专题13 排列、组合、二项式定理-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题13 排列、组合、二项式定理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解分类加法、分步乘法计数原理的概念 · 掌握计数原理的应用 · 了解排列关系的使用 · 理解排列与组合之间的关系 · 理解二项式定理的运算 考点预测 · 计数原理的应用 · 排列与组合的关系 · 二项式定理的运算 · 二项式系数的应用 · 理解二项式系数的性质 要点自测 （一）计数原理 分类计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。 分步计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 （二）排列与组合 排列与排列数 组合与组合数 定义 1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 2．组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 公式 排列数公式 组合数公式 性质 （1） （2） 备注 （三）二项式定理 要点 内容 二项式定理 ________, 项数 共有_ 项 通项 通项__ ____,表示第 项 二项式系数 二项式系数为__ _,系数与_ 二项式系数的性质 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 . 增减性与最大值：二项式系数逐渐增大，在中间达到最大值，然后逐渐减小. 当是偶数时，中间的一项第 项的二项式系数最大； 当是奇数时，中间的两项第 、 项的二项式系数相等，且同时取得最大值. 各二项式系数的和：. 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即： 考点突破 考点1 分类加法计数原理 【例1】某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A．40种 B．20种 C．15种 D．11种 【答案】D 【解析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】从4门球类运动课程选一种有4种选法， 从5门田径类运动课程选一种有5种选法， 从2门水上运动课程选一种有2种选法， 根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：D. 【突破训练】为了方便广大市民接种流感疫苗，提高流感疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成流感疫苗接种，则不同接种点的选法共有（   ） A．11种 B．19种 C．30种 D．209种 考点2 分类乘法计数原理 【例2】某班元旦晚会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】将第一个新节目插入个节目排成的节目单中有种插入方法， 再将第二个新节目插入到刚排好的个节目排成的节目单中有种插入方法， 利用分步乘法计数原理，共有插入方法：（种）， 故选：D． 【突破训练】．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程．若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 考点3 计数原理的应用 【例3】．从甲地到乙地，一天内有2班火车，5班汽车，一天中不同的乘车方法共有（    ） A．种 B．种 C．10种 D．7种 【答案】D 【解析】根据分类计数原理即可求解. 【详解】根据分类计数原理，一天中不同的乘车方法共有种. 故选：D. 【突破训练】近年来，中国高铁和飞机技术发展迅速，高铁运营里程、运行速度、建设速度均居世界第一，国产大飞机C919已于2023年正式投入商业运营，从A城到B城的高铁每天有15个车次，可选择一等座、二等座和商务座；从A城到B城的飞机每天有4个架次，可选择头等舱、公务舱和经济舱，若从A城坐高铁或飞机到B城，共有购票方法（    ） A．19种 B．49种 C．57种 D．60种 考点4 排列 【例4】“”可以组成无重复的两位数的个数为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】根据排列数的计算公式计算即可. 【详解】“”可以组成无重复的两位数的个数为个. 故选：B. 【突破训练】的值为（    ） A．12 B．30 C．26 D．24 考点5 组合 【例5】学校开设了5门选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同选法（    ） A．10种 B．15种 C．20种 D．60种 【答案】A 【解析】直接用组合数表示并计算即可． 【详解】学校开设了5门选修课，要求每个学生从中选学3门，则不同选法有种． 故选：A． 【突破训练】若，则实数（ ） A． B．   C．或 D． 考点6 排列组合的应用 【例6】男生5人，女生3人，现从中选3人参加志愿活动，要求从中选出的3人中“至少有一个是女生”的选法有多少种（    ） A．10种 B．46种 C．60种 D．72种 【答案】B 【分析】根据组合数的计算即可求解. 【详解】从男生5人，女生3人中选出三人参加活动，共有种选法. 全是男生的选法有种，则至少有一个女生有种选法. 故选：B. 【突破训练】由0，1，2，3，4，5这六个数字可组成（    ）个没有重复数字的六位奇数． A． B． C． D． 考点7 二项式定理 【例7】在的展开式中，常数项为（ ） A．80 B． C．160 D． 【答案】D 【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解. 【详解】由于互为倒数，故常数项为第4项， 即常数项为， 故选:D. 【突破训练】在展开式中的系数为24，则实数的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 考点8 二项式系数的性质 【例8】已知，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理的性质和代入法即可求解. 【详解】因为，所以由组合数的性质得， 所以， 令，得，即. 令，得，所以， 故选：D. 【突破训练】在的展开式中，所有二项式系数和为64，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 模拟演练 一、选择题 1．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友们发水果.王老师的果篮里有草莓，苹果、芒果3种水果，李老师的果篮里有苹果，樱桃﹑香蕉﹑猕猴桃4种水果.小华可以任选一种水果，则小华拿到水果的可能结果有（    ） A．7种 B．6种 C．12种 D．11种 2．已知的展开式的第三项系数是15，则展开式中含有项的系数是（    ） A．20 B．—20 C．15 D．—15 3．的二项展开式的第4项为（　　） A． B． C．70 D． 4．书架有3本语文书，4本数学书，5本英语书，随机从书架上取一本书，取到的书不是语文书的概率为（    ） A． B． C． D． 5．一个不透明的袋子中装有2个红球、4个白球、5个黑球（相同颜色的球视为不同的球），现从袋中不同颜色的球各取一个，共有（   ）种取法. A．40 B．8 C．11 D．20 6．某小组有成员3人，每人在一个星期中参加1天劳动，如果劳动日期随机安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为（    ） A． B． C． D． 7．将6名学生排成一排，其中甲、乙两名学生必须相邻，则不同的排法总数为（    ） A．120 B．160 C．240 D．320 8．把8本不同的书分给甲、乙两人，每人4本，不同的分法种数为（    ） A． B． C． D． 9．正八边形的对角线的条数是（    ） A．20 B．28 C．48 D．56 10．某医院从4名医生、3名护士中选1名医生、2名护士组成医疗小队，选派的方案有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 11．的二项展开式共有（    ） A．8项 B．7项 C．6项 D．5项 12．在的二项展开式中，所有项的系数之和等于（    ） A． B．1 C．32 D．64 二、填空题 13．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物9本，英语类读物8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有 种． 14．如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有 条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．    15．已知，则 . 16．n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n的值为 . 17．从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之和为偶数的概率为 ；之积为偶数的概率为 ． 18．如果二项式的幂指数n是奇数，那么它的展开式 的二项式系数最大并且相等. 19．在的展开式中的系数为 . 20．已知展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中含项的系数为 . 三、解答题 21．计算：． 22．求展开式中的常数项． 23．要从6名男生和4名女生中选出5人参加一项活动． (1)如果甲当选且乙不当选，那么有多少种选法？ (2)如果至多有3名男生当选，那么有多少种选法？ 24．在方程中，设系数a、b是集合中两个不同的元素．求这些方程所表示的不同直线的条数． 25．在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中含的项． $$专题13 排列、组合、二项式定理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解分类加法、分步乘法计数原理的概念 · 掌握计数原理的应用 · 了解排列关系的使用 · 理解排列与组合之间的关系 · 理解二项式定理的运算 考点预测 · 计数原理的应用 · 排列与组合的关系 · 二项式定理的运算 · 二项式系数的应用 · 理解二项式系数的性质 要点自测 （一）计数原理 分类计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。 分步计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。 （二）排列与组合 排列与排列数 组合与组合数 定义 1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 2．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。 1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 2．组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 公式 排列数公式 组合数公式 性质 （1） （2） 备注 （三）二项式定理 要点 内容 二项式定理 ________, 项数 共有__n+1____项 通项 通项____________,表示第____m+1___项 二项式系数 二项式系数为__(m=0,1,2,…,n)___,系数与_二项式系数不同_ 二项式系数的性质 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 . 增减性与最大值：二项式系数逐渐增大，在中间达到最大值，然后逐渐减小. 当是偶数时，中间的一项第 项的二项式系数最大； 当是奇数时，中间的两项第 、 项的二项式系数相等，且同时取得最大值. 各二项式系数的和：. 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即： 考点突破 考点1 分类加法计数原理 【例1】某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A．40种 B．20种 C．15种 D．11种 【答案】D 【解析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】从4门球类运动课程选一种有4种选法， 从5门田径类运动课程选一种有5种选法， 从2门水上运动课程选一种有2种选法， 根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：D. 【突破训练】为了方便广大市民接种流感疫苗，提高流感疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成流感疫苗接种，则不同接种点的选法共有（   ） A．11种 B．19种 C．30种 D．209种 【答案】C 【分析】根据分类计数原理即可求解. 【详解】该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点， 所以共有种不同接种点的选法. 故选：C． 考点2 分类乘法计数原理 【例2】某班元旦晚会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】将第一个新节目插入个节目排成的节目单中有种插入方法， 再将第二个新节目插入到刚排好的个节目排成的节目单中有种插入方法， 利用分步乘法计数原理，共有插入方法：（种）， 故选：D． 【突破训练】．某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程．若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】利用分步计数原理，即可求解. 【详解】依题意，专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程， 从两类选修课中各选一门学习，根据分步计数原理，不同的选修方案有种． 故选：B． 考点3 计数原理的应用 【例3】．从甲地到乙地，一天内有2班火车，5班汽车，一天中不同的乘车方法共有（    ） A．种 B．种 C．10种 D．7种 【答案】D 【解析】根据分类计数原理即可求解. 【详解】根据分类计数原理，一天中不同的乘车方法共有种. 故选：D. 【突破训练】近年来，中国高铁和飞机技术发展迅速，高铁运营里程、运行速度、建设速度均居世界第一，国产大飞机C919已于2023年正式投入商业运营，从A城到B城的高铁每天有15个车次，可选择一等座、二等座和商务座；从A城到B城的飞机每天有4个架次，可选择头等舱、公务舱和经济舱，若从A城坐高铁或飞机到B城，共有购票方法（    ） A．19种 B．49种 C．57种 D．60种 【答案】C 【分析】根据分步计数原理和分类计数原理即可求解. 【详解】从A城坐高铁到B城， 有15个车次，3种座位可选，共有种购票方法； 从A城坐飞机到B城， 有4个架次，3种舱可选，共有种购票方法， 所以共有种购票方法. 故选：C 考点4 排列 【例4】“”可以组成无重复的两位数的个数为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】根据排列数的计算公式计算即可. 【详解】“”可以组成无重复的两位数的个数为个. 故选：B. 【突破训练】的值为（    ） A．12 B．30 C．26 D．24 【答案】B 【分析】根据排列数的计算公式即可得解. 【详解】根据排列数的计算公式可得，. 故选：B. 考点5 组合 【例5】学校开设了5门选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同选法（    ） A．10种 B．15种 C．20种 D．60种 【答案】A 【解析】直接用组合数表示并计算即可． 【详解】学校开设了5门选修课，要求每个学生从中选学3门，则不同选法有种． 故选：A． 【突破训练】若，则实数（ ） A． B．   C．或 D． 【答案】C 【分析】根据组合数的性质列方程求解即可. 【详解】已知， 则或， 解得或， 故选：C. 考点6 排列组合的应用 【例6】男生5人，女生3人，现从中选3人参加志愿活动，要求从中选出的3人中“至少有一个是女生”的选法有多少种（    ） A．10种 B．46种 C．60种 D．72种 【答案】B 【分析】根据组合数的计算即可求解. 【详解】从男生5人，女生3人中选出三人参加活动，共有种选法. 全是男生的选法有种，则至少有一个女生有种选法. 故选：B. 【突破训练】由0，1，2，3，4，5这六个数字可组成（    ）个没有重复数字的六位奇数． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列组合的定义，先确定个位数的选择方式，再确定最高位不能为的选择方式，剩余无限制随机组合即可解得. 【详解】由题，六个数字组成没有重复数字的六位奇数， 则个位数只能从中选，即为种情况， 六位数最高位不能为，则只能从剩余个数中选择，有， 剩余个数随机排列， 故为， 故选：C 考点7 二项式定理 【例7】在的展开式中，常数项为（ ） A．80 B． C．160 D． 【答案】D 【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解. 【详解】由于互为倒数，故常数项为第4项， 即常数项为， 故选:D. 【突破训练】在展开式中的系数为24，则实数的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开的通项公式即可求解. 【详解】由题意得，展开式为. 令，则的系数为，解得. 故选：D. 考点8 二项式系数的性质 【例8】已知，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理的性质和代入法即可求解. 【详解】因为，所以由组合数的性质得， 所以， 令，得，即. 令，得，所以， 故选：D. 【突破训练】在的展开式中，所有二项式系数和为64，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由二项式系数的性质即可求出. 【详解】因为在的展开式中，所有二项式系数和为64， 可得， 故选：A. 模拟演练 一、选择题 1．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友们发水果.王老师的果篮里有草莓，苹果、芒果3种水果，李老师的果篮里有苹果，樱桃﹑香蕉﹑猕猴桃4种水果.小华可以任选一种水果，则小华拿到水果的可能结果有（    ） A．7种 B．6种 C．12种 D．11种 【答案】B 【分析】从王老师的果篮里和李老师的果篮里任选一种水果，都可以完成这件事，符合分类计数原理.但要注意，王老师的果篮里有3种水果，李老师的果篮里有4种水果，其中苹果是重复的，不可重复计数，应去掉重复部分. 【详解】解：因为王老师的果篮里和李老师的果篮里共有草莓﹑苹果，芒果﹑樱桃﹑香蕉﹑猕猴桃6种水果， 所以小华拿到的水果的可能结果有6种. 故选：B. 2．已知的展开式的第三项系数是15，则展开式中含有项的系数是（    ） A．20 B．—20 C．15 D．—15 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可解得 【详解】由题， 则由解得， 又， 令， 则， 即. 故选：C 3．的二项展开式的第4项为（　　） A． B． C．70 D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项求解. 【详解】的二项展开式的通项为， ∴第4项为. 故选：A. 4．书架有3本语文书，4本数学书，5本英语书，随机从书架上取一本书，取到的书不是语文书的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出一共的可能情况共有12种，运用概率计算出结果. 【详解】书架有3本语文书，4本数学书，5本英语书， 随机从书架上取一本书共有（种）， 则取到的书不是语文书的概率为. 故选：B 5．一个不透明的袋子中装有2个红球、4个白球、5个黑球（相同颜色的球视为不同的球），现从袋中不同颜色的球各取一个，共有（   ）种取法. A．40 B．8 C．11 D．20 【答案】A 【分析】根据乘法原理，取法的总数等于每种颜色球个数相乘,即可求解. 【详解】根据乘法原理,从袋中取不同颜色球各一个，共有种取法. 故选：A. 6．某小组有成员3人，每人在一个星期中参加1天劳动，如果劳动日期随机安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算公式. 【详解】由于每个人在一个星期中有7天可以选择参加劳动，且小组有3人，所以基本事件总数为7×7×7=343. 若3人在不同的3天参加劳动的情况为：. 故，3人在不同的3天参加劳动的概率. 故选：C. 7．将6名学生排成一排，其中甲、乙两名学生必须相邻，则不同的排法总数为（    ） A．120 B．160 C．240 D．320 【答案】C 【分析】现将甲乙捆绑成整体，再与其他学生排列. 【详解】将甲、乙两名学生看作一个整体，那么他们之间的排列方式有. 然后，将这个整体与其他4名学生一起进行排列，即. 根据分步计数原理，总的排列方式为. 故选：C. 8．把8本不同的书分给甲、乙两人，每人4本，不同的分法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】相当于8本不同的书分成两份，不需排序. 【详解】从8本不同的书中选出4本，分给甲，剩余4本给乙即可，无需排序， 故列式为. 故选:B. 9．正八边形的对角线的条数是（    ） A．20 B．28 C．48 D．56 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用多边形对角线的定义，结合组合的意义列式作答. 【详解】正八边形的对角线是连接正八边形的任意两个不相邻顶点的线段， 所以正八边形的对角线的条数是. 故选：A 10．某医院从4名医生、3名护士中选1名医生、2名护士组成医疗小队，选派的方案有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】A 【分析】分两步，第一步，先从4名医生中选1名医生，共有种方法，第二步，从3名护士中选2名护士，共有种方法，由分步计数原理可求解. 【详解】根据分步计数原理，第一步，先从4名医生中选1名医生，共有种方法，第二步，从3名护士中选2名护士，共有种方法，所以选派的方案共有： （种）. 故选：A 11．的二项展开式共有（    ） A．8项 B．7项 C．6项 D．5项 【答案】C 【分析】利用二项式定理直接作答. 【详解】的二项展开式共有项. 故选：C. 12．在的二项展开式中，所有项的系数之和等于（    ） A． B．1 C．32 D．64 【答案】A 【分析】根据二项式的性质求解即可. 【详解】当，时， 二项展开式所有项的系数之和等于. 故选：A. 二、填空题 13．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物9本，英语类读物8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有 种． 【答案】24 【分析】由分类加法计数原理即可得. 【详解】由分类加法计数原理可得. 故答案为：. 14．如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有 条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．    【答案】 【分析】根据分步计数和分类计数原理即可求解. 【详解】依题意按上、中、下三条线路可分为三类， 上线路中有种，中线路中只有种，下线路中有（种）， 根据分类计数原理，共有（种. 故答案为：. 15．已知，则 . 【答案】 【分析】根据排列数公式可得出关于的等式，分析可知且，即可解得的值. 【详解】因为，则且，则，即，解得. 故答案为：. 16．n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n的值为 . 【答案】5 【分析】根据二项式定理求解. 【详解】因为的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大， 所以，解得n=5； 故答案为：5. 17．从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之和为偶数的概率为 ；之积为偶数的概率为 ． 【答案】 /0.4 /0.8 【分析】计算6张纸片中任取2张的基本事件总数，再求数字之和为偶数与之积为偶数所占的基本事件数，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】6张纸片中任取2张，有种不同结果， 数字之和为偶数，这2张纸片上数字都是奇数或都是偶数，有种结果，则数字之和为偶数为概率为； 数字之积为偶数，这2张纸片数字一个奇数一个偶数或都是偶数，有种结果，则数字之积为偶数为概率为； 故答案为：； 18．如果二项式的幂指数n是奇数，那么它的展开式 的二项式系数最大并且相等. 【答案】中间两项 【分析】根据二项式系数的性质即可得到. 【详解】根据二项式系数的性质可知， 如果二项式的幂指数n是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大并且相等. 故答案为：中间两项. 19．在的展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】利用通项公式可知，当时可求解. 【详解】由于， 令得. 所以展开式中的系数为：. 故答案为： 20．已知展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中含项的系数为 . 【答案】 【分析】先根据第3项与第6项的二项式系数相等求出，从而得到展开式的通项公式，得到答案. 【详解】由题意得，解得， 故展开式通项公式为， 令得， 故展开式中含项的系数为. 故答案为： 三、解答题 21．计算：． 【答案】 【分析】将每一项进行化简求值. 【详解】解：原式 ． 22．求展开式中的常数项． 【答案】3003 【分析】利用二次项定理的展开式：即可求解. 【详解】的展开式为： ， 令，即， 则常数项为. 23．要从6名男生和4名女生中选出5人参加一项活动． (1)如果甲当选且乙不当选，那么有多少种选法？ (2)如果至多有3名男生当选，那么有多少种选法？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用特殊元素优先考虑法，从除甲、乙外余下的8人中任选4人即可得解； （2）由题意至多有3名男生当选时，应分三类：第一类选3男2女，第二类选2男3女，第三类选1男4女，再利用分类计数原理即可得解. 【详解】（1）从除甲、乙外余下的8人中任选4人， 有种选法， 即甲当选且乙不当选有70种选法． （2）至多有3名男生当选时，应分三类： 第一类是选3男2女，有种选法； 第二类是选2男3女，有种选法； 第三类是选1男4女，有种选法． 由分类加法计数原理知，共有种选法． 24．在方程中，设系数a、b是集合中两个不同的元素．求这些方程所表示的不同直线的条数． 【答案】22 【分析】根据排列的方法以及直线方程的概念求解. 【详解】取集合中两个不同的元素分别为， 共有如下： 共有30种， 其中均表示同一条直线，只计数一次， 均表示同一条直线，只计数一次， 其余直线均不重复，所以共有条不同的直线. 25．在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中含的项． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据已知条件表示展开式第2项、第3项、第4项的二项式系数，再运用等差数列的相关性质求解即可； （2）写出展开式后代入求解即可. 【详解】（1）在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为， 因为的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列， 所以，即， 化简得：，因为，所以， 解得或. 时，展开式只有3项，不符合题意； 所以. （2）由（1）知，通项公式为， 令，得，则. 所以展开式中含的项为. $$