专题3.1 分式的运算（考题猜想，易错、好题必刷52题13种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版）

专题3.1 分式的运算 （易错、好题必刷48题12种题型专项训练） 目录 【题型01 分式乘法】 1 【题型02 分式除法】 2 【题型03 分式乘除混合运算】 2 【题型04 分式乘方】 2 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】 3 【题型06 同分母分式加减法】 3 【题型07 异分母分式加减法】 4 【题型08 整式与分式相加减】 4 【题型09 分式加减混合运算】 5 【题型10 分式加减的实际应用】 6 【题型11 分式加减乘除混合运算】 7 【题型12 分式化简求值】 8 【题型01 分式乘法】 1．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·广东清远·期末） 3．（23-24八年级下·河北保定·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）计算： ． 【题型02 分式除法】 5．（23-24八年级下·广东梅州·期末）计算： ． 6．（23-24八年级下·陕西西安·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·山西晋中·期末）计算： ． 8．（23-24八年级下·江苏·期末）化简： ． 【题型03 分式乘除混合运算】 9．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·山东威海·期末）化简 ． 11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：． 12．（23-24八年级上·湖南郴州·期末） ． 【题型04 分式乘方】 13．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·山西晋城·期末）计算的结果是 . 15．（23-24八年级上·河南信阳·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算： ． 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】 17．（22-23八年级上·湖南岳阳·期末）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 18．（20-21八年级上·湖北襄阳·期末）计算 ． 19．（23-24八年级上·四川自贡·期末）计算： 20．（21-22八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则的值为（    ） A．－5 B．27 C．23 D．25 【题型06 同分母分式加减法】 21．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）计算的结果是（   ） A． B．1 C．0 D．-1 22．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）计算： ． 23．（23-24八年级下·山东济南·期末）计算：=（   ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算： ． 【题型07 异分母分式加减法】 25．（23-24八年级上·天津南开·期末）2001年、2002年、2003年某地的森林面积分别是，，，2003与2002年相比，森林面积增长率提高了 ． 26．（23-24八年级下·全国·期末）若，，则的值为 ． 27．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）下面是小芳同学化简的过程 解： =（第一步） =（第二步） =（第三步） =（第四步） 小芳化简过程的第一步依据的是_____________（填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程的第_____________步开始出现错误．请你写出正确的化简过程及结果． 28．（23-24八年级上·重庆·期末）已知，则 ． 【题型08 整式与分式相加减】 29．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 30．（23-24八年级上·四川广安·期末）若，则的值为 ． 31．（23-24八年级上·江西赣州·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数的值． 32．（23-24八年级上·山东济南·期末）计算 ． 【题型09 分式加减混合运算】 33．（23-24八年级上·重庆忠县·期末）对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于个分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式为，，，，．已知一串式子是，，，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第次操作”后得到的一串新式子为：，，，，，，，，；②“第3次操作”后共有个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 34．（22-23八年级上·重庆九龙坡·期末）已知，则的值为 ． 35．（23-24八年级上·江苏南通·期末）阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； (3)若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 36．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则 ． 【题型10 分式加减的实际应用】 37．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）临近春节，甲厂联系一辆车送m名员工返乡过年，租金为3000元，临出发时，有3名乙厂员工也随车返乡，如果所有乘车人员平均分摊车费，则甲厂员工最后人均车费比原来少了 元． 38．（23-24八年级下·河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级下·内蒙古包头·期末）小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 40．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【题型11 分式加减乘除混合运算】 41．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）一块麦田有，甲收完这块麦田需要，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要（    ）小时． A． B． C． D． 42．（23-24八年级上·江西赣州·期末）杨老师在讲分式的化简求值时，设计了一款接力游戏，要求同学之间用合作的方式完成分式的化简求值，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力游戏中，出现错误的同学是（   ） A．甲和丙    B．甲和丁    C． 乙和丙    D．乙和丁 (2)请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，”中选择一个合适的数代入求值． 43．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）计算： ． 44．（22-23八年级上·河南南阳·期末）化简的结果是 ． 【题型12 分式化简求值】 45．（23-24八年级上·云南红河·期末）先化简，再求值：，其中． 46．（23-24八年级上·云南红河·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足，． 47．（23-24八年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都是整数的点为“整点”，若坐标系内两个“整点”满足关于x的多项式能够因式分解为，则称点B是点A的分解点，例如满足，所以B是A的“分解点”． (1)在点中，请找出不存在的“分解点”的点_______． (2)点存在分解点，求代数式的值． (3)在P，Q都在纵轴y轴上，（P在Q的上方），点M在横轴x轴上，且点P、Q、M都存在“分解点”，若面积为5，请直接写出点M的坐标． 48．（22-23八年级上·四川南充·期末）先化简，再求值：，其中． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 分式的运算 （易错、好题必刷48题12种题型专项训练） 目录 【题型01 分式乘法】 1 【题型02 分式除法】 2 【题型03 分式乘除混合运算】 4 【题型04 分式乘方】 5 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】 6 【题型06 同分母分式加减法】 8 【题型07 异分母分式加减法】 9 【题型08 整式与分式相加减】 11 【题型09 分式加减混合运算】 13 【题型10 分式加减的实际应用】 17 【题型11 分式加减乘除混合运算】 19 【题型12 分式化简求值】 22 【题型01 分式乘法】 1．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是分式的乘法运算，掌握运算法则是解本题的关键，先把能够分解因式的分子分解因式，再约分即可． 【规范解答】解： ； 故选B 2．（21-22八年级下·广东清远·期末） 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的乘法运算，两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并把分子、分母分解因式约分，把结果化成最简分式或整式．据此计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河北保定·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方，再计算乘法约分即可． 【规范解答】解：， 故选：B． 4．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）计算： ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了积的乘方、负整数指数幂、单项式的乘除，先根据积的乘方和负整数指数幂进行计算，再根据单项式的乘除运算法则计算即可得出答案． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【题型02 分式除法】 5．（23-24八年级下·广东梅州·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的除法，解题的关键是熟练使用除以一个数等于乘以这个数的倒数计算解题． 【规范解答】解：， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·陕西西安·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了分式的除法运算，把除法变形为乘法，即可求解． 【规范解答】解： ． 故选：B 7．（23-24八年级下·山西晋中·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．将分式除法转化为乘法，能因式分解的多项式进行因式分解，再化简即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏·期末）化简： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分式的除法计算，根据分式的除法计算法则求解即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【题型03 分式乘除混合运算】 9．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是分式的乘除混合运算，按照从左至右的顺序进行计算即可． 【规范解答】解：； 故选B 10．（23-24八年级上·山东威海·期末）化简 ． 【答案】 【思路点拨】先把分式的除法变为乘法，再进行分式的乘法运算即可．此题考查了分式乘除混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： 故答案为： 11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】此题考查了分式的乘除混合运算，利用分式的除法和乘法法则计算即可． 【规范解答】解： 12．（23-24八年级上·湖南郴州·期末） ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了积的乘方，分式的乘方和除法，负整数指数幂，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算积的乘方，分式的乘方，然后计算单项式乘以单项式，将除法转化成乘法，然后计算即可． 【规范解答】 ． 故答案为：． 【题型04 分式乘方】 13．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，分式的乘方计算，合并同类项，根据同底数幂乘除法计算法则，分式的乘方计算法则和合并同类项法则分解求出对应式子的值即可得到答案． 【规范解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 14．（23-24八年级下·山西晋城·期末）计算的结果是 . 【答案】 【思路点拨】本题主要考查分式的乘方，根据分式的乘方运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为： 15．（23-24八年级上·河南信阳·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答． 【规范解答】解：依题意，， 故选：D． 16．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算： ． 【答案】// 【思路点拨】本题考查分式的混合运算，掌握分式乘方和分式乘法的运算法则是解题关键． 先算乘方，然后再算乘法． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】 17．（22-23八年级上·湖南岳阳·期末）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】先进行幂的乘方运算，再将除法转化为乘法运算，再乘除法运算即可求解． 【规范解答】解： ， 故选：B． 18．（20-21八年级上·湖北襄阳·期末）计算 ． 【答案】 【思路点拨】根据分式的运算法则计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 故答案为：． 19．（23-24八年级上·四川自贡·期末）计算： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了含乘方的分式的乘除混合运算，先算乘方，然后把除法转化为乘法，最后化简即可． 【规范解答】解：原式 ． 20．（21-22八年级上·安徽芜湖·期末）已知，则的值为（    ） A．－5 B．27 C．23 D．25 【答案】C 【思路点拨】等式两边同时平方即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ， ， 故选：C． 【题型06 同分母分式加减法】 21．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）计算的结果是（   ） A． B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查分式的加减法，运用同分母分式相加减，分母不变分子相加减进行运算即可 【规范解答】解： ， 故选：C 22．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．先把两个分式分子相减，并与分母约分即可． 【规范解答】解：原式 故答案为： 23．（23-24八年级下·山东济南·期末）计算：=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了同分母分式的减法计算法则，根据同分母分式相减，分母不变，把分子相减，再化简即可，熟练掌握同分母分式的减法法则是解题的关键 【规范解答】解： 故选：A 24．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了分式的加减运算，先按照同分母分式相加法则进行计算，再把计算结果中的分子分解因式，最后约分即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【题型07 异分母分式加减法】 25．（23-24八年级上·天津南开·期末）2001年、2002年、2003年某地的森林面积分别是，，，2003与2002年相比，森林面积增长率提高了 ． 【答案】 【思路点拨】本题考分式的减法，分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可． 【规范解答】解：2002年的增长率是：， 2003年的增长率是：， 则森林面积增长率提高：． 故答案为：． 26．（23-24八年级下·全国·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的加减运算求值，根据异分母分式加法运算法则进行运算，然后把，代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）下面是小芳同学化简的过程 解： =（第一步） =（第二步） =（第三步） =（第四步） 小芳化简过程的第一步依据的是_____________（填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程的第_____________步开始出现错误．请你写出正确的化简过程及结果． 【答案】因式分解；三；过程见解析； 【思路点拨】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．根据小芳化简过程分析可解答答题空；根据异分母的分式相加减法则写出正确结果即可． 【规范解答】解∶小芳化简过程的第一步依据的是因式分解，化简过程的第三步开始出现错误． 故答案为：因式分解；三；     原式 28．（23-24八年级上·重庆·期末）已知，则 ． 【答案】4 【思路点拨】先根据题意得出，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 【规范解答】 解：， ， 故答案为：4． 【题型08 整式与分式相加减】 29．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【规范解答】解： ． 故选D． 30．（23-24八年级上·四川广安·期末）若，则的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【规范解答】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 31．（23-24八年级上·江西赣州·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题考查了分式的性质，分式的加减运算； （1）参照范例进行解答即可； （2）先参照范例把分式化成一个整式与一个分式的和的形式，再结合原分式和的值都为整数这个条件进行分析解答即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：原式 ， ∵原分式的值为整数，且为整数， ∴， ∴或． 32．（23-24八年级上·山东济南·期末）计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【题型09 分式加减混合运算】 33．（23-24八年级上·重庆忠县·期末）对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于个分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式为，，，，．已知一串式子是，，，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第次操作”后得到的一串新式子为：，，，，，，，，；②“第3次操作”后共有个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了分式的加减，依据题干要求正确操作并发现其中的规律是解题的关键．利用“一次操作”的规定进行操作，通过操作得到规律性的结论，依据发现的规律逐一判断即可． 【规范解答】解：“第2次操作”后得到的一串新式子为：，0，，，，，，，，共个， ①的结论正确； “第一次操作”后得一串新分式有个，“第二次操作”后得到的一串新式子有，“第三次操作”后共个式子， ②的结论正确； “第一次操作”后得一串新分式的和为：， “第二次操作”后得一串新分式的和为：， “第三次操作”后得一串新分式的和为：， ， ③的结论错误； “第一次操作”后得一串新分式的和为：， “第二次操作”后得一串新分式的和为：， “第三次操作”后得一串新分式的和为：， “第次操作”后得一串新分式的和为：， “第次操作”后所有式子之和为， ④的结论正确； 张三结论正确的个数是个， 故选：B． 34．（22-23八年级上·重庆九龙坡·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据已知条件得出，代入分式进行计算即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴ 即， ∴， 故答案为：． 35．（23-24八年级上·江苏南通·期末）阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； (3)若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 【答案】(1)是， (2)①；② (3)c的值为4或16 ． 【思路点拨】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【规范解答】（1）解：A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：①∵， ∴ ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3） ， ∵， ∴原式， ∴，即， ∴， ∴， ∵a，b为整数， ∴一定为5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或1， ∴c的值为4或16 ． 36．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【规范解答】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型10 分式加减的实际应用】 37．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）临近春节，甲厂联系一辆车送m名员工返乡过年，租金为3000元，临出发时，有3名乙厂员工也随车返乡，如果所有乘车人员平均分摊车费，则甲厂员工最后人均车费比原来少了 元． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是分式的加减运算，先根据题意列代数式，再进行分式的减法运算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 38．（23-24八年级下·河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查分式的运算，根据题意，得到改进技术后，每天可以挖掘米，利用原来需要的天数减去现在需要的天数，进行计算即可． 【规范解答】解：由题意，得：； 故选A． 39．（23-24八年级下·内蒙古包头·期末）小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 【答案】(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【思路点拨】本题考查分式运算的实际应用： （1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可； （2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可． 【规范解答】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． 40．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】B 【思路点拨】本题考查列代数式的知识，根据工作时间工作总量工作效率，表示出原计划所用时间，以及现在所用时间，利用原计划所用时间现在所用时间，即可解题． 【规范解答】解：由题意得，原计划所用时间为：天， 现在所用时间为：天， 工厂完成这个订单的时间比原计划提前天， 故选：B． 【题型11 分式加减乘除混合运算】 41．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）一块麦田有，甲收完这块麦田需要，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要（    ）小时． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了列代数式（分式），解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系．先得到乙收割完这块麦田需要的时间，根据工作总量÷工作时间=工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，再用工作总量÷甲、乙的工作效率和求出两人一起收割完这块麦田需要的工作时间． 【规范解答】解∶ 乙收割完这块麦田需要的时间是， 甲的工作效率是， 乙的工作效率， 故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为， 故选∶A． 42．（23-24八年级上·江西赣州·期末）杨老师在讲分式的化简求值时，设计了一款接力游戏，要求同学之间用合作的方式完成分式的化简求值，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力游戏中，出现错误的同学是（   ） A．甲和丙    B．甲和丁    C． 乙和丙    D．乙和丁 (2)请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，”中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)D (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则． （1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． （2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可． 【规范解答】（1）解： ， 则接力游戏中，出现错误的同学是乙和丁， 故选：D； （2）原式＝ ＝ ＝， ， ∴ 当时，原式＝； 或当时，原式＝． 43．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，根据分式的基本运算法则，先算括号内，再算除法. 【规范解答】解： ， 故答案为： 44．（22-23八年级上·河南南阳·期末）化简的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 【规范解答】解： ． 故答案为： 【题型12 分式化简求值】 45．（23-24八年级上·云南红河·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号内的分式通分， 把除法转化为乘法，然后约分计算，最后代入数值求值即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 46．（23-24八年级上·云南红河·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足，． 【答案】， 【思路点拨】先利用分式的性质和计算法则化简，再通过，代入求值即可．本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，正确根据分式的混合运算法则化简是解题的关键． 【规范解答】解：原式 ， 把，代入 ． 47．（23-24八年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都是整数的点为“整点”，若坐标系内两个“整点”满足关于x的多项式能够因式分解为，则称点B是点A的分解点，例如满足，所以B是A的“分解点”． (1)在点中，请找出不存在的“分解点”的点_______． (2)点存在分解点，求代数式的值． (3)在P，Q都在纵轴y轴上，（P在Q的上方），点M在横轴x轴上，且点P、Q、M都存在“分解点”，若面积为5，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路点拨】（1）由分解点的定义可求解； （2）由分解点的定义可得，由分式有意义可得，代入可求解； （3）由分解点的定义可得点，点都在纵轴的负半轴，分点M在横轴正半轴和负半轴讨论，由三角形的面积公式可得，分情况讨论可求解． 本题是三角形综合题，考查了三角形的面积公式，因式分解，理解新定义并能运用新定义是本题的关键． 【规范解答】（1）解：点 ， 点是点的分解点， ∵点 不能因式分解，找不到分解点， 点是点的分解点， ∴ 点是点的分解点， 故答案为：； （2）解：点存在分解点， 可以因式分解， 或2， ， ， 把代入，得 （3）解：点，在纵轴上在的上方），，都存在分解点， 点，点都在纵轴的负半轴， 则设点，点，，为有理数，， 点M在横轴上，M存在分解点， 当点M在负半轴上， 设点， 面积为5， ， ， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，则点， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，（不合题意舍去）， 当点M在正半轴上， 设点， 面积为5， ， ， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，则点， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，（不合题意舍去）， 故答案为或 48．（22-23八年级上·四川南充·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$