精品解析：陕西省榆林中学2024-2025学年高三上学期第七次统练数学试卷

榆林中学2024—2025学年度高三上学期第七次统练 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部与实部之差为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 4. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 5. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 6. 已知函数为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图（如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数，若存在圆C，使得的图象能将圆C的周长和面积同时平分，则称是圆C的太极函数．下列说法正确的是（ ） ①对于任意一个圆，其太极函数有无数个 ②是的太极函数 ③太极函数的图象必是中心对称图形 ④存在一个圆C，是它的太极函数 A. ①④ B. ③④ C. ①③ D. ②③ 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线一定不与坐标轴垂直 C. 直线与直线一定平行 D. 直线与直线一定垂直 10. 将三角函数经如下变换后得到的图象， ①将图象向右平移个单位； ②将图象向左平移个单位； ③将图象向下平移个单位； ④将图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍. 以下变换顺序正确的是（ ） A. ④①③ B. ④③①① C. ②②③④ D. ③①④ 11. 已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在等差数列中，已知，则__________. 13. 函数在的零点为______． 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则__________. 四、解答题（共5题，总分77分） 15. 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. （1）求点的坐标； （2）求的外接圆的标准方程. 16. 已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为2，且满足. （1）求角； （2）求面积的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点. （1）求证：； （2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）若是等差数列，．求的前项和． 19. 如图，设椭圆：()，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程. 20. 小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答： （1）当，时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上； （2）当，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值. 21. 设函数，. （1）①当时，证明：； ②当时，求的值域； （2）若数列满足，，，证明：（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林中学2024—2025学年度高三上学期第七次统练 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 2. 若复数满足，则的虚部与实部之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，结合复数的概念即可得解. 【详解】因为， 所以，复数的虚部为，实部为， 所以，的虚部与实部之差为. 故选：B. 3. 在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交， 反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线， 所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件. 故选：A 4. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先根据共线向量基本定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以设，故， 即， 又， 故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 5. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知，三点都在函数的图象上， 所以，解得， 所以，因为，所以当时，取最大值， 故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B. 考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 6. 已知函数为上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出，根据为上的奇函数，得到. 【详解】， 因为为上的奇函数，所以. 故选：A 7. 若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的取值范围求出，再结合题意及正弦函数的性质得到，解得即可. 【详解】当，则，， 依题意可得，解得， 即的取值范围是. 故选：A 8. 宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图（如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数，若存在圆C，使得的图象能将圆C的周长和面积同时平分，则称是圆C的太极函数．下列说法正确的是（ ） ①对于任意一个圆，其太极函数有无数个 ②是的太极函数 ③太极函数的图象必是中心对称图形 ④存在一个圆C，是它的太极函数 A. ①④ B. ③④ C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据“太极函数”、函数的对称性、对数运算等知识对选项个说法进行分析，由此确定正确答案. 【详解】对于①：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分， 所以对于任意一个圆，太极函数有无数个，故①正确 对于②：， ，所以关于y轴对称，不是太极函数，故②错误； 对于③：中心对称图形必定是太极函数，对称点即为圆心． 但太极函数只需平分圆的周长和面积，不一定是中心对称图形，故③错误； 对于④：曲线存在对称中心， 所以必是某圆的太极函数，故④正确． 故选：A． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线一定不与坐标轴垂直 C. 直线与直线一定平行 D. 直线与直线一定垂直 【答案】AD 【解析】 【分析】 多项选择题，一个一个选项验证： 对于A: 整理为：，判断过定点； 对于B、D：判断直线与直线的垂直，用两直线垂直的条件判断； 对于C: 用两直线平行的条件判断. 【详解】对于A:整理为：，恒过定点(-1,0)，故A正确； 当时，直线与轴垂直，故B错误； 当时，两直线重合，故C错误； 因为，故直线与直线一定垂直，故D正确， 故选：AD. 【点睛】（1）证明直线过定点，通常有两类：直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)； （2）若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A1A2+B1 B2=0,两直线垂直；只要A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1，可判断两直线平行. 10. 将三角函数经如下变换后得到的图象， ①将图象向右平移个单位； ②将图象向左平移个单位； ③将图象向下平移个单位； ④将图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍. 以下变换顺序正确的是（ ） A. ④①③ B. ④③①① C. ②②③④ D. ③①④ 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，函数， 对于A，将函数图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍，得的图象， 再将所得图象向右平移个单位，得的图象， 然后将所得图象向下平移个单位，得的图象，A错误； 对于B，将函数图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍，得的图象， 再将所得图象向下平移个单位，得的图象， 将所得图象向右平移个单位，得的图象， 然后将所得图象向右平移个单位，得的图象，B正确； 对于C，将函数图象向左平移个单位，得的图象， 再将所得图象向左平移个单位，得的图象， 将所得图象向下平移个单位，得的图象， 然后将所得图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍，得的图象，C正确； 对于D，将函数图象向下平移个单位，得的图象， 再将所得图象向右平移个单位，得的图象， 然后将所得图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍，得的图象，D正确. 故选：BCD 11. 已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】延长交于点，根据平面向量的线性运算可得出，可判断选项A；结合，利用平面向量的数量积定义、数量积运算法则及基本不等式可判断选项B；由和平面向量数量积的定义可得出，由求出，再根据三角形面积公式可判断选项C；结合选项B得出，再利用余弦定理即可判断选项D. 【详解】 延长交于点. 因为是的重心， 所以点是中点，， 则. 对于选项A：因为，故选项A正确； 对于选项B：由得：， 所以，当且仅当时等号成立. 又因为，即，， 所以， 即，当且仅当时等号成立，故选项B正确； 对于选项C：因为，当且仅当时等号成立，， 所以，故选项C正确； 对于选项D：由，， 得， 所以由余弦定理可得： ，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值是，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在等差数列中，已知，则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】设出公差，利用通项公式和求和公式基本量计算得到首项和公差，进而求出. 【详解】设公差为，则，解得， 所以. 故答案为：16 13. 函数在的零点为______． 【答案】或 【解析】 【分析】用同角三角函数的关系化简函数，令函数值为0，求得的值，再求得的值，得到函数零点. 【详解】， 令，即，解得或， ∵，∴，又，∴或. 故答案为：或. 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则__________. 【答案】4048 【解析】 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称， 所以，从而得，所以函数为周期为4的函数， 因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为，所以， 所以. 故答案为：4048. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内的值，最后求和即可. 四、解答题（共5题，总分77分） 15. 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. （1）求点的坐标； （2）求的外接圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题意可得，，联立求解即可； （2）设，则的中点坐标为，分别将，两点坐标代入相应的直线方程，联立求出点坐标，设的外接圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求解，最后转化为标准方程即可. 【小问1详解】 设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，，所以点的坐标为； 【小问2详解】 设，则的中点坐标为， 将代入直线的方程得③， 将代入直线的方程得④， 将③④联立解得，，即， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以的外接圆的一般方程为， 所以的外接圆的标准方程为. 16. 已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为2，且满足. （1）求角； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得各边长与角的关系，再由三角恒等变换可得； （2）利用余弦定理结合基本不等式可得，利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及外接圆半径可得，，， 因为，，所以， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 则面积为， 所以面积的最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点. （1）求证：； （2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：∵四边形为菱形，， ∴为正三角形. 又为的中点，∴. ∵，∴. ∵平面，平面， ∴. ∵平面，平面，且， ∴平面， 又平面，∴； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可推出结论成立； （2）为线段上的动点，连接，，根据题意得到，由（1）得，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，为线段上的动点，连接，. 当线段的长最小时，. 由(1)知，∵， ∴平面. ∵平面，∴. 在中，，，， ∴， 在中，由，，可知，即. ∴在中，可得. 由(1)可知，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由，分别是，的中点，可得，，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，因此， 取，得. 因为，，， 所以平面， 故为平面的一个法向量. 又， 所以. 由图易知二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及二面角的向量求法即可，属于常考题型. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）若是等差数列，．求的前项和． 【答案】（1） 证明：①，当得，解得， 当时，②，①-②得，， 故，即，又， 故为公比为2的等比数列； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用求出，变形得到，证明出结论； （2）在（1）的基础上，求出，利用等比数列求和公式得到答案； （3）利用等差数列的性质得到，从而得到，错位相减求出的前项和，从而分组求和得到的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，故， 故时，， 显然满足，故， 所以； 【小问3详解】 ， 是等差数列，则，解得， 所以，解得， 设的公差为，故，则， 所以， ， 设的前项和为，则， 则， 上面两式相减得 ， 故， 设的前项和为， 则. 19. 如图，设椭圆：()，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知求得，再由椭圆的离心率求得c，进而求得b ，即得椭圆的标准方程； （2）先设直线l的方程，设，再联立方程得到，利用韦达定理求得，同理求得，计算的面积为：，换元，所以，利用导函数可求得最值. 【详解】解：（1）椭圆长轴的右端点与抛物线的焦点F重合，，又椭圆C1的离心率是，，故， 所以椭圆C1的标准方程为； （2）过点F(2, 0)的直线l的方程设为:，设,联立，整理得， 所以，， 过F且与直线l垂直的直线设为：，联立，整理得：， 设点 ，，， 所以的面积为：， 令，所以， 则，令，得，当时，， 单调递减，当时，， 单调递增，所以当时，有最小值， 此时，的面积最小， 即解得时，的面积最小值为9， 此时直线l的方程为：. 【点睛】关键点点睛： 本题研究直线与椭圆的位置关系中三角形面积的最值问题，关键在于设出直线方程，用一个变化的量表示三角形的面积，再利用导数求最值突破难点. 20. 小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答： （1）当，时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上； （2）当，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值. 【答案】（1） 当，时，，， 设，切线方程为， 代入，得，又因为， 于是可得， 即点P在“双升双降函数”的图像上. （2） 【解析】 【分析】(1) 先把，代入的方程，然后求出在点处的切线方程，再把点代入切线方程，可得点坐标满足，即可证明结论.(2)先根据斜率为分别求出直线与曲线和的切点，再把的坐标代入直线的斜率公式,从而得到的关系式，代入消去，用基本不等式即可求的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当，时，， ，， 设曲线在点处的切线斜率为， 则，所以，则， 设曲线在点处的切线斜率为， 则， 所以，点， 所以直线的斜率， 所以， 由于， 所以（当且仅当时取等号） 所以，的最小值为． 【点睛】方法点睛：新文化题出题的特点，就是先给出一段材料，然后利用材料中的有用信息解决问题，这种题目的特点，就是要把要解决的问题转化为材料中的公式或者概念，难度较大. 21. 设函数，. （1）①当时，证明：； ②当时，求的值域； （2）若数列满足，，，证明：（）. 【答案】（1）①在恒成立， 故在上单调递增， 故，证毕； ② （2） 因为，， 所以， 其中，故只需证明， 因为，， 所以， 由（1）可知， 上式两边取倒数得，故， 于是 ，， 所以（）. 【解析】 【分析】（1）①求导，得到函数单调性，求出；②先得到为偶函数，考虑时，求导，结合①可知，在上单调递减，从而求出函数最值，求出值域； （2）先得到，故只需证明，由（1）可知，从而裂项相消法求和得到证明. 【小问1详解】 ①略 ②，恒有， 故为偶函数， 当时，， 由①可知，在上恒成立， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 故，， 结合函数在上为偶函数可得，函数值域为； 【小问2详解】 略 【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $