1.3垂径定理（分层提升练）（题型专练）数学鲁教版九年级下册

1.3垂径定理（分层提升练40题） 一、单选题 1．（18-19九年级·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 2．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在直径为的中，弦，于点C，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·浙江·模拟预测）如图，是是直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图，小雅同学测得水面宽为8m，拱顶到水面的距离也为8m，则这座桥的桥拱半径为（    ） A．4m B．5m C．6m D．8m 6．（2025·云南昆明·一模）如图，是的直径，弦于点E，如果，那么线段的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 7．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，①分别以弦的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线交于点N．若，则（　　） A．10 B．3 C．8 D．6 9．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A．4cm B． C． D． 10．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，的半径为5，弦，点P是弦上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的的值可能是（   ） A．3 B． C． D． 11．（24-25九年级上·河北邢台·期中）半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 12．（20-21九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（  ） A．4 B．2 C． D．1 二、填空题 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，于点，且，则这段弯路所在圆的半径为 ． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）圆的半径为13，、是圆的两条弦，，，，则与之间的距离为 ． 15．（2025·新疆克孜勒苏·一模）如图，是的直径，弦于点M，若，，则直径的长为 ． 16．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为 ． 17．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为 ． 18．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在半径为5的圆O中分别是它的两条弦，且，其中，，求此时这两条弦之间距离为 ． 三、解答题 19．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 20．（22-23九年级上·北京海淀·期中）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 21．（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 22．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为．求这段弯路的半径． 23．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图，是的直径，，，是的弦，． (1)求证：． (2)如果弦的长为，与间的距离是，求的长． 24．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 25．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 28．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 29．（2024九年级上·吉林·专题练习）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 30．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的半径长是（   ） A．6 B． C． D．6.25 32．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需 分钟． 33．（24-25九年级上·湖北·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，的半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米．        34．（24-25九年级上·北京·期中）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器－－蒸馏瓶，其底部是圆球形．已知截面圆中弦的长为，瓶内液体的最大深度，则球形的半径为 ． 35．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 36．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图所示，点在⊙O上，其中为弧上异于点和点的任意一点，若平分，连接，若的半径为6，则的长为 ． 37．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 38．（2025·云南昆明·一模）如图，的直径为，弦 是弦上一动点，则长的取值范围是 ． 39．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，的半径为10，是的弦，，点P在弦上，则线段的最小值是 ． 40．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 41．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3垂径定理（分层提升练40题） 一、单选题 1．（18-19九年级·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 【答案】D 【分析】根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断． 【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误； B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误； C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误； D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键 2．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】垂直于弦的的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，是弦，，垂足为M， ∴，，， 无法判断， 故选：C 3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在直径为的中，弦，于点C，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵的直径为， ∴ ， ∵， ∴ ∴， 故选：B 【点睛】本题考查垂径定理：垂直于弦的直径平分弦．熟记相关结论即可． 4．（2023·浙江·模拟预测）如图，是是直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于, 根据垂径定理有, , 不能得出, 圆的半径都相等. 【详解】解：如图所示， ∵, ∴, , 的半径都相等，那么 , 不能得出. 故选:. 【点睛】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容. 5．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）某桥是典型的圆弧形石拱桥，如图，小雅同学测得水面宽为8m，拱顶到水面的距离也为8m，则这座桥的桥拱半径为（    ） A．4m B．5m C．6m D．8m 【答案】B 【分析】连接，设，则，根据垂径定理得出，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接， 由题意可得：，设半径， 则， 由勾股定理可得：， 解得：． 则桥拱半径为． 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理． 6．（2025·云南昆明·一模）如图，是的直径，弦于点E，如果，那么线段的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 由题意得，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，， 由勾股定理得，， 故选：B． 7．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，①分别以弦的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线交于点N．若，则（　　） A．10 B．3 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，圆的基本知识，勾股定理，掌握这些知识点是关键；由作图知，垂直平分，则；由勾股定理即可求解． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ∴； 在中，； 故选：D． 9．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 10．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，的半径为5，弦，点P是弦上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的的值可能是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段最短等知识．取的中点C，分别连接、，由垂径定理及勾股定理可求得的长，根据垂线段最短，则的值介于与之间，由此可求得结果． 【详解】解：如图，取的中点C，分别连接、，则，且， 在中，， ∴ ， 点P线段上（不与重合），则，即 ， 由对称性，当点P在线段上时，， ∴当点P在弦上时，， ∵， ∴选项B符合题意； 故选：B 11．（24-25九年级上·河北邢台·期中）半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．作交于，则，连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：作交于，则，连接， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则， 在中， ， ． 故选A． 12．（20-21九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，弦的长为2，点C在上移动，连接，过点C作交于点D，则的最大值为（  ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由勾股定理得到，则当的值最小时，的值最大，再由垂线段最短可得当时，最小，即此时的值最大，此时D、B两点重合，据此利用垂径定理可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 当的值最小时，的值最大， ∴当时，最小，即此时的值最大，此时D、B两点重合， ∴， 即的最大值为1， 故选：D． 二、填空题 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，于点，且，则这段弯路所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，根据题意可以推出，若设半径为，则，结合勾股定理可推出半径的值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，是的中点，， ∴， ∴， 在中，， 设半径为，则， ∴， 解得：， ∴这段弯路的半径为， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）圆的半径为13，、是圆的两条弦，，，，则与之间的距离为 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 当在圆心O的同侧，作，交于点E，交于点F，连接，根据垂径定理得，，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； 当在圆心O的异侧，作，，连接，根据垂径定理得，，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】如图所示，当在圆心O的同侧，过点O作，交于点E，交于点F，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴； 如图所示，当在圆心O的异侧，过点O作，交于点E，作，交于点F，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点E，O，F三点共线． 在中，， 在中，， ∴． 所以与之间的距离是7或17． 故答案为：7或17． 15．（2025·新疆克孜勒苏·一模）如图，是的直径，弦于点M，若，，则直径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．熟记垂径定理是解题关键，注意掌握连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点M，若， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 16．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． 如图：连接，先根据垂径定理可得，，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：． ∴的半径为． 17．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，是的直径，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用垂径定理成为解题的关键． 由垂径定理可得,根据直角三角形的性质可得，然后运用勾股定理求得,进而完成解答． 【详解】解：∵是的直径，于点， ∴， ∵， ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）在半径为5的圆O中分别是它的两条弦，且，其中，，求此时这两条弦之间距离为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，解题的关键是分情况讨论． 连接、，过点作于，交于，则，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出、，即可得出答案． 【详解】解：连接．过点作于，交于， 当和在圆心的同侧时，如图所示， ， ， ， ， 根据勾股定理，得， 则； 当和在圆心的两侧时，如图所示， ， ， ， ， 根据勾股定理，得， 则． 故答案为：1或7． 三、解答题 19．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：，是半径，， ，， ， ； （2）解：设的半径是r， ， ， ， 的半径是5． 20．（22-23九年级上·北京海淀·期中）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 【答案】，，，，兵车 【分析】根据垂径定理，进行作答即可． 【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知：， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴此车轮为：兵车之轮； 故答案为：，，，，兵车． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键． 21．（21-22九年级上·福建厦门·期中）如图，是的直径，弦于点，若，．求的半径． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵为直径， ∴ 由勾股定理得： 答：圆的半径为5 【点睛】此题考查了圆的垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 22．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为．求这段弯路的半径． 【答案】这段弯路的半径为 【分析】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出的长度．根据题意，可以推出，若设半径为r，则，，结合勾股定理可推出半径r的值． 【详解】解：设这段弯路的半径为， ∵于D，， ∴， ∵， 得． ∵在中，根据勾股定理有， 即， 解得． 答：这段弯路的半径为． 23．（24-25九年级上·甘肃陇南·期中）如图，是的直径，，，是的弦，． (1)求证：． (2)如果弦的长为，与间的距离是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作，延长交于点，根据题意可得：，，推出，即可证明； （2）根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作，延长交于点， 是的直径，， ，， ，即， ； （2） ， ， 与间的距离是，， ， ， ， ． 24．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 25．（24-25九年级上·山西朔州·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 26．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设拱桥的圆心为，连接、，设拱桥的半径为，由垂径定理可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径． 【详解】解：如图，设拱桥的圆心为，连接、， 设拱桥的半径为， 由题意可得：，，， 则， ， 在中，根据勾股定理，可得： ， 即：， 解得：， 故选：． 27．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键，先根据直径所对的圆周角是直角和勾股定理算出长，再根据垂径定理得出长，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 故选：A． 28．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，弦交于点P，且，，的半径为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定与勾股定理，作垂线利用垂径定理是解题的关键． 过O分别作，垂足分别为F、E，连接；由垂径定理得F、E分别是的中点，得；设，由勾股定理求得；易得四边形为矩形，则，，由勾股定理得：，由半径相等可求得x的值，从而求得半径． 【详解】解：如图，过O分别作，垂足分别为F、E，连接； 由垂径定理知，F、E分别是的中点， ∵， ∴， ∴； 设，由勾股定理得； ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：； ∴， ∴． 故选：C． 29．（2024九年级上·吉林·专题练习）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握并灵活运用垂径定理和勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理和勾股定理，分别计算位于点的两侧时的长即可． 【详解】解：根据题意，作图1和图2，连接． 如图1、是直径，， ， 圆的半径为， 在中利用勾股定理，得， ， 在中利用勾股定理，得； 如图2、， ， 在中利用勾股定理，得． 综上，的长为或． 故选：C． 30．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心， ∴， 故选：A． 31．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的半径长是（   ） A．6 B． C． D．6.25 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和折叠的性质.过点作于点， 交于点，连接，根据折叠的性质得到垂直平分， 所以， 再判断为等边三角形得到，接着根据垂径定理得到， 然后证明是的中位线得到最后利用含度角的直角三角形三边的关系得到的长即可. 【详解】如图， 过点作于点， 交于点，连接， 如图， ∵沿弦折叠后，刚好经过圆心， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ， 又∵， ∴. 故选：A． 32．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需 分钟． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，先根据摩天轮的最高处到地面的距离是62米，最低处到地面的距离是2米得出的长，进而求出的半径，再根据游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米时、的长，证明为等边三角形，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：摩天轮的最高处到地面的距离是62米，最低处到地面的距离是2米得出的长， ， ， 设当到点或点时游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米，连接，，，，则， 处乘摩天轮到地面的距离是47米时， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ， ， 游客从处乘摩天轮绕一周需15分钟， 游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米时最少需要（分钟）． 故答案为：5． 33．（24-25九年级上·湖北·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，的半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米．        【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理等知识．首先连接交于点．利用垂径定理以及勾股定理求出，再根据求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、， 交于点，则有， ， 又， 在中，， 故答案为： ． 34．（24-25九年级上·北京·期中）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器－－蒸馏瓶，其底部是圆球形．已知截面圆中弦的长为，瓶内液体的最大深度，则球形的半径为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，由垂径定理得，设球形的半径，则，由勾股定理解，即可得出结论． 【详解】解：由题意知， ， 设球形的半径，则， 在中，， ， 解得， 故答案为：9． 35．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理以及圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．连接，求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， 为的直径，且， ， 为中点， ， 将沿翻折后交于点， 弦于点， ． 故答案为：． 36．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图所示，点在⊙O上，其中为弧上异于点和点的任意一点，若平分，连接，若的半径为6，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，利用垂径定理得出E，F分别为中点，进而得出，再连接，利用圆周角定理求出的度数，最后结合的半径为6即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴点F为的中点． ∵平分， ∴点E为中点， ∴是的中位线， ∴． 连接，过点O作的垂线，垂足为M， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理及勾股定理，熟知圆周角定理、等腰三角形的性质及垂径定理是解题的关键． 37．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质等知识点，如图，延长交于E，连接，设，则，，利用折叠的性质得，则，再根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得，然后求出x即可得到的半径，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于E，连接，设，则，， ∵劣弧沿弦折叠交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴的半径为5， 故答案为5． 38．（2025·云南昆明·一模）如图，的直径为，弦 是弦上一动点，则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆中求半径，勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是确定的最小值，所以求的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理求解． 先求出圆的半径，进而求出的最大值，的最小值就是弦的弦心距的长，过点作弦的弦心距，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图：连接，作与． ∵的直径为， ∴半径为， ∴的最大值为， ∵与， ． ， ． 在中， ， 的长即为的最小值， ． 故答案为：． 39．（24-25九年级上·湖北黄石·期中）如图，的半径为10，是的弦，，点P在弦上，则线段的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、垂线段的性质等，作于点H，连接，由垂径定理得，利用勾股定理解求出，当点P位于点H的位置时，线段取最小值． 【详解】解：如图，作于点H，连接， ，， ， 当点P位于点H的位置时，线段取最小值8， 故答案为：8． 40．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 【答案】27cm 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】∵，，分别垂直于点B，D， ∴，. ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 41．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角，垂直的定义可得，结合同位角相等，两直线平行即可求证； （2）根据垂径定理可得，，设的半径为，则∴，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，平行线的判定的综合运用，掌握直径或半圆所对圆周角为直角，垂径定理与勾股定理的结合求线段长的方法是解题的关键． ( 35 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$