精品解析：福建省三明市永安九中等四校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上学期永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学“联考”试卷 高一数学 （完卷时间：150分钟；满分：150分；命题人：张金木 印岚颖 复核人：张天栋） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则1与集合的关系为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则的取值范围是 （ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，， 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若，则函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为4 C. 若，，，则的最大值为1 D. 若，满足，则的最大值为 10. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 为上的增函数 D. 为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______. 13. 已知函数且，则的值为______． 14. 若，，，，使则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共7小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 设全集，集合，． （1）求，； （2）若集合，，求实数的取值范围． 17. 已知函数，且. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若，求函数在区间上的最大值 18. 已知函数为奇函数，． （1）求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 19. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学“联考”试卷 高一数学 （完卷时间：150分钟；满分：150分；命题人：张金木 印岚颖 复核人：张天栋） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则1与集合的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入判断不属于，从而得到不包含于，然后分别考查四个选项即可. 【详解】因为，所以，这也意味着，从而只有选项A正确. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得结论. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 3. 下列表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】逐项判断定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】A：定义域均为，且，所以是同一函数； B：定义域为，定义域为，定义域不同，所以不是同一函数； C：中，解得，所以定义域为， 中，解得或，定义域为， 由上可知，定义域不同，所以不是同一函数； D：的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数； 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先解出不等式，然后根据互相推出关系判断属于何种条件. 【详解】因为， 即，所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶次根式以及分式需满足的条件结合抽象函数定义域求解方法求出结果. 【详解】由题意可知，解得， 所以定义域为， 故选：D. 6. 已知函数，若，则的取值范围是 （ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据每一段函数的函数解析式，分类讨论转化，即可容易求得结果. 【详解】因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得成立， 所以将原不等式转化为：或， 从而得或． 故选：D． 【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，属简单题. 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，并利用导数分析函数在上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数，排除BD选项. 当时，，则，， 所以，函数在上为增函数，排除C选项. 故选：A. 8. 已知函数若，则函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，得作出与的图象，观察它们的交点情况，即可得到答案． 【详解】作出与的图象如下， 由图可知，与的图象有个交点， 则函数的零点个数是 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为4 C. 若，，，则的最大值为1 D. 若，满足，则的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项分析各选项，注意取等条件以及最大最小值的判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为，故正确； 对于B：因为， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误； 对于C：因为，所以， 所以，所以，解得， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误； 故选：AC. 10. 下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性逐项分析. 【详解】对于A：因为且在上单调递增，所以，故正确； 对于B：因为在上单调递增，在上单调递增，所以，故正确； 对于C：因为，且在上单调递增，由于，所以，故正确； 对于D：因为在上单调递增，在上单调递增，所以，故错误； 故选：ABC. 11. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 为上的增函数 D. 为奇函数 【答案】BD 【解析】 【分析】A：通过赋值法先计算出的值，然后可计算出的值，根据可得结果；B：赋值法直接求得结果；C：根据得到，结合条件判断正负可得单调性；D：通过赋值可得，然后通过变形可判断是否为奇函数. 【详解】对于A：令，则，令，则， 令，则，故错误； 对于B：由A选项的计算可知，故正确； 对于C：，则，则， 因为，所以，又时，， 所以，所以， 所以为上的减函数，故错误； 对于D：令，则，则， 所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数，故正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图象关于轴对称，则实数＝_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由幂函数系数为1得或，再检验对称性即可. 【详解】函数是幂函数， ∴，解得或， 当时，函数的图象不关于轴对称，舍去； 当时，函数的图象关于轴对称； ∴实数． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了求解幂函数的解析式，解题的关键是熟悉幂函数的性质，属于基础题. 13. 已知函数且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，根据的奇偶性计算出的值. 【详解】令，定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 所以，所以， 代入，可得， 故答案为：. 14. 若，，，，使则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于g(x)的值域是f(x)值域的子集，据此即可求解﹒ 【详解】原问题等价于函数的值域是函数值域的子集． 在上，二次函数的值域是， 单调递增的一次函数的值域是， 则， 则且，解得． 故答案为：． 四、解答题：本题共7小题，共84分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质计算出结果； （2）根据对数的运算性质以及换底公式计算出结果. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 设全集，集合，． （1）求，； （2）若集合，，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求解出不等式的解集为集合，然后根据交集、并集、补集的概念完成计算； （2）先讨论是否为，然后根据条件列出不等式组求解出的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 因为且在上单调递增，所以，所以， 所以，且， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，显然不满足，所以； 因为，所以，解得， 所以的取值范围是. 17. 已知函数，且. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若，求函数在区间上的最大值 【答案】（1） 函数为奇函数，证明如下： 由题得，解得， 故函数的定义域为，关于原点对称； ， 所以函数为奇函数. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，关于原点对称，再由即可判断函数为奇函数； （2）由题意易判断出函数在区间上单调递增，由此即可求出其最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，函数为增函数，所以： 函数为增函数，函数为减函数（同增异减）， 所以函数为增函数，函数在区间上单调递增， 最大值为. 18. 已知函数为奇函数，． （1）求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据求解出的值； （2）根据定义法判断的单调性； （3）根据奇偶性和单调性将问题转化为，由此可求的取值范围. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以. 【小问2详解】 ，， 则， 因为，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 因为是上的奇函数，所以， 因为在上单调递增，所以恒成立， 所以恒成立，所以； 因为，当时取等号，所以， 所以. 19. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 【答案】（1）是“不动点”函数，不动点是和2； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义列出方程，求解方程即可； （2）根据新定义列出方程，求解方程即可得； （3）设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答． 【小问1详解】 设是的不动点，则，所以，解得或， 所以是“不动点”函数，不动点是和2； 【小问2详解】 因为a是的次不动点，所以，显然，解得； 【小问3详解】 设分别是在上的不动点和次不动点，且唯一， 由得，即，， 令，显然在上单调递增，所以，， 所以， 由得：，即，， 时， 综上，， 所以的范围是． 【点睛】思路点睛：本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $