． （2）根据点是的中点，且，得到，利用勾股定理，得到，结合计算即可． 【详解】（1）∵是的直径，过点B作的切线，交的延长线于点F， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． （2）如图，连接， ∵点是的中点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$