专题1-1全等三角形（考题猜想，热考+压轴必刷50题10种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考题猜想1-1 全等三角形 （考题猜想，热考+压轴 必刷50题10种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用全等三角形的性质求解 · 选用合适的方法证明两个三角形全等 · 加合适的条件证明两个三角形全等 · 结合尺规作图的全等三角形问题 · 添加辅助线，巧用全等三角形的性质与判定求解 · 利用全等三角形讨论线段间存在的数量关系 · 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 · 利用全等三角形的性质与判定解决折叠问题 · 坐标系与全等三角形综合 · 利用全等三角形解决实际应用 一．利用全等三角形的性质求解（共4小题） 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，线段的长为________； (2)已知，，求的度数． 2．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知点A在上，，    (1)试说明：； (2)若，，求的长 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上．    (1)若，求的大小； (2)若，求的长． 4．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 二．选用合适的方法证明两个三角形全等（共6小题） 5．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知：如图，中，，求作：，使． 作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边、于点F、G； ②以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，在右侧与②中所画的弧相交于点M； ④作射线，在射线上截取，连接．则为所求作的三角形． 根据以上设计的尺规作图过程，完成以下问题： (1)填空：证明：由作法可知，_________，E，又已知，∴（______）（填推理依据）． (2)若，D，求的度数． 6．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图相交于点． (1)求证； (2)求证． 7．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 8．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在和中，点E在边上，，与交于点G． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 9．（23-24七年级下·江苏南通·期末）（1）如图①，，，，垂足分别为，，．求证：． （2）如图②，在四边形中，． ①若，则的度数为 ； ②分别作平分，平分交，于点，，请判断与的位置关系，并说明理由．（请补全图形后再作答） 10．（20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，AD是的角平分线，于E，点F在边AC上，连接DF． (1)求证：； (2)若，试说明与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，则BE的长______（用含m，n的代数式表示）． 三．添加合适的条件证明两个三角形全等（共4小题） 11．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． (1)你添加的条件是______； (2)请写出证明过程． 12．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，点，，，在同一条直线，，．有下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中只选取其中一个，使得，写出你选的条件并证明； (2)求证：． 13．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，在五边形中，，． (1)请你添加一个条件，使得，并说明理由； (2)在(1)的条件下，若，，求的度数． 14．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言： 甲：添加BE＝CF， 乙：添加ACDF， 丙：添加∠A＝∠D． (1)甲、乙、丙三个同学的说法正确的是　　； (2)请你从正确的说法中，选取一种给予证明． 四．结合尺规作图的全等三角形问题（共4小题） 15．（23-24八年级上·山西临汾·期中）中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）．    (1)小张只要从碎片中度量出哪些边、角，就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（）？请简要说明理由． (2)按尺规作图的要求，作出．（保留作图痕迹，不写作法和证明） 16．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 17．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 18．（23-24八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 五．添加辅助线，巧用全等三角形的性质与判定求解（共6小题） 19．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 20．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，已知，，，，，且点B在线段上． (1)求的长； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 21．（2014九年级上·全国·专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：． 22．（24-25八年级上·河北沧州·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 23．（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 六．利用全等三角形讨论线段间存在的数量关系（共6小题） 25．（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图，在四边形中，，．、分别是，上的点，且，探究图中，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 26．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 27．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 28．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 29．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，连接，求证： 七．利用全等三角形的性质与判定解决动点问题（共4小题） 31．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点、、、在一条直线上，． (1)从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是________，结论是________．（填序号） (2)在（）的条件下，设cm，动点从向终点以的速度运动，同时，动点从点向终点以的速度运动，连接，若线段恰好经过中点时，求的值． 32．（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 33．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，高、相交于点O，且． (1)求线段的长； (2)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒， 是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 34．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，，，点在边上，且，过点作射线（与在同侧），若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为．连接、． (1)如图①，求证：当时，； (2)如图②，当，垂足为时，求此时的值． 八．利用全等三角形的性质与判定解决折叠问题（共5小题） 35．（23-24八年级上·河北沧州·期末）嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    36．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图①，纸片，．      (1)将沿着折叠，使得与重合，为折痕，展开后如图②所示．试判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，连接，过点M作，点E为垂足，如图③所示． ①将沿折叠，点B能与点C重合吗？请说明理由； ②图中与全等的三角形有______个； (3)将图②中纸片沿剪开得，如图④所示，将另一张纸片与 拼接，边与边恰好重合(点O与点C重合)，若，且的面积与的面积相等，试探索与的数量关系，并说明理由． 37．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知正方形的边长为5，点E为边上一点（不与点C，D重合），将沿所在直线折叠得到，延长交边于点G，连接、，可得． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)若，求的长； (3)若，请直接写出的值． 38．（2024·吉林长春·模拟预测）在中，，点D是平面内一点（不与点A，B，C重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点D在内部，交于点E，点F是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． (2)如图2，点D在的内部，试探究之间的数量关系并说明理由． 39．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与交于点． (1)若，则的度数为________； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 九．坐标系与全等三角形综合（共6小题） 40．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在三角形中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图①，若点的横坐标为，点的坐标为______； (2)如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作垂直轴于点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点A在x轴上，且，，，连接交轴于点，点在轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 41．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．、两点的坐标分别为，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求点、坐标； (2)连接，若存在，且的面积不大于时，求的取值范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 42．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)在（1）中，过D作于点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 43．（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点，点C在y轴正半轴上．    (1)若点，求点B的坐标； (2)若x轴恰好平分，BC交x轴于点D，过点B作轴于点E，，，求的值． 45．（23-24八年级上·江苏泰州·期中） 如图1，在平面直角坐标系中，点 点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m． (1)求证：； (2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)； (3)如图2， 连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F． ①求证：当时， 平分； ②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论． 十．利用全等三角形解决实际问题（共5小题） 46．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）阅读理解题 初二（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案： （Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接、，并分别延长至，延长至，使，，最后测出的距离即为的长； （Ⅱ）如图2，先过点作的垂线，再在上取、两点使，接着过作的垂线，交的延长线于，则测出的长即为的距离． 阅读后回答下列问题： (1)方案（Ⅰ）是否可行？请直接说出结论． (2)方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由． (3)方案（Ⅱ）中作，目的是______； (4)若仅满足，方案（Ⅱ）是否成立？______． 47．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）小明同学利用一根长为的竿子来测量路灯的高度．测量方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使，此时量得．根据这些数据，请帮小明计算出路灯的高度．（点A，B，C，D，P在同一个平面内，，） 48．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，阅读下列材料，回答问题． 【任务】如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内． 【工具】如图2，一把皮尺（测量长度略小于的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用． 小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下： ①【测量过程】如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米． ②【求解过程】由测量知，，， ∵，∴，∴（米）． 答：A、B两点之间的距离为c米． (1)小明求得，用到的几何知识是____________________； (2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度（用字母a、b、c…表示）和角度（用字母、表示），并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程． 49．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）小明想知道一堵墙 上的点A 的高度，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A 重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得∠ ∠    ， 标记此时直杆的底端点D： 第三步：测量 的长度，即为点A 的高度．    (1)请补全小明的设计方案； (2)请说明小明这样设计方案的理由． 50．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同，都为2米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为5米的米尺 测量步骤 ①测量出线段的长度 ②测量出线段的长度 测量数据 米，米 (1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由． (2)试猜想左右两个滑梯和所在直线的位置关系，并加以证明． $$考题猜想1-1 全等三角形 （考题猜想，热考+压轴 必刷50题10种题型） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用全等三角形的性质求解 · 选用合适的方法证明两个三角形全等 · 加合适的条件证明两个三角形全等 · 结合尺规作图的全等三角形问题 · 添加辅助线，巧用全等三角形的性质与判定求解 · 利用全等三角形讨论线段间存在的数量关系 · 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 · 利用全等三角形的性质与判定解决折叠问题 · 坐标系与全等三角形综合 · 利用全等三角形解决实际应用 一．利用全等三角形的性质求解（共4小题） 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，线段的长为________； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角的性质； （1）根据全等三角形的对应边相等，即可求解； （2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和为，即可求解． 【详解】（1）解：，≌ ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， ， ． 2．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，已知点A在上，，    (1)试说明：； (2)若，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应角相等得到，然后根据内错角相等，两直线平行得到结论即可； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，，然后利用线段的和差即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， 又∵， ∴． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上．    (1)若，求的大小； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）先根据垂直以及直角三角形两锐角互余求出，再利用全等三角形对应角相等即可得到的大小； （2）利用全等三角形的性质得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ （2）∵， ∴ ∴， ∴ 4．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 二．选用合适的方法证明两个三角形全等（共6小题） 5．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知：如图，中，，求作：，使． 作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边、于点F、G； ②以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，在右侧与②中所画的弧相交于点M； ④作射线，在射线上截取，连接．则为所求作的三角形． 根据以上设计的尺规作图过程，完成以下问题： (1)填空：证明：由作法可知，_________，E，又已知，∴（______）（填推理依据）． (2)若，D，求的度数． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）由作法可知，则，再结合即可证明． （2） 设，根据两倍角关系及三角形内角和、全等三角形的对应角相等，可将条件都集中于内，求出x的值，然后再计算出的度数． 【详解】（1）由作法可知，， ∴， ∴． 又，， ∴， 故答案为：； （2）设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 即：， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用等知识点，解题的关键是找准全等三角形的对应边角，还有就是善于将条件集中在一个三角形内． 6．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图相交于点． (1)求证； (2)求证． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论； (2)根据全等三角形的性质可知角相等，再根据全等三角形的判定可知，进而得出线段相等． 【详解】（1）解：在和中， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练全等三角形的判定是解题的关键． 7．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，证出，进而证明是解题的关键． （1）由为中点，得，而， ，即可根据“”证明； （2）由， ，得，由全等三角形的性质得，则． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ∴． （2）∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数是． 8．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在和中，点E在边上，，与交于点G． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论； （2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24七年级下·江苏南通·期末）（1）如图①，，，，垂足分别为，，．求证：． （2）如图②，在四边形中，． ①若，则的度数为 ； ②分别作平分，平分交，于点，，请判断与的位置关系，并说明理由．（请补全图形后再作答） 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②补全图形见解析；，理由见解析 【分析】（1）根据垂直定义得到，在直角三角形中利用两个三角形全等判定定理得到，再由三角形全等的性质即可得证； （2）①由四边形内角和为及已知角代值求解即可得到答案；②根据题意补全图形，由四边形内角和及角平分线定义可得，再由等量代换可得，由平行线的判定定理即可得证． 【详解】解：（1），， ． ， ，即． 又， ； （2）①在四边形中，， ，， ； 故答案为：； ②补全图形，如图所示： ， 理由如下： 在四边形中，，， ． 平分，平分， ， 在中，，则． ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及直角三角形全等的判定与性质、四边形内角和、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余及平行线的判定定理等知识，熟记相关几何性质与判定，数形结合是解决问题的关键． 10．（20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，AD是的角平分线，于E，点F在边AC上，连接DF． (1)求证：； (2)若，试说明与的数量关系； (3)在（2）的条件下，若，则BE的长______（用含m，n的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析过程； (2)∠B+∠AFD=180°，理由见解析过程； (3) 【分析】（1）由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，则有∠ACB=∠AED，联合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS即可证明△ACD≌△AED，再根据全等三角形的性质即可得解； （2）由△ACD≌△AED，证得DC=DE，然后根据HL判定Rt△CDF≌Rt△EDB，得到∠CFD=∠B，再根据邻补角的定义等量代换即可得解； （3）由AC=AE，CF=BE，根据AB=AE+BE，AC=AF+CF即可得解． 【详解】（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴∠C=∠AED=90°， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC=AE； （2）解：∠B+∠AFD=180°． 理由如下： 由（1）得：△ACD≌△AED， ∴DC=DE， 在Rt△CDF和Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴∠CFD=∠B． ∵∠CFD+∠AFD=180°， ∴∠B+∠AFD=180°； （3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB， ∴CF=BE， 由（1）知AC=AE． ∵AB=AE+BE， ∴AB=AC+BE． ∵AC=AF+CF， ∴AB=AF+2BE． ∵AB=m，AF=n， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用AAS证明△ACD≌△AED及利用HL判定Rt△CDF≌Rt△EDB是解此题的关键． 三．添加合适的条件证明两个三角形全等（共4小题） 11．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． (1)你添加的条件是______； (2)请写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见详解 【分析】本题主要考查了添加条件使三角形全等并证明， （1）根据，这两个条件，结合全等三角形的判定方法写出第三个条件即可． （2）利用证明即可． 【详解】（1）解：添加， （2）证明：在和中， ， ∴ 12．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，点，，，在同一条直线，，．有下列三个条件：①，②，③． (1)请在上述三个条件中只选取其中一个，使得，写出你选的条件并证明； (2)求证：． 【答案】(1)选③，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）由，，再选择两边所夹的角相等，再证明全等即可； （2）由全等三角形的性质可得，再证明两直线平行即可． 【详解】（1）解：选择③， 在与中， ， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 13．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）如图，在五边形中，，． (1)请你添加一个条件，使得，并说明理由； (2)在(1)的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】 （1）或．根据或，证明即可求解； （2）根据得出，继而根据三角形内角和定理得出，根据即可求解． 【详解】（1）证明：添加：或． ∵在和中， ∴ 或． （2）∵， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF．老师说：还添加一个条件就可使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言： 甲：添加BE＝CF， 乙：添加ACDF， 丙：添加∠A＝∠D． (1)甲、乙、丙三个同学的说法正确的是　　； (2)请你从正确的说法中，选取一种给予证明． 【答案】(1)甲、丙 (2)选甲的做法，证明见解析 【分析】（1）通过（2），即可得出答案； （2）利用全等三角形的判定方法：，对甲、丙两个同学的说法分别进行分析，即可得出结论． 【详解】（1）解：说法正确的是：甲、丙， （2）选甲的做法， 证明：∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 选丙的做法， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定定理． 四．结合尺规作图的全等三角形问题（共4小题） 15．（23-24八年级上·山西临汾·期中）中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）．    (1)小张只要从碎片中度量出哪些边、角，就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（）？请简要说明理由． (2)按尺规作图的要求，作出．（保留作图痕迹，不写作法和证明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的应用． （1）根据全等三角形的判定定理，当已知两角及夹边对应相等时，两个三角形全等，据此求解即可． （2）根据角边角作即可． 【详解】（1）解：只要从碎片中度量出边的长度、和的度数，就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台.理由：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等； （2）解：如图，即为所求作．    16．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可； （2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）根据网格线的特点及轴对称的性质作图； （）根据网格线的特点及旋转的性质作图； （）根据网格线的特点及平移的性质作图； 此题考查了作图的应用，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）如图： ∴即为所求； （2）如图： ∴即为所求； （3）如图： ∴即为所求． 18．（23-24八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【详解】（1）作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形， 如图1所示；    （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件， 如图2所示；    （3）角是边长为3cm与4cm两边的夹角， 如图3所示的；   角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【点睛】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 五．添加辅助线，巧用全等三角形的性质与判定求解（共6小题） 19．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)20 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，继续证明得到，即可得出结论； （2）根据，求出梯形与的面积即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之和梯形的面积的面积 ， ， ． 20．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，已知，，，，，且点B在线段上． (1)求的长； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）证明求出的长，进而求出的长即可； （2）根据三角形内角和定理证明，进而证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（2014九年级上·全国·专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：． 【答案】见解析 【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证； 方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得； 方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证． 【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使， 连接DE， 因为BD是的平分线， 所以． 在和中， 因为 所以， 所以，． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 方法2  补短 如图，延长BA到点E，使． 因为BD是的平分线， 所以 在和中， 因为， 所以， 所以，． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 方法3  构造直角三角形全等 作于点E．交BA的延长线于点F 因为BD是的平分线， 所以． 因为，， 所以， 在和中， 因为， 所以， 所以． 在和中， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 22．（24-25八年级上·河北沧州·期中）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题： 如图1，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过证明，把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得，从而得到的取值范围是； 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，，求证：； 【变式拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，，延长交于点．若，，则四边形的面积等于． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）12 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形的三边关系，关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得，，即可求解； （3）延长到使，连接，又，即可判定，得到，，而，得到，由，得到，由三角形那么久公式求出的面积，又的面积的面积，于是得到四边形的面积的面积． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是的中线， ， 又， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 又， ， ． （3）延长到K使，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积． 23．（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)与为积等三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作于，通过与是积等三角形，得出，得到，得到为的中线； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再根据为正整数，得到； （3）过点作于点，证明，根据，，得到，得出与为积等三角形． 【详解】（1）证明：过点作于，如图1， 与是积等三角形， ， ， ， 为的中线； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为正整数， ； （3）证明：与为积等三角形，理由如下： 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 与为积等三角形． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 六．利用全等三角形讨论线段间存在的数量关系（共6小题） 25．（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图，在四边形中，，．、分别是，上的点，且，探究图中，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】 ；上述结论仍然成立，理由见解析； ，理由见解析 【分析】 延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，可得结论成立； 延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，故中结论仍然成立； 在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：如图1，延长到点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， 在和中，， ， ， 故答案为：； 上述结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ，理由如下： 如图所示，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形利用全等三角形对应角相等的性质找到角之间的关系． 26．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴ , ， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 27．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 【答案】(1)；； (2)成立，过程见解析 (3)或或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）依据题意，补图，补充思路即可； （2）延长到，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ∵ ∴， ∵在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明； ②点在边延长线上，点在边延长线上，此时； 证明：在上截取，使，连接． ∵, ∴． ∵在与中， , ∴ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ∴， ∴， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或， 故答案为：或或． 28．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 29．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． （1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证； （2）过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ； （2）证明：如图，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ． 七．利用全等三角形的性质与判定解决动点问题（共4小题） 31．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点、、、在一条直线上，． (1)从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是________，结论是________．（填序号） (2)在（）的条件下，设cm，动点从向终点以的速度运动，同时，动点从点向终点以的速度运动，连接，若线段恰好经过中点时，求的值． 【答案】(1)①②(答案不唯一)，③(答案不唯一) (2) 【分析】（）根据全等三角形的判定选择即可； （）证明，得到，据此列出方程即可求解； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：补充条件是①②，结论是③，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中，     ，   ∴， ∴， 故答案为：①②(答案不唯一)，③(答案不唯一)； （2）解：∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（22-23八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 【答案】(1)，t (2)当为或时，的面积为 (3)秒或4秒时，．理由见详解 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据“”即可得； （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可 【详解】（1）解：由“”得：， 故答案为：； （2）， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，则 若在点左侧，，则 综上所述：当为或时，的面积为； （3）如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 33．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，高、相交于点O，且． (1)求线段的长； (2)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒， 是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)存在，或 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）分两种情形讨论：①如图2中，当时，；②如图3中，当时，． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图2中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图3中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 34．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在中，，，，点在边上，且，过点作射线（与在同侧），若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为．连接、． (1)如图①，求证：当时，； (2)如图②，当，垂足为时，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据垂直定义和同角的余角相等得到，进而利用全等三角形的判定“”可得结论； （2）先证明，进而证明，利用全等三角形的性质得到，进而可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 八．利用全等三角形的性质与判定解决折叠问题（共5小题） 35．（23-24八年级上·河北沧州·期末）嘉嘉学习了等腰三角形，知道“等边对等角”，他想：那么边不相等时，它们所对的角有什么样的关系呢？于是他做了如下探索： 他剪了一个如图所示的，其中，然后把纸片折叠，使得与重合，且点B落在延长线上的处，然后利用轴对称和外角的性质得到三角形中边角的不等关系．    (1)请你完成证明过程： 证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ ① （      ②    ） 又∵是的一个外角 ∴（   ③         ） ∴ ☆                                即（等量代换） ∴在中，若，则 (2)请用（1）的结论解决问题：在中，若，是边上的中线，请探索和的大小关系，并写出证明的过程．（温馨提示：延长到点H，使，连接）    【答案】(1)①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据全等三角形性质及三角形外角的性质解答即可； （2）延长到点H，使，连接，先证明，可得，再解答即可． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可以得到 ∴ （全等三角形的对应角相等） 又∵是的一个外角 ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴                           即（等量代换） ∴在中，若，则 故答案为：①，②全等三角形的对应角相等，③ 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，☆； （2）解：，理由如下： 延长到点H，使，连接 ∵是边上的中线         ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 36．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图①，纸片，．      (1)将沿着折叠，使得与重合，为折痕，展开后如图②所示．试判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，连接，过点M作，点E为垂足，如图③所示． ①将沿折叠，点B能与点C重合吗？请说明理由； ②图中与全等的三角形有______个； (3)将图②中纸片沿剪开得，如图④所示，将另一张纸片与 拼接，边与边恰好重合(点O与点C重合)，若，且的面积与的面积相等，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①点B与点C重合，理由见解析；②3 (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再根据得出，即可得出结论； （2）①通过证明，得出，，进而推出，即可得出结论；②根据折叠的性质和①的证明过程，即可得出结论； （3）根据题意进行分类讨论：①当为锐角三角形时，②当为钝角三角形时． 【详解】（1）解：∵与重合，为折痕， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由（1）可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵与重合，为折痕， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴将沿折叠，点B能与点C重合； ②∵与重合，为折痕， ∴， 由①可得，， ∴，， 综上：图中与全等的三角形有3个， 故答案为：3． （3）解：①当为锐角三角形时， 过点B作于点G，过点Q作于点H， ∵， ∴， ∵与边恰好重合，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即；    ②当为钝角三角形时， 过点B作于点S，过点作于点T， ∵， ∴， ∵与边恰好重合，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质．全等三角形的判定方法有：． 37．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知正方形的边长为5，点E为边上一点（不与点C，D重合），将沿所在直线折叠得到，延长交边于点G，连接、，可得． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)若，求的长； (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的长是 (3) 【分析】1）先由是正方形，再根据可求得； （2）由，得到，由勾股定理可得，且，可求得； （3）由，得，又可证明，则，，可求得的值是． 【详解】（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得，，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴． （2）如图1， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴的长是． （3）如图2， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】此题考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，此题综合性强、难度较大． 38．（2024·吉林长春·模拟预测）在中，，点D是平面内一点（不与点A，B，C重合），连接，连接．将沿直线翻折，得到，连接． (1)如图1，点D在内部，交于点E，点F是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． (2)如图2，点D在的内部，试探究之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【分析】本题考查几何变换的综合应用，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明； ②根据全等三角形的性质和折叠的性质求出即可解答． （2）过A作交的延长线于点H，证明，根据折叠的性质即可解答． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ，​ ∴． ②解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得，， ∴， ∴， ∵， ∴点B，D，G共线， ∴， 设点G直线的距离为h， 则， 解得， 即点G到直线的距离为． （2）解：如图，过A作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由翻折，得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 39．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与交于点． (1)若，则的度数为________； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了翻折性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由四边形是长方形，得出，结合折叠性质得出，运用三角形的内角和以及角的等量代换，即可作答． （2）先由四边形是长方形，得出，结合翻折性质得出，．证明，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：． 理由：∵四边形是长方形， ∴． ∵沿翻折得到， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 九．坐标系与全等三角形综合（共6小题） 40．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在三角形中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图①，若点的横坐标为，点的坐标为______； (2)如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作垂直轴于点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，点A在x轴上，且，，，连接交轴于点，点在轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 【答案】(1) (2)，理由见解析． (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）过点作轴的垂线，交轴于点，证明，即可求得答案； （2）延长，交于点，证明和，即可求得答案； （3）过点作轴的垂线，交轴于点，证明和，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点． ∵，， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴点的坐标为． 故答案为： （2），理由如下： 如图所示，延长，交于点． ∵轴恰好平分， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． （3），理由如下： 如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． 41．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．、两点的坐标分别为，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求点、坐标； (2)连接，若存在，且的面积不大于时，求的取值范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的范围是且； (3)存在这样的点，使，的值是或． 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出、的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用表示出三角形的面积，然后分别求出的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：在线段上时或在线段的延长线上进行讨论，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况：①当在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不小于， ∴， 解得：； ②当在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不小于， ∴， 解得：； 综上所述：的范围是且； （3）解：∵， ∴， 分两种情况：①当在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点，使，的值是或． 【点睛】本题主要考查了绝对值及二次根式的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，解不等式组，注意进行分类讨论是解题的关键． 42．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)在（1）中，过D作于点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3)，证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，等腰三角形的性质； （1）根据角平分线得出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：平分， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图2，过点作于， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：； 证明：如图3，在的延长线上取一点，使， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 43．（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 44．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点，点C在y轴正半轴上．    (1)若点，求点B的坐标； (2)若x轴恰好平分，BC交x轴于点D，过点B作轴于点E，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质： （1）过点作轴于，利用证得，进而可得，，进而可求解； （2）延长交的延长线于，根据角平分线的性质及利用证得，进而可得，再利用证得，进而可得，则可得，进而可求解； 熟练掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图：    ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． （2）延长交的延长线于，如图：    ， ， 轴平分 ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即：， ． 45．（23-24八年级上·江苏泰州·期中） 如图1，在平面直角坐标系中，点 点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m． (1)求证：； (2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)； (3)如图2， 连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F． ①求证：当时， 平分； ②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解； （2）证，即可求解； （3）①作，由，可得，进而可证；②作，则，证，即可求解； 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴． （2）在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 平分． ②，理由如下： 作，则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质、角平分线的性质，能够真确做出辅助线是解题的关键． 十．利用全等三角形解决实际问题（共5小题） 46．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）阅读理解题 初二（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案： （Ⅰ）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接、，并分别延长至，延长至，使，，最后测出的距离即为的长； （Ⅱ）如图2，先过点作的垂线，再在上取、两点使，接着过作的垂线，交的延长线于，则测出的长即为的距离． 阅读后回答下列问题： (1)方案（Ⅰ）是否可行？请直接说出结论． (2)方案（Ⅱ）是否可行？请说明理由． (3)方案（Ⅱ）中作，目的是______； (4)若仅满足，方案（Ⅱ）是否成立？______． 【答案】(1)方案（Ⅰ）可行 (2)方案（Ⅱ）可行，理由见解析 (3) (4)方案（Ⅱ）不成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；本题综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由题意可证明，，故方案Ⅰ可行； （2）由题意可证明，，故方案Ⅱ可行； （3）方案Ⅱ中作，的目的是； （4）根据所给条件无法利用所学知识得到的长，故不成立． 【详解】（1）解：方案Ⅰ可行；理由如下： ，， 在和中， ， ， ， 测出的距离即为的长， 故方案Ⅰ可行． （2）解：方案Ⅱ可行；理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ， 测出的长即为的距离， 故方案Ⅱ可行． （3）解：方案Ⅱ中作，的目的是使． 故答案为：； （4）解：若仅满足，方案Ⅱ不成立； 理由如下： 若，， 则无法证明， 则无法得到和其他线段的关系，则无法测出其他线段长度， 方案Ⅱ不成立； 故答案为：不成立． 47．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）小明同学利用一根长为的竿子来测量路灯的高度．测量方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使，此时量得．根据这些数据，请帮小明计算出路灯的高度．（点A，B，C，D，P在同一个平面内，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，根据已知条件，结合“角边角”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：，， ． ，， ． 在和中，， ， ． ，， ． 答：路灯的高度为． 48．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，阅读下列材料，回答问题． 【任务】如图1，测量车祸现场A、B两点之间的距离．车祸现场因保护需要，测量不能进入场内． 【工具】如图2，一把皮尺（测量长度略小于的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量以内的角．除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用． 小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下： ①【测量过程】如图3，在车祸场地外选点C，测量米，取中点O，测量米，并将皮尺延长至D，使米，测量米． ②【求解过程】由测量知，，， ∵，∴，∴（米）． 答：A、B两点之间的距离为c米． (1)小明求得，用到的几何知识是____________________； (2)小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得．请你同时利用皮尺和量角器，通过测量长度（用字母a、b、c…表示）和角度（用字母、表示），并利用初二年上学期所学知识，求出车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程． 【答案】(1)全等三角形判定与性质 (2)c米；见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识点，理解题意、掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）通过作图构造全等三角形，将难以测量的转化为易测量的，再运用全等三角形的判定与性质进行推理即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知：小明求得，用到的几何知识是全等三角形判定与性质． 故答案为：全等三角形判定与性质． （2）解：如图：测量过程：在场外选择点C，用皮尺从点A起到C再到B拉直摆放． ①测量米， ②测量， 然后将量角器沿翻折，将皮尺绕点C旋转至D， ③使（需要测量，由旋转所得，不需要测量） ④最后测量米就是的距离． 求解过程： 在与中， ， ∴中， 米． 49．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）小明想知道一堵墙 上的点A 的高度，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A 重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得∠ ∠    ， 标记此时直杆的底端点D： 第三步：测量 的长度，即为点A 的高度．    (1)请补全小明的设计方案； (2)请说明小明这样设计方案的理由． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键： （1）根据图形结合设计方案依次填写步骤即可； （2）证明即可得到理由． 【详解】（1）第一步：找一根长度大于 的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A 重合，记录直杆与地面的夹角； 第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得∠ ∠， 标记此时直杆的底端点D； 第三步：测量的长度，即为点A 的高度． 故答案为：，，； （2）由（1）得： 在和中 ∴ ∴． 50．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，小明在游乐场玩两层型滑梯，每层楼梯的高度相同，都为2米，他想知道左右两个滑梯和的长度是否相等，于是制定了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为5米的米尺 测量步骤 ①测量出线段的长度 ②测量出线段的长度 测量数据 米，米 (1)根据小明的测量方案和数据，判断两个滑梯和的长度是否相等？并说明理由． (2)试猜想左右两个滑梯和所在直线的位置关系，并加以证明． 【答案】(1)．理由见解析 (2)．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，找出已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解本题的关键． （1）由已知条件得出，，从而得证，根据全等三角形的对应边相等得证； （2）由，根据全等三角形的对应角相等得，再根据直角三角形两锐角互余，从而得证． 【详解】（1）解：． 理由如下：由题意可知，，米，． 在和中， ， ， ，即和的长相等； （2）解：． 证明：如图，延长交于点． ， ． 由题意得， ， ， ， ． $$