专题12 圆锥曲线-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题12 圆锥曲线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解椭圆的定义及标准方程 · 掌握椭圆的几何性质 · 理解双曲线的定义及标准方程 · 掌握双曲线的几何性质 考点预测 · 椭圆的定义、标准方程及几何性质 · 双曲线的定义、标准方程及几何性质 · 抛物线的定义、标准方程及几何性质 · 圆锥曲线与直线的综合应用 · 理解抛物线的定义及标准方程 · 掌握抛物线的几何性质 要点自测 （1） 椭圆的标准方程 椭圆定义：一般地，把平面内与 两个定点的距离之和为 常数 （大于）的点的轨迹称为椭圆。定点和称为椭圆的 焦点 ，两焦点之间的距离称为椭圆的 焦距 。 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 定义式 标准方程 焦点坐标 和 和 焦距 的关系 （2） 椭圆几何性质 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 几何性质 范围 顶点坐标 焦点坐标 和 和 轴 对称轴： 轴和轴 ；对称中心： 坐标原点 ；长轴长： ；短轴长： 离心率 （3） 双曲线的标准方程 双曲线的定义：一般地，把平面内与 两个定点 的距离之差的 绝对值 为常数（小于）的点的轨迹为双曲线。定点和称为双曲线的 焦点 ，两焦点之间的距离称为双曲线的 焦距 。 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 定义式 标准方程 焦点坐标 和 和 焦距 的关系 （四）双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 几何性质 范围 或 或 顶点坐标 焦点坐标 和 和 轴 对称轴: 轴和轴 ;对称中心: 坐标原点 ;实轴长: ;虚轴长: 离心率 ； 渐近线方程 焦距和 ； （五）抛物线的标准方程 抛物线的定义：一般地，把平面内到一个 定点 和一条定直线的距离 相等 的点的轨迹称为抛物线。定点称为抛物线的 焦点 ，定直线称为抛物线的 准线 。 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 定义式 标准方程 焦点坐标 准线方程 （六）抛物线的几何性质 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 对称轴 轴 轴 顶点坐标 离心率 到准线的距离 考点突破 考点1 椭圆的标准方程 【例1】长轴长为10，短轴长为8，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得，的值，进而得解. 【详解】依题意，，，则，， 又焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为. 故选：D. 【突破训练】方程表示的曲线是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由题方程的几何意义为平面上一点到和的距离为3， 因为，符合椭圆的基本定义. 所以方程表示的曲线是椭圆. 故选：B. 考点2 椭圆的几何性质 【例2】一个椭圆的半焦距为2，离心率，那么它的短轴长是（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【解析】根据离心率先求，再根据椭圆易得答案. 【详解】因为半焦距为，所以， 因为， 所以， 所以短轴长是. 故选：C. 【突破训练】椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出椭圆中的即可得出答案. 【详解】椭圆的焦点在轴上，，， 所以，于是，， 椭圆的离心率. 故选：A. 考点3 双曲线的标准方程 【例3】若双曲线的焦距为6，则k的值是（    ） A．7 B．2 C．14 D．4 【答案】D 【解析】根据题意，利用，即可求解. 【详解】由于， ，， ， 又， . 故选：D. 【突破训练】若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】若方程表示双曲线， 由题意，知，解得或， 所以的取值范围为， 故选：A. 考点4 双曲线的几何性质 【例4】双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据双曲线的方程得到，即可求解. 【详解】由双曲线方程知，，而渐近线方程为， 所以双曲线渐近线为. 故选：B. 【突破训练】双曲线上一点到一个焦点的距离为5，则这个点到另一个焦点的距离为（   ）. A．1 B．11 C．9 D．1或9 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，求解点到另一焦点的距离. 【详解】双曲线. 即. 设双曲线的两个焦点分别为和，且曲线上一点为. 不妨令. 根据双曲线的定义可知. 得到或. 故选：D. 考点5 抛物线的标准方程 【例5】已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线准线求抛物线标准方程即可解决. 【详解】由题可知，准线方程为，故焦点在轴上， 所以抛物线的标准方程为， 准线为， 故， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 【突破训练】抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将曲线方程化为标准形式，结合定义即可求解. 【详解】将抛物线方程化为标准形式：，,, 由抛物线定义知焦点坐标. 故选：B. 考点6 抛物线的几何性质 【例6】下列关于抛物线的图象描述正确的是（     ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】将抛物线方程化简为标准方程，再判断开口方向以及焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【突破训练】对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．开口向下 C．开口向左 D．开口向右 【答案】A 【分析】将抛物线方程化为标准方程形式，即可判断开口方向. 【详解】， 则该抛物线开口向上. 故选：A 模拟演练 一、选择题 1．已知点是椭圆上的动点，则点到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程和定义求解. 【详解】由椭圆标准方程可知，∴． 根据椭圆的定义可得点到该椭圆的两个焦点的距离之和为． 故选：B. 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求得，结合双曲线的渐近线方程定义计算即可得. 【详解】由题意可得， 故该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而求得双曲线离心率，根据点在双曲线上，根据定义求出，从而求出，则双曲线方程可得． 【详解】解：由题设知：焦点为，，， ，， 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是． 故选：． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对双曲线和椭圆基本知识的掌握，属于基础题． 4．在平面直角坐标系中，原点到抛物线的准线的距离为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出准线方程即可得到答案． 【详解】因为抛物线的准线方程为， 所以原点到抛物线的准线的距离为． 故选：D． 5．焦距为4，离心率是方程的一根，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦距可求解c的值，求出方程的根可求解离心率，进而可求解a的值，即可求解椭圆方程. 【详解】因为焦距为4，所以，， 的根，， ，则， ， 焦点在x轴，则椭圆方程为. 故选：B. 6．若椭圆和双曲线的共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为 （    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】设点，根据方程组求点P的坐标和焦距，进而可得面积. 【详解】对于椭圆可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则， 设点，则，解得， 所以的面积值为. 故选：A. 7．椭圆的长轴长．短轴长．焦距依次是（   ） A．5，3，4 B．10，6，4 C．5，3，8 D．10，6，8 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质判断即可. 【详解】因为椭圆为，即标准方程为， 所以，所以，所以长轴长，短轴长， 焦距. 故选：D. 8．若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于 A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+, 得出x0求得p，即可得答案． 【详解】由题意，3x0=x0+，∴x0=∴ ∵p＞0，∴p=2. 故选D． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题． 9．已知椭圆：，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将椭圆的方程化为标准方程，再利用椭圆的离心率进行求解. 【详解】将椭圆：化为， 所以， 所以，所以. 故选：C. 10．焦距为12，离心率为的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由焦距和离心率求出，再按焦点在轴和轴分别写出标准方程即可. 【详解】焦距为12，即，， 离心率为，即，所以， 则； 当双曲线的焦点在轴上，此时标准方程为， 当双曲线的焦点在轴上，此时标准方程为. 故选：C. 11．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆与双曲线的性质结合离心率关系计算关系即可. 【详解】由题意可知， 又，所以， 易知双曲线的渐近线方程为，所以其渐近线方程为. 故选：A 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且，则点到轴的距离为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设M（x，y），则椭圆…①，∵椭圆的焦点分别是F1，F2，∴F1 ， =3…② 由①②得x2= ∴点M到y轴的距离为 故选B 点睛：本题考查了椭圆的方程，及向量运算，注意计算的准确性，属于中档题． 13．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的标准方程为（），焦距为， 则：解得 故选：D 14．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程即可解得 【详解】由题抛物线， 即， 故， 故焦点坐标为， 故选：D 15．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】分别求抛物线焦点与椭圆右焦点使其相等即可 【详解】抛物线，焦点为； 椭圆，，焦点在轴上，，， ，，右焦点为， 抛物线焦点与椭圆右焦点重合， ，； 故选：C. 16．已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义分析即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线， ，得. 故选:A. 二、填空题 17．双曲线的焦点坐标为 ，离心率为 . 【答案】 2 【分析】根据双曲线的标准方程求出坐标、离心率即可. 【详解】因为双曲线， 所以， 所以焦点坐标为，离心率， 故答案为：；2 18．已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到焦点的距离是 ． 【答案】6 【分析】由抛物线的概念即可求解. 【详解】由抛物线：可知， ∴该点到抛物线的焦点的距离等于该点到准线的距离，即． 故答案为:6. 19．以双曲线的焦点为焦点的椭圆方程可以是 （写出符合要求的一个方程即可）. 【答案】（答案不唯一） 【分析】将双曲线化成标准式，求出，写出椭圆方程即可. 【详解】由，故双曲线中，即焦点坐标为，故椭圆方程可以为：. 故答案为：（答案不唯一） 20．在双曲线中，若虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，则此双曲线的离心率为 【答案】/ 【分析】根据已知条件和双曲线的性质易得答案. 【详解】由题意设虚轴长为、实轴长为、焦距为, 所以, 所以. 故答案为:. 21．已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，则P= ；过点F作斜率为k的直线l交抛物线E于两个不同点A､B，若，则实数k的值为 . 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点F到准线的距离为4，由抛物线定义求解；设,利用抛物线定义结合，得到，再作x轴， x轴，由，得到，求得，然后利用斜率求解. 【详解】因为抛物线的焦点F到准线的距离为4， 所以P=4； 设, 由抛物线定义得： , 因为， 所以, 如图所示： 作x轴， x轴， 所以相似，则， ， 解得，， 所以， 故答案为：， 三、解答题 22．已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的标准方程. 【答案】 【分析】根据双曲线与椭圆的焦点相同，求出双曲线的焦点，又因为双曲线过点，联立求解即可. 【详解】由，得， 则，所以， 所以双曲线的焦点为， 设双曲线方程为， 因为双曲线过点，所以①， 又②， 联立①②，解得或， 当时，，不合题意，舍， 当时，，合题意， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 23．已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标． 【答案】 【分析】由椭圆定义求得，，利用分别在以、为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得点坐标． 【详解】解：由已知，，，， ，而， 所以，， 因此点P在分别以、为圆心，半径为15、5的圆上， 因此，解得， 所以点P的坐标为． 24．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意列出关于的方程组即可得解. （）设，求出，，根据平面向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】（1）依题， 解得，，， 故双曲线的方程为． （2）因为双曲线的方程为, 则，，设， 于是，， 因此， 由于，所以当时，取得最小值为． 25．已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且离心率，求： (1)双曲线C的标准方程； (2)双曲线C的渐近线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出椭圆的焦点，即双曲线焦点，再结合离心率求出双曲线的方程即可. （2）由（1）求出的双曲线方程写出其渐近线方程即可. 【详解】（1）因为椭圆， 所以椭圆的焦点坐标为，即， 所以双曲线C的焦点坐标为， 可设双曲线C的标准方程为， 又离心率，所以，， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）双曲线C的标准方程为。 令可得，即. 所以双曲线C的渐近线方程为. 26．抛物线（p>0）与椭圆有共同的焦点，并且两曲线相交于P、Q两点.是椭圆的另一个焦点，求： (1)抛物线的方程 (2)P、Q两点的坐标 (3)△P的面积 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据椭圆与抛物线有共同焦点，求参数. （2）根据相交可得两方程共同的解. （3）找到三角形的底和高，根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）在椭圆中 ∴， ∴焦点为， ∵抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆有共同的焦点，且， ∴， ∴， ∴抛物线的方程为. （2）∵两曲线相交， ∴方程有共同解，联立得： ， 解得：或(舍去)， 将代入得， 故两焦点坐标为和. （3）如图：    ∵，为三角形的底， 点纵坐标的绝对值为三角形的高， 故的面积为. $$专题12 圆锥曲线 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解椭圆的定义及标准方程 · 掌握椭圆的几何性质 · 理解双曲线的定义及标准方程 · 掌握双曲线的几何性质 考点预测 · 椭圆的定义、标准方程及几何性质 · 双曲线的定义、标准方程及几何性质 · 抛物线的定义、标准方程及几何性质 · 圆锥曲线与直线的综合应用 · 理解抛物线的定义及标准方程 · 掌握抛物线的几何性质 要点自测 （1） 椭圆的标准方程 椭圆定义：一般地，把平面内与 的距离之和为 （大于）的点的轨迹称为椭圆。定点和称为椭圆的 ，两焦点之间的距离称为椭圆的 。 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 定义式 标准方程 焦点坐标 焦距 的关系 （2） 椭圆几何性质 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 几何性质 范围 顶点坐标 焦点坐标 轴 对称轴： ；对称中心： ；长轴长： ；短轴长： 离心率 （3） 双曲线的标准方程 双曲线的定义：一般地，把平面内与 的距离之差的 为常数（小于）的点的轨迹为双曲线。定点和称为双曲线的 ，两焦点之间的距离称为双曲线的 。 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 定义式 标准方程 焦点坐标 焦距 的关系 （四）双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 几何性质 范围 顶点坐标 焦点坐标 轴 对称轴: ;对称中心: ;实轴长: ;虚轴长: 离心率 渐近线方程 焦距和 （五）抛物线的标准方程 抛物线的定义：一般地，把平面内到一个 和一条定直线的距离 的点的轨迹称为抛物线。定点称为抛物线的 ，定直线称为抛物线的 。 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 定义式 标准方程 焦点坐标 准线方程 （六）抛物线的几何性质 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 对称轴 顶点坐标 离心率 到准线的距离 考点突破 考点1 椭圆的标准方程 【例1】长轴长为10，短轴长为8，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得，的值，进而得解. 【详解】依题意，，，则，， 又焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为. 故选：D. 【突破训练】方程表示的曲线是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 考点2 椭圆的几何性质 【例2】一个椭圆的半焦距为2，离心率，那么它的短轴长是（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【解析】根据离心率先求，再根据椭圆易得答案. 【详解】因为半焦距为，所以， 因为， 所以， 所以短轴长是. 故选：C. 【突破训练】椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 考点3 双曲线的标准方程 【例3】若双曲线的焦距为6，则k的值是（    ） A．7 B．2 C．14 D．4 【答案】D 【解析】根据题意，利用，即可求解. 【详解】由于， ，， ， 又， . 故选：D. 【突破训练】若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 考点4 双曲线的几何性质 【例4】双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据双曲线的方程得到，即可求解. 【详解】由双曲线方程知，，而渐近线方程为， 所以双曲线渐近线为. 故选：B. 【突破训练】双曲线上一点到一个焦点的距离为5，则这个点到另一个焦点的距离为（   ）. A．1 B．11 C．9 D．1或9 考点5 抛物线的标准方程 【例5】已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线准线求抛物线标准方程即可解决. 【详解】由题可知，准线方程为，故焦点在轴上， 所以抛物线的标准方程为， 准线为， 故， 所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 【突破训练】抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 考点6 抛物线的几何性质 【例6】下列关于抛物线的图象描述正确的是（     ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】将抛物线方程化简为标准方程，再判断开口方向以及焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【突破训练】对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．开口向下 C．开口向左 D．开口向右 模拟演练 一、选择题 1．已知点是椭圆上的动点，则点到该椭圆的两个焦点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是　　 A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，原点到抛物线的准线的距离为（    ） A．3 B． C． D． 5．焦距为4，离心率是方程的一根，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．若椭圆和双曲线的共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为 （    ） A． B． C． D．8 7．椭圆的长轴长．短轴长．焦距依次是（   ） A．5，3，4 B．10，6，4 C．5，3，8 D．10，6，8 8．若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于 A． B．1 C． D．2 9．已知椭圆：，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．焦距为12，离心率为的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 11．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且，则点到轴的距离为 A． B． C． D． 13．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 14．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 15．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则（    ） A．2 B． C．4 D． 16．已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 17．双曲线的焦点坐标为 ，离心率为 . 18．已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到焦点的距离是 ． 19．以双曲线的焦点为焦点的椭圆方程可以是 （写出符合要求的一个方程即可）. 20．在双曲线中，若虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，则此双曲线的离心率为 21．已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，则P= ；过点F作斜率为k的直线l交抛物线E于两个不同点A､B，若，则实数k的值为 . 三、解答题 22．已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的标准方程. 23．已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标． 24．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 25．已知双曲线C与椭圆有共同的焦点，且离心率，求： (1)双曲线C的标准方程； (2)双曲线C的渐近线方程． 26．抛物线（p>0）与椭圆有共同的焦点，并且两曲线相交于P、Q两点.是椭圆的另一个焦点，求： (1)抛物线的方程 (2)P、Q两点的坐标 (3)△P的面积 $$