专题强化08：分式方程 【10大题型培优】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化08：分式方程题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：分式方程的定义 · 题型二：解分式方程 · 题型三：分式方程的增根问题 · 题型四：分式方程的解的参数问题 · 题型五：分式方程无解的问题 · 题型六：分式方程的行程问题 · 题型七：分式方程的工程问题 · 题型八：分式方程的经济问题 · 题型九：分式方程的和差倍分（其他）问题 · 题型十：分式方程的创新问题 【题型探究】 题型一：分式方程的定义 1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22八年级下·上海·期中）已知方程： ，，，这四个方程中，分式方程的个数是（  ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·广东·单元测试）下列各式中分式方程有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 题型二：解分式方程 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）解下列分式方程： (1) (2) 5．（24-25八年级上·重庆·期中）解方程： (1) (2) 6．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 题型三：分式方程的增根问题 7．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 8．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）若关于x的方程有增根，则a的值是（  ） A．3 B． C．4 D．6 9．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：分式方程的解的参数问题 10．（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 11．（23-24八年级下·全国·期中）若不等式的解都能使关于x的一次不等式成立，且使关于x的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数a值之和是（    ） A．19 B．20 C．12 D．24 12．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 题型五：分式方程无解的问题 13．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）关于x的方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．无法确定 14．（23-24八年级下·全国·期中）若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上都不是 15．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 （    ） A． B．或2 C．或2 D． 题型六：分式方程的行程问题 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 17．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 题型七：分式方程的工程问题 18．（24-25八年级上·山东威海·期中）工厂计划在规定的时间生产24000台空气净化器．甲车间按计划独自生产了12000台后，由于雾霾天气影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务要增加15000台，乙车间也加入了该空气净化器的生产，甲、乙车间共同在规定时间完成了生产任务．已知乙车间每天比甲车间每天多生产100台，求甲车间每天生产多少台空气净化器． 19．（24-25八年级上·北京通州·期中）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项繁重工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时，求人工每人每小时分拣快件的数量． 题型八：分式方程的经济问题 20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）为了进一步丰富校园体育活动，某中学一次性购买了若干个篮球、足球和排球，其中篮球花费5000元，足球花费2400元，排球花费1200元，购进的篮球的数量正好等于足球和排球数量的和，已知篮球的单价比足球高，排球单价比足球的单价低20元． (1)求篮球、足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况计划再购买一批篮球、足球和排球，其中足球和排球共50个，篮球的个数是足球个数2倍，总费用不超过9600元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 21．（24-25八年级上·广西来宾·期中）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共45个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个． (1)求篮球和排球的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，购买篮球和排球的总资金为2200元，求购买篮球和排球各多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是60元，排球的单价是40元 题型九：分式方程的和差倍分（其他）问题 22．（24-25八年级上·重庆·期中）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． (1)求公蟹、母蟹的售价； (2)赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 23．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 题型十：分式方程的创新问题 24．（22-23八年级上·北京海淀·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且，则称点为点的“之称心点”．例如：的“2之称心点”为，即． (1)①点的“2之称心点”的坐标为________； ②若点的“之称心点” 的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______； (2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k之称心点”为点，且为等腰直角三角形，则k的值为______； (3)在（2）的条件下，若关于x的分式方程无解，求m的值． 25．（23-24八年级上·江苏南通·）一般情形下等式不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如，时，成立，我们称是使成立的“神奇数对”，请完成下列问题： (1)数对，中，使成立的“神奇数对”是_________； (2)若是使成立的“神奇数对”，求的值； (3)若是使成立的“神奇数对”，且，，求代数式的最小值． 26．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值． (2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值． 【专题训练】 一、单选题 27．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 28．（2024八年级上·全国·专题练习）一个人步行从地出发，匀速向地走去；同时另一个人骑摩托车从地出发，匀速向地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到地，再向地驶去，这样他在途中所用的时间是他从地直接驶往地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者的速度比是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）若分式方程无解，则值为（   ） A．1 B．0 C． D． 30．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式化简后得 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 31．（24-25八年级上·河北唐山·期中）对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（      ） A． B． C．或 D．或 32．（24-25八年级上·山东泰安·期中）某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成 C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成 33．（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 35．（23-24八年级下·云南昆明·开学考试）如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负数解，那么所有符合条件的整数m的值之和为（    ） A． B．0 C．3 D．5 36．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 二、填空题 37．（24-25八年级上·山东济宁·期中）分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 38．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）阅读资料： 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； …… 按此规律，使等式成立的m的值为 ． 39．（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为 ． 40．（24-25八年级上·重庆·期中）若实数k使关于x的不等式组有解且至多有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 ． 41．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）关于x的方程的解是整数，且k使关于y的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数k的值的和是 ． 三、解答题 42．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）解方程： (1)； (2)． 43．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染，进货单如下： 商品 进行（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 9300 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件． (1)请你求出甲、乙每件商品的进价； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过6870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 44．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 45．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 46．（24-25八年级上·北京房山·期中）阅读下面材料并解决问题： 材料一：2022年6月16日，世界首条沙漠铁路线——和若铁 路（和田至若羌）正式开通运营．该铁路沿线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米．有了这条通往我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、红枣、矿产等产品可直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”． 材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重．为确保安全平稳运行，全程实际运行速度降低到原设计速度的，从和田到若羌比原设计时间多用小时． 根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度． 47．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为，方程两边同时乘，得整式方程， 解得．经检验：都是方程的解． 当时，，解得；当时，，解得． 经检验：和都是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)关于的方程，可以设，新方程去分母后可化为整式方程，这个关于的整式方程为______． (2)用换元法解：． 48．（24-25八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化08：分式方程题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：分式方程的定义 · 题型二：解分式方程 · 题型三：分式方程的增根问题 · 题型四：分式方程的解的参数问题 · 题型五：分式方程无解的问题 · 题型六：分式方程的行程问题 · 题型七：分式方程的工程问题 · 题型八：分式方程的经济问题 · 题型九：分式方程的和差倍分（其他）问题 · 题型十：分式方程的创新问题 【题型探究】 题型一：分式方程的定义 1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案． 【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意； ②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意； ③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意； ④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意； 关于的分式方程的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键． 2．（21-22八年级下·上海·期中）已知方程： ，，， 这四个方程中，分式方程的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，即可． 【详解】解：是分式方程； ，是分式方程； ，是分式方程； ，不是分式方程； ∴上述分式方程的个数是：个． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的定义，学会判断分式方程． 3．（22-23八年级上·广东·单元测试）下列各式中分式方程有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：（1）不是等式，故不是分式方程； （2）是分式方程； （3）是无理方程，不是分式方程； （4）是分式方程． 可知分式方程有2个. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的判断，掌握定义是解题的关键． 题型二：解分式方程 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，解答的关键是熟练掌握分式方程的解法，注意计算结果要检验． （1）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后经过检验得结论； （2）先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后经过检验得结论． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，即原分式方程无解． 5．（24-25八年级上·重庆·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，利用了转化的思想， （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； 解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，注意要检验． 【详解】（1）解： 方程两边乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴分式方程的解是； （2）解： 方程两边乘以，得： ， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 6．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解 题型三：分式方程的增根问题 7．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解： 去分母得：， 由分式方程有增根，得到或， 把代入整式方程得：； 把代入整式方程得：，此时分式方程无解，不符合题意， 故选：B． 8．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）若关于x的方程有增根，则a的值是（  ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足，即， 解得： 故选：D． 9．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：（1）让最简公分母为0确定增根；（2）化分式方程为整式方程；（3）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得的值． 【详解】解： 去分母得， 当增根为时，， ， 故选：A． 题型四：分式方程的解的参数问题 10．（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为且， 故选：D． 11．（23-24八年级下·全国·期中）若不等式的解都能使关于x的一次不等式成立，且使关于x的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数a值之和是（    ） A．19 B．20 C．12 D．24 【答案】A 【分析】本题考查解不等式、解分式方程，理解不等式的解集及分式方程的解是解答的关键．先解不等式的解集，根据已知条件得到a的取值范围；再解分式方程，根据分式方程的解结合已知求得a的取值，进而可求解． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都能使关于x的一次不等式成立， ∴且一次不等式的解集为， ∴且，即且， 解得； 解分式方程得， 即， ∵分式方程有整数解， ∴，又，， ∴符合条件的所有整数a值为2，4，6，7， ∴符合条件的所有整数a值之和是， 故选：A． 12．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）已知关于的方程有整数解，且，则所有满足条件的整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，根据分式方程有整数解及，可得整数，，，又根据可得，进而得到满足条件的整数的值为，，据此即可求解，根据题意求出满足条件的整数的值是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵方程有整数解，且， ∴整数，，， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为，， ∴所有满足条件的整数的和为， 故选：． 题型五：分式方程无解的问题 13．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）关于x的方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解问题，先将分式方程移项，去分母，合并同类项得，再由原方程无解得，联立方程组，求解即可． 【详解】解：原方程移项得：， 去分母得：， 合并同类项得：， 原方程无解， ， 解得， 故选：B． 14．（23-24八年级下·全国·期中）若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，先解分式方程得到，再分当，即时和当时两种情况，讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，此时有，故原方程无解， 当时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：C． 15．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为 （    ） A． B．或2 C．或2 D． 【答案】C 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程等知识，先去分母，将分式方程化为整式方程，再根据参数，分类讨论解方程即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得，即， 当，即时，无解； 当，即时，， 关于的分式方程无解， ，解得； 综上所述，当关于的分式方程无解，的值为或2， 故选：C． 题型六：分式方程的行程问题 16．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．2024我校为迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行米． (1)求“致远号”的行驶速度； (2)如果将“领航号”的赛道长增加，“致远号”的赛道长不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出调整方案． 【答案】(1)3．2米/秒 (2)不能，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查列分式方程解应用题，解题的关键是根据题意确定等量关系列方程． （1）根据“致远号”行全程的与 “领航号”行全程所用时间相等作为等量关系列方程； （2）分别利用时间=路程÷速度求出二者时间，比较时间可以得出结果； （3）根据“致远号”行30米与 “领航号”行36米所用时间相等作为等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：设“致远号”的平均速度为x米/秒，则“领航号”的平均速度为米/秒， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程的解． 答：“致远号”的行驶速度是3.2米/秒； （2）解：不能同时到达． 设调整后“领航号”的行驶路程为（米）， “领航号”到达终点所用的时间为（秒）， “致远号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达； （3）解：设调整后“领航号”的平均速度为y米/秒，， 解得：， 经检验是原方程的解； 设调整后“致远号”的平均速度为z米/秒，， 解得： 经检验是原方程的解． 答：调整后“领航号”的平均速度为或调整后“致远号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点． 17．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)元 (2)①新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ． 解得：． 经检验：是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元． ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：， 解得：． 答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低． 题型七：分式方程的工程问题 18．（24-25八年级上·山东威海·期中）工厂计划在规定的时间生产24000台空气净化器．甲车间按计划独自生产了12000台后，由于雾霾天气影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务要增加15000台，乙车间也加入了该空气净化器的生产，甲、乙车间共同在规定时间完成了生产任务．已知乙车间每天比甲车间每天多生产100台，求甲车间每天生产多少台空气净化器． 【答案】400台 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设甲车间每天生产x台空气净化器，则乙车间每天生产台空气净化器，由题意：甲车间独立生产一半后，生产任务的数量增加了15000台．乙车间也加入了该小型空气净化器的生产．则正好可以按时完成生产任务．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲车间每天生产台，则乙车间每天生产台空气净化器，由题意得 ， 解得， 经检验，是所列方程的根且符合题意． 答：甲车间每天生产400台空气净化器． 19．（24-25八年级上·北京通州·期中）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项繁重工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时，求人工每人每小时分拣快件的数量． 【答案】60件 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是掌握正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程求解． 设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 依题意列方程：． 解得：， 经检验是原方程的解且有实际意义 所以原方程的解为 答：人工每人每小时分拣60件快件． 题型八：分式方程的经济问题 20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）为了进一步丰富校园体育活动，某中学一次性购买了若干个篮球、足球和排球，其中篮球花费5000元，足球花费2400元，排球花费1200元，购进的篮球的数量正好等于足球和排球数量的和，已知篮球的单价比足球高，排球单价比足球的单价低20元． (1)求篮球、足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况计划再购买一批篮球、足球和排球，其中足球和排球共50个，篮球的个数是足球个数2倍，总费用不超过9600元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)篮球、足球和排球的单价分别是100元，80元，60元； (2)30个． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是元，排球的单价是元，根据购进的篮球的数量正好等于足球和排球数量的和，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可以购买m个足球，则购买排球个，篮球个，根据总费用不超过9600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设足球的单价各是x元，则篮球的单价是元，排球的单价是元， 根据题意，得： ， 解方程，得 经检验，是原方程的解． 所以，=100，=60． 所以，篮球、足球和排球的单价分别是100元，80元，60元． （2）解：设学校购买m个足球，根据题意，得： 解得， 所以学校最多可以购买30个足球． 21．（24-25八年级上·广西来宾·期中）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，学校准备购买篮球和排球共45个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个． (1)求篮球和排球的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，购买篮球和排球的总资金为2200元，求购买篮球和排球各多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是60元，排球的单价是40元 (2)购买篮球20个，购买排球25个 【分析】本题考查了分式方程及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）根据“每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个”列分式方程求解即可； （2）设购买个篮球，则购买个排球，把篮球和排球的总价相加即可得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元． 由题意得， 解得， 检验，当时，， 是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：篮球的单价是60元，排球的单价是40元． （2）解：设购买个篮球，则购买个排球，由题意得 ， 解得， ， 答：购买篮球20个，购买排球25个． 题型九：分式方程的和差倍分（其他）问题 22．（24-25八年级上·重庆·期中）秋风送爽，蟹香四溢，又到了吃大闸蟹的黄金季节．阳澄湖大闸蟹大量上市，一只母蟹比一只公蟹的售价贵12元．若顾客用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍． (1)求公蟹、母蟹的售价； (2)赶上“双十一”大促，公蟹和母蟹都进行了降价促销活动，母蟹按原价的九折出售，公蟹每只降价6元．某公司计划购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，请问应该购买母蟹、公蟹各多少只？ 【答案】(1)公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； (2)购买34个公蟹，66个母蟹 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解一元一次不等式组的实际应用，根据题意找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元分别购买两种大闸蟹，则公蟹的数量是母蟹数量的1.25倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出公蟹的单价，再将其代入中，即可求出母蟹的单价； （2）设该公司购买m个公蟹，则购买个母蟹，根据“购买100只大闸蟹奖励员工，其中母蟹数量比公蟹数量的倍还多，且总费用不超过5000元，”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出购买方案． 【详解】（1）解：设公蟹的单价是x元，则母蟹的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：公蟹的单价是元，母蟹的单价是元； （2）解：设该公司购买m只公蟹，则购买只母蟹， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34， ∴该公司购买34只公蟹，66只母蟹. 23．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元． (1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？ (2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，请问第二批哈密瓜赚了多少钱． 【答案】(1)180元 (2)440元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据件数作为等量关系列出方程， （1）设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元，分别计算出第一批和第二批哈密瓜的件数，根据件数建立方程，解方程即可得到答案； （2）先计算出第二批哈密瓜的进价和件数，再分别计算两次销售的利润即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是元， 根据题意得：第一批哈密瓜的件数为，第二批哈密瓜的件数为， ∴， 解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴第一批哈密瓜每件进价是180元； （2）解：根据（1）得第二批哈密瓜的售价为元， 则第二批哈密瓜的件数为：件， ∴第二批哈密瓜的利润为：元． 题型十：分式方程的创新问题 24．（22-23八年级上·北京海淀·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且，则称点为点的“之称心点”．例如：的“2之称心点”为，即． (1)①点的“2之称心点”的坐标为________； ②若点的“之称心点” 的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______； (2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k之称心点”为点，且为等腰直角三角形，则k的值为______； (3)在（2）的条件下，若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或． 【分析】（1）①根据点为点的“之称心点”的定义计算； ②根据点为点的“之称心点”的定义列出算式，求出、的值，计算即可； （2）根据轴的正半轴上点的特征、点为点的“之称心点”的定义计算； （3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算． 【详解】（1）解：①当，，时，，， 点的“2之称心点”的坐标为， 故答案为：； ②点的“之称心点”的坐标为， ，， 解得，，， 当时，， 符合条件的点的坐标可以是， 故答案为：； （2）解：点在轴的正半轴上， ，． 点的坐标为， 点的“之称心点”为点， 点的坐标为，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 故答案为：； （3）解：当时，去分母整理得：， 原方程无解， ①，即， ②，即，则； 当时，去分母整理得：， 原方程无解， ①， ②，则； 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，掌握点为点的“之称心点”的定义、分式方程的解法是解题的关键． 25．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）一般情形下等式不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如，时，成立，我们称是使成立的“神奇数对”，请完成下列问题： (1)数对，中，使成立的“神奇数对”是_________； (2)若是使成立的“神奇数对”，求的值； (3)若是使成立的“神奇数对”，且，，求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为． 【分析】（）按照题中定义将数对，分别验算即可； （）根据题意得到关于的分式方程，解方程即可求解； （）根据已知条件，先将和用含的式子表示出来，再根据题意得出关于和的等式，然后可得关于的等式，利用配方即可得到代数式的最小值； 本题考查了分式方程在新定义运算下的应用，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴数对是使成立的“神奇数对”； ∵， ∴数对不是使成立的“神奇数对”； 故答案为； （2）解：∵是使成立的“神奇数对”， ∴， 整理得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵是使成立的“神奇数对”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 26．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值． (2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值． 【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2． (2) (3)或，最小值为或 【分析】题目主要考查整式的乘法运算及因式分解，解分式方程等，熟练掌握因式分解是解题关键． （1）根据题意得到即可解答； （2）根据题意得出，再由是的一个因式，进行因式分解确定，即可求解； （3）根据因式分解得出，再由分式方程的解确定或，即可分情况得出Q，然后配方确定最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴． 答：k的值为，m的值为3，n的值为2． （2）， ∵整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式， ∴， ∴， ∵是的一个因式， ∴， ∴， ∴； （3） ， ∴， 得， ∵关于的方程的解为正整数， ∴或， ∴或， ∴，或 ∴最小值为或． 27．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 28．（2024八年级上·全国·专题练习）一个人步行从地出发，匀速向地走去；同时另一个人骑摩托车从地出发，匀速向地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到地，再向地驶去，这样他在途中所用的时间是他从地直接驶往地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者的速度比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了行程问题在分式方程中的应用．如果设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为，两地相距，那么根据时间路程速度，可知骑摩托车者从地直接驶往地原计划所用时间为，而实际他在途中所用的时间可看作三段时间的和．当他骑摩托车从地出发，匀速向地驶去，与步行者在途中相遇用去时间；他把步行者送到地又用去时间；他再向地驶去又用去时间，这三段时间的和是骑车者原计划所用时间的2.5倍，即，根据这个等量关系列出方程，求出的值即可． 【详解】解：设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为，两地相距． 由题意，有， ， 解得， 经检验是原方程的根， ． 即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是． 故选：B． 29．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）若分式方程无解，则值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先去分母得到，再根据原方程无解可知方程有增根，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 30．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式化简后得 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程，最简分式等知识．熟练掌握分式的化简，解分式方程，最简分式是解题的关键． 根据分式的化简，解分式方程，最简分式对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，故不符合要求； B中分式中x，y都扩大3倍，为，故不符合要求； C中分式的值为0， ∴， 解得，（舍去），故不符合要求； D中分式是最简分式，故符合要求； 故选：D． 【专题训练】 一、单选题 31．（24-25八年级上·河北唐山·期中）对于两个不相等的实数a，b，规定：表示a，b中的较大值，如，按照这个规定，方程的解为（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程．理解题意，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 由题意知，当时，，即，计算求出满足要求的解即可；当时，，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意； 当时，， ∴， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足题意； 综上所述，或， 故选：C． 32．（24-25八年级上·山东泰安·期中）某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成 C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成 【答案】A 【分析】根据题意和题目中的方程，可以写出“”表示的缺失的条件．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，由已知分式方程可以得到需要补充的内容． 【详解】解：∵某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程， ∴根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充“每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成”， 故选：A． 33．（24-25八年级上·广西桂林·阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用换元法解分式方程的应用，设，则原方程化为，去分母即可，解此题的关键是能正确换元． 【详解】， 设， 则原方程化为， ， 故选：D． 34．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3 或4或7 D．2 或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程， 方程的两边同时乘，得，， 整理得，， ∴， ∵方程有整数解， ∴或或或， ∴或或或或或或或， ∵， ∴， ∴或或， 故选：D． 35．（23-24八年级下·云南昆明·开学考试）如果关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程有非负数解，那么所有符合条件的整数m的值之和为（    ） A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是由不等式组的解集求参数的取值范围，分式方程的非负整数解问题，掌握以上知识是解题的关键． 先解不等式组，由不等式组的解集求的取值范围，再解分式方程，由分式方程有非负数解，求值的范围，综合得到的范围，结合为整数，可得答案． 【详解】解： 由①得：， ， 由②得：， ， ， 不等式组的解集为：， ， ， 由可得， ， ， 分式方程有非负数解， ，且， ，且， ，且， 综上：且， 又为整数， 为 ， 故选：A 36．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得值即可． 【详解】解：∵的公分母是 ∴ ∴ ∴ 方程两边同时乘上 得 把分别代入 得出（舍去）；，则 ∴分式方程的增根是 故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的； 若分式方程无解，则 ∴ 则或 故C是正确的； 故选：A 二、填空题 37．（24-25八年级上·山东济宁·期中）分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：， 解得：且， 故答案为：且． 38．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）阅读资料： 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； 使等式成立的x的值为或； …… 按此规律，使等式成立的m的值为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了利用规律解分式方程，根据已知所得出的规律将等式化为，即可求解． 【详解】解： 或， 解得：或． 故答案：10或． 39．（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．先将分式方程化为整式方程，用含a的式子表示出x，根据解为非负数，分式的分母不能为0，列不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 关于的方程的解为非负数， ， 解得； ， ， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 40．（24-25八年级上·重庆·期中）若实数k使关于x的不等式组有解且至多有三个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 ． 【答案】3 【分析】先解一元一次不等式组，依题意可得，再解分式方程得，由题意可得是8的约数，再结合方程的解的情况求出k的值即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组有解，即为， ∵不等式组有解且至多有三个整数解， ∴不等式组的三个整数解为1，2，3 ∴， ∴， ， ， 解得，（） ∵分式方程有整数解，， ∴是20的约数，而且 ∴， ∴满足条件的所有整数k的和为 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程增根的讨论是解题的关键． 41．（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）关于x的方程的解是整数，且k使关于y的不等式组的解集是，则满足条件的所有整数k的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，先解分式方程，求出a的值，再解一元一次不等式组，求出a的取值范围，最后再求出同时满足已知的两个条件的a的值，并求和即可． 【详解】解：解方程得， ∵关于x的方程的解是整数， ∴是整数， ∴或或， ∴或2或3或或5或， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴或2或3或或， ∴满足条件的所有整数k的值的和是， 故答案为：． 三、解答题 42．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可求解； （2）两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可求解． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，则是增根， ∴原分式方程无解． 43．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染，进货单如下： 商品 进行（元/件） 数量（件） 总金额（元） 甲 9300 乙 3200 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件． (1)请你求出甲、乙每件商品的进价； (2)公司还需购买甲、乙两种商品共100件，总金额不超过6870元，求采购员李阿姨最多可购买甲商品多少件？ 【答案】(1)甲商品每件75元，乙商品每件50元 (2)74件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握解方程，解不等式是解题的关键． （1）设乙商品每件的进价为x元，则甲商品的进价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设最多购买甲商品y件．根据题意，得，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙商品每件的进价为x元，则甲商品的进价为元，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：甲商品每件75元，乙商品每件50元． （2）解：设最多购买甲商品y件．根据题意，得，， 解得， 由件数是正整数， 故y最大取74． 答：最多购买甲商品74件． 44．（24-25八年级上·山东威海·期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求的范围，最后确定的整数解，再相加即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程是：， 解得：， 关于的分式方程的解为正数， ， ， 关于的分式方程可能会产生增根2， ， ， 解关于的一元一次不等式组得：， 关于的一元一次不等式组有解， ， ， 综上，且， 为整数， 或或0或1或2， 满足条件的整数的值之和是：． 45．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式加减法的实际应用： （1）设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 根据实际比并比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）利用时间等于路程除以速度，分别求出两种方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论． 【详解】（1）解：设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：汽车实际走完全程所花的时间为； （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ， ∵a，b均为正数，且， ∴，， ∴， 即 ， ∴． 46．（24-25八年级上·北京房山·期中）阅读下面材料并解决问题： 材料一：2022年6月16日，世界首条沙漠铁路线——和若铁 路（和田至若羌）正式开通运营．该铁路沿线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米．有了这条通往我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、红枣、矿产等产品可直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”． 材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重．为确保安全平稳运行，全程实际运行速度降低到原设计速度的，从和田到若羌比原设计时间多用小时． 根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度． 【答案】 【分析】设和若铁路的原设计速度，则实际速度为，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程，解方程是解题的关键． 【详解】解：设和若铁路的原设计速度，则实际速度为， 根据题意，得， 解方程，得， 经检验，是原方程的根． 答：和若铁路的原设计速度是． 47．（24-25八年级上·湖南郴州·期中）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为，方程两边同时乘，得整式方程， 解得．经检验：都是方程的解． 当时，，解得；当时，，解得． 经检验：和都是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)关于的方程，可以设，新方程去分母后可化为整式方程，这个关于的整式方程为______． (2)用换元法解：． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程： （1）根据题意可得原方程为，方程两边同时乘可得，即； （2）设，则原方程为，方程两边同时乘，得整式方程，解得，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程为， 方程两边同时乘，得整式方程，即， 故答案为：； （2）解：设，则原方程为， 方程两边同时乘，得整式方程， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则，即， 解得， 经检验，是方程的解； 当时，则，即， 解得， 经检验，是方程的解； ∴原分式方程的解为或． 48．（24-25八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)或 【分析】（1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可． （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$