四川省德阳市高中2024-2025学年高三上学期第一次诊断考试数学试题

德阳市高中2022级第一次诊断考试 数学试卷 说明： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，第I卷1一2页，第Ⅱ卷2一4页，考生作答时，须将答案答 在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回 2.本试卷满分150分，120分钟完卷。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的 1.设集合A={y=V国，集合B={xeZ-2<x<2,则集合A∩B= A.[0,1] B.(0 c.[0,1) D.{0,1 2. 已知复数：满足(1+)z=-,则z= 11 B.2+2 C.1-i D.1+i 3.生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范 围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小 组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：矿=- 2x+44,但由于保存不妥， 丢失了一个数据（表中用字母m代替），则 温度x(`C) 6 8 10 病毒数量y(万个) 30 22 A.m=19 B.m=20 C.m=21 D.m的值暂时无法确定 4.已知数列{a,}的前n项和为S.=n2+m,且a=6,则数列 的前10项和为 4名 B号 a 11 唱 5.底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥 的体积之比为 A.2 B C.5 025 5 5 6.设(1+ax)泸=a。+a,x+a2x2+…+ax满足a1+a1+…+a,=-2,则a2+a4= A.120 B.-120 C.40 D.-40 数学一诊第1页（共4页） 单调递增，且(2m+1)>f(m-l),则实数m的取值范围为 A.(-2,1] B.(-21) c.(0,1 D.(0,1) 8设F1,为双曲线C。-=1(>0b>0)的左右焦点，0为坐标原点，P为C的一条渐近 线上一点，且PF+P0=PF-Po,若PF=2P而，则C的离心率为 A.V6 B.V5 C.2 D.V3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分· 9.下列结论正确的是 A.随机变量x服从二项分布B(3,2),Y=2X+1,则D(Y)=3 B.数据x1,2,无，…x的平均数为2，则3x1+1,3x2+1,3x,+1,…,3x+1的平均数为6 C.数据2,4,6,8,10,12,14的第60百分位数是10 D.随机变量X服从正态分布N(5,o),且P(2<X<5)=a,则P(X>8)=1-a 10.定义在R上的函数)满足f倒+f)=f()f(气子)0=1，则下列结论正确 的有 Af(0)=2 Bf(x)为奇函数 C.6是f(x)的一个周期 D.宽r(字=4052 11.已知函数f(x)=x+3x2+mx-3,则 A.当m≤3时，函数f(x)有两个极值 B.过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且仅有一条 C.当m=1时，若b是a与c的等差中项，直线ax-by-c=0与曲线y=f(x)有三个交点 P(x1y,Q(x22),R(x),则x1+x2+3=-6 D.当m=0时，若-1<x<2则-3<f<(-<1 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体 运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为 2 13.已知sin(a+B)=5ana=3ang,则cos(2a-2g)= 14若关于：的方程x++引-1有且仅有两个实根，侧则实数m的取值范图为 数学一诊第2页（共4页】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题满分13分) 平面向量%满足eel,<e%7,a=6+e,6=e,+e: (1)若b在a上的投影向量恰为a的相反向量，求实数：的值； (2)若<a,b>为钝角，求实数：的取值范围. 16.(本题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=6△4BC的面积S=c'sinA （1者coM=子求b的值： (2)求内角C取得最大值时△4BC的面积 17.(本题满分15分) 已知函数/倒=sg-2+2+)的定文城为D,&倒= (1)若入=子求函数∫)的值域： (2)若D=(m,n),且[g(m)-g(n)]'≤10，求实数入的取值范围. 数学一诊第3页（共4页） 18.(本题满分17分) 甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其 他均相同.现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放人另一袋中，重复进行次这样的操 作后(n∈N),记甲袋中的白球数为X,甲袋中恰有一个白球的概率为p (1)求P,P2 (2)求p.的解析式： (3)求E(X. 19.(本题满分17分) 若函数y=f(x)与y=g(x)在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称 y=f(x)与y=g(x)为“等峰函数” (1)证明函数y=2 sin8x-V3cos2x,x∈R与y=*-sinm ,x∈[0,2]是“等峰函数”： （2)已知倒=g与g倒创=兰6e>0)为等峰函数 ①求实数a的值； ②判断命题：“3xo,x1,x2eR,f(x)=f(xo)=g(x),且x1x2=x”的真假，并说明理由. 数学一诊第4页（共4页）德阳市高中2022级第一次诊断考试 数学参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.D2.B3.B4.C5.D6.A7.C8.B 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.AC 10.ACD 11.BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.8 14(-e,0U(0,2) 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15.解：(1)由题意得(a· 1aPa-a,从而a: =-1,亦即a.b=a户…(3分)》 al 又a…b=(e,+e)(e,+e)=2,la=(c,+te=1+2 所以2+24+1=0 即=-1… …(7分) a·b<0 2:<0 (2kab>为钝角一a与不共线户任*1 所以的取值范围为(-∞，-1)U(-1,0) …(13分） 16.獬：(1)由S=c2sinA=。bcsinA知b=2c…(3分) 2 由于a=6004=子所以由余弦定理得 36=b+c2-2 bccosA=4c2+c2-c2=4c2,从而c=3…(6分) 即b=6…(7分) (2)△4BC中有cosC=应+，二C=6C=2+8≥2√×8= 2ab 24e= (省且仅当2号即c=2V5时取等号… …(10分) 此时，角C取到最大值石b=4V万… …(13分) 2 …(15分） 17.解：(1因为A=子由-2++1>0得-<x<2 3 …(3分) =+2+1则阁 数学一诊答案第1页（共4页） 从而f(x)的值域为(-∞，2]…(6分) (2)由于D=(m,n),且△=42+4>0，所以方程-x2+2Ax+1=0的两根分别为m,n 且m+n=2入，mn=-1…(8分) [g(m）)-g≤10，即m-A-n-A了 Lm2+12+is10 亦即子m-n2≤10，从而(m+n2-4mn≤40…(13分) 所以2-9≤0曰-3≤入≤3 即实数λ的取值范围为[-3,3] …(15分) 18.解：(1)记第n次交换后甲袋中恰有两个白球的概率为g.,则第n次交换后甲袋中恰有零 个白球的概率为1一P,一9。 由题痘得，CCCG-分 …(2分) CC p2=p1× 9x1+-n-90×1=1-2n 1 3 4 …(5分)》 1 (2)油(1)p,=p-i×2+g-1×1+-P-1-g-)x1=1-2P-aeNn≥2) 0 6 从而数列.一号引是以-言为首项-号为公此的等比数列…(0分 即p.-兮(r+号ae) …(11分) (3)显然X,的所有可能取值为0,1,2 且Px=)=r+号 2 … …(12分) g.-n×+9x0+-p-90x0=-名(-+号 即P怀=2)=名-名-从面PX=0)=合名-…(15分) 11 所以X的分布列为 X. 0 1 2 P 6文 + 所以E=0+1×店（分+引+2×[店-名-]1…(n分） 19解：(1y=in2s-V5co2x=2ain(2x-号).由于eR,所以当2x-号=2km+号 数学一诊答案第2页（共4页） 即x=m+江（keZ)时，y=2:对于函数y=-nm,y=1-c0s7x≥0， 12 所以函数y=￥-im在[0,2]上单调递增，从而当x=2时，y=2 函数y=2 2mcos-V3cos2xxeR与y=g-si血Txe0,2]是等峰函数”…(4分) 20rW:,e>0 当a<0时，若x∈(0，e)'(x)<0;若xe(e,+o),f'(x)>0,即函数f(x)在(0，e) 上单调递减，在(e°，+∞)上单调递增，无最大值； 当a=0时，∫(x)=lnx在(0，+∞)上单调递增，无最大值； 当a>0时，若xe(0,e),f(x)>0;若xe(e,+),f()<0,即函数f(x)在(0，e 上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，所以当x=时，/=】 …(7分)） ae g=-=a-9,:>0) e 因为a>0,所以xe(0,a)时，g(x)>0;xe(a,+∞)时，g(x)<0,即函数g(x)在(0，a) 上单调递增，在(a+)止单调递减从而当：=时，g(倒一号 …(8分) 由于/-与g倒=号a>0为“等蜂函数，所以/倒=6闲- 即->0) ae 将上式两端取自然对数得-ha-1=alna-a,即na-&-=0 a+1 令o=ha-8则a= 22+1>0 a(a+1)2a(a+1)2 所以h(a)在(0，+∞)上单调递增，又h(1)=0,从而a=1…(10分) ②命题为真命题，理由如下： 先考察方程倒=8()的实根情况，令m闭=f倒-g倒-些- e 由①知∫(x)在(1，e)上单调递增，g(x)在(1，)上单调递减，所以m(x,)=∫(x)-g(x) 在上维满适增，又m<0a回=-号=兰>0， e 所以存在唯一x。e(1,),使得m(xo)=0,即方程f(x)=g(x)在(1，e)上有唯一实根 o/e=sk日 ……(11分) 其次考察方程f(x)=∫(x)的实根情况，令n(x)=f(x)-f(x) 由①知n(x)在(e,+∞)上单调递减， 且n(e)=-f>0,n(e=t1-=1-e-D<0 e*e e+ 数学一诊答案第3页（共4页） 所以存在唯一x1∈(e,+∞)，使得n(x)=0,即f(x)=f(x) 由于fa)=g)=2g=e,所以r=e.且>8，由/在 (伦，+∞)上的单调性知就1=e必…(13分) 最后考察方程g(x)=g()的实根情况，令p(x)=g(x)-g(x) 由①蜘p()在(0，)上单调递增，且p0)=-<0p()=->0 ee 所以存在唯一x2∈(0,1)，使得p(x2)=0,即g(x)=g(xo) 由于g)=f)=n=e=g,所以g=g,且0<n,<1, 由g(x)在(0,1)上的单调性知x2=lnx。… …(15分) 所以，=eho,又=，所以e1。=好 0 e 即x,花，=x号，从而得知命题为真命题…(17分) ②另解 先考察方程/倒=86)的实根情况，令m国倒=回)一&倒=坚-产 由①知f(x)在(1，e)上单调递增，g(x)在(1，e)上单调递减，所以m(x)=f(x)-g(x) 在L9上单调递增，又n0=合<0m间=}号-二>0， e 所以存在唯一x∈(1，e),使得m(x)=0,即方程∫(x)=g(x)在(1，e)上有唯一实根 0,且f(x=g列)<…(11分 易知：3ke0使=8脚学-兰之，=乐 令x=nx0x1=e户，则x1xox成等比数列.…(13分) 故只要∫(x,)=f(x)=g(x)=g(x2)即可 ese8eg寸e 又g(x)f(e月(xo) ∫(x)=g(1nx,=g(xo) 所以∫(x)f(x)=g(x片g(x2)成立 故原命题为真…… …(17分)》 数学一诊答案第4页（共4页）