专题06 平面向量（题型突破）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题06 平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 重点题型目录 · 题型一 平面向量基本概念 · 题型二 平面向量的线性运算 · 题型三 平面向量的坐标表示 · 题型四 平面向量的数量积 题型一 1．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 2．已知为单位向量，下列说法正确的是 A．的长度为一个单位 B．与不平行 C．方向为x轴正方向 D．的方向为y轴正方向 3．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 . 题型二 1．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 3．在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 4．已知为正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，若，则=（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．化简下列各式： (1)； (2)． 题型三 1．已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 2．已知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量共线且方向相反，则的值等于（　　） A． B． C． D．－ 4．已知向量，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知向量，，若，则 . 题型四 1．已知，，则（    ） A．7 B． C．9 D． 2．已知向量，，则（    ） A．5 B．14 C． D． 3．向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为60° D．与的夹角为 4．已知，是两个相互垂直的单位向量，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 ． 难点突破训练（可选） 一、单选题 1．已知向量，.若，则（    ） A． B．1 C． D．4 2．下列说法正确的是（    ） A．在正方形中, B．已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 C．零向量可以与任一向量共线 D．零向量可以与任一向量垂直 3．已知为单位向量，，则在方向上的投影的数量为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知是单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 6．已知，，且，则向量在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 7．在中，是边上一点，且是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知向量，，若，则 ． 9．若是直线外一点，为线段的中点，，，则 ． 三、解答题 10．在平行四边形中，，. （1）若向量与的夹角为，求； （2）若，求向量与的夹角. $$专题06 平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 重点题型目录 · 题型一 平面向量基本概念 · 题型二 平面向量的线性运算 · 题型三 平面向量的坐标表示 · 题型四 平面向量的数量积 题型一 1．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 【答案】C 【分析】AB根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C选项，根据零向量的定义得到C正确；D选项，举出反例. 【详解】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确； B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确； C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确； D选项，当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确． 故选：C． 2．已知为单位向量，下列说法正确的是 A．的长度为一个单位 B．与不平行 C．方向为x轴正方向 D．的方向为y轴正方向 【答案】A 【分析】由题意利用单位向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】∵已知为单位向量，∴的长度为一个单位，故A正确； ∴与平行，故B错误； 由于的方向是任意的，故C、D错误， 故选A． 3．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，B错误； 对于C：若，则方向相同，C正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 4．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解. 【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度. 故选：C. 5．给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 . 【答案】①③④ 【分析】运用向量共线的定义判断即可. 【详解】因为与为相等向量，所以，即①能够使成立； 由于并没有确定与的方向，即②不一定能使成立； 因为当与方向相反时，则，即③能够使成立； 因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立. 故使成立的条件是①③④. 故答案为：①③④. 题型二 1．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义计算可得结果. 【详解】因为向量在向量上的投影为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 2．在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】A 【分析】由向量加法法则得到答案. 【详解】，由向量加法法则可得四边形MNPQ是平行四边形. 故选：A 3．在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据向量的运算可得答案. 【详解】. 故选：A. 4．已知为正方形的中心，点为正方形所在平面外一点，若，则=（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先由为正方形的中心，可知为、的中点，根据向量的加法法则结合已知条件，即可求出结果. 【详解】因为为正方形的中心，所以为正方形对角线的中点， 又点为正方形所在平面外一点， 所以，， 因此，即. 故选：D 5．化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的加减法则得到答案. （2）直接利用向量的加减法则得到答案. 【详解】（1） （2）. 题型三 1．已知平面向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量线性运算的坐标表示计算． 【详解】由得， 故选：D. 2．已知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断为的中位线，可得，化简可得结论． 【详解】如图所示：    ∵E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，故为的中位线， 则. 故选：B． 3．已知向量共线且方向相反，则的值等于（　　） A． B． C． D．－ 【答案】C 【分析】根据∥可得，代入根据判断取舍． 【详解】∵共线，则，即 若，则 ∴，则方向相同，不合题意，舍去 若，则 ∴，则方向相反，成立 故选：C． 4．已知向量，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案. 【详解】. 故选：B. 5．已知向量，，若，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标运算求得的值，即可得向量，从而可求. 【详解】解：由，得，解得，则，可得. 故答案为：. 题型四 1．已知，，则（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以． 故选：B． 2．已知向量，，则（    ） A．5 B．14 C． D． 【答案】B 【分析】先求向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出答案. 【详解】因为，，所以， 所以. 故选：B. 3．向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为60° D．与的夹角为 【答案】B 【解析】由题意求出两向量的数量积，即可判断两向量的位置关系. 【详解】∵向量，， ∴， ∴. 故选：B. 4．已知，是两个相互垂直的单位向量，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可设，然后根据，即可得出，这样即可得出的坐标，从而可求出的值. 【详解】解：，且，都是单位向量， ∴设，且，， ， ∴， ， . 故选：A. 5．已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由与的夹角为锐角推出，由此解出的取值范围，再把上述取值范围内使得与同向的的值去掉即可 【详解】因为与的夹角为锐角 所以，解之得或 若与同向，则（） 即 综上，的取值范围为 故答案为： 难点突破训练（可选） 一、单选题 1．已知向量，.若，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【解析】由数量积公式计算可得结果. 【详解】因为所以，则解得 故选：B 2．下列说法正确的是（    ） A．在正方形中, B．已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 C．零向量可以与任一向量共线 D．零向量可以与任一向量垂直 【答案】C 【分析】根据向量相等和向量共线的条件逐个分析即可. 【详解】对于A:与模长相等,方向不同,故不成立. 对于B:向量共线指的是其方向相同或相反,不一定在同一条直线上,例如平行四边形中,但四点不共线; 对于C、D:零向量与任意向量共线,但不能说零向量与任意向量垂直.向量垂直指的是两个非零向量成°. 故答案为:C. 3．已知为单位向量，，则在方向上的投影的数量为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用在方向上的投影的数量的公式，代入数值即得解 【详解】由题意，在方向上的投影的数量为： 故选：C 4．已知是单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算向量的模，再计算与的数量积，进而可得夹角的余弦值，可得答案. 【详解】，故． ，设与的夹角为， 则，又，故， 故选：A． 5．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】以的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据向量的线性坐标公式及数量积的坐标公式求解即可. 【详解】以的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则，所以， 所以. 故选：A. 6．已知，，且，则向量在方向上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直结合数量积的定义可求出，进而可求出向量在方向上的投影数量. 【详解】设与的夹角为，∵，∴， ∴，∴向量在方向上的投影数量为， 故选:B. 7．在中，是边上一点，且是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可. 【详解】 ， 故选：D．    二、填空题 8．已知向量，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标表示可求出结果. 【详解】依题意可得，解得. 故答案为：. 9．若是直线外一点，为线段的中点，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，进而得到，求得的值，即可求解. 【详解】因为为线段的中点，所以， 所以， 又因为，所以，所以． 故答案为：. 三、解答题 10．在平行四边形中，，. （1）若向量与的夹角为，求； （2）若，求向量与的夹角. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）对两边同时平方，利用数量积公式，解得. （2）由题知，，代入模长，求得夹角. 【详解】（1）由知，， 则，解得或-4（舍）. 故. （2）由知， ， 解得， 故向量与的夹角为. $$