专题05 数列（核心考点）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题05 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解数列的定义 · 理解等差数列的通项公式 · 理解等差数列的前n项和公式 · 理解等比数列的通项公式 考点预测 · 数列的定义 · 等差数列通项 · 等比数列通项 · 数列求和 · 理解等比数列的前n项和公式 课堂笔记 一．数列的概念 1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记. 3．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。 4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 6、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性 二、等差数列 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示： 2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则． 通项公式的变形：①；②． 通项公式特点： 是数列成等差数列的充要条件。 3、等差中项 若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列 4、等差数列的基本性质 （1）。 （2） （3） 5、等差数列的前项和的公式 公式：①；②． 公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式 等差数列的前项和的性质： ①若项数为，则，且，． ②若项数为，则，且， （其中，）． ③，，成等差数列． 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：是等差数列 ②中项法：是等差数列 ③通项公式法：是等差数列 ④前项和公式法：是等差数列 三、等比数列 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． （2）符号表示： 2、通项公式 （1）、若等比数列的首项是，公比是，则． （2）、通项公式的变形：①；②． 3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。 4、等比数列性质 若是等比数列，且（、、、），则； 若是等比数列，且（、、），则． 5、等比数列的前项和的公式： （1）公式：． （2）公式特点： （3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则． ②．③，，成等比数列（）． 6、等比数列判定方法： ①定义法：为等比数列； ②中项法：为等比数列； ③通项公式法：为等比数列； ④前项和法：为等比数列。 考点突破 考点1 数列的定义 例1．数列的构成法则如下：，若为自然数且之前未出现过，则用递推公式，否则用递推公式，则（    ） A．7 B．3 C．15 D．81 例2．设数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 练习1．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 练习2．已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 练习3．在数列中，，对任意，有，则 ． 考点2 等差数列通项 例1．已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 例2．等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 练习1．若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和为（    ） A． B． C． D． 练习2．在等差数列中，，，则（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 练习3．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则 . 考点3 等比数列通项 例1．已知数列是等比数列，，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2．若是2和8的等比中项，则实数的值是（   ） A．5 B．或5 C．4 D．或4 练习1．已知为正项的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于（    ） A． B． C． D． 练习2．在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 练习3．等比中项：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项．此时， ． 考点4 数列求和 例1．若数列满足，，则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 例2．已知数列的通项公式为（），数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 练习1．数列的前n项和为，且，则（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 练习2．已知数列满足，，则数列前项和为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知，则数列的前项和 ． 模拟演练 一、单选题 1．已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 2．数列满足，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（    ） A． B． C． D． 4．已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．39 B．65 C．52 D．78 5．设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知等比数列中，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 二、填空题 7． . 8．数列的前100项和等于 . 三、解答题 9．已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 10．已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. $$专题05 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解数列的定义 · 理解等差数列的通项公式 · 理解等差数列的前n项和公式 · 理解等比数列的通项公式 考点预测 · 数列的定义 · 等差数列通项 · 等比数列通项 · 数列求和 · 理解等比数列的前n项和公式 课堂笔记 一．数列的概念 1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记. 3．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。 4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 6、求数列中最大最小项的方法：最大 最小 考虑数列的单调性 二、等差数列 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示： 2、通项公式：若等差数列的首项是，公差是，则． 通项公式的变形：①；②． 通项公式特点： 是数列成等差数列的充要条件。 3、等差中项 若三个数，，组成等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．即a、b、c成等差数列 4、等差数列的基本性质 （1）。 （2） （3） 5、等差数列的前项和的公式 公式：①；②． 公式特征：，时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式 等差数列的前项和的性质： ①若项数为，则，且，． ②若项数为，则，且， （其中，）． ③，，成等差数列． 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：是等差数列 ②中项法：是等差数列 ③通项公式法：是等差数列 ④前项和公式法：是等差数列 三、等比数列 1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． （2）符号表示： 2、通项公式 （1）、若等比数列的首项是，公比是，则． （2）、通项公式的变形：①；②． 3、等比中项：在与中插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．注意：与的等比中项可能是。 4、等比数列性质 若是等比数列，且（、、、），则； 若是等比数列，且（、、），则． 5、等比数列的前项和的公式： （1）公式：． （2）公式特点： （3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则． ②．③，，成等比数列（）． 6、等比数列判定方法： ①定义法：为等比数列； ②中项法：为等比数列； ③通项公式法：为等比数列； ④前项和法：为等比数列。 考点突破 考点1 数列的定义 例1．数列的构成法则如下：，若为自然数且之前未出现过，则用递推公式，否则用递推公式，则（    ） A．7 B．3 C．15 D．81 【答案】C 【分析】根据递推关系直接求解. 【详解】由，，得, 又，所以, 又，所以, 又，所以, 又，所以. 故选:C. 例2．设数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过赋值即可求解. 【详解】由题意令，可得：， 故选：B 练习1．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 【答案】B 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 练习2．已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【答案】D 【分析】令通项公式等于项的值，解出的值即可. 【详解】令，则. 则146是该数列的第12项, 故选：D. 练习3．在数列中，，对任意，有，则 ． 【答案】 【分析】构造等差数列求得的表达式即可求解. 【详解】若，则，因为，所以都大于0， 从而， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为：. 考点2 等差数列通项 例1．已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，解得， 故选：D. 例2．等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式可得与，进而可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则， 解得， 则， 所以， 故选：A. 练习1．若数列{}的通项公式为，则数列{}的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分组求和法计算即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 练习2．在等差数列中，，，则（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算得解. 【详解】在等差数列中，由，得. 故选：D 练习3．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】9 【分析】设公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式化简计算即得. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得， 化简得，因，解得. 故答案为：9. 考点3 等比数列通项 例1．已知数列是等比数列，，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题意，根据等比数列通项公式基本量的计算可得，结合等比数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q， 由，解得， 所以，解得. 故选：B 例2．若是2和8的等比中项，则实数的值是（   ） A．5 B．或5 C．4 D．或4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比中项的意义求得结果. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 练习1．已知为正项的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的应用和等比数列的通项公式求得，结合等比数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】因为与的等差中项为，所以， 设等比数列的公比为， 又，得，解得或（舍去）， 则. 故选：C. 练习2．在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质即可得出. 【详解】设等比数列的公比为， . 故选：D. 练习3．等比中项：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项．此时， ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 考点4 数列求和 例1．若数列满足，，则其前2023项和为（    ） A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 【答案】C 【分析】根据使用分组求和即可. 【详解】∵，， ∴ ， 故选:C. 例2．已知数列的通项公式为（），数列的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用裂项相消法求和. 【详解】， 则数列的前2022项和为. 故选：B 练习1．数列的前n项和为，且，则（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式，可求得,依此类推，即可求解. 【详解】∵，故 故 . 故选：D. 练习2．已知数列满足，，则数列前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，当为偶数时，，利用并项求和法可求得结果. 【详解】由题意可知，当为偶数时，， 因此，数列前项和为. 故选：D. 练习3．已知，则数列的前项和 ． 【答案】 【分析】利用，可求前项和. 【详解】， 所以 . 故答案为：. 模拟演练 一、单选题 1．已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求得结果. 【详解】因为为数列的前项和，，则. 故选：D. 2．数列满足，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】按照数列的递推定义即可求解. 【详解】因为数列满足， 所以. 故选：C. 3．已知等差数列的前项和为，若，则的公差等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等差数列基本量的计算，根据等差数列的性质，列出通项以及前项和，解出数列的公差. 【详解】根据等差数列的定义和题目条件，有：， ， 整理得， 解得. 故选：B 4．已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．39 B．65 C．52 D．78 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，可得答案. 【详解】. 故选：C. 5．设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】充分性：设等比数列的公比为， 若， 情形一：当时，由得， 解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列； 情形二：当，由得， 解得或，     若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列； 必要性：反之，若为递增数列，则， 所以“对于任意的”是“为递增数列”的充分必要条件. 故选：C. 6．已知等比数列中，，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据下标和性质，结合同号可得. 【详解】由等比数列下标和性质可得， 又，所以. 故选：A 二、填空题 7． . 【答案】 【分析】利用裂项求和法计算即可. 【详解】注意到，于是. 故答案为： 8．数列的前100项和等于 . 【答案】100 【分析】根据摆动数列特点，将数列的前100项和进行分组求和，利用等差数列求和公式计算即得. 【详解】的前100项和等于： . 故答案为：100. 三、解答题 9．已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 10．已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义由前项和公式计算可得； （2）易知是公比为4的等比数列，代入等比数列前项和公式可得结果. 【详解】（1）设的公差为， 由可得， 解得， 所以. （2）由（1）可知， 易知是公比为4的等比数列， 所以可得. $$