专题3-2与勾股定理有关的常见几何模型（考题猜想，热考+压轴必刷50题13种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考题猜想3-2 与勾股定理有关的常见几何模型 （热考+压轴 必刷50题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 构造直角三角形 · 蚂蚁爬行模型 · 直角三角形翻折模型 · 【扩展】特殊四边形的翻折模型 · 构造直角三角形求代数式的最值 · 利用勾股定理解决将军饮马问题 · 勾股树模型 · 面积法求高 · 赵爽弦图 · 梯子模型 · 勾股差模型 · 垂美四边形 · 见特殊角，作垂线 一．构造直角三角形（共4小题） 1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，某小区在相邻两楼之间修建了一个上方是以为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，其中米，米，现有一辆装满家具的卡车高米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否顺利通过这个通道？请说明你的理由． 【答案】卡车能通过，理由见解析 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，如图，卡车能否通过，关键是车高米与的比较，为米，只需求，在直角三角形中，半径为1米，车宽的一半为米，运用勾股定理求出即可． 【详解】解：卡车能通过，理由如下， 如图，设点O为半圆的圆心，则的中点为点O，为半圆的半径， 米， ，米， 在中，， 米， 米， ， 卡车能通过． 2．（2022八年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，求的值． 【答案】8 【分析】连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】如图，连接， ∵在中，， ∴． ∵在中，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可． 3．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，在中，是的中线，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)点E在上，且，求证：． 【答案】(1)是直角三角形，理由见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理、勾股定理逆定理及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理、勾股定理逆定理及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）延长，使得，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由（1）可知：，，，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 延长，使得，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可知：，，，是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考： 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 年月××日　　星期三 巧用方程解决三角形求高问题 法国数学家笛卡尔在《指导思维的法则》一书中写道：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数学问题，而一切代数学问题又都可以转化为方程问题”．可见方程思想对于数学学习的重要性． 今天数学课上，老师提出问题：在中，已知边的长，求点到边的距离． 小亮画出的图形如图①所示：在中，已知：，小亮的同桌小明思索片刻就得出：点到边的距离为5； 小明画出的图形如图②所示：在中，已知：，经过小组讨论，大家得出了如下的解题思路： 请你根据小亮的日记内容完成下列各题： (1)写出小明得出图①中点到距离为5的理由； (2)根据小亮小组讨论的思路，写出图②中点到的距离为 ； (3)根据（2）的解题思路解决下面的问题：如图③，某商场楼梯长，商场准备改善原有楼梯的安全性能，将楼梯长度加长，调整后的楼梯如图所示，占地面的长度增加了，求此楼梯的高度． 【答案】(1)见解析 (2)12 (3) 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，理解题意，作出辅助线，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理逆定理确定是直角三角形，即可求解； （2）根据题干思路，利用勾股定理代入求解即可； （3）作交的延长线于D，根据题意得出，设，，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是点到边的距离，即点到边的距离为5； （2）解：如图②，作于D， 设，则， ∵中，，中，， ∴， ∴， 解得：，即， ∴， ∴点到的距离为12， 故答案为：12； （3）解：作交的延长线于D， ∵， ∴， 设，， 则， ∵中，，中，， ∴， ∴， 解得：，即， ∴， ∴楼梯的高度为． 二．蚂蚁爬行模型（共5小题） 5．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点．    (1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径； (2)分别求出这几种路径的距离； (3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)从正面和上面：5；从左面和上面：；从正面和右面： (3)5 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用， （1）按照从正面和上面；左面和上面；右面和上面，画出图形即可； （2）根据勾股定理即可解答； （3）将（2）中求得的距离进行比较，即可，本题的重点在于准确进行展开，将立体图形转化为平面图形进行计算，进行分类讨论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：从正面和上面：； 从左面和上面：； 从正面和右面：； （3）解：根据（2）中可得，最短路径为5．    6．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 7．（23-24七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【答案】(1)沿线段爬行；理由见解答过程 (2)D；6 (3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由见解答过程 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （2）根据图形可得出最短路径为，进而得出答案即可； （3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． 8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取） 素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物． 若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 （用“一”或“二”填空）． 素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的． （1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）： 圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小 （2） 填空：表格中的值是 ；表格中表示的大小关系是 ； （3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】素材：，二；（），；（）当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （）构造方程即可得到结论． 【详解】解：（）图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线二； 故答案为：，二； （）， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （）根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 9．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1)A (2)20 (3) (4)10 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍； （4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为； （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为． 三．直角三角形翻折模型（共4小题） 10．（24-25八年级上·山西晋中·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长． (2)如图2，如果点落在的中点上，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查折叠问题以及勾股定理，熟练掌握折叠的基本性质是解题关键； （1）设，则，在中，利用勾股定理列出方程解方程即可； （2）根据中点性质，先得到，在中，再利用勾股定理列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：设，则． 由折叠可得：． 在中， 由， 得：， 解得：， 即的长为． （2）∵点落在的中点上， ． 设，则． 在中， 由， 得， 解得：， 即的长为． 11．（20-21八年级下·福建南平·阶段练习）在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 12．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． (1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； (3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1)10 (2)6或4或 (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质、及分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，在根据勾股定理即可解答； （2）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点E在线段上，且时，根据可得答案；当时，根据勾股定理可得答案； （3）设，分别当点P在线段上时，或点P在延长线上时，根据，在中，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1） ，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， 的长为10； （2）①当时： ，， H为中点， ， ； ②当点E在线段上，且时： ， ， ， ③当时：如图 在中 ，， ， 综上所述，线段的长度为6或4或； （3）①当点P在线段上时，如图： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； ②当点P在延长线上时，如图： 设，则， ， ， 在中， 根据勾股定理可得： 解得， ； 综上所述，的值为或． 13．（24-25八年级上·福建三明·期中）在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键． （1）先证，再证明进而得出即可； （2）设x，则，在中用勾股定理求解即可； （3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合， ∴， 在中， ∴， ∴， ， ，即D是的中点； （2）解：∵直线是对称轴， ∴， ∵， 设，则 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 四．【扩展】特殊四边形的翻折模型（共4小题） 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又 ， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键． 15．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． (1)写出点F的坐标． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由点D的坐标可知，，根据翻折的性质可知，由勾股定理可求得，进而可求出点F的坐标． （2）设，由折叠得，则，在△中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中， ∴，， 由折叠的性质的可知： ， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：设，由折叠得，则， ∵， ∴， 在△中，， 解得： ， ∴． 16．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，，，，，．是边上一点，．若为边上一个动点，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为点、，若线段与边交于点． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点与点重合时，求线段的长； (3)点从点向点运动的过程中， ①线段的最大值为_________； ②请直接写出点运动的路径长为_________． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)①4；② 【分析】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定，勾股定理与折叠问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由折叠的性质得，又，有，故，，知为等腰三角形； （2）设，在中，可得，即可解得即； （3）①由题意可知，，则当最小时，取得最大值，由垂线段最短可知，如图，当点运动到时，此时，此时最小，进而可求解； ②如图，当点运动到点落在时，此时点与重合，求得此时，根据点从点向点运动的过程中，可知点的运动轨迹为，即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：设， ∵，，， ∴， 由（1）知， 在中，， ∴， ∴，即； （3）①由折叠可知，，， 由题意可知，，则当最小时，取得最大值， 由垂线段最短可知，如图，当点运动到时，此时， ∴此时最小，且，即的最小值为4， 则此时， 即的最大值为4， 故答案为：4； ②如图，当点运动到点落在时，此时点与重合， ∴， 此时， 点从点向点运动的过程中，点的运动轨迹为， 则其运动路径为：． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得： ， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 五．构造直角三角形求代数式的最值（共4小题） 18．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知． (1)求当x等于何值时，? (2)当时，求的长． (3)利用图形求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想 （1）根据题意，时，，继而得到，结合，得到，解方程即可． （2）当时，，利用勾股定理计算即可． （3）根据得， 构造．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 【详解】（1）根据题意，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）根据题意，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 故． （3）根据得， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 19．（2024八年级上·全国·专题练习）[探究] 已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，且两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，设． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； 【答案】①，；②； 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，最短距离等知识点，①根据图形，运用勾股定理即可求解，②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． 【详解】和△BDE是直角三角形，， ∴在中，，， ∴， ∴在中，，, ∴， 故答案为：，； ②如图所示，过点D作的平行线交延长线于点， ∴，， 当点C，E，D三点共线时，有最小值， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 20．（23-24八年级上·福建泉州·期末）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识应用】 如图1，点为线段上的一点，分别过点作于A，于，连结． （1）若，，，设，用含的代数式表示的长； （2）参照（1）的思想方法，构图求代数式的最小值． 【能力迁移】 （3）如图2，正方形中，点在边上，点在边上，且．已知，求的最小值． 【答案】（1）（2）13（3） 【分析】本题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． （1）根据勾股定理分别列代数式表示即可得出结论； （2）作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C，设，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值． （3）作，垂足为H，证明，设，则，得出，根据（2）中方法得出结论 【详解】解：（1），，，，，设， 在中，， 在中，， ； （2）如右图所示，作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C， 设，则的长即为代数式的最小值． 过点A作交的延长线于点F，得矩形， 则， 所以， 即的最小值为13； （3）作，垂足为H， 在正方形中，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 与（2）同理得：最小值为． 21．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) 【分析】本题考查轴对称—最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）由梯形，三角形面积公式即可证明问题； （2）①根据轴对称的性质，作关于直线的对称点，连接与直线交于点，； ②根据勾股定理求出，根据矩形的性质分别求出，，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可； （3）作关于直线的对称点，连接与直线交于点，则的最小值为，然后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意可知，梯形的面积第一种表示方法： ， 第二种表示方法： ， 则， ∴； （2）①作关于直线的对称点，连接与直线交于点， 由轴对称可知，， ∴，当点在上时取等号， 故，点即为所求； ②作，，相交于点，作于点，连接， 则，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）如图，作于，于，，，，，则， ∴， 作关于直线的对称点，连接与直线交于点，类比（2）可知，此时最小，最小值为， 作于，则， 由勾股定理得，，即最小为， ∴的最小值为， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为17；②15； 【分析】此题考查了勾股定理，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）①若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； ②由①的结果利用勾股定理求得的值． （3）仿照例题构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）①当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； ②根据①中规律可以构造出如图所示，       同理可得： 故答案为15； （3）由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．   ， ∴代数式的最小值是． 【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 六．利用勾股定理解决将军饮马问题（共4小题） 23．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 【答案】(1)小明所在的E站应在离A站处 (2)则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等角对等边的性质，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得． （2）作点D关于的对称点，连接交于点，即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F，证明，由勾股定理得出，的最小值即为，再得出，根据等角对等边得出． 【详解】（1）解：∵使得两活动点到地点站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 则小明所在的E站应在离A站处． （2）作点D关于的对称点，连接交于点， 即到C、D站的距离之和最短，过点作的延长线于点F， 则，，， ∴， ∴． ∴的最小值即为，即 此时， ∴， ∴， ∴， 则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15处，此时的值为． 24．（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1）如图1，正方形中，点E、F分别是、的中点，连接、．交于点P．请直接写出线段与之间的关系； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，试说明平分； （3）如图3，若点E、F分别是、上的动点，且，，请直接写出的最小值．    【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）证明，得到，，进而推出，得到即可； （2）过点作，易得四边形为长方形，证明，得到，即可得出结论； （3）在上截取，连接，证明，得到，连接，同法可得，得到，延长至点，使，连接，易得垂直平分，得到，进而推出，利用勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵点E、F分别是、的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）过点作，如图，    由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴， ∵点E、F分别是、的中点，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴平分； （3）在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 连接，同法可得：， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，则：垂直平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为：．    【点睛】本题全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 25．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 【答案】，，轴对称的性质，，三角形三边关系；【模型应用】17． 【分析】由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可； 把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，由【归纳总结】可得出最短路程为，再结合勾股定理求解即可． 【详解】理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质） ∴． 在中，∵，（依据三角形三边关系）， ∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形，如图，作点A关于的对称点，连接交于P，作于D，    ∴． 由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． ∵， ∴， ∴． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为， ∴， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为． 故答案为：17． 【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，勾股定理．理解题意，掌握轴对称的性质是解题关键． 26．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．方案1：过点A作于点E，方案2：过作交延长线于点H，利用勾股定理分别求出两种路线的长度，比较即可． 【详解】解：方案1：过点A作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 方案2：过作交延长线于点H， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 七．勾股树模型（共4小题） 27．（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①c为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，    (1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程） (2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个．（不需证明） (3)如图⑥所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形面积为S3，请判断的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3个 (3)，见解析 【分析】（1）A、C、D三点在同一条直线上，得，．由组合图形，知，可证得． （2）如图③，，可得；如图④，，故得．如图⑤，如图，对于等边，若边长为a，过点D作，垂足为I，可求得，．同理，，．可证得 ； （3）如图⑥， ，可证得． 【详解】（1）解：∵A、C、D三点在同一条直线上， ∴. ∴． 又， ∴． ∴．    （2）解：如图③，， ∵， ∴．    如图④，， ∵， ∴．    如图⑤，如图，对于等边，若边长为a，过点D作，垂足为I， 中，，， ∴． ∴． 同理有：，． ∵， ∴；      故有：3个． （3）解：；如图⑥，    ， ． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理的证明及运用；理解勾股定理所表达的直角三角形三边关系是解题的关键． 28．（23-24八年级上·浙江温州·期中） 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三    解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则______． 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则______． 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 【答案】任务一：；任务二：，过程见解析；任务三：；项目总结：钝角，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键．任务一：先求出，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务二：先利用勾股定理求出的长，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务三：过点作，交延长线于点，设，则，，，，在中，利用勾股定理可得的值，再利用正方形的面积公式求解即可得；项目总结：分别求出三个任务中的的值，由此即可得． 【详解】解：任务一：由题意可知，，， ，， ， 故答案为：． 任务二：由题意可知，①， ，， ，即， ②， 联立①②得：， 则． 任务三：如图，过点作，交延长线于点， 则， 设，则， ，， ， 在中，，即， 解得， ， 则， 故答案为：． 项目总结：组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．证明如下： 在任务一中，， 在任务二中，， 在任务三中，， ， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 29．（23-24八年级上·山西运城·期中）综合与实践 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．    (1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出，，满足的关系： ． (2)如图4，以的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断，，的关系并证明． (3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，直接写出该飞镖状图案的面积． 【答案】(1)； (2)，证明详见解析； (3)120 【分析】本题考查了勾股定理的运用，正方形的面积公式，圆面积公式，关键是掌握勾股定理的灵活运用． （1）根据正方形的面积公式：边长乘边长，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即，即可作答； （2）根据半圆的面积公式：乘π乘半径乘半径，然后进行化简，结合直角三角形的三边a，b，c为边，即，即可作答； （3）易知，设为x，则，，根据勾股定理建立，即可作答． 【详解】（1）解：依题意：，，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （2）解：依题意，，， 由勾股定理得，， 则 ∴； （3）解：由题意知，外围轮廓（实线）的周长为80，且四个直角三角形是全等的， ∴， ∵， ∴， 设为x，则，， 在中，由勾股定理可得，， 解得：， ∴， 的面积， ∵该飞镖状图案的面积由四个直角三角形面积组成， ∴该飞镖状图案的面积． 30．（22-23八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个． ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系． (2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________． 【答案】(1)①3；②满足，证明见解析 (2) 【分析】（1）设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解之间的关系，进而可得结果；②根据，，，可得； （2）由题意知，，，，，，代入求解即可． 【详解】（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为， 则图2中，， ∵， ∴，故图2符合题意； 图3中，，，， ∵， ∴，故图3符合题意； 图4中，，，， ∵， ∴，故图4符合题意； ∴这3个图形中面积关系满足的有3个， 故答案为：3； ②解：满足，证明如下： 由题意知，，， ∴； （2）解：由题意知，，，，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积． 八．面积法求高（共3小题） 31．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【答案】2 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 32．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，则边上的高为 ．    【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，易求的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， 又， 边上的高为， 故答案为：． 33．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处）的三条边，，的长分别为，，． (1)在网格中画出． (2)求边上的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格中三角形面积的计算，熟练掌握割补法求三角形的面积是解题的关键． （1）利用勾股定理得出格点A、B、C，再画出即可； （2）作出边上的高，先利用割补法求出，再根据，得，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵，，． ∴即为所求． （2）解：作边上的高，如图， ∵， 又∵， ∴， ∴，即边上的高为． 九．赵爽弦图（共4小题） 34．（24-25八年级上·浙江·期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等角对等边得出，进而可得，根据三线合一，即可得证； （2）由（1）得：，可以求得，进而证明，得出，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明： （2）由（1）得： ，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成， ∴， 在中， ∴ ， 在中， 35．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图1中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图1用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)正方形的面积为39 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算． （1）由正方形面积公式即可得到答案； （2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案； （3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； （2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； （3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 36．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形的边长为2，正方形的边长为10，求正方形的边长． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，完全平方公式等知识，设每个直角三角形的斜边为c，直角边分别为a、b，其中，由勾股定理可得，由正方形的边长为2得到，则，由正方形的边长为10得到，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：设每个直角三角形的斜边为c，直角边分别为a、b，其中， 则， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵正方形的边长为10， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 由题意可得，正方形的边长为c． 即正方形的边长为， 故答案为： 37．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析； (2)该飞镖状图案的面积是； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 一十．梯子模型（共4小题） 38．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为（    ） A．12.5 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】此题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的三边关系等知识，证出最大时的长为是解本题的关键．由先等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，再由三角形的三边关系得，则当、、共线时，有最大值，最大值是，然后由直角三角形斜边上的中线性质求出，即可解决问题． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示： ，， 点是边中点， ， ， 连接，，有， 当、、共线时，有最大值，最大值是， 又为直角三角形，为斜边的中点， ， ， 即点到点的最大距离为14， 故选：C． 39．（20-21八年级下·贵州安顺·期末）如图，在中，，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取AC的中点D，连接OD，BD，在运动过程中，点O、点B到AC的中点D的距离不变，根据三角形两边之和大于第三边，可得B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大可得出答案． 【详解】解：如图，取AC的中点D，连接OD，BD， ∵， ∴当O、D、B三点共线时，OB的值最大，即OD+BD的长， ∵点D为AC的中点， ∴， 在中，， ∴点B到原点的最大距离是． 故选：A. 【点睛】此题主要考查了两点间的距离的最值问题，以及勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线性质，在解题过程中应用三角形两边之和大于第三边，正确判断当三点共线时距离最大是解决本题的关键． 40．（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，射线OA⊥射线OB于点O，线段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为 【答案】8 【分析】取CD的中点M，以O为圆心，OM为半径作 ，交OA、OB于E、F，先根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而由勾股定理求出，根据三角形的三边关系即可求出即点E到点O的最大距离为8． 【详解】解：如图，取CD的中点M，以O为圆心，OM为半径作 ，交OA、OB于E、F． ∵CD=6，M为CD的中点，射线OA⊥射线OB于点O， ∴， ∵CE=4，且CE⊥CD于点C， ∴ ， ∵点M在上运动， ∴，当M在OE与的交点处时，等号成立， ∴， 即点E到点O的最大距离为8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理及三角形三边的关系，取直角三角形斜边上中点连斜边上的中线是解题的关键． 41．（2021八年级上·全国·专题练习）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，求运动过程中，点D到点O的最大距离． 【答案】＋1 【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、 OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得． 【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE＋DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB＝2，BC＝1， ∴OE＝AE＝AB＝1， DE＝＝＝， ∴OD的最大值为：＋1． 【点睛】此题考查勾股定理，三角形三边的关系，矩形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的性质． 一十一．勾股差模型（共2小题） 42．（21-22八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ． 【答案】69 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2， CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2， MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）， ＝132−102， ＝69． 故答案为：69． 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2． 43．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 一十二．垂美四边形（共3小题） 44．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 45．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 46．（23-24八年级上·广东深圳·期中）(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为． ①判断，的关系，并说明理由． ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；② 【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解； （2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长． 【详解】解：（1）∵，∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即； （2）①∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，； ② 解析：在四边形中，，由（1）知 ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． 图2 【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键． 一十三．见特殊角，作垂线（共4小题） 47．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，进而勾股定理即可求解；对于，构造等边三角形，进而即可求解． 【详解】如图所示，过作交的于， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴ 如图所示，作且，连接，， ∵ ∴ ∴ ∴ ， 当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ 在中，， ∴ ∴，即的最小值为； 如图所示，作关于的对称点，连接,则 ∵ 则 ∴， ∵对称， ∴ ∴都是等边三角形， 连接， ∵， ∴，则， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当在上时，， 如图所示 此时取得最小值，最小值 故答案为：，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 48．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图所示，中，，，， (1)求的长， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质， （1）过点作于点，得出是等腰直角三角形，进而求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， （2）∵ ∴ ∴ 49．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)若点是中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，含度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）过点作，垂足为，根据三角形内角和定理得出，在，中，勾股定理求得，即可求解； （2）过点作，垂足为，在中，，勾股定理求得，进而求得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，， ， 在中，， ，， 在中， ， ， 的长为； （2）过点作，垂足为， 点是中点， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 在中， ， 的长为． 50．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，．求的长． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先求出，，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得，从而可得，据此计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴在中，， ∴， ， 又∵， ∴， 解得， 所以的长为4． $$考题猜想3-2 与勾股定理有关的常见几何模型 （热考+压轴 必刷50题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 构造直角三角形 · 蚂蚁爬行模型 · 直角三角形翻折模型 · 【扩展】特殊四边形的翻折模型 · 构造直角三角形求代数式的最值 · 利用勾股定理解决将军饮马问题 · 勾股树模型 · 面积法求高 · 赵爽弦图 · 梯子模型 · 勾股差模型 · 垂美四边形 · 见特殊角，作垂线 一．构造直角三角形（共4小题） 1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，某小区在相邻两楼之间修建了一个上方是以为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，其中米，米，现有一辆装满家具的卡车高米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否顺利通过这个通道？请说明你的理由． 2．（2022八年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，求的值． 3．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，在中，是的中线，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)点E在上，且，求证：． 4．（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考： 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 年月××日　　星期三 巧用方程解决三角形求高问题 法国数学家笛卡尔在《指导思维的法则》一书中写道：“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数学问题，而一切代数学问题又都可以转化为方程问题”．可见方程思想对于数学学习的重要性． 今天数学课上，老师提出问题：在中，已知边的长，求点到边的距离． 小亮画出的图形如图①所示：在中，已知：，小亮的同桌小明思索片刻就得出：点到边的距离为5； 小明画出的图形如图②所示：在中，已知：，经过小组讨论，大家得出了如下的解题思路： 请你根据小亮的日记内容完成下列各题： (1)写出小明得出图①中点到距离为5的理由； (2)根据小亮小组讨论的思路，写出图②中点到的距离为 ； (3)根据（2）的解题思路解决下面的问题：如图③，某商场楼梯长，商场准备改善原有楼梯的安全性能，将楼梯长度加长，调整后的楼梯如图所示，占地面的长度增加了，求此楼梯的高度． 二．蚂蚁爬行模型（共5小题） 5．（23-24八年级上·广东佛山·期中）如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点．    (1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径； (2)分别求出这几种路径的距离； (3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 6．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 7．（23-24七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取） 素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物． 若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 （用“一”或“二”填空）． 素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的． （1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）： 圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小 （2） 填空：表格中的值是 ；表格中表示的大小关系是 ； （3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 9．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 三．直角三角形翻折模型（共4小题） 10．（24-25八年级上·山西晋中·期中）在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长． (2)如图2，如果点落在的中点上，求的长． 11．（20-21八年级下·福建南平·阶段练习）在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 12．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点H为边上的一点，，，，． (1)求的长； (2)已知点E为线段上一点，为等腰三角形，求线段的长度； (3)点P是直线上任意一点，把沿着直线翻折，直接写出当为何值时，点H翻折后的对应点恰好落在直线上． 13．（24-25八年级上·福建三明·期中）在中，． (1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点； (2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长； (3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长． 四．【扩展】特殊四边形的翻折模型（共4小题） 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． (1)写出点F的坐标． (2)求的长． 16．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，，，，，．是边上一点，．若为边上一个动点，将四边形沿折叠，点、的对应点分别为点、，若线段与边交于点． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点与点重合时，求线段的长； (3)点从点向点运动的过程中， ①线段的最大值为_________； ②请直接写出点运动的路径长为_________． 17．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 五．构造直角三角形求代数式的最值（共4小题） 18．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知． (1)求当x等于何值时，? (2)当时，求的长． (3)利用图形求代数式的最小值． 19．（2024八年级上·全国·专题练习）[探究] 已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，且两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，设． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； 20．（23-24八年级上·福建泉州·期末）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【知识应用】 如图1，点为线段上的一点，分别过点作于A，于，连结． （1）若，，，设，用含的代数式表示的长； （2）参照（1）的思想方法，构图求代数式的最小值． 【能力迁移】 （3）如图2，正方形中，点在边上，点在边上，且．已知，求的最小值． 21．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图，请你用两种不同方法表示梯形的面积，从而验证勾股定理． (2)如图，在直线的同侧有两个点、，已知点和点到直线的距离分别为2和5，且．现要在直线上取点，使得的值最小． ①请用无刻度直尺和圆规在图2中确定点的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②直接写出的最小值为_________； (3)借助上面的思考过程，直接写出的最小值为_______． 22．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．    【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．    （1）用含的代数式表示的长为______． （2）①请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； ②根据①中的规律和结论，直接写出代数式的最小值为______． 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．    （3）求代数式的最小值． 六．利用勾股定理解决将军饮马问题（共4小题） 23．（23-24八年级下·广西南宁·期中）2024年“广西三月三·八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉开帷幕．大家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、D为青秀山和园博园民俗文化活动场地，且于A，于B．已知，，现在小明要在直线上找到地点E，使得： (1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少处？ (2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少处？并求出的最短距离． 24．（24-25八年级上·江苏常州·期中）（1）如图1，正方形中，点E、F分别是、的中点，连接、．交于点P．请直接写出线段与之间的关系； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，试说明平分； （3）如图3，若点E、F分别是、上的动点，且，，请直接写出的最小值．    25．（23-24八年级上·山西晋中·阶段练习）“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？    大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据______） ∴______． 在中，∵，（依据______）， ∴，即最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为与的交点，即三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为______． 26．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 七．勾股树模型（共4小题） 27．（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①c为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，    (1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程） (2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个．（不需证明） (3)如图⑥所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形面积为S3，请判断的关系，并说明理由． 28．（23-24八年级上·浙江温州·期中） 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三    解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则______． 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则______． 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 29．（23-24八年级上·山西运城·期中）综合与实践 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图2，直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c．    (1)如图3，以直角三角形的三边a，b，c为边，分别向外部作正方形，直接写出，，满足的关系： ． (2)如图4，以的三边为直径，分别向外部作半圆，请判断，，的关系并证明． (3)如图5，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，直接写出该飞镖状图案的面积． 30．（22-23八年级下·江西南昌·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个． ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系． (2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________． 八．面积法求高（共3小题） 31．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 32．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图在的方格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，则边上的高为 ．    33．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处）的三条边，，的长分别为，，． (1)在网格中画出． (2)求边上的高． 九．赵爽弦图（共4小题） 34．（24-25八年级上·浙江·期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成． 如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若． (1)求证：； (2)若，求的长． 35．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图1，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图1中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图1用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 36．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形的边长为2，正方形的边长为10，求正方形的边长． 37．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 一十．梯子模型（共4小题） 38．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为（    ） A．12.5 B．13 C．14 D．15 39．（20-21八年级下·贵州安顺·期末）如图，在中，，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（    ） A． B． C． D． 40．（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，射线OA⊥射线OB于点O，线段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为 41．（2021八年级上·全国·专题练习）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，求运动过程中，点D到点O的最大距离． 一十一．勾股差模型（共2小题） 42．（21-22八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于 ． 43．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 一十二．垂美四边形（共3小题） 44．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 45．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    46．（23-24八年级上·广东深圳·期中）(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为． ①判断，的关系，并说明理由． ②连接．若，，请直接写出的长． 一十三．见特殊角，作垂线（共4小题） 47．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为 ，的最小值为 ． 48．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图所示，中，，，， (1)求的长， (2)求的长． 49．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)若点是中点，求的长． 50．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，．求的长． $$