专题04-1 一元一次方程（考题猜想，易错必刷43题8种题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版2024）

专题04-1 一元一次方程（易错必刷43题8种题型专项训练） 目录 【题型一】利用一元一次方程的定义求参数（共6题） 1 【题型二】解一元一次方程及错解复原问题（共8题） 4 【题型三】已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值（共5题） 11 【题型四】已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解（共4题） 13 【题型五】一元一次方程中与运算有关的新定义型问题（共5题） 16 【题型六】解一元一次方程中的新定义型拓展问题（共5题） 19 【题型七】一元一次方程的应用之配套问题（共5题） 26 【题型八】一元一次方程的应用之销售问题（共5题） 31 【题型一】利用一元一次方程的定义求参数（共6题） 1．（23-24六年级上·山东泰安·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．任何实数 2．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）若方程是关于的一元一次方程，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 4．（23-24七年级上·天津河西·期末）方程是关于x的一元一次方程，则 5．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 6．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则多项式：的值是 ． 【题型二】解一元一次方程及错解复原问题（共8题） 7．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1) (2) 8．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）解方程： (1) (2) 9．（23-24七年级上·陕西安康·期末）解下列方程： (1)； (2)． 10．（23-24七年级上·四川达州·期末）解方程： (1)； (2)． 11．（23-24六年级上·山东青岛·期末）解方程 (1) (2) 12．（23-24七年级上·山东聊城·期末）解下列方程 (1) (2) (3) 13．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）下面是小明同学书写的解方程的过程，请你认真看他的解方程过程，并完成下面的任务． 解：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五步 任务一：填空： （1）以上解题过程中，第一步是依据 （性质）进行变形的；第二步是依据 （运算律）进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这步的错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该方程的正确解： ． 14．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务： 解：    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 填空： ①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ； ②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； ③请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 【题型三】已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值（共5题） 15．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 16．（22-23七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值为 ． 17．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知关于x的方程（m为正整数）有整数解，则m的值为 18．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 19．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【题型四】已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解（共4题） 20．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 21．（23-24七年级上·江苏南通·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程解为 ． 22．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如果关于的方程的解，则关于的方程的解 ． 23．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值； (3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 【题型五】一元一次方程中与运算有关的新定义型问题（共5题） 24．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期末）定义新运算“※”如下：；若，则 ． 25．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 26．（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）定义一种新运算：，若，则 ． 27．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 28．（23-24七年级上·河北沧州·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【题型六】解一元一次方程中的新定义型拓展问题（共5题） 29．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x方程与是“和谐方程”，求n的值． 30．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 31．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)，，三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求、的值． 32．（22-23七年级上·江西赣州·期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程 差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则 ． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 33．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【题型七】一元一次方程的应用之配套问题（共5题） 34．（23-24六年级上·山东泰安·期末）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有800名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或15个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 35．（23-24七年级上·山东日照·期末）某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． (1)工厂每天应分别安排多少名工人生产两种零件？ (2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 36．（23-24七年级上·山东滨州·期末）某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个． (1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套？ (2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？ 37．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）某校七（1）班共有学生52人，其中女生上比男生多4人，该班在社会实践课上准备用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，规定：每个学生在一定时间范围内剪盒身40个或剪盒底50个． (1)该班男生、女生各有多少人． (2)该班原计划男生负责剪盒底，女生负责剪盒身，若一个盒身配2个盒底，则这节课做出的盒身和盒底配套吗？如果不配套，那么女生需要支援男生几人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套？ 38．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． (1)求具体应先安排多少人工作？ (2)在增加人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产个螺钉或个螺母，个螺钉需要配个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)若该车间有台型和台型机器可以生产这种产品，每台型机器比型机器一天多生产个产品．已知台型机器一天的产品装满箱后还剩个，台型机器一天的产品装满箱后还剩个，且每箱装的产品数相同．某天有台型机器和台型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满箱．若能，请计算出的值；若不能，请说明理由． 【题型八】一元一次方程的应用之销售问题（共5题） 39．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 40．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）小明骑自行车从家到学校，若每小时行驶10千米，则晚到4分钟；若每小时行驶15千米，则早到4分钟．求小明家到学校的路程． （2）某水果店第一次用795元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的质量比乙种苹果质量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/千克） 5 8 售价（元/千克） 10 15 （ⅰ）该水果店第一次购进甲、乙两种苹果各多少千克？ （ⅱ）该水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的质量不变，且按原价销售；乙种苹果的质量是第一次的3倍，并打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为595元，则第二次乙种苹果按原价打几折销售？ 41．（23-24七年级上·四川南充·期末）“爱读书，读好书，善读书”正成为全民的追求，某书城老板看到了商机，准备购进甲、乙两类畅销书刊．第一次该书城购进1000本甲类书刊和500本乙类书刊共28000元，甲类书刊每本的进价比乙类书刊多4元．书城决定甲、乙两类书刊均按进价的1.5倍标价销售． (1)求甲、乙两类书刊每本的进价各是多少元？ (2)该书城第一次购进的甲、乙两类书刊很快售完，第二次以同样的价格购进了与上次同样数量的甲、乙两类书刊．一段时间后，甲类书刊销售缓慢，只卖出了400本，老板决定对剩余的甲类书刊打折出售，乙类书刊价格不变，最后全部售完总利润比第一次少赚3600元，求剩余的甲类书刊打了几折？ 42．（22-23七年级上·浙江台州·期末）某商场经销的A，B两种商品，种商品每件进价40元，售价60元；种商品每件进价50元，利润率为．（提示：利润＝售价－进价，利润率） (1)A种商品每件利润率为_______，B种商品每件售价为_______元； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A，B两种商品各多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 多于450元，但少于600元 按总售价打九折 不少于600元（含600元） 其中600元部分八折优惠， 超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，两名顾客在商场都购买了A，B商品，他们购买A，B商品的一次性实际付款都是522元，且他们购买A，B商品的总数量并不一样．求若没有优惠促销，两人在该商场购买同样商品要分别付多少元？ 43．（23-24七年级上·重庆南川·期末）已知某商场A饮料每瓶售价是5元，B饮料每瓶售价是8元，该商场每瓶A饮料进价4元，每瓶B饮料进价6元． 表1 一次性购买A饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过 所购饮料全部按九折优惠 超过 所购饮料全部按每瓶优惠元 表2 一次性购买B饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 (1)该商场第一周售出A，B两种饮料共瓶，共获销售额为元．求该商场第一周售出A，B两种饮料各多少瓶？ (2)第二周气温上升，天气炎热，该商场决定A饮料每瓶售价不变，对B饮料每瓶售价打八折促销，结果第二周售出的A饮料数量比第一周售出A饮料的数量增加，第二周售出的B饮料数量比第一周售出B饮料的数量增加m瓶，销售两种饮料的总利润为元，求m的值． (3)第三周该商场加大促销力度，规定一次性购买A种饮料的优惠方案如表1，规定一次性购买B种饮料的优惠方案如表2．西湖风景区小卖部在第三周从该商场第一次全部购进A饮料、第二次全部购进B饮料（第一次购进A饮料的数量小于第二次购进的B饮料的数量），两次购进A，B两种饮料共瓶．设西湖风景区小卖部第三周购进A饮料a瓶，求西湖风景区小卖部第三周购进A，B两种饮料共需付款多少元？（用含a的代数式表示） $$专题04-1 一元一次方程（易错必刷43题8种题型专项训练） 目录 【题型一】利用一元一次方程的定义求参数（共6题） 1 【题型二】解一元一次方程及错解复原问题（共8题） 4 【题型三】已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值（共5题） 11 【题型四】已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解（共4题） 13 【题型五】一元一次方程中与运算有关的新定义型问题（共5题） 16 【题型六】解一元一次方程中的新定义型拓展问题（共5题） 19 【题型七】一元一次方程的应用之配套问题（共5题） 26 【题型八】一元一次方程的应用之销售问题（共5题） 31 【题型一】利用一元一次方程的定义求参数（共6题） 1．（23-24六年级上·山东泰安·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．任何实数 【答案】B 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义可得到且，即可求出的值． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， 根据题意得：且， 解得：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）若方程是关于的一元一次方程，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义和已知得出，，求出m的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，解得， ∴， 故选A 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程；即可进行解答． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·天津河西·期末）方程是关于x的一元一次方程，则 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】根据是关于x的一元一次方程，得到，求得a的值即可．本题考查了一元一次方程的定义，根据定义，列式计算． 【详解】∵方程是关于x的一元一次方程， ∴， 解得或且， 故． 故答案为：． 5．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知关于的方程是一元一次方程，则多项式：的值是 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义和代数式求值，根据一元一次方程的定义即可求出的值，再将的值代入即可求解，解题的关键是熟练运用一元一次方程的定义． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 则原式 ， 故答案为：． 【题型二】解一元一次方程及错解复原问题（共8题） 7．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 8．（22-23七年级上·辽宁铁岭·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将分母去掉，然后再把括号去掉，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值； （2）先整理，然后去分母，去括号，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值； 【详解】（1） 去分母得：， 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：； （2）． 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 9．（23-24七年级上·陕西安康·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为，， （2）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，． 10．（23-24七年级上·四川达州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， （2）解：， ， ， ， ． 11．（23-24六年级上·山东青岛·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解法； （1）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【详解】（1） 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化1得： （2） 整理得： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化1得： 12．（23-24七年级上·山东聊城·期末）解下列方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 13．（23-24七年级上·河南濮阳·期末）下面是小明同学书写的解方程的过程，请你认真看他的解方程过程，并完成下面的任务． 解：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五步 任务一：填空： （1）以上解题过程中，第一步是依据 （性质）进行变形的；第二步是依据 （运算律）进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这步的错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该方程的正确解： ． 【答案】任务一：（1）等式的性质二，乘法分配律；（2）三，移项没有改变项的符号；任务二：． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程． 任务一： （1）根据等式的性质及乘法运算律进行分析即可； （2）观察解不等式的步骤，找出出错的步骤，分析其原因即可； 任务二：根据去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的步骤进行计算即可． 【详解】解：任务一： （1）第一步是依据等式的性质二进行变形的；第二步是依据乘法分配律进行变形的； （2）第三步开始出现错误，这步的错误的原因是移项没有改变项的符号； 故答案为：（1）等式的性质二，乘法分配律；（2）三，移项没有改变项得符号； 任务二： 解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得． 14．（23-24七年级上·陕西渭南·期末）用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是刘凯同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务： 解：    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步 填空： ①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是 ； ②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； ③请从错误的一步开始，写出解方程的正确过程． 【答案】①等式的基本性质二，乘法分配律；②三，移项时没有变号（移项时未变号）；③见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、等式的性质 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． ①根据等式的基本性质、乘法分配律即可得； ②根据解一元一次方程的步骤中，移项法则即可得； ③根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤写出正确过程即可得． 【详解】解：①以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质二进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律， 故答案为：等式的基本性质二，乘法分配律； ②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项时没有变号（移项时未变号）， 故答案为：三，移项时没有变号（移项时未变号）； ③    第三步，     第四步，     第五步． 【题型三】已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值（共5题） 15．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的综合应用、方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故答案为：． 16．（22-23七年级上·江苏南京·期末）已知关于x的方程，有正整数解，则整数k的值为 ． 【答案】0或1或3 【知识点】一元一次方程解的综合应用、方程的解 【分析】解方程，用含有k的式子表示出x，即，再根据4除以几得正整数，求出整数k． 【详解】解：， 移项，得， 显然， 解得， ∵k为整数，关于x的方程的解为正整数， ∴或或， 解得，或或， 故答案为：0或1或3． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k为整数，得出关于k的一元一次方程． 17．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知关于x的方程（m为正整数）有整数解，则m的值为 【答案】1或4 【知识点】一元一次方程解的综合应用、方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题，先解方程根据解是整数求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程（m为正整数）有整数解， ∴是6的因数， ∴或4， 故答案为：1或4． 18．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 19．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有正整数解可得，2 ，4，且，求出a的值，再求和即可． 掌握“方程有整数解，则分母必是分子的因数”是解题的关键． 【详解】 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， ∵原方程有正整数解， ，2 ，4，且， 解得，1，且， ∴数的所有可能的取值之和为． 故答案为：2 【题型四】已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解（共4题） 20．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】7 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握转化思想是解题的关键．两个方程形式相似，第一个方程的解为，则第二个方程中与x对应，可得，可得结果． 【详解】解：关于的方程的解为， 则 ， ∴， ． 故答案为7 21．（23-24七年级上·江苏南通·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程解为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将一元一次方程变形可得是方程的解，即可得出答案，解题的关键是得出是方程的解． 【详解】解：将一元一次方程变形得：， 关于的一元一次方程的解为， 是方程的解， 解得：， 故答案为：． 22．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如果关于的方程的解，则关于的方程的解 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是对方程变形为，令，则原方程变为，根据方程的解为，则，即可． 【详解】∵关于的方程为， ∴对方程进行变形为：， 令， ∴原方程变为：， ∵方程的解为：， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值； (3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 【答案】(1)不是互为“成双方程”，理由见解析： (2)； (3)． 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“成双方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“成双方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”； 解，得：； 解，得：， ∵， 故方程与方程不是互为“成双方程”； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵方程与方程互为“成双方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵方程与互为“成双方程”， ∴的解为， ∵， ∴， ∴． 【题型五】一元一次方程中与运算有关的新定义型问题（共5题） 24．（23-24七年级上·内蒙古通辽·期末）定义新运算“※”如下：；若，则 ． 【答案】2 【知识点】有理数四则混合运算、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据新运算成立方程解答即可； 根据新运算，写出的运算式子，在与12成立方程，求解即可． 【详解】， ， ， 故答案为：2 25．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】已知等式利用题中新定义化简，整理即可求出x的值． 本题考查新定义运算及解一元一次方程算，解题关键是弄清题中的新定义． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 26．（23-24七年级上·黑龙江佳木斯·期末）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】或 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】本题主要考查了在新定义下解一元一次方程，根据新定义分情况：当和时解题即可求出值． 【详解】当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 故答案为：或． 27．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】倒数、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键在于理解新定义． （1）根据新定义进行计算，一个变负数，一个变倒数计算即可， （2）首先根据新定义分别表示出等号两边的，然后在求出m即可； 【详解】（1） （2），， ， ． 28．（23-24七年级上·河北沧州·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)______； (2)若，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)8 (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、一元一次方程解的综合应用、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出a方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1）． 故答案为：8； （2）∵ ∴ 解得：； （3）由题意， ， ∵， ∴． 【题型六】解一元一次方程中的新定义型拓展问题（共5题） 29．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； (3)若关于x方程与是“和谐方程”，求n的值． 【答案】(1)是“和谐方程”，理由见解析 (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键． （1）分别求解方程、即可判断； （2）分别求解方程、，根据“和谐方程”的定义可得，即可求解； （3）分别求解方程、，根据“和谐方程”的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得． ∵， ∴方程与方程是“和谐方程”． （2）解：由，解得； 由，解得． ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， 解得． （3）解：由，解得； 由，解得； ∵关于x方程与是“和谐方程”， ∴， 解得． 30．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2)， (3)b的值为5或 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“伴生方程”的定义，即可得出的值； （2）根据“伴生方程”的定义，得到，，求解即可； （3）求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“伴生方程”， ∴； 故答案为：2； （2）由题意，得：，， ∴，； （3）∵， ∴， ∵的“伴生方程”是， 解得：， ∵均为整数， ∴． 31．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)，，三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求、的值． 【答案】(1)②； (2)； (3)，． 【知识点】方程的解、一元一次方程解的综合应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（）利用题中的新定义判断即可； （）根据题中的新定义列出有关的方程，求出方程的解即可得到的值，利用题中的新定义确定出所求即可； （）根据“友好方程”的定义即可得出关于、的二元二次方程组，解之即可得出、 的值； 此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是正确理解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】（1） 解得：， 而，不是“友好方程”； 解得：， ，是“友好方程”； ，不是“友好方程”； 故答案为： ②； （2）方程：的解为， ∵关于的一元一次方程是“友好方程” ∴， 解得 ； （3）∵关于的一元一次方程，它的解为， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵关于的一元一次方程是“友好方程”， 它的解为， ∴，解得：． 32．（22-23七年级上·江西赣州·期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程 差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则 ． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出，，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即． 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， 整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， 整理得， ∴ ． 33．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先推出，进而得到或，进而解方程即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得或； （2） 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ∴或， 解得或． 【题型七】一元一次方程的应用之配套问题（共5题） 34．（23-24六年级上·山东泰安·期末）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有800名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或15个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒A的工人人数为500人 (2)该工厂应该安排200名工人生产A，600名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设生产B的人数为x人，则生产A的人数为人，根据生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设安排m人生产A，则安排人生产B，根据大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成且每天生产的盲盒正好配套，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设生产B的人数为x人，则生产A的人数为人， 于是，解得：． （人）， 答：生产盲盒A的工人人数为500人． （2）解：设安排m人生产A，则安排人生产B， 于是， 解得：， （人）， 答：该工厂应该安排200名工人生产A，600名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套． 35．（23-24七年级上·山东日照·期末）某工厂车间有38名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件12个或零件14个（每人每天只能生产一种零件），1个零件和2个零件配成一套，每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利18元，每个零件可获利13元． (1)工厂每天应分别安排多少名工人生产两种零件？ (2)因市场需求，该工厂调整生产方案，每天除生产一定数量的配套零件外，还需额外生产若干数量的零件供商场单独销售，现从每天生产零件的工人中调出部分工人生产零件，工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元．则工厂从每天生产零件的工人中调出多少名工人生产零件？ 【答案】(1)工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件； (2)工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，调配问题，本题的关键是理清配套问题的数量关系列方程，此外挖掘题目条件，分清调动后生产两种零件的工人的数量，从而列方程解决问题． （1）设工厂分别安排x名工人生产A零件，名工人生产B零件，根据“1个A零件和2个B零件配成一套”，列方程求解即可得到结果； （2）先求出调动前每天总获利，设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，可得调动后安排名工人生产A零件，名工人生产B零件，根据“工厂每日生产零件的总获利比调动前增加了170元”，列方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：设工厂分别安排x名工人生产A零件，名工人生产B零件， 依题意得，， 解得， 得（名）， 答：工厂每天应分别安排14人生产A零件，24人生产B零件； （2）调动前每天总获利为：（元）， 设工厂从每天生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件， 则调动后安排名工人生产A零件，名工人生产B零件， 依题意得，， 解得， 答：工厂从每天生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件． 36．（23-24七年级上·山东滨州·期末）某家具厂专业生产学生座椅，其中每把学生座椅由4条椅腿、4根撑杆、2个扶手、1个椅面和1个靠背组成．根据实际生产能力，每个工人每天能够生产椅腿20条，或撑杆40根，或扶手30个，或椅面30个，或靠背30个． (1)若安排35名工人专门生产椅腿和椅面，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套？ (2)若安排全厂91名工人生产这种学生座椅，那么应该安排多少人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套？ 【答案】(1)30 (2)42 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． （1）根据题意，找到正确的数量关系列出方程求解即可． （2）设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套，根据题意列出各岗位工人与生产椅腿工人的数量关系，根据全厂91名工人列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． 解得， 答：安排30人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． （2）解：设安排x人生产椅腿，撑杆人数为y，扶手的人数为m，椅面的人数为n，靠背的人数为z才能使每天生产出的椅腿和椅面正好配套． ∴，，， 解得，，，． ∴， ， 答：应该安排42人生产椅腿，才能使每天生产出的椅腿、撑杆、扶手、椅面和靠背正好配套 37．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）某校七（1）班共有学生52人，其中女生上比男生多4人，该班在社会实践课上准备用硬纸板制作茶盒子的盒身和盒底，规定：每个学生在一定时间范围内剪盒身40个或剪盒底50个． (1)该班男生、女生各有多少人． (2)该班原计划男生负责剪盒底，女生负责剪盒身，若一个盒身配2个盒底，则这节课做出的盒身和盒底配套吗？如果不配套，那么女生需要支援男生几人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套？ 【答案】(1)男生24人、女生28人 (2)不配套；女生需要支援男生人 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用： （1）设男生有x人，则女生有 人，根据共有学生52人，可以列出相应的方程，从而可以得到该班分别有男生、女生各多少人； （2）设a人制作盒身，则人制作盒底，根据一个盒身配2个盒底，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设男生有x人，则女生有人，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：该班分别有男生24人、女生28人； （2）解：男生负责剪盒底有， ∴这节课做出的盒身和盒底不配套． 设a人制作盒身，则人制作盒底，根据题意得： ， 解得：， ∴女生需要支援男生人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套， 答：女生需要支援男生人，才能使本节社会实践课制作的盒身和盒底刚好配套． 38．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起做，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． (1)求具体应先安排多少人工作？ (2)在增加人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产个螺钉或个螺母，个螺钉需要配个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)若该车间有台型和台型机器可以生产这种产品，每台型机器比型机器一天多生产个产品．已知台型机器一天的产品装满箱后还剩个，台型机器一天的产品装满箱后还剩个，且每箱装的产品数相同．某天有台型机器和台型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满箱．若能，请计算出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)具体应先安排人工作 (2)应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母 (3)一天不能恰好装满箱 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设应先安排人工作，根据题意得，即可求解； （2）设应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母，根据题意得，即可求解； （3）先求出每箱装的产品个数，再分别求出、型机器一天的产量，最后列出关于的一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：设应先安排人工作， 根据题意得，， 解得：， 应先安排人工作； （2）设应安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母， 根据题意得，， 解得：， ， 应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母， （3）设每箱装个产品， 根据题意得，， 解得：， 型机器一天生产的产品个数：， 型机器一天生产的产品个数：， 根据题意列方程得：， 解得：， ， 一天不能恰好装满箱． 【题型八】一元一次方程的应用之销售问题（共5题） 39．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)， (2)购进甲种商品件． (3)小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题： （1）根据利润率的定义求解即可． （2）设购进甲商品件，根据题意可得． （3）设打折前应付款为元，购进甲商品时，分两种情况：当时，得，当时，得；同理，购进乙商品时，分三种情况． 【详解】（1）(元) 故答案为：，． （2）设购进甲商品件． 根据题意可得 ． 解得 ． 答：购进甲种商品件． （3）设打折前应付款为元． 第一天，购买甲商品： 当时，由，得，商品件数为(件)，舍去．   当时，由，得，商品件数为(件) ．   第二天，购买乙商品： 当时，由，得(元)，舍去． 当时，由，得，商品件数为(件) ．   当时，商品件数为(件) ，舍去． 两天一共购买的商品件数为(件) ． 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 40．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）小明骑自行车从家到学校，若每小时行驶10千米，则晚到4分钟；若每小时行驶15千米，则早到4分钟．求小明家到学校的路程． （2）某水果店第一次用795元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的质量比乙种苹果质量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/千克） 5 8 售价（元/千克） 10 15 （ⅰ）该水果店第一次购进甲、乙两种苹果各多少千克？ （ⅱ）该水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的质量不变，且按原价销售；乙种苹果的质量是第一次的3倍，并打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为595元，则第二次乙种苹果按原价打几折销售？ 【答案】（1）小明家到学校的路程为4千米；（2）（ⅰ）该水果店第一次购进甲种苹果千克，乙种苹果千克；（ⅱ）第二次乙种苹果按原价打折销售 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设小明家到学校的路程为a千米，根据时间路程速度结合每小时行驶10千米，则晚到4分钟；若每小时行驶15千米，则早到4分钟列出方程求解即可； （2）（ⅰ）设水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果千克，根据总价单价数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（ⅱ）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，根据总利润每千克的利润销售数量（购进数量），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设小明家到学校的路程为a千米， 由题意得，， 解得， 答：小明家到学校的路程为4千米； （2）（ⅰ）解：设绿叶水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果千克， 依题意，得：， 解得：， ∴（千克）． 答：该水果店第一次购进甲种苹果千克，乙种苹果千克； （ⅱ）设第二次乙种苹果按原价打y折销售， 依题意，得：， 解得：． 答：第二次乙种苹果按原价打折销售． 41．（23-24七年级上·四川南充·期末）“爱读书，读好书，善读书”正成为全民的追求，某书城老板看到了商机，准备购进甲、乙两类畅销书刊．第一次该书城购进1000本甲类书刊和500本乙类书刊共28000元，甲类书刊每本的进价比乙类书刊多4元．书城决定甲、乙两类书刊均按进价的1.5倍标价销售． (1)求甲、乙两类书刊每本的进价各是多少元？ (2)该书城第一次购进的甲、乙两类书刊很快售完，第二次以同样的价格购进了与上次同样数量的甲、乙两类书刊．一段时间后，甲类书刊销售缓慢，只卖出了400本，老板决定对剩余的甲类书刊打折出售，乙类书刊价格不变，最后全部售完总利润比第一次少赚3600元，求剩余的甲类书刊打了几折？ 【答案】(1)甲类书刊每本的进价是20元，乙类书刊每本的进价是16元 (2)剩余的甲类书刊打了八折 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和找等量关系，找出等量关系，列方程求解是解题的关键． （1）根据第一次该书城购进1000本甲类书刊和500本乙类书刊共28000元，列方程即可求解． （2）设剩余的甲类书刊打了a折，求出第一次的总利润，根据全部售完总利润比第一次少赚3600元列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设乙类书刊每本的进价为x元，则甲类书刊每本的进价为元， 由题意得：， 解得：． ∴（元）． 答：甲类书刊每本的进价是20元，乙类书刊每本的进价是16元． （2）甲类书刊每本的利润为（元）， 乙类书刊每本的利润为（元）， 第一次的总利润为（元）， 设剩余的甲类书刊打了a折，由题意得： ． 解得：． 答：剩余的甲类书刊打了八折． 42．（22-23七年级上·浙江台州·期末）某商场经销的A，B两种商品，种商品每件进价40元，售价60元；种商品每件进价50元，利润率为．（提示：利润＝售价－进价，利润率） (1)A种商品每件利润率为_______，B种商品每件售价为_______元； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A，B两种商品各多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 多于450元，但少于600元 按总售价打九折 不少于600元（含600元） 其中600元部分八折优惠， 超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，两名顾客在商场都购买了A，B商品，他们购买A，B商品的一次性实际付款都是522元，且他们购买A，B商品的总数量并不一样．求若没有优惠促销，两人在该商场购买同样商品要分别付多少元？ 【答案】(1)50%；80 (2)购进A，B两种商品各40件，10件 (3)若没有优惠促销，两人在该商场购买同样商品要分别付580元或660元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，列出算式进行计算即可； （2）设购进商品件，根据该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，列出方程，进行求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：A种商品每件利润率为； B种商品每件售价为元； 故答案为：50%，80； （2）设购进商品件，则：购进B种商品件，由题意，得： ， 解得：， ∴， 答：购进A，B两种商品各40件，10件； （3）∵两人购买数量不同，且费用相同均大于450元， ∴一个的总费用大于450元，小于600元，一个的总费用大于600元， 设两人在该商场购买同样商品要分别付元和元，其中（）， 由题意，得：，解得：； ，解得：； 答：若没有优惠促销，两人在该商场购买同样商品要分别付580元或660元． 43．（23-24七年级上·重庆南川·期末）已知某商场A饮料每瓶售价是5元，B饮料每瓶售价是8元，该商场每瓶A饮料进价4元，每瓶B饮料进价6元． 表1 一次性购买A饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过 所购饮料全部按九折优惠 超过 所购饮料全部按每瓶优惠元 表2 一次性购买B饮料的数量（瓶） 优惠方案 未超过 不享受优惠方案 超过但未超过的部分 按九折优惠 超过的部分 按八折优惠 (1)该商场第一周售出A，B两种饮料共瓶，共获销售额为元．求该商场第一周售出A，B两种饮料各多少瓶？ (2)第二周气温上升，天气炎热，该商场决定A饮料每瓶售价不变，对B饮料每瓶售价打八折促销，结果第二周售出的A饮料数量比第一周售出A饮料的数量增加，第二周售出的B饮料数量比第一周售出B饮料的数量增加m瓶，销售两种饮料的总利润为元，求m的值． (3)第三周该商场加大促销力度，规定一次性购买A种饮料的优惠方案如表1，规定一次性购买B种饮料的优惠方案如表2．西湖风景区小卖部在第三周从该商场第一次全部购进A饮料、第二次全部购进B饮料（第一次购进A饮料的数量小于第二次购进的B饮料的数量），两次购进A，B两种饮料共瓶．设西湖风景区小卖部第三周购进A饮料a瓶，求西湖风景区小卖部第三周购进A，B两种饮料共需付款多少元？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)售出A、B两种饮料分别是瓶和瓶； (2)； (3)． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）本题考查一元一次方程解决实际应用题，根据销售额为元列方程求解即可得到答案； （2）本题考查一元一次方程解决实际应用问题，根据总利润为元列式求解即可得到答案； （3）本题考查列代数式，根据方案，分段计价讨论结合费用等于单价乘以数量即可得到答案； 【详解】（1）解：设该商场第一周售出A种饮料瓶，由题意得， ， 解得：， （瓶）， 答：该商场第一周售出A、B两种饮料分别是瓶和瓶； （2）解：由题意可得， ， 解得： 答：的值是； （3）解：设需付款元， 当时， ， 当时， ． $$