清单04 基本平面图形（12个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版2024）

清单04 基本平面图形（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线、射线与线段 1.直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 2.基本事实 （1）经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 （2）两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 3.线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 4. 基本概念 （1）两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 （2） 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 5.双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【清单02】 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【清单03】多边形 1.多边形的定义 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2） 正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 2.多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 3.截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 【清单04】圆 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性： 1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点6：圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【考点题型一】直线﹑射线和线段 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．点O在线段上 B．点B是直线的一个端点 C．射线和射线是同一条射线 D．图中共有3条线段 【答案】D 【分析】此题考查直线、线段、射线，关键是根据直线、线段、射线的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、点O在线段外，选项说法错误，不符合题意； B、点B是直线的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意； C、射线和射线不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】下列说法错误的是（    ） A．直线和直线是同一条直线 B．两点之间，直线最短 C．射线和射线不是同一射线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查的是直线，射线，线段的含义，根据定义逐一分析判断即可，熟记基本概念是解本题的关键． 【详解】解：直线和直线是同一条直线，故A不符合题意； 两点之间，线段最短，故B符合题意； 射线和射线不是同一射线，故C不符合题意， 两点确定一条直线，故D不符合题意； 故选B 【变式1-2】下列几何图形与相应语言描述相符的有（    ）    ①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用线段、直线和射线的语言描述逐一判断即可解题． 【详解】①直线a、b相交于点A，描述正确； ②射线与线段有公共点，描述错误； ③延长线段，描述正确； ④直线不经过点A，描述错误； 故选B． 【点睛】本题考查线段、射线和直线的语言描述，熟练把图形语言转化为文字语言是解题的关键． 【变式1-3】如图，下列表述不正确的是（    ）    A．直线和直线相交于点C B．点D在直线外 C．线段和射线都是直线的一部分 D．直线不经过点A 【答案】C 【分析】根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 【详解】解：A、直线和直线相交于点C，此选项正确，故不符合题意； B、点D在直线外，此选项正确，故不符合题意； C、线段是直线的一部分，射线不是直线的一部分，此选项错误，故符合题意； D、直线不经过点A，此选项正确，故不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，注意它们之间的区别与联系． 【考点题型二】直线和线段的性质 【典例2】下面两个生活中的现象，用数学知识解释是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．现象1：两点之间，线段最短；现象2：两点确定一条直线 D．现象1：两点确定一条直线；现象2：两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短．直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案． 【详解】解：现象1：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 现象2：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 故选：C． 【变式2-1】在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③会场摆直茶杯，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”； 所以，在上列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③， 故答案为：①②③． 【变式2-2】期中考试布置教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很容易就整整齐齐了．这其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，直接利用两点确定一条直线可得答案． 【详解】解：期中考试布置教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很容易就整整齐齐了．这其中蕴含的数学道理是：两点确定一条直线； 故答案为：两点确定一条直线 【变式2-3】墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，熟练掌握这一知识点是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【考点题型三】线段和与差运算 【典例3】线段长，在直线上画长为的线段，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，分当点C在线段上时，当点C在线段的延长线上时，两种情况根据线段的和差关系讨论求解即可． 【详解】解：当点C在线段上时，则， 当点C在线段的延长线上时，则， 故选：D． 【变式3-1】在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点、、，得出，再代数计算，即可作答． 【详解】解：在直线上顺次取三点、、， ， ，， ， 故选：D． 【变式3-2】如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 先根据题意设可设，，，即可表示，再根据中点的定义表示出，进而表示出，再结合的长列出方程，求出解，最后根据得出答案． 【详解】解：由B，C两点把线段分成三部分，可设，，， 所以． 因为M是的中点，所以， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 【考点题型三】线段中点运算 【典例3】如图，线段．C是线段的中点，D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点E，满足，求的长． 【答案】(1)的长为18 (2)的长为10或14 【分析】本题主要考查线段的和差运算，掌握中点的运算是解题的关键． （1）根据线段的中点先算出的长，再根据线段的和差即可求解； （2）根据题意可算出的长，分类讨论，当点E在之间时；当点E在之间时；由此即可求解． 【详解】（1）∵点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， ∴线段的长为18； （2）∵， ∴， 当点E在之间时，； 当点E在之间时，； 综上所述，的长为10或14． 【变式3-1】如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． 【变式3-2】有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 【变式3-3】已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 【变式3-4】如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点有关的计算． （1）先求出，再求出，根据线段的中点求出的长即可； （2）求出，，把代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 【考点题型四】角度制单位换算 【典例4】用度来表示 ． 【答案】 【分析】本题考查角度换算，涉及，先将秒化为分，再将分化为度即可得到答案，熟记角度之间的换算关系是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 【变式4-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度数的加减计算法则，解题的关键是掌握角度数的加减计算法则． 根据角度数的加减计算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】 ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题关键是掌握计算法则，注意度、分、秒之间的单位换算．按照角度的加减计算法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式4-3】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的比较大小．将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ∵． ∴， 故选：A． 【考点题型五】方位角 【典例5】如图，是直角，则射线表示的方向是（ ） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题考查方位角．根据题意，求出即可判断． 【详解】解：如图， 射线表示的方向是南偏东． 故选：B． 【变式5-1】如图，一艘船在A处遇险后向相距位于B处的救生船报警，A处相对于B处的位置，下列描述最准确的是（    ） A．距救生船处 B．南偏西方向上的处 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上的处 【答案】D 【详解】解：由方向角的定义可知， A在B的北偏东方向上的处， 故选：D． 【变式5-2】如图，点A，B，C分别表示学校、小明家、超市，已知学校在小明家的北偏东方向上，且，则超市在小明家的（　　） A．北偏西方向上 B．北偏西方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 【答案】A 【分析】此题主要考查了方向角表示位置，根据题意可得，则由角的和差关系可得，再根据方向角的定义即可解答． 【详解】解：∵学校在小明家的北偏东方向上， ∴， ∵， ∴， ∴超市在小明家的北偏西方向上， 故选：A． 【变式5-3】如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，根据题意即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键 【详解】解：如图所示标注字母， 由题意知：， ， ∴， 故答案为：． 【考点题型六】钟面角 【典例6】如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用钟表表盘的特征解答．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为． 【详解】解：下午四点半钟，时针和分针中间相差1.5个大格． 钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为， 下午四点半钟分针与时针的夹角是． 故选：C 【变式6-1】在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键．根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：时针与分针相距份，每份的度数是， 在时刻，时钟上时针和分针之间的夹角（小于平角的角）为． 故选：B． 【变式6-2】如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角问题，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度．时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，由此即可算出时分钟时，时针、分针与12时的夹角，即得答案． 【详解】∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转， ∴钟表上时分钟时，时针从时转过分钟转了，此时时针与垂直线的夹角为，分针从的位置顺时针转了， ∴时分钟时分针与时针的夹角． 故选C． 【变式6-3】如图是一个钟面，上午8时正的时针和分针位置如图所示，则分针和时针所成角的度数是 ． 【答案】/度/ 【分析】本题主要考查了角度的运算，解题的关键是掌握时针转一圈是一个周角． 根据时针转一圈是可求出每小时时针转动的角度，即可求解． 【详解】解：根据图形，8点整分针与时针的夹角正好是． 故答案为：． 【考点题型七】余角和补角 【典例7】若，则的补角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了补角的定义，两角相加为，则两角互补．根据补角的定义进行解答即可． 【详解】解：的补角的度数为． 故选：C． 【变式7-1】若和互余，与互补，，则与的度数分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了互为余角互为补角的定义，若两角的和为，则两角互余；若两角的和为，则两角互补，比较简单． 根据若两角的和为，则两角互余；若两角的和为，则两角互补，解答即可． 【详解】解：∵与互补，， ∴； 又∵和互余， ∴， 故选：B． 【变式7-2】有一个角的补角为，则这个角的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，解一元一次方程，设这个角是，则它的补角是，它的余角是，求出即可求解，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】设这个角是，则它的补角是，它的余角是， 根据题意有： ， 解得 ， 它的余角， 故答案为：． 【变式7-3】若，则的余角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，解题的关键是熟练掌握互余的两个角和为．根据余角定义列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为：． 故答案为：． 【考点题型八】角分线的定义及简单运算 【典例8】已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，数形结合根据射线的位置分类讨论是解题关键． （1）根据平角的定义计算求值即可； （2）根据余角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再计算角度和即可； （3）由余角的定义可得，分射线在内部、射线在外部两种情况，分别计算角的差、和即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵与互余， ∴， ∴， ①当射线在内部时，如图，   ； ②当射线在外部时，如图，   ． 综上所述，的度数为或． 【变式8-1】已知，射线平分，则的度数为 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得的度数是关键，因考虑不周，容易漏掉一种情况的解．分两种情况在内或外），分别首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数． 【详解】解：当在内时，如图1， 则， 射线平分， ； 当在外时，如图2， 则， 射线平分， ． 综上，或． 故答案为：或． 【变式8-2】如图，是平角，是射线，、分别是、的平分线，若，则的度数为 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查角平分线的定义，平角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据角平分线的定义求出，推出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：平分， ． ． 平分， ． 故答案为：． 【变式8-3】如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算．先根据角平分线的定义得出，，再根据，算出，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【考点题型九】三角板中角度计算问题 【典例9】一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差．熟练掌握角的和差计算，是解决问题的关键． 利用与的和减去的差即得． 【详解】∵， ∴， ∵， ， ∴． 故选：B． 【变式9-1】如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 【答案】180 【详解】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据进行求解即可． 【分析】解：由题意得，， ∴． 故答案为：180． 【变式9-2】把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，平分，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质；利用角平分线的基本性质来计算角度是关键．先容易求得，在根据、分别平分，由图可知所求角等于加上的一半． 【详解】解：由题可知： ∵平分，平分， ∴ 故答案为 【变式9-3】如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，用含x的代数式表示出后根据建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【考点题型十】作线段（尺规作图） 【典例10】如图，已知四点，请按要求作图并解答．    (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 【答案】(1)见解析 (2)②③ 【分析】（1）①根据射线的定义作图即可；②直接连接即可；③以A为圆心，以为半径画圆弧，与射线直线交于M；④连接与的交点即为所求； （2）根据直线、线段、射线的定义逐个判断即可解答． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②线段即为所求； ③线段即为所求； ④点P即所求．    （2）解：①图中的线段有，共9条，则①错误； ②由与的交点，则点P是点在线段的延长线上，即②正确； ③图中射线，共2条，则③正确；图中共有6条线段的说法是正确的； ④由射线本来就无限延伸，故不需要延长，则④错误． 故答案为②③． 【点睛】本题主要考查了基本作图，直线、线段、射线的定义，线段的性质等知识点，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． 【变式10-1】如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段、射线、直线； (2)在射线上作线段； (3)连接，在四边形内求作一点，使得最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了线段、射线、直线的画法，两点之间，线段最短的应用，准确画图，知道线段和最小值的确定方法是解题的关键． （1）根据线段的特点，直线的特点画出，注意直线的双向伸展性； （2）先画射线，点是起始点，点是方向点，用圆规截取等长即可； （3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点； 【详解】（1）根据题意作图如下：    （2）根据题意作图如下：    （3）根据线段最短，确定最小值的位置是、的交点，作图如下：    【变式10-2】如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求： (1)画出线段（尺规作图） (2)求线段、的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查尺规作图——作线段等于已知线段，线段的中点，线段的和差． （1）作射线，以点M为圆心，的长为半径画弧，与交于点E，则，同理作，则，以点F为圆心，的长为半径，交线段于点G，则，则，为所求． （2）根据线段的和差与线段的中点即可解答． 【详解】（1）解：如图，，，则线段，为所求图形． （2）解：∵ ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴． 【变式10-3】如图，已知平面上有不共线的三点，，．用直尺和圆规作图： (1)作线段，射线； (2)在射线上作出一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——作线段，线段和射线的定义，根据题意正确画图是解题关键． （1）根据线段和射线的定义作图即可； （2）以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，此时，则，即可得解． 【详解】（1）解：如图，线段，射线即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作． 【考点题型十一】多边形对角线条数 【典例11】从多边形的一个顶点出发可以引出条对角线，这个多边形的边数为（　　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了多边形对角线的计算，根据多边形中，从一个顶点出发可以引出条对角线的计算方法即可求解． 【详解】解：根据题意，设多边形的边数为， ∴， 解得，， ∴这个多边形的边数为9， 故选：B ． 【变式11-1】一个八边形至少可以分割成三角形的个数为（   ） A．8 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握边形从一个顶点出发引出的对角线把多边形分成个三角形．根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，把多边形分成个三角形进行计算． 【详解】解：一个八边形至少可以分割成三角形的个数为：， 故选：C 【变式11-2】若一个多边形从某一个顶点出发最多可画5条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【答案】八/8 【分析】此题考查多边形的对角线，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，得出，求出n即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得， 解得． 故答案为：八 【考点题型十二】圆的相关概念你 【典例12】下列说法中，正确的个数是（    ） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆和弦的定义进行判断即可． 【详解】半圆是弧，故①错误，②正确； 弧不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的线段叫做弦，故④错误． ∴正确的有1个． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的认识．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键． 【变式12-1】下列说法中，错误的是（    ） A．顶点在圆心的角叫做圆心角 B．等于 C．各边相等的多边形叫做正多边形 D．在数轴上，与表示的点的距离为3的数有2和． 【答案】C 【分析】分别利用圆心角的定义以及正多边形的定义和角度的换算、数轴上的点的特征，分别分析得出答案． 【详解】解：A、顶点在圆心上的角叫圆心角，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故不正确，符合题意； D、在数轴上，与表示的点的距离为3的数有2和，正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形的定义和圆周角定义等知识，正确把握相关定义是解题关键． 【变式12-2】一座圆形花坛的半径为，中间雕塑的底面是边长为的正方形．如图，这个花坛的实际种花面积为 （取，结果精确到个位）． 【答案】 【分析】根据圆的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：依题意，这个花坛的实际种花面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求圆的面积，掌握圆的面积公式是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 基本平面图形（12个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】直线、射线与线段 1.直线、射线与线段的概念 注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能 延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量 2.基本事实 （1）经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线 （2）两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短 3.线段的性质 两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。 4. 基本概念 （1）两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。 （2） 线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点 5.双中点模型： C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则 【清单02】 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【清单03】多边形 1.多边形的定义 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 2.多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 3.截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 【清单04】圆 1.圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个长端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 备注：圆心确定圆的位置，半径度确定圆的大小。 【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2） 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2.圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点6：圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【考点题型一】直线﹑射线和线段 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．点O在线段上 B．点B是直线的一个端点 C．射线和射线是同一条射线 D．图中共有3条线段 【变式1-1】下列说法错误的是（    ） A．直线和直线是同一条直线 B．两点之间，直线最短 C．射线和射线不是同一射线 D．两点确定一条直线 【变式1-2】下列几何图形与相应语言描述相符的有（    ）    ①直线a、b相交于点A；②射线与线段没有公共点；③延长线段；④直线经过点A. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】如图，下列表述不正确的是（    ）    A．直线和直线相交于点C B．点D在直线外 C．线段和射线都是直线的一部分 D．直线不经过点A 【考点题型二】直线和线段的性质 【典例2】下面两个生活中的现象，用数学知识解释是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．现象1：两点之间，线段最短；现象2：两点确定一条直线 D．现象1：两点确定一条直线；现象2：两点之间，线段最短 【变式2-1】在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是 （填序号）． 【变式2-2】期中考试布置教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很容易就整整齐齐了．这其中蕴含的数学道理是 ． 【变式2-3】墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ． 【考点题型三】线段和与差运算 【典例3】线段长，在直线上画长为的线段，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知B，C两点把线段分成三部分，M为的中点，，求的长． 【考点题型三】线段中点运算 【典例3】如图，线段．C是线段的中点，D是线段的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上有一点E，满足，求的长． 【变式3-1】如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【变式3-3】已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【变式3-4】如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【考点题型四】角度制单位换算 【典例4】用度来表示 ． 【变式4-1】计算： ． 【变式4-2】 ． 【变式4-3】若，，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】方位角 【典例5】如图，是直角，则射线表示的方向是（ ） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 【变式5-1】如图，一艘船在A处遇险后向相距位于B处的救生船报警，A处相对于B处的位置，下列描述最准确的是（    ） A．距救生船处 B．南偏西方向上的处 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上的处 【变式5-2】如图，点A，B，C分别表示学校、小明家、超市，已知学校在小明家的北偏东方向上，且，则超市在小明家的（　　） A．北偏西方向上 B．北偏西方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 【变式5-3】如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【考点题型六】钟面角 【典例6】如图，在下午四点半的时候，时针和分针所夹的锐角度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图是一个钟面，上午8时正的时针和分针位置如图所示，则分针和时针所成角的度数是 ． 【考点题型七】余角和补角 【典例7】若，则的补角的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式7-1】若和互余，与互补，，则与的度数分别为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】有一个角的补角为，则这个角的余角是 ． 【变式7-3】若，则的余角为 ． 【考点题型八】角分线的定义及简单运算 【典例8】已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【变式8-1】已知，射线平分，则的度数为 【变式8-2】如图，是平角，是射线，、分别是、的平分线，若，则的度数为 ． 【变式8-3】如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数． 【考点题型九】三角板中角度计算问题 【典例9】一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则 ． 【变式9-2】把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，平分，平分，则 ． 【变式9-3】如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【考点题型十】作线段（尺规作图） 【典例10】如图，已知四点，请按要求作图并解答．    (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 【变式10-1】如图所示，已知A，B，C，D四点在同一平面内，请根据下列要求画图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段、射线、直线； (2)在射线上作线段； (3)连接，在四边形内求作一点，使得最小． 【变式10-2】如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求： (1)画出线段（尺规作图） (2)求线段、的长． 【变式10-3】如图，已知平面上有不共线的三点，，．用直尺和圆规作图： (1)作线段，射线； (2)在射线上作出一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 【考点题型十一】多边形对角线条数 【典例11】从多边形的一个顶点出发可以引出条对角线，这个多边形的边数为（　　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式11-1】一个八边形至少可以分割成三角形的个数为（   ） A．8 B．5 C．6 D．7 【变式11-2】若一个多边形从某一个顶点出发最多可画5条对角线，则这个多边形的边数是 ． 【考点题型十二】圆的相关概念你 【典例12】下列说法中，正确的个数是（    ） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧． A． B． C． D． 【变式12-1】下列说法中，错误的是（    ） A．顶点在圆心的角叫做圆心角 B．等于 C．各边相等的多边形叫做正多边形 D．在数轴上，与表示的点的距离为3的数有2和． 【变式12-2】一座圆形花坛的半径为，中间雕塑的底面是边长为的正方形．如图，这个花坛的实际种花面积为 （取，结果精确到个位）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$