专题11 数列-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题11 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解数列的概念 · 掌握数列的递推公式 · 了解等差数列的概念、性质及应用 · 理解等差数列前n项和公式 · 了解等比数列的概念、性质及应用 考点预测 · 数列的递推公式 · 等差数列的性质、前n项和及应用 · 等比数列的性质、前n项和及应用 · 等差数列与等比数列的综合应用 · 理解等比数列前n项和公式 要点自测 （一）数列的概念 数列的定义 按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为 ，图象是 ． 分类 项数有限和无限分 项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 ． 单调性 通项公式 一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的 . 一般形式 ，简记为，其中称为数列的 ，称为第2项，，称为第项.　 （二）等差数列 等差数列的定义 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做 ．这个常数叫做等差数列的 ，一般用字母 表示．由定义知，若数列为等差数列，为公差，则,即 通项公式 性质 ①若是等差数列，则 ②在等差数列中，若时，则 ③若是等差数列，当时， ④等差中项 由三个数组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为 ⑤成 数列。 前n项和 = = （三）等比数列 等比数列的定义 如果一个数列的首项 ，且从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做 ．这个常数叫做这个等比数列的 ，一般用字母 来表示．由定义知，若为等比数列，q为公比，则与q均不为零，且有，即 通项公式 性质 ①若是等比数列，则 ②在等比数列中，若时，则 ③若是等比数列，当时， ④等比中项 如果在与中间插入一个数，使,,成等比数列，那么称这个数为与的等比中项. 即（,同号） ⑤成 数列。 前n项和 （四）等差数列与等比数列的应用 等差数列 等比数列 定义式 通项公式 性 质 若m+n=p+q m+n=2p 前n项和公式 考点突破 考点1 数列的概念 【例1】下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列，，，与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列，可记为 【答案】C 【解析】利用数列定义即可逐个选项判断. 【详解】由数列定义知A错；B中排列次序不同，错误； C中第项为，正确；D中，错误. 故选：C 【突破训练】下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 考点2 数列的通项公式 【例2】数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由具体数列判断通项公式问题，最简单的方法即是赋值代入检验判断即可. 【详解】对于选项A，当时，，故A项错误； 对于B选项，当时，，故B项错误； 对于C选项，当时，，故C项错误； 对于D项，因数列可以写成 ，故其通项公式可以写成，故D项正确. 故选：D. 【突破训练】数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 考点3 递推公式 【例3】已知数列中，，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】根据递推公式代入即得 【详解】因为，， 所以， 故选： D 【突破训练】数列，，，，…的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 考点4 等差数列的概念 【例4】数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析可知，数列是公差为的等差数列，即可求得的值. 【详解】因为数列满足，， 所以，数列是公差为的等差数列，故. 故选：C. 【突破训练】已知等差数列中，，，则公差等于（    ） A． B． C．2 D．3 考点5 等差中项 【例5】在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【解析】直接利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由是等差数列，则是和的等差中项， 所以， 则，. 故选：A 【突破训练】已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 考点6 等差数列前n项和 【例6】若是等差数列的前n项和，有，，则（    ）． A．230 B．420 C．450 D．540 【答案】B 【分析】由等差数列求和公式直接计算可得. 【详解】由等差数列的求和公式得：. 故选：B. 【突破训练】在等差数列中，前n项和为，已知，则（    ） A．5 B．11 C．8 D．9 考点7 等比数列的概念 【例8】下列各组数成等比数列的是（    ） ①，，，    ②，，，    ③，，，    ④，，， A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①首项为1，公比为，是等比数列； ②首项为，公比为，是等比数列；③当时，不是等比数列；④首项为，公比为，是等比数列，所以①②④成等比数列，故选：C. 【突破训练】在等比数列中，如果，那么（    ） A．40 B．36 C．54 D．128 考点8 等比中项 【例8】在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质计算可得. 【详解】由，∴． 故选：D 【突破训练】在正项等比数列中，，则______． 考点9 等比数列前n项和 【例9】等比数列的公比，前n项和为，，，则 ． 【答案】31 【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，进而利用等比数列求和公式计算即可. 【详解】由题意得，解得或， 因为，所以，故. 故答案为：31 【突破训练】已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ） A．31 B． C． D．63 模拟演练 一、选择题 1．数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列中，首项，公差.若，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．在等比数列中， ， ，则的值为（　　） A． B．0 C． D．1 4．已知等差数列的前5项和，且，则公差（    ） A． B． C． D． 5．等差数列中，是前项和，已知，，则（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 6．是数列，…的（ ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 7．在等差数列中，，则此数列的前8项和是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 8．在等比数列中，若，则公比等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若等比数列的各项都是正数，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 10．已知等差数列的前n项和为，且，则等于（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 11．在等比数列中，已知 ，，则第5项至第10项的和为（    ）． A．63 B．992 C．1023 D．1008 12．已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题 13．数列的第10项 . 14．已知等比数列，，是方程的两实根，则等于 . 15．设是等差数列，且．则的公差为 ． 16．若两个等差数列，，，和，，，，且，则 ． 17．已知等差数列前n项和为，，则 ． 18．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项是 . 19．已知数列满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列的通项公式：= ． 20．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为 ． 三、解答题 21．等比数列的公比为，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 22．设等差数列，且满足 (1)求； (2)若是公差为18的等差数列，求通项公式． 23．已知在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 24．已知等比数列中，，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 25．数列中，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． $$专题11 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解数列的概念 · 掌握数列的递推公式 · 了解等差数列的概念、性质及应用 · 理解等差数列前n项和公式 · 了解等比数列的概念、性质及应用 考点预测 · 数列的递推公式 · 等差数列的性质、前n项和及应用 · 等比数列的性质、前n项和及应用 · 等差数列与等比数列的综合应用 · 理解等比数列前n项和公式 要点自测 （一）数列的概念 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为或，图象是散点图 分类 项数有限和无限分 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列 单调性 通项公式 一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式. 一般形式 ，简记为，其中称为数列的第1项或首项，称为第2项，，称为第项.　 （二）等差数列 等差数列的定义 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做 等差数列 ．这个常数叫做等差数列的 公差 ，一般用字母 表示．由定义知，若数列为等差数列，为公差，则,即 通项公式 性质 ①若是等差数列，则 ②在等差数列中，若时，则 ③若是等差数列，当时， ④等差中项 由三个数组成的等差数列，这时数 A 叫做数 a 和 b的等差中项，用等式表示为 ⑤成 等差 数列。 前n项和 = = na1＋d （三）等比数列 等比数列的定义 如果一个数列的首项 不等于0 ，且从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做 等比数列 ．这个常数叫做这个等比数列的 公比 ，一般用字母 q 来表示．由定义知，若为等比数列，q为公比，则与q均不为零，且有，即 通项公式 性质 ①若是等比数列，则 ②在等比数列中，若时，则 ③若是等比数列，当时， ④等比中项 如果在与中间插入一个数，使,,成等比数列，那么称这个数为与的等比中项. 即（,同号） ⑤成 等比 数列。 前n项和 Sn＝或Sn＝ （四）等差数列与等比数列的应用 等差数列 等比数列 定义式 通项公式 性 质 若m+n=p+q m+n=2p 等差数列 等比数列 前n项和公式 = = na1＋d Sn＝或Sn＝ 考点突破 考点1 数列的概念 【例1】下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列，，，与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列，可记为 【答案】C 【解析】利用数列定义即可逐个选项判断. 【详解】由数列定义知A错；B中排列次序不同，错误； C中第项为，正确；D中，错误. 故选：C 【突破训练】下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 【答案】C 【分析】对于A利用数列的概念判断；对于B通过的值判断；对于C计算出第项即可判断；对于D通过数列有穷和无穷概念进行判断. 【详解】对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误； 对于B：当时，，不符合，故B错误； 对于C：数列的第项为，故C正确； 对于D：数列的最后一项为，是有穷数列，故D错误； 故选：C. 考点2 数列的通项公式 【例2】数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由具体数列判断通项公式问题，最简单的方法即是赋值代入检验判断即可. 【详解】对于选项A，当时，，故A项错误； 对于B选项，当时，，故B项错误； 对于C选项，当时，，故C项错误； 对于D项，因数列可以写成 ，故其通项公式可以写成，故D项正确. 故选：D. 【突破训练】数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合选项中，数列的通项公式，逐项验证，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，符合题意，所以A正确； 对于B中，由，可得，不符合题意，所以B错误； 对于C中，由，可得，不符合题意，所以C错误； 对于D中，由，可得，不符合题意，所以D错误. 故选：A. 考点3 递推公式 【例3】已知数列中，，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】根据递推公式代入即得 【详解】因为，， 所以， 故选： D 【突破训练】数列，，，，…的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数列，数列从第二项起，可知每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果. 【详解】数列从第2项起，后一项是前一项的，故递推公式为． 故选：C. 考点4 等差数列的概念 【例4】数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析可知，数列是公差为的等差数列，即可求得的值. 【详解】因为数列满足，， 所以，数列是公差为的等差数列，故. 故选：C. 【突破训练】已知等差数列中，，，则公差等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出． 【详解】等差数列中，，，于是，所以. 故选：D 考点5 等差中项 【例5】在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【解析】直接利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由是等差数列，则是和的等差中项， 所以， 则，. 故选：A 【突破训练】已知，，则、的等差中项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的定义可求得结果. 【详解】、的等差中项为. 故选：B. 考点6 等差数列前n项和 【例6】若是等差数列的前n项和，有，，则（    ）． A．230 B．420 C．450 D．540 【答案】B 【分析】由等差数列求和公式直接计算可得. 【详解】由等差数列的求和公式得：. 故选：B. 【突破训练】在等差数列中，前n项和为，已知，则（    ） A．5 B．11 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义求得公差，结合即可求解. 【详解】因为，所以，等差数列的公差， 所以， 所以. 故选：D 考点7 等比数列的概念 【例8】下列各组数成等比数列的是（    ） ①，，，    ②，，，    ③，，，    ④，，， A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①首项为1，公比为，是等比数列； ②首项为，公比为，是等比数列；③当时，不是等比数列；④首项为，公比为，是等比数列，所以①②④成等比数列，故选：C. 【突破训练】在等比数列中，如果，那么（    ） A．40 B．36 C．54 D．128 【答案】D 【解析】设公比为，由，，所以，所以，故选：D. 考点8 等比中项 【例8】在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比中项的性质计算可得. 【详解】由，∴． 故选：D 【突破训练】在正项等比数列中，，则______． 【答案】2 【解析】在正项等比数列中，，所以，所以，， ．故答案为：2. 考点9 等比数列前n项和 【例9】等比数列的公比，前n项和为，，，则 ． 【答案】31 【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，进而利用等比数列求和公式计算即可. 【详解】由题意得，解得或， 因为，所以，故. 故答案为：31 【突破训练】已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ） A．31 B． C． D．63 【答案】C 【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，解得 或 ，又∵，∴，∴，故选：C 模拟演练 一、选择题 1．数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A. 2．已知等差数列中，首项，公差.若，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题意先求出通项公式，进而求解. 【详解】已知等差数列中，首项，公差， 则， 令， 所以， 故选：C 3．在等比数列中， ， ，则的值为（　　） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】∵为等比数列， ∴公比， ∴， ∴， 故选：C . 4．已知等差数列的前5项和，且，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得， ， 故， 所以，解得. 故选：C 5．等差数列中，是前项和，已知，，则（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】A 【分析】根据等差数列下标和性质，由可得，再利用可求解. 【详解】由题可得 ， 所以. 所以. 故选：A 6．是数列，…的（ ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【分析】根据观察法得到数列的通项，即可求解. 【详解】经观察可知，数列可化为， 数列通项为， 故是第8项. 故选：C. 7．在等差数列中，，则此数列的前8项和是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】根据等差中项可得，再根据，即可求解. 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以. 故选：B. 8．在等比数列中，若，则公比等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由等比数列前项和公式即可得结果. 【详解】解：由题知等比数列中，， 可知， 即有. 故选：. 9．若等比数列的各项都是正数，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】A 【分析】由等比数列的等比中项公式即可求解. 【详解】解：由等比中项公式可得， . 因为等比数列的各项都是正数， 所以. 故选：A 10．已知等差数列的前n项和为，且，则等于（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质结合等差数列的前n项和公式即可求值 【详解】已知为等差数列， 则有，得， 所以. 故选：A. 11．在等比数列中，已知 ，，则第5项至第10项的和为（    ）． A．63 B．992 C．1023 D．1008 【答案】D 【分析】利用第5项至第10项的和为可求. 【详解】已知等比数列中，已知 ，， 由等比数列前n项和公式知，，； 第5项至第10项的和； 故选：D． 12．已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式以及等差数列的性质进行计算. 【详解】因为数列为等差数列， ， 所以：. 所以：. 故选：D 二、填空题 13．数列的第10项 . 【答案】65 【分析】利用观察法以及等差数列知识解答即可. 【详解】因为数列 所有此数列是以首项为2，公差为7的等差数列， 所以， 故答案为：65. 14．已知等比数列，，是方程的两实根，则等于 . 【答案】4 【分析】根据题意结合等比数列下标和性质可得，且，，再分析的符号即可得结果. 【详解】∵等比数列，，是方程的两实根，则， ∴，且，， 又∵， ∴. 故答案为：4. 15．设是等差数列，且．则的公差为 ． 【答案】2 【分析】利用等差数列通项公式可求公差 【详解】设公差为，则，，则； 故答案为：. 16．若两个等差数列，，，和，，，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，，，成等差数列，则，即. 因为，，，，成等差数列，，即. 所以. 故答案为：. 17．已知等差数列前n项和为，，则 ． 【答案】20 【分析】根据等差数列的性质，推得也成等差数列，再结合已知数据，即可求解． 【详解】等差数列前n项和为，则也成等差数列， 则，由，有，解得． 又，即，解得． 故答案为：20 18．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项是 . 【答案】8 【分析】根据等比数列的下标和性质求解即可. 【详解】因为等比数列中，. 所以，即， 故答案为：8. 19．已知数列满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列的通项公式：= ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先寻找满足条件②的常见数列，再验证是否满足条件①③． 【详解】符合条件的数列有：，，，…． 故答案为：(答案不唯一). 20．现有一张正方形纸片，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，…，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列，进而利用等差数列的通项公式算出结果． 【详解】设没剪之前正方形的边数为，即，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开， 得到一个三角形和一个四边形，无论是选择三角形四边形，剪一次后边数均增加3， 即可得所有多边形纸片的边数总和是公差为3的等差数列， 故经过8次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为：． 故答案为：28 三、解答题 21．等比数列的公比为，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差中项的性质和等比数列的通项公式求解即可. （2）先求出，再判断其是等差数列，由等差数列的前项和公式求解. 【详解】（1）由题意成等差数列，所以，又因为为等比数列，且公比 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可知，所以，所以且， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 22．设等差数列，且满足 (1)求； (2)若是公差为18的等差数列，求通项公式． 【答案】(1)3， (2) 【详解】（1）直接利用等差数列的性质即可求解； （2）利用等差数列基本量代换，即可求解． （1）因为等差数列，所以． 因为，所以，所以． （2）设等差数列的公差为d，由题意可得 即，解得，所以 23．已知在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列性质和通项公式可求得公差，代入通项公式即可求得； （2）采用裂项相消法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ，，， . （2）由（1）得：， . 24．已知等比数列中，，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据基本量法求解即可； （2）由（1）得，再根据等差数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 因为，，成等差数列，所以， 又，所以，解得或（舍）， 所以的通项公式为． （2）由（1）得， ， 所以为等差数列，所以． 所以的前n项和． 25．数列中，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据等差数列的定义判断是等差数列,再求它的通项公式. （2）利用等差和等比数列的前项求和公式易得答案. 【详解】（1），∴数列是以2为公差的等差数列，      由得， ． （2）设数列和的前n项和分别为和，则 ， ， 故． $$