精品解析：浙江省台州市六校联盟2024-2025学年高二期中联考数学试题

六校联盟2024学年第一学期期中联考 高二数学试题卷 （2024.11） 命题､审题：台州市金清中学（汪德富） 温岭市松门中学（吴志康） 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上选择题部分. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出. 【详解】设直线的倾斜角为，， 由，得， 所以. 故选：B. 2. 双曲线的焦距为（ ）． A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求出，，计算出，即可得出结果. 【详解】因为双曲线方程为，所以，，因为，所以，所以双曲线的焦距是4. 故选D． 【点睛】本题主要考查求双曲线的焦距，属于基础题型. 3. 已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，可得. 因为平面的一个法向量，点A在内， 所以到的距离为. 4. 已知圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆得到圆心及半径，求得两圆的圆心距，再结合两圆半径的关系，即可得到两圆位置关系. 【详解】圆圆心为，半径， 圆圆心，半径， 则， 圆心距， 因为， 所以两圆位置关系为外切. 故选：C. 5. 已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交点坐标以及直线的方向向量可求得结果. 【详解】已知直线经过两条直线的交点， 则，解得，故交点坐标为， 因为的一个方向向量为， 所以直线方程为，即， 故选：C. 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线写出渐近线和焦点坐标，利用点到线距离公式列方程可得，再由双曲线参数关系及离心率公式求结果. 【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且， 所以，即，又，所以， 所以. 故选：D 7. 已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，过点引直线与圆相切，切点分别为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程得到焦点坐标，即可求得圆心，通过面积关系得到等式，即可求得结果. 【详解】因为椭圆，即， 所以右焦点坐标为， 又圆的圆心为椭圆的右焦点，半径， 所以圆的标准方程为：， 设，根据圆的性质得， ， 因为，四边形的面积， 即， 设，则， 因为点在椭圆上，所以， 将代入到中得 ， 对于二次函数，其对称轴为， 所以，，所以， 当时，， 当时，， 所以， 故选：B. 8. 在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与所成角的余弦值列方程，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设外接球的半径为，则，由于是外接球的直径， 所以， ，所以， 所以，所以， 所以， ， 设与所成角为，则， 整理得，所以外接球的表面积为. 故选：A 【点睛】方法点睛： 求解外接球有关问题，关键是找到球心并计算出半径；求解异面直线所成的角，可以利用几何法来求解，也可以利用向量法来进行求解. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 已知直线经过点，，则到的距离为 D. 若，则为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量的性质即可判断A；只需判断与是否平行判断B；利用向量法的点到直线线距离公式计算可判断C；由反向共线的情况判断D. 【详解】A：对于空间向量，若， 空间中任意两个向量均是共面的，即、均共面， 所以一定共面，故A对； B：因为，,所以与不平行， 故不成立，故B错； C：由题设，， 则直线上的单位方向向量为， 故， 所以到直线的距离，故C对； D：当反向共线时，也有，但此时不是钝角，故D错. 故选：AC 10. 已知直线，则下列选项正确的是（ ） A. 当直线与直线平行时， B. 当直线与直线垂直时， C. 当实数变化时，直线恒过点 D. 直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线平行、垂直的判定求参数判断A、B；将直线化为，即可得定点判断C；求直线与坐标轴的交点，应用三角形面积公式及换元法、基本不等式求面积的最小值，注意取值条件，判断D. 【详解】A：由题意，，则，对； B：由题意，，则，错； C：直线可化为，联立，直线恒过点，对； D：由题意，直线与负半轴均有交点， 令，则，令，则，易知， 所以直线和负半轴构成的三角形面积， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4，对. 故选：ACD 11. 如图，在长方体中，，点是平面上的动点，满足，（ ） A. 在底面上的轨迹是一条直线 B. 三棱锥的体积是定值 C. 若角是直线和平面所成角，则的最大值是 D. 不存在点，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】在上取，连接并延长交延长线于，并证明，结合已知即得在底面上的轨迹是直线、且面，判断A、B；先找到直线和平面所成角的平面角，再确定取最大时的位置，即可判断C；问题化为判断是否存在使，即可判断D. 【详解】A：在上取，连接并延长交延长线于， 在和中，且， 所以，则， 所以，由长方体性质易得，而都在面内， 所以面，面，故， 根据题设，易知，，同理可证， 由且都在面内，所以面， 即面，又面面，由， 只需在直线，即在底面上的轨迹是一条直线，对； B：由长方体的结构特征知：面，即面， 所以到面的距离恒定不变，即三棱锥的体积是定值，对； C：由面，易知是直线和平面所成角的平面角， 所以，要使该值最大，只需最小，显然当时最小， 而，，且， 所以，则，则，，故，对； D：由面，面，则， 若存在，使，又且都在面内， 此时面，面，只需， 显然，在面上以为直径的圆与的交点作为点，满足， 故存在点，使得，错. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：对于A，注意作辅助线找到一个平面与垂直，并确定该平面与底面的交线，对于D，将问题化为判断在面上是否存在使成立. 非选择题部分 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 向量与共线，且方向相同，则__________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据共线得到等式，计算即可求得结果. 【详解】因为向量与共线，且方向相同， 所以，则， 得到，解得，， 所以， 故答案为：. 13. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于__________. 【答案】24 【解析】 【分析】利用双曲线定义易得，结合得为直角三角形，即可求面积. 【详解】由题设，令且，则，即， 所以，而，则， 所以为直角三角形，且，故其面积为. 故答案为： 14. 圆和圆锥曲线的关系十分密切，它们有很多相似的结论.例如，过圆上任意不同两点作圆的切线，如果切线垂直且相交于点，则动点的轨迹为圆.在椭圆中也有类似的结论.已知椭圆，过椭圆上任意不同两点作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点，则动点的轨迹方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，设切线方程为，与椭圆方程联立结合可得，分析可知关于的方程有两个不同的实数根，且，即可得结果，注意对切线的斜率不存在或为0时的验证. 【详解】设， 若切线的斜率存在且不为0，则过点的切线方程为， 联立方程，消去y可得， 则， 整理可得， 由题意可知：关于的方程有两个不同的实数根， 则且，整理可得； 若切线的斜率不存在或为0，则点为，满足； 综上所述：，即动点的轨迹方程是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：设直线方程，根据相切可得，整理可得关于的方程，结合题意可知，进而可得结果. 四､解答题（本题共5小题；其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题17分；共77分） 15. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设. （1）用表示； （2）求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用向量减法的三角形法表示，根据空间昂立基本定理用基底表示出来； （2）根据（1）中的结果，代入正四面体的长度和角度，根据数量积的运算律可以求得. 【小问1详解】 连接， ， ， 则； 【小问2详解】 由（1）可得，所以 ， 因为是正四面体，，故夹角均为， 所以， ，所以，即的长为. 16. 在坐标平面上有两定点，动点满足 （1）求动点的轨迹方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）联立直线与圆得一元二次方程，应用判别式求参数k的范围，根据已知及向量数量积的坐标表示，列方程求参数值即可. 【小问1详解】 设，因为，所以， 平方并整理得，即； 【小问2详解】 已知直线与圆交于两点，设， 联立，得， 所以，解得， ， 所以或，又，则. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且，. （1）求证：平面平面； （2）设.若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角余弦值的大小. 【答案】（1） 在四棱锥中，面面，面，面面， 所以面，又面，所以面面. （2）. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得面，根据面面垂直的判定即可证结论； （2）建立合适的空间直角坐标系，根据已知线面角正弦值，应用向量法求得，再由面面角的向量求法求结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，则， 设，则，所以， 设面的法向量为，则，取，则， 所以，即， 化简得，解得或（舍），所以，， 设平面的法向量，且，， 则，取，则， 设平面与平面夹角大小为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆焦距为2，离心率e是 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为. ①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②直线恒过点 【解析】 【分析】（1）根据焦距得到的值，再根据离心率以及求得的值； （2）①设出直线方程以及点的坐标，联立分别求得弦长，根据面积公式求得最值；②根据①表示出的坐标，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，可得到定点 【小问1详解】 依题意有，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设，则 联立，， 由弦长公式可得： 同理可得：， 所以 令，则 当的最小值是； ② ，由代替m，得， 当，即时，，过点. 当，即时，， ， 当时，，经验证直线过点， 综上，直线恒过点. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，求的最大值； （3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）根据题中新定义可求得结果； （2）设出点的坐标，结合曼哈顿距离得到的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据定义得到等式，转换为恒成立问题，即可求得结果. 【小问1详解】 由题可得， ， ； 【小问2详解】 设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中. 即点在正方形的边上运动，， 可知：当最大时，取到最小值， 相应的有最大值， ①点与点重合时，则， 可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则， 因为，所以的最大值为； 【小问3详解】 易知，设， 则， 当时，，则，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立， 当且仅当时等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条，和. 【点睛】本题考查了距离的新定义问题，解题关键有： （1）注意新定义的概念以及求解方法； （2）结合向量夹角的余弦值求余弦距离以及考虑最值问题； （3）本题还涉及到动点问题，结合分段函数以及不等式问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六校联盟2024学年第一学期期中联考 高二数学试题卷 （2024.11） 命题､审题：台州市金清中学（汪德富） 温岭市松门中学（吴志康） 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上选择题部分. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦距为（ ）． A. 2 B. C. D. 4 3. 已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ） A. 10 B. 3 C. D. 4. 已知圆与圆的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 5. 已知直线经过两条直线的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，过点引直线与圆相切，切点分别为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 已知直线经过点，，则到的距离为 D. 若，则为钝角 10. 已知直线，则下列选项正确的是（ ） A. 当直线与直线平行时， B. 当直线与直线垂直时， C. 当实数变化时，直线恒过点 D. 直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4 11. 如图，在长方体中，，点是平面上的动点，满足，（ ） A. 在底面上的轨迹是一条直线 B. 三棱锥的体积是定值 C. 若角是直线和平面所成角，则的最大值是 D. 不存在点，使得 非选择题部分 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 向量与共线，且方向相同，则__________. 13. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于__________. 14. 圆和圆锥曲线的关系十分密切，它们有很多相似的结论.例如，过圆上任意不同两点作圆的切线，如果切线垂直且相交于点，则动点的轨迹为圆.在椭圆中也有类似的结论.已知椭圆，过椭圆上任意不同两点作椭圆的切线，若两切线垂直且相交于点，则动点的轨迹方程是__________. 四､解答题（本题共5小题；其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题17分；共77分） 15. 如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱（靠近点）的三等分点，设. （1）用表示； （2）求的长. 16. 在坐标平面上有两定点，动点满足 （1）求动点的轨迹方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且，. （1）求证：平面平面； （2）设.若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角余弦值的大小. 18. 已知椭圆焦距为2，离心率e是 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为. ①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； （2）若点，求的最大值； （3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $