专题05 数列（题型突破）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题05 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 重点题型目录 · 题型一 数列的定义 · 题型二 等差数列通项和前n项和 · 题型三 等比数列通项和前n项和 · 题型四 数列的实际应用 题型一 1．已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再求出的值. 【详解】数列中，由，得， 因此数列是周期数列，周期为4，. 故选：C 2．已知数列满足：，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由可得，再借助求出即可得解. 【详解】由，则，故，即， 则，又，故. 故选：A. 3．已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 【答案】C 【分析】首先得出数列的通项公式，然后解方程即可求解. 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 4．在数列中，若，，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据递推关系可得数列的周期，从而可求的值. 【详解】因为，，故，，， 故为周期数列且周期为3，而，故， 故选：C. 5．已知数列满足，若，则（    ） A．－1 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据递推公式计算数列的前几项，找到规律从而得到数列的周期. 【详解】因为数列满足， 所以， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以． 故选：B 题型二 1．已知等差数列的前n项和为，，，则（   ） A．220 B．240 C．260 D．280 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义求得首项和公差，代入求和公式即可求得. 【详解】由数列为等差数列，且，，则 ，解得，. 故选：D 2．已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．168 B．196 C．200 D．210 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以. 故选：A. 3．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和公式，可得，再由等差数列的性质可知，从而求得. 【详解】由等差数列前项和公式，可知：， 所以， 由等差数列的性质“当时，”可知：， 所以. 故选：C. 4．设为等差数列的前n项和，已知，，则的值为（ ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】C 【分析】 由等差数列的性质和求和公式得到方程，求出答案. 【详解】由等差数列性质可得， 故，解得. 故选：C 5．已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．240 B．60 C．180 D．120 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式及等差数列的性质即可得解. 【详解】. 故选：D. 题型三 1．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ） A．－24 B．－28 C．－30 D．－32 【答案】C 【分析】由等比数列的基本量运算求得后求得，从而易得． 【详解】由题意，则，又，所以，， ， 所以． 故选：C． 2．已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得,进而可得,然后利用求和公式即得. 【详解】设数列的公比为, 由题意可得：, 又数列是递增的等比数列, 所以, 所以, 所以数列的前项和为. 故选：A. 3．设等比数列的前项和为，已知，，则（　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列通项公式以及前项和的公式即可求解. 【详解】因为，所以. 所以， 解得. ，，解得. 故选：D 4．已知数列是公比为正数的等比数列，是其前n项和，，，则（   ） A．63 B．31 C．15 D．7 【答案】D 【分析】 由题意先算出等比数列的公比，然后根据等比数列的求和公式计算. 【详解】设等比数列的公比为，由题意，，解得，于是，故. 故选：D 5．设等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（    ） A．63 B．31 C．-63 D．-31 【答案】A 【分析】设出公比，根据成等差数列列出方程，求出公比，利用等比求和公式求出答案. 【详解】设公比为， 因为成等差数列，所以， 则，解得：或0（舍去）. 因为，所以，故. 故选：A. 题型四 1．小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（    ）元之间，并说明理由． A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万 【答案】B 【分析】设存入本金元，再列出方程求解即可. 【详解】设小蕾存入银行的本金元，依题意，，解得（元）， 所以小蕾存入银行的本金介于2万~3万元之间. 故选：B 2．一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】依据应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份进行求解即可. 【详解】应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份， 由题意知贷款金额为，月利率为，月份为10， 所以. 故选：D. 3．按活期存入银行1000元，年利率是0.52%，那么按照单利，第5年末的本利和是（    ） A．1036元 B．1028元 C．1043元 D．1026元 【答案】D 【解析】根据单利计算公式直接计算第5年的本利和. 【详解】因为是按照单利计算，所以第5年的利息是， 第五年末的本利和是. 故选：D 4．一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用每年后的价值成等比数列，可求得结果. 【详解】依题意可知第一年后的价值为 ，第二年后的价值为， 依此类推可知每年后的价值成等比数列，其首项，公比为， 所以年后这批设备的价值为. 故选：D 5．2019年我国国内生产总值增长率为6.1%，达到了990865亿元，实现了新的跨越，2020年我们将全面建成小康社会，实现第一个一百年的奋斗目标.如果从2020年初开始，以后每年的国内生产总值都按得增长率6.1%增长，那么2021年的国内生产总值为（    ） A．105.13万亿元 B．111.54万亿元 C．118.35万亿元 D．116.2万亿元 【答案】A 【分析】根据2020年初国内生产总值为99.0865万亿，然后计算99.0865（1+6.1%），可得结果. 【详解】由题可知：2020年初国内生产总值为99.0865万亿 则2021年的国内生产总值为99.0865（1+6.1%）=105.13万亿元 故选：A 难点突破训练（可选） 一、单选题 1．等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为， ，则， ，则，解得，， ． 故选：B． 2．已知等比数列的公比为4，则的值为（    ） A．4 B． C． D．16 【答案】A 【分析】利用等比数列项的性质化简计算即得. 【详解】因等比数列的公比为4，故. 故选：A. 3．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】由递推数列的性质，代值求解即可. 【详解】 ， 故选：B. 4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案. 【详解】设数列的公比为， 则，得， 解得或（舍）， 所以. 故选：C. 5．已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】设公差为，因为，， 所以，所以. 故选：B. 6．在等差数列中，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用等差数列下标和的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质得， 所以. 故选：A． 二、填空题 7．首项为的等差数列，从第项开始为负数，则公差的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式，列不等式，解不等式组即可. 【详解】由已知，则， 则，解得， 故答案为：. 8．数列中，其前项和，则 ． 【答案】11 【分析】根据给定条件，利用计算得解. 【详解】. 故答案为： 三、解答题 9．设有数列，，若以，，，…，为系数的二次方程都有根，，且满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项以及其前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】(1)根据韦达定理分别求得和代入，进而求得，进而可推知为定值，原式得证； (2)先根据求得数列的首项，再由(1)求得的公比，根据等比数列的通项公式进而可得；再根据等比数列的求和公式，求得. 【详解】（1）证明：， 代入中，得， 为定值，所以数列是等比数列； （2）由(1)可知数列是以为公比的等比数列，， ，即； . 10．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造等比数列即可求解； （2）由公式法求和、分组求和法即可求解. 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； （2）因为， 所以. $$专题05 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 重点题型目录 · 题型一 数列的定义 · 题型二 等差数列通项和前n项和 · 题型三 等比数列通项和前n项和 · 题型四 数列的实际应用 题型一 1．已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．已知数列满足：，，则（   ） A． B． C．2 D．3 3．已知数列，则是它的（    ） A．第9项 B．第10项 C．第13项 D．第12项 4．在数列中，若，，则（    ） A．2 B． C． D．1 5．已知数列满足，若，则（    ） A．－1 B． C．1 D．2 题型二 1．已知等差数列的前n项和为，，，则（   ） A．220 B．240 C．260 D．280 2．已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．168 B．196 C．200 D．210 3．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 4．设为等差数列的前n项和，已知，，则的值为（ ） A．5 B．7 C．9 D．10 5．已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．240 B．60 C．180 D．120 题型三 1．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ） A．－24 B．－28 C．－30 D．－32 2．已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 3．设等比数列的前项和为，已知，，则（　  ） A． B． C． D． 4．已知数列是公比为正数的等比数列，是其前n项和，，，则（   ） A．63 B．31 C．15 D．7 5．设等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（    ） A．63 B．31 C．-63 D．-31 题型四 1．小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（    ）元之间，并说明理由． A．1万~2万 B．2万~3万 C．3万~4万 D．4万~5万 2．一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．按活期存入银行1000元，年利率是0.52%，那么按照单利，第5年末的本利和是（    ） A．1036元 B．1028元 C．1043元 D．1026元 4．一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（     ） A． B． C． D． 5．2019年我国国内生产总值增长率为6.1%，达到了990865亿元，实现了新的跨越，2020年我们将全面建成小康社会，实现第一个一百年的奋斗目标.如果从2020年初开始，以后每年的国内生产总值都按得增长率6.1%增长，那么2021年的国内生产总值为（    ） A．105.13万亿元 B．111.54万亿元 C．118.35万亿元 D．116.2万亿元 难点突破训练（可选） 一、单选题 1．等差数列中，，则（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 2．已知等比数列的公比为4，则的值为（    ） A．4 B． C． D．16 3．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．5 4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 5．已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．在等差数列中，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．首项为的等差数列，从第项开始为负数，则公差的取值范围是 ． 8．数列中，其前项和，则 ． 三、解答题 9．设有数列，，若以，，，…，为系数的二次方程都有根，，且满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项以及其前项和. 10．在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． $$