专题07 二元一次方程组的应用（八大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题07 二元一次方程组的应用 分配问题 1．（23-24 八年级上·河南南阳·期末）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 2．（23-24 八年级上·山东威海·期末）某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？ 3．（23-24 八年级上·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？ 4．（23-24 八年级上·广东汕头·期末）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 和差倍分问题 5．（23-24 八年级上·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 6．（23-24 八年级上·重庆长寿·期末）重庆市某足球特色学校在八年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ (2)已知该校八年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？ 7．（2023-24·八年级上 海南三亚·期末）2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 8．（23-24 八年级上·陕西咸阳·期末）为了全面提高学生的综合素养，启迪学生的数学思维，某校初二年级开展了“数学思维导图”评比活动，学校计划购买A、B两种奖品用于奖励此次活动表现优异的学生．已知2件A种奖品的总价格等于3件B种奖品的总价格，4件A种奖品的总价格比5件B种奖品的总价格高10元，求每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为多少元？ 古代问题 9．（23-24 八年级上·江苏常州·期末）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为尺，木长为尺，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24 八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    11．（23-24 八年级上·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似的，图2所示的算筹图我们可以用方程组形式表述为 ． 12．（23-24 八年级上·湖南常德·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 13．（23-24 八年级上·福建漳州·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 方案问题 14．（23-24 八年级上·陕西安康·期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由． 15．（23-24 八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 16．（23-24 八年级上·陕西安康·期末）6月以来，某地持续高温，最高气温超过了30度，许多市民纷纷购买空调防暑降温，已知购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元． (1)求购买一台型空调和一台型空调分别需要多少元； (2)某单位需要购买型空调5台，型空调3台，现商家推出店庆活动． 优惠一：型空调满3台每台打8折，型空调不优惠； 优惠二：总购物金额满20000元减2000元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 17．（23-24 八年级上·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 18．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元． (1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元； (2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？ 行程问题 19．（23-24 八年级上·辽宁沈阳·期末）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 20．（23-24 八年级上·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米． 21．（23-24 八年级上·北京西城·期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．    （1）小华从家出发 时，爸追上小华； （2）图书馆离小华家 ． 22．（23-24 八年级上·吉林·期末）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分钟各跑多少圈？ 23．（23-24 八年级上·北京延庆·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 工程问题 24．（23-24 八年级上·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 25．（23-24 八年级上·吉林·期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 26．（23-24 八年级上·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 27．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 28．（23-24 八年级上·江西九江·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． (1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； (2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 销售利润问题 29．（23-24 八年级上·重庆荣昌·期末）某公司经营甲、乙两种产品，每件甲产品利润率为，每件乙产品的利润率为，当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为；要使该公司销售这两种产品获得总利润为，则该公司销售的甲、乙两种产品的数量比为 （利润率利润成本）． 30．（23-24 八年级上·陕西榆林·期末）2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，并计划购买两种钢笔用于奖励此次测试成绩优异的同学．已知2支种钢笔的总价格比1支种钢笔的价格多20元，3支种钢笔和2支种钢笔的总价格共135元，求每支种钢笔和每支种钢笔的价格分别为多少元？ 31．（23-24 八年级上·辽宁沈阳·期末）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需要60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需要65元． (1)求甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ (2)设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如表所示： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当时，y与x之间的函数关系式． 32．（23-24 八年级上·宁夏中卫·期末）某一天蔬菜经营户张师傅花180元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共80kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元） 2 零售价（元） (1)他黄瓜批发了多少千克？茄子批发了多少千克？ (2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？ 33．（23-24 八年级上·浙江杭州·期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 34．（23-24 八年级上·重庆九龙坡·期末）“才见岭头云似盖，已惊岩下雪如尘”，2022新年到来的寒潮，使得重庆的气温骤降，围巾和手套的需求量增加．已知一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，2021年12月共售出围巾20条和手套30副，总销售额为2700元． (1)该店2021年12月围巾和手套的销售单价分别为多少元？ (2)由于供不应求，该商店开始调整价格，2022年1月围巾销售价格在2021年12月基础上增长了，销量减少了5条；2022年1月手套的销售价格在2021年12月基础上增加m元，销量下降了最终2022年1月总销售额比2021年12月总销售额多了552元，求m的值． 35．（23-24 八年级上·黑龙江牡丹江·期末）某电脑商店计划购进A，B两种型号的电脑进行销售．若购进2台A型电脑和3台B型电脑需23000元，而购进4台A型电脑和1台B型电脑则需21000元． (1)求A，B两种型号电脑每台的进价； (2)因正值高考录取季，电脑的销售情况较好，商店决定投入500000元全部用于购进这两种型号的电脑．预计销售时每台A型电脑可获利900元，每台B型电脑可获利1000元．商店计划购进A型电脑的数量不超过120部，且这批电脑全部售出后，利润不低于111000元，则商店有几种进货方案？ (3)商店最后按（2）中可获得最大利润的方案进货并将电脑全部售出，商店决定拿出5%的利润，购买甲、乙两种型号的空气循环扇捐献给敬老院（两种型号都有），如果甲型空气循环扇每台500元，乙种型号的空气循环扇每台400元，请直接写出捐献空气循环扇台数最多捐赠方案． 几何问题 36．（23-24 八年级上·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 37．（23-24 八年级上·云南昆明·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24 八年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形中，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点B向点C运动，当与全等时，点Q的运动速度是 ． 39．（23-24 八年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 一、单选题 1．（23-24 八年级上·河北廊坊·期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的做法： 甲同学：设每头牛值金x两，可列方程为； 乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为． 对于两位同学的做法，判断正确的是（    ）． A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 2．（23-24 八年级上·河南新乡·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 3．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 4．（23-24 八年级上·福建泉州·期末）甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道A、两端同时出发，匀速相向而行．相遇时，甲将出发时在A地抽取的任务单递给乙后继续向地前行，乙就原地执行任务，用时分钟，再继续向A地前行，此时甲尚未到达地当甲和乙分别到达地和A地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在A地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向地前行，抽取和递交任务单的时间忽略不计，甲、乙两名同学之间的距离米与运动时间分之间的关系如图所示．已知甲的速度为每分钟米，且甲的速度小干乙的速度,现给出以下结论： 两地距离米； 出发分钟，甲乙两人第一次相遇； 乙的速度为每分钟米； 甲在出发后第分钟时开始执行任务． 其中正确的是（　　）    A． B． C． D． 5．（2023-24 八年级上 ·浙江台州·期末）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，，则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24 八年级上·吉林长春·期末）年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有 种. 7．（23-24 八年级上·四川成都·期末）幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为 ． 4 0 8．（23-24 八年级上·浙江温州·期末）如图1，一个饮料瓶子的上半部分为圆柱，下半部分为长方体，如图2，瓶内装着一些饮料，当瓶子倒放时，液面的高度为 17cm，当瓶子正放时液面的高度为 14cm．如图3，现将瓶内一部分饮料倒满一杯 120ml的杯子，瓶子内剩余的饮料高 8cm，则该瓶子的容积为 ． 三、解答题 9．（23-24 八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 10．（23-24 八年级上·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 11．（23-24 八年级上·天津南开·期末）用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么A型车租 辆最省钱，并且此时租车费为 元． 12．（23-24 八年级上·陕西渭南·期末）为了抓住商机，某商店决定购进两种纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进件，那么该商店共有几种进货方案？若销售每件种纪念品可获利润元，每件种纪念品可获利润元，在各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？ 13．（23-24 八年级上·广东深圳·期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 14．（23-24 八年级上·河南信阳·期末）已知：如图，在梯形中，，，点E为边上一点，且．点P在线段上以每秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题： (1)线段的长可用含t的式子分别表示为：______，______． (2)若某一时刻与全等，求此时t的值和线段BP的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二元一次方程组的应用 分配问题 1．（23-24 八年级上·河南南阳·期末）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意有：， 故选：C． 2．（23-24 八年级上·山东威海·期末）某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？ 【答案】需甲种钢板10块，乙种钢板8块． 【详解】解：设需甲种钢板x块，乙种钢板y块， 根据题意得 解得， ∴需甲种钢板10块，乙种钢板8块． 3．（23-24 八年级上·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？ 【答案】租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆 【详解】解：设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆， 则： 解得：， 答：租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆. 4．（23-24 八年级上·广东汕头·期末）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【答案】用钢材制作A部件，制作B部件，恰好配成这种仪器160套 【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，由题意得， ，解得：， 刚好配成：（套）． 答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，刚好配成160套． 和差倍分问题 5．（23-24 八年级上·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 【答案】 【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条， 依题意，得：， 解得：， ∴参赛的“金凤银麒”龙船为条． 故答案为：． 6．（23-24 八年级上·重庆长寿·期末）重庆市某足球特色学校在八年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ (2)已知该校八年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？ 【答案】(1)七一班男队胜了3场 (2)七一班男队最少负了2场． 【详解】（1）解：设七一班男队胜了场，平了场． 依题意得：， 解得：． 答：七一班男队胜了3场． （2）解：∵该校八年级共有16个班， ∴七一班男队共比赛15场， 设七一班男队负了场，则平了场，是整数． 依题意得：，解得：． 因为为整数，所以只能是奇数．即为30的正奇数约数， 所以只可能为1、3、5、15． 当时，，不合题意，舍去； 当时，； 当时，； 当时，． 经比较可知，七一班男队最少负了2场． 7．（2023-24·八年级上 海南三亚·期末）2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 【答案】供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元 【详解】解：设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元． 8．（23-24 八年级上·陕西咸阳·期末）为了全面提高学生的综合素养，启迪学生的数学思维，某校初二年级开展了“数学思维导图”评比活动，学校计划购买A、B两种奖品用于奖励此次活动表现优异的学生．已知2件A种奖品的总价格等于3件B种奖品的总价格，4件A种奖品的总价格比5件B种奖品的总价格高10元，求每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为多少元？ 【答案】每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为15元，10元． 【详解】解：设每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：每件A种奖品和每件B种奖品的价格分别为15元，10元． 古代问题 9．（23-24 八年级上·江苏常州·期末）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为尺，木长为尺，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵用一根绳量一根木，绳多出4.5尺； ∴； ∵将绳对折再量木，绳缺少1尺， ∴， ∴根据题意可得方程组为， 故选：A． 10．（23-24 八年级上·山西运城·期末）程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请你解决这个问题．    【答案】小和尚有75人，大和尚有25人 【详解】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：小和尚有75人，大和尚有25人． 11．（23-24 八年级上·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似的，图2所示的算筹图我们可以用方程组形式表述为 ． 【答案】 【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为． 故答案为：． 12．（23-24 八年级上·湖南常德·期末）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 【答案】 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为： 或， 最右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴与的积为， 故答案为：． 13．（23-24 八年级上·福建漳州·期末）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤两，故有“半斤八两”这个成语） 【答案】有个人，两银子 【详解】解：设有个人，两银子， 根据题意，得， 解得：， 答：有个人，两银子． 方案问题 14．（23-24 八年级上·陕西安康·期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)一个水瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买个水瓶和个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由． 【答案】(1)一个水瓶元，一个水杯元； (2)在乙商场购买更合算． 【详解】（1）解：设一个水瓶元，一个水杯元， 根据题意可得：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为， 答：一个水瓶元，一个水杯元； （2）在乙商场购买更合算， 理由如下： 解：甲商场：(元)， 乙商场：(元)， ， 在乙商场购买更合算． 15．（23-24 八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多． (1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？ (2)已知该年级共有600名学生． ①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？ ②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？ 【答案】(1)A、B两种客车分别坐45，30人 (2)①7种方案，见解析；②租车最少花费2060元 【详解】（1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人． ， 解得， ∴A、B两种客车分别坐45，30人． （2）①设租用A客车x辆，则B需：辆 ∵x为正整数且为正整数， ∴，2，4，6，8，10，12． 故一共有7种方案： 0辆A客车和20辆B客车； 2辆A客车和17辆B客车； 4辆A客车和14辆B客车； 6辆A客车和11辆B客车； 8辆A客车和8辆B客车； 10辆A客车和5辆B客车； 12辆A客车和2辆B客车； ②花费：． ∵，W随x增大而减小． 故当时，元． 答：租车最少花费2060元． 16．（23-24 八年级上·陕西安康·期末）6月以来，某地持续高温，最高气温超过了30度，许多市民纷纷购买空调防暑降温，已知购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元． (1)求购买一台型空调和一台型空调分别需要多少元； (2)某单位需要购买型空调5台，型空调3台，现商家推出店庆活动． 优惠一：型空调满3台每台打8折，型空调不优惠； 优惠二：总购物金额满20000元减2000元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 【答案】(1)购买一台型空调需要2500元，购买一台型空调需要3200元． (2)该单位选择优惠一更划算． 【详解】（1）解：设购买一台型空调需要元，购买一台型空调需要元， 由题意，得 解得， 答：购买一台型空调需要2500元，购买一台型空调需要3200元． （2）解：选择优惠一所需费用为（元）； ∵（元）， ∴选择优惠二所需费用为元， ∵， ∴该单位选择优惠一更划算． 17．（23-24 八年级上·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【答案】(1)8辆 (2)10辆甲型车，7辆丙型车 (3)2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省 【详解】（1）解：根据题意得： （辆） 还需要8辆甲型车来运送； （2）解：设需要辆甲型车，辆丙型车， 根据题意得：， 解得：， 需要10辆甲型车，7辆丙型车来运送； （3）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， 共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为 （元）； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为 （元）； ， 使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省， 共有2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省． 18．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）某品牌推出西游记人偶摆件一上市就深受人们喜爱．已知3个A型摆件和4个B型摆件共需470元；2个A 型摆件和3个B 型摆件共需340元． (1)求一个A型摆件和一个B型摆件的售价各是多少元； (2)小李爱好收藏，他打算用1600元（全部用完）购买A型、B型两种摆件（要求两种型号的摆件均购买），正好赶上商店对摆件价格进行调整，其中A型摆件售价上涨，B型摆件按原价出售，则小李有几种购买方案？ 【答案】(1)A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个 (2)购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个． 【详解】（1）解：设A型摆件售价x元一个，B型摆件售价y元一个， 根据题意有：， 解得：， 答：A型摆件售价50元一个，B型摆件售价80元一个； （2）解：设购买A型摆件a个，B型摆件b个，根据题意可知a、b均为正整数， 根据题意有等式：， 整理得：， 即：， ∵a、b均为正整数， ∴一定是7的倍数， ∴b可以为6和13， ∴相应的a可以为16和8， 故购买方案为有两种：第一种：购买A型摆件16个，B型摆件6个；第二种：购买A型摆件8个，B型摆件13个． 行程问题 19．（23-24 八年级上·辽宁沈阳·期末）某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 【答案】B 【详解】设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时． 根据题意，得 解得 所以，甲乙两地的距离为千米． 故选：B． 20．（23-24 八年级上·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地 千米． 【答案】 【详解】解：设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完， 如图，设，， 根据题意得，， 解得， ∴最远为千米， 故答案为：． 21．（23-24 八年级上·北京西城·期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．    （1）小华从家出发 时，爸追上小华； （2）图书馆离小华家 ． 【答案】 10 1760 【详解】解：（1）由图像可得出时间为的时候，小华与爸爸之间的距离y为0， 即小华从家出发时，爸爸追上小华； 故答案为：10． （2）设小华原来的速度为，爸爸的速度为， 则小华后来的速度为 根据函数关系图可得出：， 解得：， ∴小华原来的速度为，后来的速度为：， ∴图书馆离小华家 故答案为：1760． 22．（23-24 八年级上·吉林·期末）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分钟各跑多少圈？ 【答案】甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈 【详解】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈， 由题意得， 解得：， 答：甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈． 23．（23-24 八年级上·北京延庆·期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【答案】小明每小时走4千米，小强每小时走5千米 【详解】解：设小明每小时走x千米，每小时走y千米，根据题意列方程组，得 ， 解这个方程组，得 答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米． 工程问题 24．（23-24 八年级上·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 25．（23-24 八年级上·吉林·期末）为完善吉林市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，年月起，吉林市各道路维修改造工程有序进行．已知甲工程队天，乙工程队天共修路米；甲工程队天，乙工程队天共修路米，求甲乙两工程队每天分别修路多少米？ 【答案】甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米 【详解】解：设甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米，根据题意得， ， 解得：， 答：甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米． 26．（23-24 八年级上·河北承德·期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天， (1)小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意， 小华同学：设整治任务完成后，m表示__________，n表示__________； 得 请补全括号及横线部分的内容． (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1) ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； (2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【详解】（1）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得； 小华同学： 设整治任务完成后，表示甲工程队工作的时间，表示乙工程队工作的时间． 根据题意，得：． 故答案为： ，，甲工程队工作的时间，乙工程队工作的时间； （2）小明同学： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得， 解之，得． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 小华同学： 设整治任务完成后，甲工程队工作了天，乙工程队工作了天， 根据题意，得， 解之，得， ，． 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 27．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元 (2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：， 所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元． （2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n， 由题意得， 解得：， 所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天． 选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）． 因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营． 28．（23-24 八年级上·江西九江·期末）在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目： 在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成． (1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________，y表示________；并写出该方程组中△处的数应是________，□处的数应是________； (2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？ 【答案】(1)甲队修路的天数；乙队修路的天数；； (2)乙队修建了8天 【详解】（1）解：由题意知，x表示甲队修路的天数，y表示乙队修路的天数；该方程组中△处的数应是，□处的数应是， 故答案为：甲队修路的天数；乙队修路的天数；；； （2）解：依题意得，， 解得，， ∴乙队修建的天数（天）． 答：乙队修建了8天． 销售利润问题 29．（23-24 八年级上·重庆荣昌·期末）某公司经营甲、乙两种产品，每件甲产品利润率为，每件乙产品的利润率为，当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为；要使该公司销售这两种产品获得总利润为，则该公司销售的甲、乙两种产品的数量比为 （利润率利润成本）． 【答案】 【详解】设甲产品的进价为x元，乙产品的进价为y元， ∵当该公司销售这两种产品的总利润是时，则售出的甲、乙两种产品的数量比为， ∴可设此时售出的甲产品的件数与乙产品的件数分别为，， 由题意得：， 整理得：， 设售出的甲产品件数与乙产品件数分别为a，b时，获得的总利润率为， 由题意得：， 整理得：， ∴， ∴即售出的甲产品件数与乙产品件数的比应为：， 故答案为：． 30．（23-24 八年级上·陕西榆林·期末）2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，并计划购买两种钢笔用于奖励此次测试成绩优异的同学．已知2支种钢笔的总价格比1支种钢笔的价格多20元，3支种钢笔和2支种钢笔的总价格共135元，求每支种钢笔和每支种钢笔的价格分别为多少元？ 【答案】A种钢笔每支25元，B种钢笔每支30元 【详解】设购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：A种钢笔每支25元，B种钢笔每支30元． 31．（23-24 八年级上·辽宁沈阳·期末）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需要60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需要65元． (1)求甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ (2)设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如表所示： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当时，y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是10元/件、15元/件 (2)y与x之间的函数关系式为（） 【详解】（1）解：设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得： ， 解得：． ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10元/件、15元/件． （2）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得： ， 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为（）． 32．（23-24 八年级上·宁夏中卫·期末）某一天蔬菜经营户张师傅花180元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共80kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元） 2 零售价（元） (1)他黄瓜批发了多少千克？茄子批发了多少千克？ (2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少钱？ 【答案】(1)此蔬菜经营户批发的黄瓜有50千克，茄子有30千克； (2)卖完这些黄瓜和茄子共赚了84元． 【详解】（1）解：设当天批发了黄瓜千克，茄子千克．根据题意， 得， 解得． 答：此蔬菜经营户批发的黄瓜有50千克，茄子有30千克； （2）解：（元）． 卖完这些黄瓜和茄子共赚了84元． 33．（23-24 八年级上·浙江杭州·期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)B (2)A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元 (3)共有3种购买方案：①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 【详解】（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（）， 记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元， 则①中平均单价为（元）， ②中平均单价为（元）， 当时， ∴，即， ∴方式②平均油价更低． 故选：B． （2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ，， ∴共有3种购买方案： ①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆； ②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆； ③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 34．（23-24 八年级上·重庆九龙坡·期末）“才见岭头云似盖，已惊岩下雪如尘”，2022新年到来的寒潮，使得重庆的气温骤降，围巾和手套的需求量增加．已知一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，2021年12月共售出围巾20条和手套30副，总销售额为2700元． (1)该店2021年12月围巾和手套的销售单价分别为多少元？ (2)由于供不应求，该商店开始调整价格，2022年1月围巾销售价格在2021年12月基础上增长了，销量减少了5条；2022年1月手套的销售价格在2021年12月基础上增加m元，销量下降了最终2022年1月总销售额比2021年12月总销售额多了552元，求m的值． 【答案】(1)该店2021年12月围巾和手套的销售单价为分别为60元，50元 (2) 【详解】（1）解：设该该店2021年12月围巾的销售单价为元，手套的销售单价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：该店2021年12月围巾和手套的销售单价为分别为60元，50元； （2）解：， 整理得， 解得：． 35．（23-24 八年级上·黑龙江牡丹江·期末）某电脑商店计划购进A，B两种型号的电脑进行销售．若购进2台A型电脑和3台B型电脑需23000元，而购进4台A型电脑和1台B型电脑则需21000元． (1)求A，B两种型号电脑每台的进价； (2)因正值高考录取季，电脑的销售情况较好，商店决定投入500000元全部用于购进这两种型号的电脑．预计销售时每台A型电脑可获利900元，每台B型电脑可获利1000元．商店计划购进A型电脑的数量不超过120部，且这批电脑全部售出后，利润不低于111000元，则商店有几种进货方案？ (3)商店最后按（2）中可获得最大利润的方案进货并将电脑全部售出，商店决定拿出5%的利润，购买甲、乙两种型号的空气循环扇捐献给敬老院（两种型号都有），如果甲型空气循环扇每台500元，乙种型号的空气循环扇每台400元，请直接写出捐献空气循环扇台数最多捐赠方案． 【答案】(1)A种型号电脑每台的进价4000元，B两种型号电脑每台的进价5000元 (2)商店有3种进货方案：A型电脑110台，B型电脑12台；A型电脑115台，B型电脑8台；A型电脑120台，B型电脑4台 (3)捐献空气循环扇台数最多捐赠方案是甲型空气循环扇4台，乙型空气循环扇9台 【详解】（1）设A型电脑的进价是x元/台，B型电脑的进价是y元/台， 根据题意得：， 解得：． 答：A种型号电脑每台的进价4000元，B两种型号电脑每台的进价5000元． （2）设购进A型电脑a台，则购进B型电脑台． ． 解得：． ∵为正整数， ∴a可取的整数值为110，115，120． ∴当时，； 当时，； 当时，． 答：商店有3种进货方案：A型电脑110台，B型电脑12台；A型电脑115台，B型电脑8台；A型电脑120台，B型电脑4台． （3）A型电脑110台，B型电脑12台所获利润为：； A型电脑115台，B型电脑8台所获利润为：； A型电脑120台，B型电脑4台所获利润为：． ∵， ∴最大利润为112000． 设甲型空气循环扇m台，乙型空气循环扇n台． ． 整理得：． ． ． ∴或． ∵， ， ∴捐献空气循环扇台数最多捐赠方案是甲型空气循环扇4台，乙型空气循环扇9台． 几何问题 36．（23-24 八年级上·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 37．（23-24 八年级上·云南昆明·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 38．（23-24 八年级上·江苏泰州·期末）如图，在长方形中，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点B向点C运动，当与全等时，点Q的运动速度是 ． 【答案】2/ 【详解】解：由题可知：， E为的中点 ， ， 设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是， 依题有：， 当时， ， 解得：， 即点Q的运动速度为时，与全等 ， 当时， ， 解得：， 即点Q的运动速度为时，与全等， 综上可得，点Q的运动速度为或时，与全等， 故答案为：或． 39．（23-24 八年级上·辽宁沈阳·期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【答案】 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得 所以，小长方形的长为，宽为． 阴影部分图形的总面积． 一、单选题 1．（23-24 八年级上·河北廊坊·期末）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”下面是两位同学的做法： 甲同学：设每头牛值金x两，可列方程为； 乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为． 对于两位同学的做法，判断正确的是（    ）． A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对 【答案】A 【详解】解：由题意得，甲同学：设每头牛值金x两， 可列方程为，故甲同学的做法正确， 乙同学：设每头牛值金x两，每只羊值金y两， 可列方程组为，故乙同学的做法正确， 故选：A． 2．（23-24 八年级上·河南新乡·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 【答案】A 【详解】解：设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个， 根据题意得：， 解得： 则A型车每辆座位数为45个，B型车每辆座位数为60个， 故选：A． 3．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制160份，印刷机印制210份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【答案】C 【详解】解：∵两台印刷机完成该任务共需， ∴可列方程； ∵资料计划印制10000份， ∴可列方程， ∴甲和乙列的方程组都正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（23-24 八年级上·福建泉州·期末）甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道A、两端同时出发，匀速相向而行．相遇时，甲将出发时在A地抽取的任务单递给乙后继续向地前行，乙就原地执行任务，用时分钟，再继续向A地前行，此时甲尚未到达地当甲和乙分别到达地和A地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在A地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向地前行，抽取和递交任务单的时间忽略不计，甲、乙两名同学之间的距离米与运动时间分之间的关系如图所示．已知甲的速度为每分钟米，且甲的速度小干乙的速度,现给出以下结论： 两地距离米； 出发分钟，甲乙两人第一次相遇； 乙的速度为每分钟米； 甲在出发后第分钟时开始执行任务． 其中正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：甲的速度为每分钟米，设乙的速度为v米/分，两地距离为s米， ∵时，，此时两人相距米， ∴， 当时，甲的路程为：（米）， ∵图象中，时，， 即此时甲乙两人相距米，甲已经到达B地并返回，乙还在前往A地， ∴， ， 解得，， ∴两地距离为米，乙的速度为每分钟米， 故①说法正确，③说法错误； （分）， ∴出发分钟，甲乙两人第一次相遇， 故②说法错误， 设甲在出发后第t分钟时开始执行任务，此时甲乙第二次相遇，两人走的总路程和为， ， 解得，， 即甲在出发后第分钟时开始执行任务， 故④说法正确， 综上，①④正确 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质． 5．（2023-24 八年级上 ·浙江台州·期末）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，，则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，表示上山的路程等于下山的路程， a表示上山用的时间，b表示下山用的时间， 由题意知，小明从家到山顶所用时间为， 从山顶回到家所用时间为， 上山比下山多用时间为：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查列二元一次方程组，解题的关键是理解方程中a，b的含义． 二、填空题 6．（23-24 八年级上·吉林长春·期末）年级花费元用来购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励知识竞赛中的获奖同学，若甲种奖品每件元，乙种奖品每件元，则购买方案有 种. 【答案】 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有种购买方案． 故答案为：． 7．（23-24 八年级上·四川成都·期末）幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为 ． 4 0 【答案】 【详解】解：如图， 4 0 由题意知，，，，，， 解得，，，，，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24 八年级上·浙江温州·期末）如图1，一个饮料瓶子的上半部分为圆柱，下半部分为长方体，如图2，瓶内装着一些饮料，当瓶子倒放时，液面的高度为 17cm，当瓶子正放时液面的高度为 14cm．如图3，现将瓶内一部分饮料倒满一杯 120ml的杯子，瓶子内剩余的饮料高 8cm，则该瓶子的容积为 ． 【答案】 【详解】设长方体的底面积为圆柱的底面积 根据题意可知，，整理得， 根据题意可知，， 解得 ∴该瓶子的容积为 故答案为： . 三、解答题 9．（23-24 八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 10．（23-24 八年级上·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案． 【答案】见解析 【详解】解：方案1：如图①，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米， 由题意得，，解得 所以，过长方形土地边长上离一端160米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 方案2：如图②，将长方形分割为两个长方形和长方形， 设米，米，由题意得， ，解得． 所以，过长方形土地边长上离A一端80米处画一条垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块种甲种作物，较小的一块种乙种作物． 11．（23-24 八年级上·天津南开·期末）用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么A型车租 辆最省钱，并且此时租车费为 元． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨； (2)2，1940． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得 ， 解得 ∴1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨； （2）解：结合题意和（1）得， ∵a、b都是正整数， 或 或 ∴ 有3种租车方案： 方案一：A型车2辆， B型车7辆； 方案二：A型车6辆， B型车4辆； 方案三∶ A型车10辆， B型车1辆； ∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次， ∴方案一需租金： (元)； 方案二需租金： (元)； 方案三需租金： (元)； ∴最省钱的租车方案是方案一： A型车租2辆， B型车租7辆，最少租车费为1940元， 故答案为：2，1940． 12．（23-24 八年级上·陕西渭南·期末）为了抓住商机，某商店决定购进两种纪念品，若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定拿出元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进件，那么该商店共有几种进货方案？若销售每件种纪念品可获利润元，每件种纪念品可获利润元，在各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)购进种纪念品每件元，购进种纪念品每件元； (2)购进种纪念品件，种纪念品件获利最大，最大利润是元． 【详解】（1）解：设购进种纪念品每件元，购进种纪念品每件元， 由题意得，， 解得， 答：购进种纪念品每件元，购进种纪念品每件元； （2）解：设购进种纪念品件，种纪念品件， 由题意得，， ∴， ∵均为不小于的正整数， ∴时，；时，；时，； ∴该商店共有种进货方案； 方案一：购进种纪念品件，种纪念品件，利润为元； 方案二：购进种纪念品件，种纪念品件，利润为元； 方案二：购进种纪念品件，种纪念品件，利润为元； ∵， ∴购进种纪念品件，种纪念品件获利最大，最大利润是元． 13．（23-24 八年级上·广东深圳·期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ． (2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？ (3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由． 【答案】(1) (2)时间上考虑选择甲公司 (3)从节约开支上考虑选择乙公司，理由见解析 【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得， 故答案为：． （2）解：设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 依题意得，， 解得：， ∵， ∴甲公司的效率高， ∴从时间上考虑选择甲公司． （3）解：从节约开支上考虑选择乙公司，理由如下； 设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元， 依题意得，， 解得：， ∴甲公司共需万元，乙公司共需万元， ∵， ∴从节约开支上考虑选择乙公司． 14．（23-24 八年级上·河南信阳·期末）已知：如图，在梯形中，，，点E为边上一点，且．点P在线段上以每秒的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题： (1)线段的长可用含t的式子分别表示为：______，______． (2)若某一时刻与全等，求此时t的值和线段BP的长． 【答案】(1)；； (2)，或，时，与全等． 【详解】（1）解：根据题意得：点P在线段上以每秒的速度由点B向点C运动， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，； （2）设点Q每秒运动，则， ∵， ∴， ①∵， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴； ②∵， ∴当时，， ∴， 解得：； ∴ 综上可得：，或，时，与全等． 【点睛】题目主要考查列代数式及全等三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，理解题意，进行分类讨论是解题关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$