专题06 平面向量（核心考点）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题06 平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解平面向量的定义 · 理解平面向量的运算法则 · 理解平面向量的坐标表示 · 理解平面向量的数量积 考点预测 · 平面向量的定义 · 平面向量的加减运算 · 平面向量的数量积 · 平面向量的应用 · 理解平面向量的基本定理 课堂笔记 一．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 三.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 四.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 五.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝． 六.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 七.向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 八.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积 九.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 十.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 考点突破 考点1 平面向量的定义 例1．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 【答案】C 【分析】AB根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C选项，根据零向量的定义得到C正确；D选项，举出反例. 【详解】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确； B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确； C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确； D选项，当时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确． 故选：C． 例2．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得. 【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线， 故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题； 对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题； 对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题； 对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题. 故选：B. 练习1．如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 练习2．如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解. 【详解】对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量； 对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量， 对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量； 所以只有向量和可以用同一条有向线段表示. 故选：B. 练习3．零向量：始点和终点 的向量称为零向量，记作 . 【答案】 相同 【分析】略 【详解】略 考点2 平面向量的加减运算 例1．在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】解：点是靠近的三等分点， . 故选：D. 例2．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算结合图形特征，求出的值即可. 【详解】在中，为的中点，为的中点， 则，所以，. 故选：B 练习1．如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B 练习2．化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加减法的几何意义可得. 【详解】. 故选：B. 练习3．已知＝，＝，那么＝ （用向量、的式子表示） 【答案】 【分析】根据，即可解决问题． 【详解】因为，所以． 故答案为：. 考点3 平面向量的数量积 例1．已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得出关的等式，解之即可. 【详解】因为平面向量，平面向量，且， 则，解得. 故选：A. 例2．在矩形中，点，，若，且，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】直接根据向量平行，垂直的坐标公式计算即可. 【详解】因为，，所以，由题意知，， 所以，所以，解得. 故选：D 练习1．已知向量，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】在方向上的投影向量是. 故选：A. 练习2．已知中，，，，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由已知及向量的数量积公式即可求得. 【详解】由已知有，故. 故选：A. 练习3．已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】与的夹角为锐角，则且，与不共线，得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】因为与的夹角为锐角，则且，与不共线， 所以，解得，即. 故答案为： 考点4 平面向量的应用 例1．已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 例2．在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 故选：B 练习1．已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】设，由题意得，， 所以， 解得，所以. 故选： 练习2．一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 【答案】A 【分析】根据功，即可求得物体所做的功. 【详解】由题意可知，，， 所以对该物体所做的功为． 故选：A． 练习3．若向量分别表示两个力，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示可得，结合向量的几何意义即可求解. 【详解】由题意，向量分别表示两个力， 可得， 所以. 故答案为： 模拟演练 一、单选题 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果. 【详解】易知. 故选：D 2．已知向量，，若，则实数（   ） A． B．0 C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据向量平行得到坐标之间的关系，从而求出参数的值. 【详解】因为向量，，， 所以，解得或． 故选：C. 3．已知向量 ，若 ，则 （    ） A． B． C．6 D．4 【答案】B 【分析】由向量共线充要条件即可求解. 【详解】由题意知，所以向量共线充要条件可得，所以 . 故选：B. 4．已知向量，若∥，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据题意结合向量平行的坐标表示运算求解即可. 【详解】因为，且∥， 则，解得. 故选：A. 5．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为， 则，解得. 故选：D. 6．设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相加的坐标运算以及向量相乘的坐标运算可求得结果. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：C. 二、填空题 7．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的模长公式即可代入求解. 【详解】, 故答案为： 8．若向量满足，且的夹角为，则 ， . 【答案】 1 【分析】第一空：由数量积的定义即可得解；第二空：利用转换法求向量的模. 【详解】，. 故答案为：1；. 三、解答题 9．已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后求得的模. 【详解】（1）依题意，向量， ， . （2）由于， 所以. 10．已知，，．设，且. (1)求； (2)求满足的实数，； (3)求，的坐标及向量的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，，． 【分析】（1）分别求出向量、、，即可求出； （2）根据题意建立关于，的方程组，即可解出，； （3）根据平面向量减法法则求出，，即可求出，的坐标，从而求出向量的坐标. 【详解】（1）由题意得， ，， 所以； （2）解法一：因为，所以，解得； 解法二：∵，所以，又且与不共线， 所以 $$专题06 平面向量 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解平面向量的定义 · 理解平面向量的运算法则 · 理解平面向量的坐标表示 · 理解平面向量的数量积 考点预测 · 平面向量的定义 · 平面向量的加减运算 · 平面向量的数量积 · 平面向量的应用 · 理解平面向量的基本定理 课堂笔记 一．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 三.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 四.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 五.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝． 六.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 七.向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 八.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积 九.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 十.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 考点突破 考点1 平面向量的定义 例1．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D．就是所在的直线平行于所在的直线 例2．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（   ） A． B． C． D． 练习1．如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 练习2．如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 练习3．零向量：始点和终点 的向量称为零向量，记作 . 考点2 平面向量的加减运算 例1．在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（   ） A． B． C． D． 例2．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 练习1．如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 练习2．化简所得的向量是（   ） A． B． C． D． 练习3．已知＝，＝，那么＝ （用向量、的式子表示） 考点3 平面向量的数量积 例1．已知平面向量，平面向量.若，则（    ） A． B． C． D． 例2．在矩形中，点，，若，且，则（    ） A． B． C．2 D．4 练习1．已知向量，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 练习2．已知中，，，，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 练习3．已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为 . 考点4 平面向量的应用 例1．已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 例2．在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 练习1．已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 练习2．一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．1 D．41 练习3．若向量分别表示两个力，则 . 模拟演练 一、单选题 1．若，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则实数（   ） A． B．0 C．0或 D．0或 3．已知向量 ，若 ，则 （    ） A． B． C．6 D．4 4．已知向量，若∥，则（   ） A． B． C．4 D．6 5．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 6．设，，，则（    ） A． B．1 C． D． 二、填空题 7．已知，且，则 ． 8．若向量满足，且的夹角为，则 ， . 三、解答题 9．已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 10．已知，，．设，且. (1)求； (2)求满足的实数，； (3)求，的坐标及向量的坐标． $$