专题04 基本的平面图形（易错必刷40题11种题型专项训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版2024）

专题04 基本的平面图形（易错必刷40题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 直线、射线、线段 · 两点间的距离 · 比较线段的长短 · 角的概念 · 角的计算 · 角的大小比较 · 多边形的对角线 · 圆的认识 · 钟面角 · 作图—基本作图 · 度分秒的换算 一．直线、射线、线段（共5小题） 1．如图，下列说法正确的是（　　） A．点O在射线AB上 B．点B是直线AB的一个端点 C．射线OB和射线AB是同一条射线 D．点A在线段OB上 2．杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．20种 B．15种 C．10种 D．5种 3．在平面上任意画4个点，那么这4个点确定的直线共有（　　） A．1条或4条 B．1条或6条 C．4条或6条 D．1条或4条或6条 4．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：像这样，十条直线相交，最多有　 　个交点． 5．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12． （1）直接写出结果，OA＝　 　，AB＝　 　． （2）设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段AB的中点，则x＝　 　． ②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x﹣12|的化简结果是 　 　． （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM＝ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 二．两点间的距离（共7小题） 6．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（　　） A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm 7．已知线段AB＝6cm，点C在直线AB上，AC＝AB，则BC＝　 　． 8．【新知理解】 如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点　 　这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝　 　cm； 【解决问题】 （3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由 9．如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动． （1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD＝　 　cm； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP：PB＝　 　； （2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度． 10．已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点， （1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，求a+b的值； （2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长； （3）如图2，若AB＝17，AD＝2BE，求线段CE的长． 11．如图，点C在线段AB上，点E、F分别是AC、BC的中点． （1）若AC＝8，BC＝6，求线段EF的长； （2）若AC+BC＝a，你能求出EF的长度吗？并说明理由； （3）若点C在AB的延长线上，且AC﹣BC＝b，你能求出EF的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 12．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP． （1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　（用含m的代数式表示）； （2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由； （3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由． 三．比较线段的长短（共6小题） 13．已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm 14．已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC等于（　　） A．11cm B．5cm C．11cm或5cm D．8cm或11cm 15．体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 16．已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且AB＝60，BC＝40，则MN的长为 　 　． 17．点A，B，C在直线l上．若AB＝4，AB＝2AC，则BC的长度为　 　． 18．（1）特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点． ①若AM＝16cm，则CD＝　 　cm； ②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON． ①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD＝　 　度． ②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由． （3）类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，＝＝k，用含有k的式子表示∠COD的度数．（直接写出计算结果） 四．角的概念（共4小题） 19．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 20．如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（　　） A．190 B．380 C．231 D．462 21．如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画9条射线得的角的个数是（　　） A．10个 B．18个 C．45个 D．55个 22．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 五．钟面角（共1小题） 23．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 六．度分秒的换算（共2小题） 24．把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（　　） A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″ 25．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是（　　） A．27°40′ B．62°20′ C．57°40′ D．58°20 七．角的计算（共9小题） 26．已知∠AOB＝70°，以O端点作射线OC，使∠AOC＝28°，则∠BOC的度数为（　　） A．42° B．98° C．42°或98° D．82° 27．将长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使得∠A′EB′＝40°，其中EF，EG为折痕，则∠AEF+∠BEG的度数为（　　） A．40° B．70° C．80° D．140° 28．若∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，则∠BOC等于（　　） A．100° B．20° C．20°或100° D．40° 29．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、CF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠ECF＝21°，则∠B'CD'的度数为（　　） A．35° B．42° C．45° D．48° 30．如图a是长方形纸带（提示：AD∥BC），将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c． （1）若∠DEF＝20°，则图b中∠EGB＝　 　，∠CFG＝　 　； （2）若∠DEF＝20°，则图c中∠EFC＝　 　； （3）若∠DEF＝α，把图c中∠EFC用α表示为　 　； （4）若继续按EF折叠成图d，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图a中∠DEF的度数是　 　． 31．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°． （1）求图1中∠BOD的度数． （2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方． ①当∠BOC＝90°时，求旋转角α的值； ②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由． 32．如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点． （1）若AC＝6cm，则EF＝　 　cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； （3）①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠EOF； ②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 33． 如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE，求∠CBD的度数． 34．有一长方形纸带，E、F分别是边AD，BC上一点，∠DEF＝α度（0＜α＜90），将纸带沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）如图1，当α＝30度时，求∠GFC′的度数； （2）如图2，若∠GFN＝4∠GFE，求α的值． 八．角的大小比较（共1小题） 35．若∠A＝20°18′，∠B＝20°15″，∠C＝20.25°，则有（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 九．多边形的对角线（共2小题） 36．从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 37．过n边形的一个顶点可以画7条对角线，将它分成m个三角形，则m+n的值是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 一十．圆的认识（共2小题） 38．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（　　） A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍 39．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了　 　m． 一十一．作图—基本作图（共1小题） 40．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F，再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线OD．若∠AOB＝27°，则∠AOD的度数为（　　） A．27° B．54° C．63° D．36° $$专题04 基本的平面图形（易错必刷40题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 直线、射线、线段 · 两点间的距离 · 比较线段的长短 · 角的概念 · 角的计算 · 角的大小比较 · 多边形的对角线 · 圆的认识 · 钟面角 · 作图—基本作图 · 度分秒的换算 一．直线、射线、线段（共5小题） 1．如图，下列说法正确的是（　　） A．点O在射线AB上 B．点B是直线AB的一个端点 C．射线OB和射线AB是同一条射线 D．点A在线段OB上 【答案】D 【解答】解：A、点O不在射线AB上，点O在射线BA上，故此选项错误； B、点B是线段AB的一个端点，故此选项错误； C、射线OB和射线AB不是同一条射线，故此选项错误； D、点A在线段OB上，故此选项正确． 故选：D． 2．杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．20种 B．15种 C．10种 D．5种 【答案】A 【解答】解：需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）＝20（种）． 故选：A． 3．在平面上任意画4个点，那么这4个点确定的直线共有（　　） A．1条或4条 B．1条或6条 C．4条或6条 D．1条或4条或6条 【答案】D 【解答】解：如图1，4点共线时，可以确定1条直线； 如图2，3点共线时可以确定4条直线； 如图3，任意3点都不共线时，可以确定6条直线； 综上所述，这4个点确定的直线共有1条或4条或6条． 故选D． 4．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：像这样，十条直线相交，最多有　45　个交点． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：将n＝10代入得：m＝45． 5．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12． （1）直接写出结果，OA＝　10　，AB＝　22　． （2）设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段AB的中点，则x＝　1　． ②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x﹣12|的化简结果是 　22　． （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM＝ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10，22；（2）①1，②22；（3）1，，7或11． 【解答】解：（1）OA＝|﹣10﹣0|＝10，AB＝|﹣10﹣12|＝22， 故答案为：10，22． （2）①∵点P为线段AB的中点， ∴AP＝BP， ∴x﹣（﹣10）＝12﹣x，解得x＝1． 故答案为：1． ②∵点P为线段AB上的一个动点， ∴|x+10|+|x﹣12|＝|x﹣（﹣10）|+|x﹣12|＝AB＝22， 故答案为：22． （3）点M表示的数为2t﹣10（0≤t≤11），OM＝|2t﹣10|； 当0≤t≤时，点N表示的数为﹣4t+12，ON＝|﹣4t+12|； 当＜t≤11时，点N表示的数为4（t﹣）﹣10＝4t﹣32，ON＝|4t﹣32|． 当0≤t≤时，|2t﹣10|＝|﹣4t+12|，解得t＝1或； 当＜t≤11时，|2t﹣10|＝|4t﹣32|，解得t＝7或11． ∴存在t值，使得OM＝ON，t＝1，，7或11． 二．两点间的距离（共7小题） 6．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（　　） A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm 【答案】C 【解答】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm， ∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm）， 点D是线段AC的三等分点， ①当AD＝AC时，如图， BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）； ②当AD＝AC时，如图， BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）． 所以线段BD的长为10cm或8cm， 故选：C． 7．已知线段AB＝6cm，点C在直线AB上，AC＝AB，则BC＝　4cm或8cm　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：AC＝AB＝2cm，分两种情况： ①点C在A、B中间时， BC＝AB﹣AC＝6﹣2＝4（cm）． ②点C在点A的左边时， BC＝AB+AC＝6+2＝8（cm）． ∴线段BC的长为4cm或8cm． 故答案为：4cm或8cm． 8．【新知理解】 如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点　是　这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝　4或6或8　cm； 【解决问题】 （3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”． 故答案为：是； （2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点， ∴AC＝12×＝4cm或AC＝12×＝6cm或AC＝12×＝8cm； 故答案为：4或6或8； （3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6） ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除． ②当P为A、Q的巧点时， Ⅰ．AP＝AQ，即，解得s； Ⅱ．AP＝AQ，即，解得s； Ⅲ．AP＝AQ，即，解得t＝3s； ③当Q为A、P的巧点时， Ⅰ．AQ＝AP，即，解得s（舍去）； Ⅱ．AQ＝AP，即，解得t＝6s； Ⅲ．AQ＝AP，即，解得s． 9．如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动． （1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC+PD＝　12　cm； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP：PB＝　1：2　； （2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度． 【答案】（1）①12． ②1：2． （2）（cm）． 【解答】解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）． ∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）． 故答案为：12． ②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t， 则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t， ∴AP：PB＝2t：4t＝1：2． 故答案为：1：2． （2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t， ∴BD＝3PC， ∵PD＝3AC． ∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP． ∴AP＝AB＝（cm）． 10．已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点， （1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣16|+（b﹣4）2＝0，求a+b的值； （2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE的长； （3）如图2，若AB＝17，AD＝2BE，求线段CE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵|a﹣16|+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣16＝0，b﹣4＝0， ∴a＝16，b＝4， ∴a+b＝16+4＝20； （2）∵点C为线段AB的中点，AB＝16，CE＝4， ∴AC＝AB＝8， ∴AE＝AC+CE＝12， ∵点D为线段AE的中点， ∴DE＝AE＝6， （3）设BE＝x，则AD＝2BE＝2x， ∵点D为线段AE的中点， ∴DE＝AD＝2x， ∵AB＝17， ∴AD+DE+BE＝17， ∴x+2x+2x＝17， 解方程得：x＝，即BE＝， ∵AB＝17，C为AB中点， ∴BC＝AB＝， ∴CE＝BC﹣BE＝﹣＝． 11．如图，点C在线段AB上，点E、F分别是AC、BC的中点． （1）若AC＝8，BC＝6，求线段EF的长； （2）若AC+BC＝a，你能求出EF的长度吗？并说明理由； （3）若点C在AB的延长线上，且AC﹣BC＝b，你能求出EF的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点E，F分别是AC，BC的中点，AC＝8，CB＝6， ∴CE＝AC＝×8＝4，CN＝BC＝×6＝3， ∴EF＝CE+CF＝4+3＝7； （2）∵点E，F分别是AC，BC的中点， ∴CE＝AC，CF＝BC， ∴EF＝CE+CF＝AC+BC＝（AC+BC ）＝AB＝a； （3）如图， 能求出EF的长，结论：EF＝b， 理由：∵点E，F分别是AC，BC的中点，AC＝AB+BC， ∴CE＝AC＝（AB+BC），CN＝BC， ∴EF＝CE﹣CF＝AC﹣BC＝（AC﹣BC ）＝b． 12．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP． （1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　m　（用含m的代数式表示）； （2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由； （3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵点C恰好在线段AB中点， ∴AC＝BC＝AB， ∵AB＝m（m为常数）， ∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝AB＝m； 故答案为：m； （2）①点C在线段AB上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数）， ∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×（AC+BC）＝AB＝m； ②点C在线段BA的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数）， ∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m； ③点C在线段AB的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝AC，CP＝BC， ∵AB＝m（m为常数）， ∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m； 故PQ是一个常数，即是常数m； （3）如图： ∵CQ＝2AQ， ∴2AP+CQ﹣2PQ ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ） ＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ ＝CQ﹣2AQ ＝2AQ﹣2AQ ＝0， ∴2AP+CQ﹣2PQ＜1． 三．比较线段的长短（共6小题） 13．已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm 【答案】D 【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN＝AC+BC＝AB＝5cm； （2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN＝AC﹣BC＝7﹣2＝5cm． 综合上述情况，线段MN的长度是5cm． 故选：D． 14．已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC等于（　　） A．11cm B．5cm C．11cm或5cm D．8cm或11cm 【答案】C 【解答】解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论： （1）当C点在B点右侧时，如图所示： AC＝AB+BC＝8+3＝11cm； （2）当C点在B点左侧时，如图所示： AC＝AB﹣BC＝8﹣3＝5cm； 所以线段AC等于5cm或11cm， 故选：C． 15．体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是（　　） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【解答】解：如图所示，OP＞ON＞OQ＞OM， ∴表示他最好成绩的点是点P， 故选：C． 16．已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且AB＝60，BC＝40，则MN的长为 　10或50　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时， ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴BM＝AB＝30，BN＝BC＝20； ∴MN＝50． （2）当C在AB上时，同理可知BM＝30，BN＝20， ∴MN＝10； 所以MN＝50或10． 17．点A，B，C在直线l上．若AB＝4，AB＝2AC，则BC的长度为　2或6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，若点C在AB之间，则BC＝AB﹣AC＝4﹣2＝2； 如图，若点C在BA的延长线上，则BC＝AB+AC＝4+2＝6； 故答案为：2或6． 18．（1）特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点． ①若AM＝16cm，则CD＝　16　cm； ②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON． ①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD＝　90　度． ②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由． （3）类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，＝＝k，用含有k的式子表示∠COD的度数．（直接写出计算结果） 【答案】（1）①16；②不变，理由详见解答部分； （2）①90；②∠COD＝（∠MON+AOB）．理由详见解答部分； （3）∠COD＝+30°． 【解答】解：（1）①∵MN＝30cm，AB＝2cm，AM＝16cm， ∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝12（cm）， ∵点C和点D分别是AM，BN的中点， ∴AC＝AM＝8cm，BD＝BN＝6cm． ∴AC+BD＝14（cm）． ∴CD＝AC+AB+BD＝14+2＝16（cm）． 故答案为：16． ②不变，理由如下： ∵点C和点D分别是AM，BN的中点， ∴AC＝AM，BD＝BN，． ∴AC+BD＝AM+BN＝（AM+BN）． 又∵MN＝30cm，AB＝2cm， ∴AM+BN＝MN﹣AB＝30﹣2＝28（cm）． ∴AC+BD＝（AM+BN）＝14（cm）． ∴CD＝AC+AB+BD＝14+2＝16（cm）． （2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON， ∴∠AOC＝∠AOM，∠BOD＝∠BON． ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOM+∠BON＝（∠AOM+∠BON）． 又∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°， ∴∠AOM+∠BON＝∠MON﹣∠AOB＝120°． ∴∠AOC+∠BOD＝60°． ∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB＝60°+30°＝90°． 故答案为：90． ②∠COD＝（∠MON+AOB）．理由如下： ∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON， ∴∠AOC＝∠AOM，∠BOD＝∠BON． ∴∠AOC+∠BOD＝∠AOM+∠BON＝（∠AOM+∠BON）． ∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB ＝（∠AOM+∠BON）+∠AOB ＝（∠MON﹣∠AOB）+∠AOB． ＝（∠MON+AOB）． （3）∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°， ∴∠AOM+∠BON＝120°， ∵＝＝k， ∴∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD， ∴∠AOM＝∠MOC+∠AOC＝（1+k）∠AOC， ∠BON＝∠NOD+∠BOD＝（1+k）∠BOD， ∴∠AOC+∠BOD＝， ∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB＝+30°． 四．角的概念（共4小题） 19．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是C选项中的图， A，B，D选项中的图都不能同时用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角， 故选：C． 20．如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（　　） A．190 B．380 C．231 D．462 【答案】C 【解答】解：由题可得，画n条射线所得的角的个数为： 1+2+3+…+（n+1）＝（n+1）（n+2）， ∴当n＝20时，（n+1）（n+2）＝×21×22＝231． 故选：C． 21．如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画9条射线得的角的个数是（　　） A．10个 B．18个 C．45个 D．55个 【答案】D 【解答】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，3＝（1+1）（1+2）； 画2条射线，图中共有6个角，6＝（2+1）（2+2）； 画3条射线，图中共有10个角，10＝（3+1）（3+2）； …， ∴画n条射线，图中共有（n+1）（n+2）个角， ∴画9条射线所得的角的个数是（9+1）（9+2）＝55（个）， 故选：D． 22．如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的是同一个角，故此选项正确； B、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误； C、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误； D、∠1、∠ABC、∠B三种方法表示的不一定是同一个角，故此选项错误； 故选：A． 五．钟面角（共1小题） 23．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 【答案】D 【解答】解：11点4（0分）时针与分针相距3+＝（份）， 30°×＝110°， 故选：D． 六．度分秒的换算（共2小题） 24．把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（　　） A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″ 【答案】A 【解答】解：2.36°＝2°+0.36×60′＝2°21′+0.6×60″＝2°21′36″， 故选：A． 25．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是（　　） A．27°40′ B．62°20′ C．57°40′ D．58°20 【答案】C 【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′， ∴∠EAC＝32°20′， ∵∠EAD＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′； 故选：C． 七．角的计算（共9小题） 26．已知∠AOB＝70°，以O端点作射线OC，使∠AOC＝28°，则∠BOC的度数为（　　） A．42° B．98° C．42°或98° D．82° 【答案】C 【解答】解：①当OC在∠AOB内部时， ∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣28°＝42°； ②当OC在∠AOB外部时， ∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝70°+28°＝98°． 故选：C． 27．将长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，使得∠A′EB′＝40°，其中EF，EG为折痕，则∠AEF+∠BEG的度数为（　　） A．40° B．70° C．80° D．140° 【答案】B 【解答】解：由折叠可得，∠AEF＝∠AEA'，∠BEG＝∠BEB'， ∵∠A'EB′＝40°， ∴∠AEA'+∠BEB'＝140°， ∴∠AEF+∠BEG＝（∠AEA'+∠BEB'）＝140°＝70°， 故选：B． 28．若∠AOB＝60°，∠AOC＝40°，则∠BOC等于（　　） A．100° B．20° C．20°或100° D．40° 【答案】C 【解答】解：∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝60°+40°＝100°， ∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣40°＝20°， 故选：C． 29．将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、CF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠ECF＝21°，则∠B'CD'的度数为（　　） A．35° B．42° C．45° D．48° 【答案】D 【解答】解：设∠ECB′＝α，∠FCD′＝β， 根据折叠可知： ∠DCE＝∠D′CE，∠BCF＝∠B′CF， ∵∠ECF＝21°， ∴∠DCE＝∠D′CE＝21°+β， ∠BCF＝∠B′CF＝21°+α， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB＝90°， ∴21°+β+21°+21°+α＝90°， ∴α+β＝27°， ∴∠B'CD'＝∠B′CE+∠D′CF+∠ECF ＝α+β+21° ＝48°． 故选：D． 30．如图a是长方形纸带（提示：AD∥BC），将纸带沿EF折叠成图b，再沿GF折叠成图c． （1）若∠DEF＝20°，则图b中∠EGB＝　40°　，∠CFG＝　140°　； （2）若∠DEF＝20°，则图c中∠EFC＝　120°　； （3）若∠DEF＝α，把图c中∠EFC用α表示为　180°﹣3α　； （4）若继续按EF折叠成图d，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图a中∠DEF的度数是　18°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵长方形的对边是平行的， ∴∠BFE＝∠DEF＝20°， ∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝40°， ∴∠FGD＝∠EGB＝40°， ∴∠CFG＝180°﹣∠FGD＝140°； 故答案为：40°，140°； （2）∵长方形的对边是平行的， ∴∠BFE＝∠DEF＝20°， ∴图a、b中的∠CFE＝180°﹣∠BFE，以下每折叠一次，减少一个∠BFE， ∴图c中的∠CFE度数是120°； 故答案为：120°； （3）由（2）中的规律，可得∠CFE＝180°﹣3α． 故答案为：180°﹣3α； （4）设图a中∠DEF的度数是x°， 由（2）中的规律，可得180﹣10x＝0． 解得：x＝18． 故答案为：18°． 31．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°． （1）求图1中∠BOD的度数． （2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方． ①当∠BOC＝90°时，求旋转角α的值； ②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： （1）∵∠AOB+∠BOD+∠COD＝180°， ∠AOB＝45°，∠COD＝60° ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75° 答：∠BOD的度数是75°． （2）①若∠BOC＝90°时，则 ∠AOE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOC＝45° 即旋转角度α的值是45°． 答：旋转角度α的值是45°． ②存在∠BOC＝2∠AOD，理由如下： ∠EOD＝180°﹣60°＝120° ∠EOB＝α+∠AOB＝α+45° ∴∠BOC＝180°﹣∠AOB﹣∠AOE＝135°﹣α ∠AOD＝∠EOD﹣∠AOE＝120°﹣α或 ∠AOD＝∠AOE﹣∠EOD＝α﹣120° ∵∠BOC＝2∠AOD ∴135°﹣α＝2（120°﹣α）或135°﹣α＝2（α﹣120°） ∴α＝105°或α＝125° 即此时α的值为105°或125°． 答：存在∠BOC＝2∠AOD，此时α的值为105°或125°． 32．如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点． （1）若AC＝6cm，则EF＝　12　cm； （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由； （3）①对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠EOF； ②请你猜想∠EOF，∠AOB和∠COD会有怎样的数量关系，直接写出你的结论． 【答案】（1）12． （2）12cm． （3）①90°；②∠EOF＝（∠AOB+∠COD）． 【解答】解：（1）∵AB＝20cm，CD＝4cm，AC＝6cm， ∴DB＝10cm， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴CE＝AC＝3cm，DF＝DB＝5cm， ∴EF＝3+4+5＝12（cm）． 故答案为：12． （2）EF的长度不变．理由： ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴EC＝AC，DF＝DB， ∴EF＝EC+CD+DE＝ ＝ ＝． ∵AB＝20cm，CD＝4cm， ∴EF＝（cm）． （3）①：∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF＝ ＝ ＝ ＝． ②；过程同①． 33．如图，将书页一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE，求∠CBD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由翻折的性质得，∠ABC＝∠A′BC， ∵BD平分∠A′BE， ∴∠A′BD＝∠EBD， ∵∠ABC+∠A′BC+∠A′BD+∠EBD＝180°， ∴∠A′BC+∠A′BD＝90°， 即∠CBD＝90°． 34．有一长方形纸带，E、F分别是边AD，BC上一点，∠DEF＝α度（0＜α＜90），将纸带沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． （1）如图1，当α＝30度时，求∠GFC′的度数； （2）如图2，若∠GFN＝4∠GFE，求α的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF， ∵长方形的对边是平行的， ∴∠BFE＝∠DEF＝30°， ∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°， ∴∠FGD′＝∠EGB＝60°， ∴∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°； ∴当α＝30度时，∠GFC′的度数是120°； （2）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝α°，∠GFC′＝∠GFN， ∵长方形的对边是平行的， ∴∠GFE＝∠DEF＝α°， ∴∠EGB＝∠GFE+∠DEF＝2α°，∠GFN＝4∠GFE＝4α°， ∴∠FGD′＝∠EGB＝2α°， ∵∠GFC′+∠FGD′＝180°， ∴4α°+2α°＝180° ∴α°＝30°． ∴α的值是30． 八．角的大小比较（共1小题） 35．若∠A＝20°18′，∠B＝20°15″，∠C＝20.25°，则有（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B 【答案】C 【解答】解：∵∠A＝20°18′，∠B＝20°15″， ∴∠A＞∠B， ∵∠C＝20.25°＝20°15′， ∴∠B＜∠C＜∠A， ∴∠A＞∠C＞∠B． 故选：C． 九．多边形的对角线（共2小题） 36．从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（　　） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【解答】解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n﹣2）， ∴从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是：7﹣2＝5（个， 故选：C． 37．过n边形的一个顶点可以画7条对角线，将它分成m个三角形，则m+n的值是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【解答】解：∵过n边形的一个顶点可以画出7条对角线， ∴n＝7+3＝10， ∴m＝10﹣2＝8， 则m+n＝8+10＝18， 故选：C． 一十．圆的认识（共2小题） 38．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（　　） A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍 【答案】C 【解答】解：设圆的原来的半径是R，增加1倍，半径即是2R， 则增加的面积是4πR2﹣πR2＝3πR2，即增加了3倍． 故选：C． 39．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了　2L　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为圆向前滚动的距离是Lm，所以人前进了2Lm． 一十一．作图—基本作图（共1小题） 40．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F，再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线OD．若∠AOB＝27°，则∠AOD的度数为（　　） A．27° B．54° C．63° D．36° 【答案】A 【解答】解：由作图可知：∠AOD＝∠AOB， ∵∠AOB＝27°， ∴∠AOD＝∠AOB＝27°． 故选：A． $$