清单05 一元一次方程（18个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版2024）

清单05 一元一次方程（18个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 【清单02】等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 【清单03】 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 【清单04】一元一次方程的实际应用 1.距离=速度·时间 2.工作量=工效×工时 工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量 3.顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程=逆水路程 4.售价=定价 ； 利润问题常用等量关系： 售价-进价=利润 【考点题型一】识别方程和一元一次方程 【典例1】下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式中，是一元一次方程是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】根据一元一次方程的定义求参数 【典例2】已知关于的方程是一元一次方程，则实数的取值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【变式2-1】已知关于的方程是一元一次方程，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若是关于x的一元一次方程，则m的值是 ． 【变式2-3】若是关于x的一元一次方程，则 ． 【考点题型三】方程的解 【典例3】若是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【变式3-1】已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知是方程的解，则k的值是（   ） A． B．2 C．3 D．5 【变式3-3】关于的方程的解为，则的值是 ． 【考点题型四】等式的性质 【典例4】如果，那么下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】将方程写成用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，下面与这一事实相符的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式4-3】下列选项中，利用等式的性质进行变形，不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点题型五】解一元一次方程 【典例5】解方程： (1)； (2)． 【变式5-1】解方程 (1)； (2)． 【变式5-2】解方程： (1)； (2)． 【变式5-3】解方程． (1) (2) 【考点题型六】一元一次方程的同解问题 【典例6】关于的方程的解与方程的解相同，则的值是（ ） A．7 B．5 C．4 D．3 【变式6-1】已知关于的一元一次方程 和的解相同，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式6-2】已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ． 【考点题型七】一元一次方程的错解问题 【典例7】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【变式7-1】某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【变式7-2】小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【变式7-3】小明是七年级（2）班的学生，他在对方程 去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【考点题型八】根据一元一次方程的关系解方程 【典例8】当为何值时，关于的方程的解比关于的方程的解大6． 【变式8-1】若关于x的方程的解是关于x的方程的解的2倍，求关于x的方程的解． 【变式8-2】当k为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大6？ 【变式8-3】已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【考点题型九】一元一次方程应用-工程问题 【典例9】涑水河，黄河中游支流，流域位于山西省南部的运城市境内，发源于绛县中条山区陈村峪，向西南流经闻喜县、夏县、运城市盐湖区、临猗县、永济市，于永济市韩阳镇长旺村汇入黄河，为把涑水河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的沿河旅游风景区，现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ 【变式9=-1】甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 【变式9-2】列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米． (1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？ (2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？ 【变式9-3】整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作小时？ 【考点题型十】一元一次方程应用-行程问题 【典例10】甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【变式10-1】一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【变式10-2】随着人们生活水平的提高，人工智能扫地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电用品．为了测试两款机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫（路途中没有障碍物遮挡），已知出发后经3分钟两个机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达A地，A，B相距45米． (1)甲、乙两个机器人的速度分别是多少？ (2)从A，B两地同时出发后，经过多少时间后两个机器人相距6米？ 【变式10-3】元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走，下山时按原路返回，下山每小时走，结果上山比下山多花小时，设下山所用时间为x小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】一元一次方程应用-比赛积分问题 【典例11】某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 14 10 4 24 14 7 7 21 14 4 10 18 (1)求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由． 【变式11-1】第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 【变式11-3】2023年5月，贵州省榕江县足球超级联赛在该县城北新区体育馆开幕，现场观众最多时达到5万人，平均每场比赛超5000万人次在线围观，全网流量突破300亿次……．这场“村超”的火爆“出圈”提升了贵州乡村人民对自己文化、生活的自豪和自信．下表呈现的是各村足球队中部分参赛队根据积分规则得到的不完整积分表． 参赛队 局次 胜 和 负 积分 朗洞镇平地村 9 6 2 1 20 小瑞村 9 5 2 2 17 三江四格队 9 0 0 9 0 平永村队 9 1 14 观察表格，解决下列问题： (1)本次比赛：“胜”一局得______分，“和”一局得______分，“负”一局得_____分； (2)请在表格中将“平永村队”的积分补充完整； (3)在积分规则不变的前提下，若此系列赛每个队共对弈21局，“美乡村队”最终胜的局数是负的局数的2倍，你认为“美乡村队”的最终得分可以是40分吗？请说明理由． 【考点题型十二】一元一次方程应用-经济问题 【典例12】某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 4 6 零售价（元/千克） 10 12 (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【变式12-1】（1）小明骑自行车从家到学校，若每小时行驶10千米，则晚到4分钟；若每小时行驶15千米，则早到4分钟．求小明家到学校的路程． （2）某水果店第一次用795元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的质量比乙种苹果质量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/千克） 5 8 售价（元/千克） 10 15 （ⅰ）该水果店第一次购进甲、乙两种苹果各多少千克？ （ⅱ）该水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的质量不变，且按原价销售；乙种苹果的质量是第一次的3倍，并打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为595元，则第二次乙种苹果按原价打几折销售？ 【变式12-2】小王自主创业开了一家服装店，经营一段时间后，小王发现每件进价为200元的A种服装，按标价的八折出售时的利润率为． (1)求A种服装的标价为多少元？ (2)已知B种服装的进价为300元，小王售完两种服装后，又以原来的价格购进A，B两种服装共110件，所用资金为28000元． ①求购进的A，B两种服装各多少件？ ②由于小王对市场需求了解不清楚，换季时，A种服装虽已全部售出，但B种服装按标价400元只售出了10件，为了尽快回笼资金，小王决定对剩余的B种服装打折处理，在B种服装恰好保本的情况下，剩余的B种服装打几折处理？ 【变式12-3】2023年12月第六届遵义羊肉粉美食文化旅游节在遵义凤凰山文化广场举行，某袋装羊肉销售铺从厂家购进了甲、乙两种袋装羊肉，甲种袋装羊肉的每袋进价比乙种袋装羊肉的每件进价少15元．若购进甲种袋装羊肉7袋，乙种袋装羊肉5袋，需要795元． (1)求甲、乙两种袋装羊肉的每袋进价分别是多少元？ (2)该袋装羊肉销售铺从厂家购进了甲、乙两种袋装羊肉各45袋．在销售时，甲种袋装羊肉的每袋售价为75元，乙种袋装羊肉的每袋售价为100元，在实际销售过程中，商店按售价将购进的全部甲种袋装羊肉和部分乙种袋装羊肉售出后，决定将剩下的乙种袋装羊肉打九折销售，两种袋装羊肉全部销售完后，共获利1580元，求乙种袋装羊肉打折之前销售了多少袋？ 【考点题型十三】一元一次方程应用-方案问题 【典例13】中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 【变式13-1】某校为纪念“一二·九运动”八十七周年，丰富校园文化生活，增强学生的身体素质，培养同学们的集体荣誉感和团结协作精神，特举办一场文体活动，全校各班都积极参与本次活动，为表彰在本次活动中表现出色的班级，学校将购买一些乒乓球和乒乓球拍作为活动奖励，经向两家商店进行价格咨询，了解情况如下： 若该校需购买乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒） (1)当购买乒乓球多少盒时，甲、乙两家商店收费金额一样多？ (2)当购买30盒乒乓球时，从节约角度考虑，学校应该去哪家商店购买？为什么？ 【变式13-2】2023年9月23日－10月8日，第十九届亚洲运动会在中国杭州举行，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”倍受广大群众喜爱．新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动优惠方式如下： 甲商店：买一个挂件送一个徽章； 乙商店：挂件和徽章都按8折（标价的80％）出售． 如果学校计划订购挂件30个，徽章若干（多于30个）， (1)当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需__________元； (2)当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同； (3)当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由． 【变式13-3】某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折； 已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？ (3)若某顾客购物总额相同，其在乙超市实付款482元，问其在甲超市需实付款多少元？ 【考点题型十四】一元一次方程应用-数字问题 【典例14】有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】将这9个数填入的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（如图①），是世界上最早的幻方，仅可以看到部分数值的“九宫格”（如图②），其中 ． 【变式14-2】无限循环小数可化成分数，如设，由可知，，所以，解得 ，于是得，故化成分数的形式结果是 ． 【变式14-3】观察下表三行数的规律，回答下列问题： 第列 第列 第列 第列 第列 第列 … 第行 … 第行 … 第行 … (1)________，________． (2)第行某一列的数为，则第行与它同一列的数为________． (3)已知第列的三个数的和为，若设第行第列的数为，试求的值． 【考点题型十五】一元一次方程应用-日历问题 【典例15】将从1到900的正整数按一定规律排列如下表： 对如图十字形框中的5个数进行探究： (1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数为 ； (2)若这5个数的和是 240，求出这5个数中间的数： (3)这5个数的和可能是2025 吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由． (4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于 【变式15-1】如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为，那么该“十”字型中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【变式15-2】在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（　　） A．54 B．62 C．65 D．75 【变式15-3】如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（   ） A．49 B．60 C．84 D．105 【考点题型十六】一元一次方程应用-古代问题 【典例16】《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【变式16-1】程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【变式16-2】《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 【考点题型十七】一元一次方程应用-几何问题 【典例17】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B，C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是的中点，则手表全长 ． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ① ； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过________分钟，的度数是． 【变式17-1】如图，是由8个形状、大小都相同的小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形的周长是20，那么每个小长方形的周长是 ．    【变式17-2】已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，点是的中点． (1)请根据题意将图形补充完整，直接写出线段是线段的倍数； (2)动点、、在线段上，点从原点出发，以每秒4个单位的速度沿运动，到达点停止；点从的中点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、、同时出发，设运动的时间为秒． ①是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； ②在点的整个运动过程中，求点可能落在线段上的总时长． 【变式17-3】好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度． 【考点题型十八】一元一次方程应用-水费和电费问题 【典例18】某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？ (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为______间． 【变式18-1】为促进节约用水，某地按月实行阶梯水价，价目如下表（表示立方米）： 阶梯 月用水量（） 单价（元） 第一阶梯 不超过22的部分 3 第二阶梯 超过22但不超过30的部分 5 第三阶梯 超过30的部分 7 (1)若居民家4月份共用水，则应交水费为______元； (2)若居民家5月份共交水费86元，则该居民家5月用水量为多少？ (3)若居民家5、6月用水量共（5月份用水量小于6月份用水量），这两个月共交水费174元，则C居民家5、6月用水量分别为多少？ 【变式18-2】某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示，请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量 收费单价 第一阶梯 的部分 2.67元 第二阶梯 的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 备注：若家庭人口超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元，请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2023年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到）？ 【变式18-3】某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每户居民预先自主选择．具体电价如下： 电价分类 时段 电价（元千瓦时） 非峰谷电价 全天小时 峰谷电价 高峰时段 上午晚上 低谷时段 晚上次日晨 现某居民户月份用电千瓦时． (1)若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电千瓦时，请用含的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费． (2)若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费元，问该居民户高峰时段用电多少千瓦时？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 一元一次方程（18个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 【清单02】等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 【清单03】 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 【清单04】一元一次方程的实际应用 1.距离=速度·时间 2.工作量=工效×工时 工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量 3.顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 顺水逆水问题常用等量关系： 顺水路程=逆水路程 4.售价=定价 ； 利润问题常用等量关系： 售价-进价=利润 【考点题型一】识别方程和一元一次方程 【典例1】下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，解题的关键是依据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【详解】解：A、不是等式，故不是方程，不符合题意； B、是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不含有未知数，故不是方程，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元一次方程的识别，解题的关键是熟知一元一次方程的定义：含有一个未知数，且含未知数的项的次数是一次的方程．根据一元一次方程的定义即可判断． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、方程中，左边不是整式，故不是一元一次方程，不符合题意； C、方程中含有两个未知数，故不是一元一次方程，不符合题意； D、方程中未知数的次数是二次的，故不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】下列各式中，是一元一次方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数、并且含未知数的项的次数是1次的整式方程叫做一元一次方程，熟知概念是关键．根据一元一次方程的概念逐项判断即得答案． 【详解】解：A、不是等式，故不是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，故不是一元一次方程，不符合题意； C、是一元一次方程，符合题意； D、不是一次方程，故不是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断即可．本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据含有未知数的等式叫做方程，判断是方程，其余不是， 故选：C． 【考点题型二】根据一元一次方程的定义求参数 【典例2】已知关于的方程是一元一次方程，则实数的取值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ， 由①得， 由②得， 综上，． 故选：B． 【变式2-1】已知关于的方程是一元一次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据等式两边只有一个未知数且未知数的最高指数为1的方程是一元一次方程列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，， 解得：， 故选：C． 【变式2-2】若是关于x的一元一次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得，，求解即可． 【详解】由题意得：，解得： ∵，即 ∴ 故答案为：． 【变式2-3】若是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1的整式方程是一元一次方程． 根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点题型三】方程的解 【典例3】若是关于x的方程的解，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键．直接利用方程的解的定义代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-1】已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解，以及解一元一次方程．将代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：将代入得： ， ， ， ， 故选：B． 【变式3-2】已知是方程的解，则k的值是（   ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程即可求解． 【详解】解：由题意得：代入方程得： ， 解得： 故选：A 【变式3-3】关于的方程的解为，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【考点题型四】等式的性质 【典例4】如果，那么下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立；等式两边同时乘方或开方，等式依然成立；等式具有传递性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴根据等式的性质可得， A、，成立，不符合题意； B、，成立，不符合题意； C、，成立，不符合题意； D、当时，成立，但得不到，原选项错误，不符合题意； 故选：D ． 【变式4-1】将方程写成用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，等式两边同时减去即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 即， 故选：． 【变式4-2】如图，从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，下面与这一事实相符的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】此题主要考查了等式的性质和应用，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，根据等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式，可得：如果，那么． 【详解】解：从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，那么． 故选：A． 【变式4-3】下列选项中，利用等式的性质进行变形，不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质计算判断即可． 【详解】A. 如果，那么，正确，不符合题意； B. 如果，那么，正确，不符合题意； C. 如果，那么，正确，不符合题意；     D. 如果，当时，那么，故D错误，符合题意； 故选D． 【考点题型五】解一元一次方程 【典例5】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式5-1】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 【变式5-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得； （2）解：， 去小括号，得， 整理，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得． 【变式5-3】解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得 移项，得 合并同类项，系数化为1，得 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，系数化为1，得 【考点题型六】一元一次方程的同解问题 【典例6】关于的方程的解与方程的解相同，则的值是（ ） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，再将方程的解代入，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选A． 【变式6-1】已知关于的一元一次方程 和的解相同，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识．分别求出两方程的解，使它们相等，求的值． 【详解】解：解方程， 得：， 解方程， 得：， 则， 解得：； 故选：A． 【变式6-2】已知关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程的应用，关键是得出关于a的方程．求出第二个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵关于x的方程的解与方程的解相同， ∴把代入方程得：, 解得：． 故答案为：． 【考点题型七】一元一次方程的错解问题 【典例7】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【变式7-1】某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先设（    ）处为，则原式为，把代入解得，即可作答． 【详解】解：依题意，先设（    ）处为， 则原式为， 把代入，得 解得， 故选：C 【变式7-2】小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意把代入方程，得出，根据等式的性质求出方程的解是，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解， ∴把代入方程，得， ， ， ， ， 方程为， ， ， ， ， ， 即，方程的解是． 【变式7-3】小明是七年级（2）班的学生，他在对方程 去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】， 【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解． 【详解】解：∵方程右边的忘记乘6，求出的解为， ∴， 解得， 则原方程为： ， 去分母，得， 移项、合并同类项，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程错解问题以及解一元一次方程，根据错误的解法得到a的值是解题的关键． 【考点题型八】根据一元一次方程的关系解方程 【典例8】当为何值时，关于的方程的解比关于的方程的解大6． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．通过解关于的方程、，分别求得它们的解，然后依题意列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解方程的解是：； 方程的解是：， 依题意，得， 解得，． 【变式8-1】若关于x的方程的解是关于x的方程的解的2倍，求关于x的方程的解． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤．分别求出两个方程的解再根据方程的解是关于x的方程的解的2倍求出a，即可求解． 【详解】解：方程去分母，得， 合并同类项得， 方程去分母，得， 移项，得 系数化为1，得， 方程的解是关于x的方程的解的2倍， ， 解得：， 将代入方程得 ， 解得：． 【变式8-2】当k为何值时，关于x的方程的解比关于x的方程的解大6？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是求出各个方程的解，再列出含的方程求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程的解比关于x的方程的解大6 ∴， 解得：． 【变式8-3】已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先求出方程的解，再求出方程的解，两者差额为，即可解答． 【详解】 根据题意可知： 【考点题型九】一元一次方程应用-工程问题 【典例9】涑水河，黄河中游支流，流域位于山西省南部的运城市境内，发源于绛县中条山区陈村峪，向西南流经闻喜县、夏县、运城市盐湖区、临猗县、永济市，于永济市韩阳镇长旺村汇入黄河，为把涑水河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的沿河旅游风景区，现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】75米，150米 【分析】本题一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道米，根据七作时间等于工作量除以工作效率，以共用时20天为等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 解得：， 则， 答：甲、乙两工程队分别整治河道75米，150米． 【变式9=-1】甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． (1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ (2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 (2)8天 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道，共用时间4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据总费用刚好102万元，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道米，根据题意，得 解得： ∴ 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）解：设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队单独挖掘天，根据题意，得 解得： 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 【变式9-2】列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米． (1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？ (2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？ 【答案】(1)甲原计划每天修，乙原计划每天修 (2)甲工程队提高效率后平均每天施工 【分析】本题考查的是一元次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设甲原计划每天修米．则乙为米．利用“原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程”建立一元一次方程求解即可； （2）设甲提高后速度为米/天，由各部分的工作量之和等于总工作量列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲原计划每天修米．则乙为米． , 解得：, 乙：, 答：甲原计划每天修，乙原计划每天修． （2）设甲提高后速度为米/天 解得： 答：甲工程队提高效率后平均每天施工． 【变式9-3】整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作小时？ 【答案】应先安排人工作小时 【分析】设应先安排人工作小时，依题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设应先安排人工作小时，依题意得， 解得： 答：应先安排人工作小时． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 【考点题型十】一元一次方程应用-行程问题 【典例10】甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的缩短至，运行里程比原来缩短了．已知动车组列车的平均速度比普通列车的平均速度快，求动车组列车的平均速度． 【答案】动车组列车的平均速度为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设高铁的平均速度为，建立方程解答即可，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 【详解】设动车组列车的平均速度为，则普通列车的平均速度为， 由题意，得， 解得， 答：动车组列车的平均速度为． 【变式10-1】一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【答案】(1)120千米 (2)1小时和小时 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）解：设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 ， 理整得， 解得， 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时小时． 于是由题意有， 整理得， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 【变式10-2】随着人们生活水平的提高，人工智能扫地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电用品．为了测试两款机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫（路途中没有障碍物遮挡），已知出发后经3分钟两个机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达A地，A，B相距45米． (1)甲、乙两个机器人的速度分别是多少？ (2)从A，B两地同时出发后，经过多少时间后两个机器人相距6米？ 【答案】(1)甲机器人速度：6米/分，乙机器人速度：9米/分 (2)分钟或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：正确列式是解题的关键． （1）先算出乙的速度，再设甲速度为米/分，根据“出发后经3分钟两个机器人相遇，A，B相距45米”，即可列式作答． （2）分类讨论，第一种情况是相遇前相距6米；第二种情况是相遇后相距6米，分别列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵出发后经3分钟两个机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达A地，A，B相距45米． ∴（米/分）； 设甲速度为米/分， 则 解得 答：甲机器人速度：6米/分，乙机器人速度：9米/分； （2）解：设经过分钟后两个机器人相距6米， 则相遇前相距6米，有 解得； 则相遇后相距6米，有 解得； 综上：经过分钟或分钟后两个机器人相距6米． 【变式10-3】元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走，下山时按原路返回，下山每小时走，结果上山比下山多花小时，设下山所用时间为x小时，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据上山和下山的路程相等，列出方程即可． 【详解】解：设下山所用时间为x小时，则上山的时间为小时，由题意，得： ； 故选B． 【考点题型十一】一元一次方程应用-比赛积分问题 【典例11】某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 14 10 4 24 14 7 7 21 14 4 10 18 (1)求出胜一场、负一场各积多少分？ (2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由． 【答案】(1)胜一场记2分，负一场记1分 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用， （1）设胜一场记分，则负一场记分，根据表格列方程求解即可； （2）设胜场数是，负场数是，根据题意算出的值，结合实际情况即可求解． 【详解】（1）解：设胜一场记分，则负一场记分， 根据题意得：， 解得， ， 答：胜一场记2分，负一场记1分； （2）解：胜场总积分不能等于负场总积分，理由如下： 设胜场数是，负场数是， 依题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴不符合题意， ∴胜场总积分不能等于负场总积分． 【变式11-1】第十九届亚洲运动会开幕式于年月日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一支球队一共进行了场比赛，输了场，得分．设该球队胜了场，则下列所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，首先设该球队胜了场，则平了场，根据题意得，读懂题意，列出方程是解题关键． 【详解】解：设该球队胜了场，则平了场， 根据题意列方程为：， 故选：． 【变式11-2】某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 【答案】胜了5场 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场，根据胜一场得2分，平一场得1分，共得13分，列出方程求解即可． 【详解】解：设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场， 根据题意，得 解这个方程，得． 答：此次比赛中勇士队胜了5场． 【变式11-3】2023年5月，贵州省榕江县足球超级联赛在该县城北新区体育馆开幕，现场观众最多时达到5万人，平均每场比赛超5000万人次在线围观，全网流量突破300亿次……．这场“村超”的火爆“出圈”提升了贵州乡村人民对自己文化、生活的自豪和自信．下表呈现的是各村足球队中部分参赛队根据积分规则得到的不完整积分表． 参赛队 局次 胜 和 负 积分 朗洞镇平地村 9 6 2 1 20 小瑞村 9 5 2 2 17 三江四格队 9 0 0 9 0 平永村队 9 1 14 观察表格，解决下列问题： (1)本次比赛：“胜”一局得______分，“和”一局得______分，“负”一局得_____分； (2)请在表格中将“平永村队”的积分补充完整； (3)在积分规则不变的前提下，若此系列赛每个队共对弈21局，“美乡村队”最终胜的局数是负的局数的2倍，你认为“美乡村队”的最终得分可以是40分吗？请说明理由． 【答案】(1)3，1，0； (2)图表见详解 (3)不可能是40分，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据表格信息，找出等量关系，列出方程，准确解方程． （1）根据三江四格队负了9局，得了0分可知，负一场得0分，设本次比赛胜一局得x分，根据朗洞镇平地村可知，和一场得分，根据小瑞村，胜5场，和2场，负2场得17分，列出方程，解方程即可； （2）设平永村队在已经进行的9局比赛中胜局、和局，根据得分为14分，列出方程，解方程即可； （3）设“美乡村队”负的局数为局，则胜的局数为局，根据得分为40分，列出方程，解方程，得出，根据必须取整数，得出“美乡村队”的最终得分不可能等于40分． 【详解】（1）解：∵三江四格队负了9局，得了0分， ∴负一场得0分， 设本次比赛胜一局得x分，根据朗洞镇平地村可知，和一场得分，根据小瑞村，胜5场，和2场，负2场得17分，可列方程， ， 解得：， 则和一场得， 故答案为：3；1；0． （2）解：设平永村队在已经进行的9局比赛中胜局、和局，根据题意得： ， 解得：， （局）， 答：平永村队在已经进行的9局比赛中胜3局、和5局． 表格补充如下： 参赛队 局次 胜 和 负 积分 朗洞镇平地村 9 6 2 1 20 小瑞村 9 5 2 2 17 三江四格队 9 0 0 9 0 平永村队 9 3 5 1 14 （3）解：设“美乡村队”负的局数为局，则胜的局数为局． 根据题意，得， 解这个方程，得， 必须取正整数， 故“美乡村队”的最终得分不可能是40分 【考点题型十二】一元一次方程应用-经济问题 【典例12】某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示： 商品名 甲 乙 批发价（元/千克） 4 6 零售价（元/千克） 10 12 (1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克； (2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？ 【答案】(1)批发甲商品40千克，乙商品60千克 (2)打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）设批发甲商品x千克，则批发乙商品千克， 根据总进货价为520元列出方程，解之即可； （2）设打折前售出相同的重量为千克，根据打折前和打折后的利润之和为464元列出方程，解之可得结果． 【详解】（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克， 依题意，得， 解得， ∴（千克）， ∴批发甲商品40千克，乙商品60千克； （2）解：设打折前售出相同的重量为千克，由题意可得： ， 解得， ∴甲商品：（千克）；乙商品：（千克）； ∴打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克． 【变式12-1】（1）小明骑自行车从家到学校，若每小时行驶10千米，则晚到4分钟；若每小时行驶15千米，则早到4分钟．求小明家到学校的路程． （2）某水果店第一次用795元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的质量比乙种苹果质量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/千克） 5 8 售价（元/千克） 10 15 （ⅰ）该水果店第一次购进甲、乙两种苹果各多少千克？ （ⅱ）该水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的质量不变，且按原价销售；乙种苹果的质量是第一次的3倍，并打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为595元，则第二次乙种苹果按原价打几折销售？ 【答案】（1）小明家到学校的路程为4千米；（2）（ⅰ）该水果店第一次购进甲种苹果千克，乙种苹果千克；（ⅱ）第二次乙种苹果按原价打折销售 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设小明家到学校的路程为a千米，根据时间路程速度结合每小时行驶10千米，则晚到4分钟；若每小时行驶15千米，则早到4分钟列出方程求解即可； （2）（ⅰ）设水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果千克，根据总价单价数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（ⅱ）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，根据总利润每千克的利润销售数量（购进数量），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设小明家到学校的路程为a千米， 由题意得，， 解得， 答：小明家到学校的路程为4千米； （2）（ⅰ）解：设绿叶水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果千克， 依题意，得：， 解得：， ∴（千克）． 答：该水果店第一次购进甲种苹果千克，乙种苹果千克； （ⅱ）设第二次乙种苹果按原价打y折销售， 依题意，得：， 解得：． 答：第二次乙种苹果按原价打折销售． 【变式12-2】小王自主创业开了一家服装店，经营一段时间后，小王发现每件进价为200元的A种服装，按标价的八折出售时的利润率为． (1)求A种服装的标价为多少元？ (2)已知B种服装的进价为300元，小王售完两种服装后，又以原来的价格购进A，B两种服装共110件，所用资金为28000元． ①求购进的A，B两种服装各多少件？ ②由于小王对市场需求了解不清楚，换季时，A种服装虽已全部售出，但B种服装按标价400元只售出了10件，为了尽快回笼资金，小王决定对剩余的B种服装打折处理，在B种服装恰好保本的情况下，剩余的B种服装打几折处理？ 【答案】(1)A种服装的标价为300元 (2)①A种服装购进50件，B种服装购进60件；②剩余的B种服装打七折处理 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； （1）设A种服装的标价为元，根据利润率的计算方法列方程求解即可； （2）①设购进的A种服装有件，则购进的B种服装有件，根据购进A，B两种服装共110件，所用资金为28000元列方程求解即可； ②设剩余的B种服装打折处理，根据只售的10件的金额加上处理部分的进而等于B种服装进货总额，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A种服装的标价为元， 由题意得：， 解得：， 答：A种服装的标价为300元； （2）①设购进的A种服装有件，则购进的B种服装有件， 由题意得：， 解得：， 则， 答：A种服装购进50件，B种服装购进60件； ②设剩余的B种服装打折处理， 由题意得：， 解得：， 答：剩余的B种服装打七折处理． 【变式12-3】2023年12月第六届遵义羊肉粉美食文化旅游节在遵义凤凰山文化广场举行，某袋装羊肉销售铺从厂家购进了甲、乙两种袋装羊肉，甲种袋装羊肉的每袋进价比乙种袋装羊肉的每件进价少15元．若购进甲种袋装羊肉7袋，乙种袋装羊肉5袋，需要795元． (1)求甲、乙两种袋装羊肉的每袋进价分别是多少元？ (2)该袋装羊肉销售铺从厂家购进了甲、乙两种袋装羊肉各45袋．在销售时，甲种袋装羊肉的每袋售价为75元，乙种袋装羊肉的每袋售价为100元，在实际销售过程中，商店按售价将购进的全部甲种袋装羊肉和部分乙种袋装羊肉售出后，决定将剩下的乙种袋装羊肉打九折销售，两种袋装羊肉全部销售完后，共获利1580元，求乙种袋装羊肉打折之前销售了多少袋？ 【答案】(1)甲种袋装羊肉每袋进价为60元，则乙种袋装羊肉每袋进价为75元 (2)23 【分析】本题考查一元一次方程实际应用， （1）根据题意设甲种袋装羊肉每袋进价为x元，则乙种袋装羊肉每袋进价为元，再列式求出x即可； （2）根据题意设乙种袋装羊肉打折之前销售a袋，打折销售袋，再列式求出a即可． 【详解】（1）解：设甲种袋装羊肉每袋进价为x元，则乙种袋装羊肉每袋进价为元． 由题意有：，解得， ∴． 答：甲种袋装羊肉每袋进价为60元，则乙种袋装羊肉每袋进价为75元． （2）解：设乙种袋装羊肉打折之前销售a袋，打折之后销售袋． 由题意有：， 解得． 答：乙种袋装羊肉打折之前销售23袋． 【考点题型十三】一元一次方程应用-方案问题 【典例13】中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元 (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟 (3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元 【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是正确解答的关键． （1）根据计费方法A的计费标准进行计算即可； （2）先估算通话时间，再利用计费方法B的解法标准进行计算即可； （3）求出用计费方法B的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费方法A计算费用，比较得出答案． 【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元）， 答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元； （2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟， 则， 解得， 答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟； （3）解：设通话时间是分钟，由题意可得 ， 解得， 当通话时间为400分钟时，（元）， （元）， 答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元． 【变式13-1】某校为纪念“一二·九运动”八十七周年，丰富校园文化生活，增强学生的身体素质，培养同学们的集体荣誉感和团结协作精神，特举办一场文体活动，全校各班都积极参与本次活动，为表彰在本次活动中表现出色的班级，学校将购买一些乒乓球和乒乓球拍作为活动奖励，经向两家商店进行价格咨询，了解情况如下： 若该校需购买乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒） (1)当购买乒乓球多少盒时，甲、乙两家商店收费金额一样多？ (2)当购买30盒乒乓球时，从节约角度考虑，学校应该去哪家商店购买？为什么？ 【答案】(1)购买乒乓球40盒时，甲、乙两家商店收费金额一样 (2)当购买30盒乒乓球时，学校应该去甲商店购买；理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设购买乒乓球x盒时，甲、乙两家商店收费金额一样，根据甲、乙两家商店收费金额一样多，列出方程，解方程即可； （2）分别求出当购买30盒乒乓球时，两家商店需要的金额，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买乒乓球x盒时，甲、乙两家商店收费金额一样， 依题意可列方程得： ， 解得，， 答：购买乒乓球40盒时，甲、乙两家商店收费金额一样； （2）解：当购买30盒乒乓球时，学校应该去甲商店购买；理由如下： 当购买30盒乒乓球时，甲商店需支付元，乙商店需支付元，则： ， ， 因为， 所以当购买30盒乒乓球时，学校应该去甲商店购买． 【变式13-2】2023年9月23日－10月8日，第十九届亚洲运动会在中国杭州举行，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”倍受广大群众喜爱．新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动优惠方式如下： 甲商店：买一个挂件送一个徽章； 乙商店：挂件和徽章都按8折（标价的80％）出售． 如果学校计划订购挂件30个，徽章若干（多于30个）， (1)当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需__________元； (2)当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同； (3)当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由． 【答案】(1)1300 (2)190 (3)最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用： （1）用30个挂件的费用加上5个徽章的费用，即可求解； （2）设当订购x个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解； （3）分别求出在甲商店购买费用；在乙商店购买费用；在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个的费用，即可求解． 【详解】（1）解：元， 即在甲商店订购，费用需1300元， 故答案为：1300； （2）解：设当订购x个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同，根据题意得：， 解得：， 答：当订购190个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同； （3）解：最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，理由如下： 若在甲商店购买，费用为元， 若在乙商店购买，费用为元， 若在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个，费用为 元， ∵， ∴最省钱的订购方案为在甲商店购买挂件30个，徽章30个，在乙商店购买徽章70个． 【变式13-3】某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折； 已知两家超市相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ (2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？ (3)若某顾客购物总额相同，其在乙超市实付款482元，问其在甲超市需实付款多少元？ 【答案】(1)在甲超市购买实付款为352元，在乙超市购买实付款为360元 (2)当购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同 (3)其在甲超市需实付款475.2元 【分析】（1）根据两个超市的促销方式分别计算即可； （2）设当购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同，根据题意列方程即可求解； （3）设该顾客购物总额为y元，先说明在乙超市购物总额超过500元，再根据乙超市的促销方式列方程求解在乙超市的购物总额，再求出甲超市的实付款数额即可． 【详解】（1）在甲超市购买实付款为（元）， 在乙超市购买实付款为（元）． 答：在甲超市购买实付款为352元，在乙超市购买实付款为360元． （2）设当购物总额是x元时，甲、乙两家超市实付款相同， 依题意得：， 解得：． 答：当购物总额是625元时，甲、乙两家超市实付款相同． （3）设该顾客购物总额为y元， ∵， ∴购物总额超过500元， 依题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：其在甲超市需实付款475.2元． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意正确列出方程是解题的关键． 【考点题型十四】一元一次方程应用-数字问题 【典例14】有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 【变式14-1】将这9个数填入的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（如图①），是世界上最早的幻方，仅可以看到部分数值的“九宫格”（如图②），其中 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等可得，即可解得答案． 【详解】解：根据任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等可得： ， 解得， 故答案为：5． 【变式14-2】无限循环小数可化成分数，如设，由可知，，所以，解得 ，于是得，故化成分数的形式结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，设，由题意可得，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设， 由可知，， 所以， 解方程，得， 于是得； 故答案为：． 【变式14-3】观察下表三行数的规律，回答下列问题： 第列 第列 第列 第列 第列 第列 … 第行 … 第行 … 第行 … (1)________，________． (2)第行某一列的数为，则第行与它同一列的数为________． (3)已知第列的三个数的和为，若设第行第列的数为，试求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：从一组数字的每个数与这个数字的数位之间的关系发现规律；也可从一组数字的前后两个数之间的关系发现规律． （）通过观察发现，，，，，，…，后面一个数都是前面一个数的倍； （）比较第二行数字与第一行数字，易得到第二行数字都是由第一行数字的每一个数加上； （）比较第三行数字与第一行数字，易得到第三行数字都是由第一行数字的每一个数除以；由此规律解决问题即可． 【详解】（1）解：第行的第四个数是； 第行的第六个数是÷， 故答案为，； （2）解：若第行的某一列的数为，则第行与它同一列的数为． （3）解：根据题意，这三个数依次为，，得， ， 解得：． 【考点题型十五】一元一次方程应用-日历问题 【典例15】将从1到900的正整数按一定规律排列如下表： 对如图十字形框中的5个数进行探究： (1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数为 ； (2)若这5个数的和是 240，求出这5个数中间的数： (3)这5个数的和可能是2025 吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由． (4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于 【答案】(1)， (2) (3)不能 (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到数据的规律，列出正确的方程是本题的关键． （1）设中间的数为，其他四个数分别为，即可得最小的数和最大的数； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）根据题意列出方程，可求为，可得是的倍数，则在第列，则这个数的和不可能是； （4）根据表中数据分别求出五个数的最大值和五个数的最小值，在作差即可． 【详解】（1）设中间的数为，其他四个数分别为，则最小的数，最大的数为 ， 故答案为： （2）由（1）得: ， 解得， 答：这个数中间的数为； （3）不能，理由为： 由 （1）得:， 解得， ， ∴是第列的数， ∴这个数的和不可能是； （4）当这个数的和最大时，，则， ， 当这个数的和最小时 ，则 ， ， 故答案为:． 【变式15-1】如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为，那么该“十”字型中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算．设中心数为x，根据5个数之和等于115，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设中心数为x，根据题意得： ， 解得：， ∴该“十”字型中正中间的号数为23， 故选：D． 【变式15-2】在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（　　） A．54 B．62 C．65 D．75 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设三个数中最小的数为x，则另外两数分别为，，令三个数之和分别为四个选项中的数，解之即可得出x的值，再结合月历表的特征注意判断即可． 【详解】解：设三个数中最小的数为x，则另外两数分别为，， ∴三个数的和为， 依题意得：， 解得，由月历表可知此时框出的三个数是11，18，25，故A符合题意； ，解得，不是整数，故B不符合题意， ，解得，不是整数，故C不符合题意， ，解得，由月历表可知此时不能框出符合题意的三个数，故D不符合题意， 故选：A． 【变式15-3】如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（   ） A．49 B．60 C．84 D．105 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．先设中间的数为x，则上一行3个数分别是，下一行3个数分别是，然后列方程求解即可． 【详解】解：先设中间的数为x，则上一行3个数分别是，下一行3个数分别是， 则这7个数的和为， A、若，则，观察日历，不存在，本选项不符合题意； B、若，则，不是整数，故本选项不符合题意； C、若，则，观察日历，不存在，本选项不符合题意； D、若，则，本选项符合题意； 故选：D． 【考点题型十六】一元一次方程应用-古代问题 【典例16】《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【详解】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：， 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：， 则可建立方程：． 故选：B． 【变式16-1】程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设大和尚有x人，则小和尚有人，根据题意列出一元一次方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有人， 根据题意有：， 故选：C． 【变式16-2】《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设绳长为尺，根据“将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．”即可求解． 【详解】解：设绳长为尺，根据题意得： ． 故选：D． 【变式16-3】我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出数量关系是解题关键．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可． 【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗， 由题意可得：， 故选：A． 【考点题型十七】一元一次方程应用-几何问题 【典例17】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B，C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是的中点，则手表全长 ． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ① ； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过________分钟，的度数是． 【答案】(1)12 (2)① 75；②或 (3)t的值为或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，钟面角的计算，一元一次方程的应用： （1）根据线段的中点，求出的长，比例关系，求出的长，再根据，计算即可； （2）①求出分针每分钟走，时针每分钟走，根据角的和差关系进行求解即可； ②分在的内部和在的外部，两种情况进行求解即可； （3）设经过t分钟，的度数是，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：因为B是的中点．所以． 所以． 因为， 所以． 所以． （2）①分针每分钟走，时针每分钟走． 30分钟时针走过， 即时针从8点到走过，所以． ②当在的内部时，， 所以 ． 当在的外部时，． 综上，的度数为或． （3）解：设经过t分钟，的度数是． 因为时针与分针每分钟走的度数差为， 所以． 因为平分，所以． 当时，； 当时，． 综上，t的值为或． 【变式17-1】如图，是由8个形状、大小都相同的小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形的周长是20，那么每个小长方形的周长是 ．    【答案】8 【分析】本题考查了利用一元一次方程组解决图形面积的问题，由图可得出小长方形的长是宽的三倍，再设小长方形的宽为，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：由图可知：小长方形的长是宽的三倍，设小长方形的宽为，故小长方形的长为，可得：， 解得：， 小长方形的宽为，长为， 故小长方形的周长为：， 故答案为：8． 【变式17-2】已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，点是的中点． (1)请根据题意将图形补充完整，直接写出线段是线段的倍数； (2)动点、、在线段上，点从原点出发，以每秒4个单位的速度沿运动，到达点停止；点从的中点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、、同时出发，设运动的时间为秒． ①是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； ②在点的整个运动过程中，求点可能落在线段上的总时长． 【答案】(1)图见解析， (2)①存在，；②秒 【分析】本题是数轴的一个综合题，涉及非负数性质，一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的难点与关键． （1）利用绝对值和平方的非负性质即可求解； （2）①先得出，再根据已知条件得出关于t的一元一次方程求解即可． ②分别求出点在上与点相遇时、与点相遇时，点从返回到，与点相遇时、与点相遇时，t的值，然后求解即可． 【详解】（1）解：， ，且， 解得，，， 点是的中点， 点对应的数为2， ，， ； 补充图形如下： （2）①点从的中点出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动， ， 则， 点、两点同方向同速度， ， ， ， 解得：， 根据题意，得，符合题意， 存在值，使得，此时； ②点在上与点相遇时，， 与点相遇时，， 点从返回到，与点相遇时，， 与点相遇时，， 停止后还有3秒， 在点的整个运动过程中，点可能落在线段上的总时长． 【变式17-3】好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度． 【答案】杯子的高度是． 【分析】本题考查了圆柱的体积公式的运用，一元一次方程的几何应用，根据体积相等建立方程是解题的关键． 设杯子的高度为．根据个小圆柱形杯子的体积等于圆柱形容器的体积建立方程，求解即可． 【详解】解：设杯子的高度为． 根据题意，得  ． 解这个方程，得． 所以，杯子的高度是． 【考点题型十八】一元一次方程应用-水费和电费问题 【典例18】某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 （含400）的部分 3元/ 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变． 第二阶梯 （含800）的部分 4元/ 第三阶梯 以上的部分 5元/ (1)某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元． (2)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？ (3)某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为______间． 【答案】(1)1600，1500 (2)甲、乙两户分别用天然气 (3)6 【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键． （1）若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：； （2）设甲户年用气量为，则乙户年用气量为(，根据甲户年用气量大于乙户年用气量可得甲户年用气量超过，那么乙户年用气量不足，进而根据甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，列出方程求解即可； （3）设3人间有间，则4人间有间．根据为正整数，可得可能的整数值，那么可得3人间房间数和4人间房间数，根据用气标准得到3人间的年用气量和4人间的年用气量，进而判断出不同情况下的付费情况，比较后可得费用最低的宿舍分配方案． 【详解】（1）解：∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为3人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． ∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为4人， ∴需缴纳燃气费用：(元)． 故答案为：1600，1500； （2）设甲用户的用气量为，则乙用户的用气量为． ∵甲户年用气量大于乙户年用气量， ， 解得：． ， ， 解得：． ， 答：甲、乙两户年用气量分别是； （3）设3人间有间，则4人间有间． ∵为正整数， ∴或． ∴人间有4间或1间． 3人间煤气用量为：， 4人间煤气用量为：． 3人间2间，4人间4间． 需缴纳燃气费用：(元)． 3人间6间，4人间1间． 需缴纳燃气费用：(元)． ， ∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间． 故答案为：6． 【变式18-1】为促进节约用水，某地按月实行阶梯水价，价目如下表（表示立方米）： 阶梯 月用水量（） 单价（元） 第一阶梯 不超过22的部分 3 第二阶梯 超过22但不超过30的部分 5 第三阶梯 超过30的部分 7 (1)若居民家4月份共用水，则应交水费为______元； (2)若居民家5月份共交水费86元，则该居民家5月用水量为多少？ (3)若居民家5、6月用水量共（5月份用水量小于6月份用水量），这两个月共交水费174元，则C居民家5、6月用水量分别为多少？ 【答案】(1)45 (2)居民家5月份用水量为． (3)居民家5月份用水量为，6月份用水量为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的混合运算以及一次函数的应用，解题的关键是理解各数量之间的关系， （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出居民家4月份的水费； （2）据题意和表格中的数据，可以列出方程计算出居民家5月份的用水量； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得5、6两个月用水量； 【详解】（1）根据题意得：（元， 应交水费为45元． 故答案为：45； （2），，， 居民家5月份用水在之间， 设居民家5月份用水 ， ， 解得， 居民家5月份用水量为． （3）设居民家5月份用水量为 ，则6月份的用水量为， 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，，不符合题意，舍去． 答：居民家5月份用水量为，6月份用水量为． 【变式18-2】某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示，请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量 收费单价 第一阶梯 的部分 2.67元 第二阶梯 的部分 3.15元 第三阶梯 以上的部分 3.63元 备注：若家庭人口超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加 (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为______元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元，请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2023年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到）？ 【答案】(1)534，1383 (2) (3)甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量约为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据收费标准代入求解； （2）根据收费标准计算求解； （3）根据“2023年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3855元”列方程求解． 【详解】（1）解：一户3人家庭， 若年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元； 若年用气量为，该年此户需缴纳燃气费用为元； 故答案为∶534，1383； （2）， （3）若甲户年用气量为， 则燃气费用为， 甲户该年的用气量达到了第三阶梯， 由（2）得，当时，，解得， 甲户年用气量约为， 若乙户年用气量为，则燃气费用为， 乙户该年的用气量超过第一阶梯， 若乙户年用气量为， 则燃气费用为， 乙户该年的用气量达到第二阶梯，但末达到第三阶梯， 设乙户年用气量为，则， 解得， 乙户年用气量为． 答：甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量约为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 【变式18-3】某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每户居民预先自主选择．具体电价如下： 电价分类 时段 电价（元千瓦时） 非峰谷电价 全天小时 峰谷电价 高峰时段 上午晚上 低谷时段 晚上次日晨 现某居民户月份用电千瓦时． (1)若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电千瓦时，请用含的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费． (2)若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费元，问该居民户高峰时段用电多少千瓦时？ 【答案】(1)元 (2)千瓦时 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键． （1）先表示出高峰时用电数，然后分别求出高峰电费和低谷电费，二者相加就是该居民户这个月应缴纳的电费； （2）设该居民户高峰时段用电千瓦时，根据“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费元列出方程，然后解方程求解即可． 【详解】（1）解：该居民户月份用电千瓦时，其中低谷时段用电千瓦时， 则高峰时段用电千瓦时， 该户这个月应缴纳的电费可表示为元． （2）解：设该居民户高峰时段用电千瓦时，则低谷时段用电千瓦时， 则， 解得，， 故该居民户高峰时段用电千瓦时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$