专题10 三角恒等变换（3大考点）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（重庆专用）

专题10 2023-2024新高考高一三角恒等变换重庆期末汇编 考点一：两角和与差的正弦余弦正切公式 1．（23-24高一上·重庆·期末）（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高一上·重庆·期末）请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值（    ） A． B． C．2 D．1 3．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知，，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·重庆·期末多选题）下列命题正确的有（    ） A． B．函数（且）过定点 C．函数的定义域为，则的定义域为 D．若正实数a，b满足，则的最小值是4 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知满足，则 ． 6．（23-24高一上·重庆·期末）如图，在直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于A、B两点，角的终边与单位圆交于C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P. (1)如果，，求的值； (2)求证：. 7．（23-24高一上·重庆·期末）解答下列各题： (1)化简：； (2)已知，均为锐角，，，求. 8．（23-24高一上·重庆·期末）已知 (1)化简； (2)若，，且，，求. 9．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知角，且. (1)求sin()的值; (2)求的值. 考点二：正弦余弦正切的二倍角公式 1．（23-24高一上·重庆·期末）（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高一上·重庆渝中·期末）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆·期末）锐角中，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期末多选题）已知函数，有下列四个结论正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．的值域为 C．在上单调递减 D．在上恰有10个零点 7．（23-24高一上·重庆北碚·期末多选题）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则 . 9．（23-24高一上·重庆·期末）函数的最小正周期为 . 10．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知，则 11．（23-24高一上·重庆北碚·期末）若定义在上的函数满足，且当时，，则 ，若，则满足不等式的的取值范围是 . 12．（23-24高一上·重庆·期末）已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 13．（23-24高一上·重庆渝中·期末）平面直角坐标系中，角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为 (1)求，； (2)化简并求值：. 14．（23-24高一上·重庆北碚·期末）已知角的终边为射线. (1)求，，的值； (2)求的值. 考点三：三角函数的辅助角公式 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（    ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的图象关于对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高一上·重庆·期末多选题）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．已知函数满足恒成立，则 4．（23-24高一上·重庆·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数．点是单位圆上的动点，若不等式恒成立，则实数m的范围为 ． 6．（23-24高一上·重庆·期末）如图，半径为1的扇形圆心角为，点P在弧上运动，连结PA，PB，得四边形OAPB．    (1)求四边形OAPB面积的最大值； (2)求四边形OAPB周长的最大值． 7．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值，并求出函数取得最小值时对应的值. 8．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知函数的定义域为，，满足，，令，设当时，都有 (1)计算，并证明在上单调递增； (2)对任意的，，总存在，使得成立，求t的取值范围？ 9．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)是否存在实数，使得不等式成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 10．（23-24高一上·重庆·期末）（1）计算：； （2）已知函数，求的单调递减区间. 11．（23-24高一上·重庆·期末）如图，正方形的边长为2，，分别为AB，BC的中点.以O为圆心，OA为半径的圆弧上有一点P，T、S两点分别在线段AB、BC上，使得四边形SBTP为矩形. (1)将点绕点逆时针旋转后使其与点重合，求； (2)求矩形面积的最大值. 12．（23-24高一上·重庆北碚·期末）某学校在校园美化、改造活动中需要在半径为50m，圆心角为的扇形空地的内部修建一个矩形观赛场地.如图所示，M为弧的中点，与和分别交于点E、F，记. (1)求矩形面积S与之间的函数关系； (2)当取何值时，矩形的面积最大，并求出这个最大面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 2023-2024新高考高一三角恒等变换重庆期末汇编 考点一：两角和与差的正弦余弦正切公式 1．（23-24高一上·重庆·期末）（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据，结合两角差的正弦公式计算即可. 【详解】 . 故选：A. 2．（23-24高一上·重庆·期末）请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】由切化弦，然后利用和角公式可得. 【详解】 故选：A 3．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知，，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式可得，由题意，利用同角三角函数的关系求得，，再次利用两角和的余弦公式计算即可求解. 【详解】， ，得， ，，， ，，， . 故选：A 4．（23-24高一上·重庆·期末多选题）下列命题正确的有（    ） A． B．函数（且）过定点 C．函数的定义域为，则的定义域为 D．若正实数a，b满足，则的最小值是4 【答案】AD 【分析】利用和角正切公式展开判断A；由指数的性质求函数所过的定点判断B；由抽象函数的定义域及指数运算性质求的定义域判断C；应用基本不等式及指数运算求最小值，注意等号成立条件判断D. 【详解】A：由，则， 所以，对； B：由，即过定点，错； C：由题设，即的定义域为，对于有， 所以的定义域为，错； D：由，当且仅当时等号成立，故最小值为，对. 故选：AD 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知满足，则 ． 【答案】 【分析】 首先结合平方关系、角的范围得，再由诱导公式以及两角和的余弦公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 所以 . 故答案为：. 6．（23-24高一上·重庆·期末）如图，在直角坐标系中，锐角，的终边分别与单位圆交于A、B两点，角的终边与单位圆交于C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P.    (1)如果，，求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，进而利用三角函数的平方关系与余弦差角公式即可得解； （2）利用三角函数的定义与正弦函数的和差公式，结合三角函数有界性进行适当放缩即可得证. 【详解】（1）由题意得：，， 由于、均为锐角， 所以，， 所以. （2）因为，是锐角， 而， 所以. 7．（23-24高一上·重庆·期末）解答下列各题： (1)化简：； (2)已知，均为锐角，，，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用诱导公式及同角公式化简即得. （2）利用同角公式及差角的余弦公式计算即得. 【详解】（1） . （2）由为锐角，得，当时，则，而， 因此，，由为锐角，得， 则， 所以 . 8．（23-24高一上·重庆·期末）已知 (1)化简； (2)若，，且，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用诱导公式进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1）； （2），因为，所以 所以， ， 因为，，所以， 因为，所以， 于是 所以 . 9．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知角，且. (1)求sin()的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】根据同角三角函数的关系求得，结合诱导公式和两角差的余弦公式分别计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以； （2）由（1）知，， 所以. 考点二：正弦余弦正切的二倍角公式 1．（23-24高一上·重庆·期末）（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【详解】 故选：A 2．（23-24高一上·重庆渝中·期末）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】首先根据，求得的取值范围，再判断集合的包含关系，根据充分，必要条件，即可判断选项. 【详解】， 因为 所以是的必要不充分条件． 故选：B 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意，利用算得，结合同角的三角函数关系计算即可求解. 【详解】由题意知，，，则， ， ， 得，， 所以， 所以. 故选：C 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可. 【详解】， 故选：C 5．（23-24高一上·重庆·期末）锐角中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角公式结合即可化简求解. 【详解】由题意，而，所以， 所以. 故选：B. 6．（23-24高一上·重庆·期末多选题）已知函数，有下列四个结论正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．的值域为 C．在上单调递减 D．在上恰有10个零点 【答案】ACD 【分析】 根据二倍角公式、函数对称性的性质，结合二次函数的性质、余弦型函数的单调性、函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为， ， 所以有， 因此该函数图象关于直线对称，本选项结论正确； B： 因为， 所以本选项不正确； C：， 令 令，即，对称轴为， 因为，所以， 所以函数单调递减， 当时，函数有最大值，因此， 因为函数在上单调递减，而函数单调递减， 因此函数在上单调递增，又因为， 所以在上单调递减，因此本选项正确； D：， 于是有， 当， 因为，所以， 当， 因为，所以， 综上所述：在上恰有10个零点，因此本选项正确； 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用复合函数的单调性的性质、二次函数的单调性、余弦函数的单调性. 7．（23-24高一上·重庆北碚·期末多选题）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】A：因为， 所以本选项不正确； B：因为， 所以本选项正确； C：因为 所以本选项正确； D：因为， 所以本选项正确， 故选：BCD 8．（23-24高一上·重庆·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】由三角函数的诱导公式列方程组解出或，再由诱导公式算出结果即可. 【详解】由诱导公式可知， 又因为， 由以上两式可解得或， 所以，代入以上两种结果得到. 故答案为：. 9．（23-24高一上·重庆·期末）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据二倍角公式化简，即可由周期公式求解. 【详解】，所以周期为， 故答案为： 10．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知，则 【答案】2 【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解. 【详解】. 故答案为：2 11．（23-24高一上·重庆北碚·期末）若定义在上的函数满足，且当时，，则 ，若，则满足不等式的的取值范围是 . 【答案】 【分析】运用代入法，根据函数单调性和奇函数的定义、正弦函数的性质，结合同角的三角函数关系式进行求解即可 【详解】因为， 所以令，得； 在中，令， 所以有， 因此函数是上的奇函数， 设， 在中，令， 则有，而， 因此，所以有，即， 因为函数是上的奇函数， 所以有，所以函数是上的减函数， 于是由， 因为，所以， 因为函数是上的减函数， 所以有， 因为，所以， 所以由， 当时，该不等式不成立， 所以当时，即时， 由， 故答案为：0， 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用已知等式得到，进而利用函数的单调性进行求解. 12．（23-24高一上·重庆·期末）已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，则，根据平方关系及商数关系求出，再求出即可得解； （2）由（1）可得，再利用二倍角公式求出，进而可求得，再根据两角和的余弦公式即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，所以， ， 所以， 所以； （2）由（1）得， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 即，所以， ， 即， 所以. 13．（23-24高一上·重庆渝中·期末）平面直角坐标系中，角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为 (1)求，； (2)化简并求值：. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由三角函数的定义求出，再由二倍角的正切公式即可求出. （2）由诱导公式和同角三角函数的商数关系化简已知式即可得出答案. 【详解】（1）根据三角函数的定义：，， 则，. （2）. 14．（23-24高一上·重庆北碚·期末）已知角的终边为射线. (1)求，，的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的定义求解； （2）利用正弦展开式，恒等变换再代入数值求解. 【详解】（1）在射线上取一点， 所以； （2） 考点三：三角函数的辅助角公式 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（    ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】对三个函数化简后分别判断周期及奇偶性即可. 【详解】对于①，，周期为，但不是奇函数； 对于②，，周期为； 又故符合题意； 对于③，， 周期为； 又故符合题意. 故选：D 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的图象关于对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由辅助角公式可得，其中，后由图象关于对称，可得，即可得答案. 【详解】由辅助角公式，，其中， 因图象关于对称，则 ，，则. 故选：B 3．（23-24高一上·重庆·期末多选题）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．若，则 C．若，则 D．已知函数满足恒成立，则 【答案】ACD 【分析】运用换元法令，转化为二次函数的最值可判定A，转化为正余弦的齐次式可判定B，运用同角三角函数的基本关系式可判定C，根据题意知当时取最大值可判定D. 【详解】选项A：令，则， 所以，当时，故A正确， 选项B：因为， 所以，故B错误； 选项C：因为，所以， 即，由，所以 由，所以，即， 所以，故C正确； 选项D：函数满足恒成立， 即，化简得，故D正确； 故选：ACD. 4．（23-24高一上·重庆·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 根据题意分析可得，根据恒成立问题结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】因为，则， 其中， 当时，取到最大值， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数．点是单位圆上的动点，若不等式恒成立，则实数m的范围为 ． 【答案】 【分析】 由题意首先得在上是奇函数和增函数，将不等式等价转换为，通过三角换元等即可求得不等号右边的最小值，由此即可得解. 【详解】 由题意， 所以 ， 所以在上是奇函数， 且是增函数， 由， 得，， 因为是单位圆上的动点， 设， 则， 令，则， 且， 所以． 故答案为：. 【点睛】 关键点睛：关键是首先得出函数的单调性以及奇偶性，从而可将原题等价转换为，从而即可顺利得解. 6．（23-24高一上·重庆·期末）如图，半径为1的扇形圆心角为，点P在弧上运动，连结PA，PB，得四边形OAPB．    (1)求四边形OAPB面积的最大值； (2)求四边形OAPB周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出四边形OAPB面积，由 ，结合三角函数性质求最值即可； （2）根据题意列出四边形，结合三角函数性质求最值即可. 【详解】（1）设，过点P做，交OB于点C，有， 得 ， ， 从而四边形OAPB面积， 由 ，得 ， 所以当 时，即，四边形OAPB面积最大，最大值为    （2）过点O做，交于点D，所以， 过点O做 ，交 于点E，所以， 从而四边形OAPB周长 ， 由 ，得 ， 当时，即时四边形OAPB周长最大，最大值为.    7．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值，并求出函数取得最小值时对应的值. 【答案】(1)； (2)最小值，. 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、辅助角公式化简函数式，再求出最小正周期. （2）由（1）的函数式，结合正弦函数性质求解即得. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期． （2）由，得， 当，即时，函数取得最小值， 所以的最小值为，此时. 8．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知函数的定义域为，，满足，，令，设当时，都有 (1)计算，并证明在上单调递增； (2)对任意的，，总存在，使得成立，求t的取值范围？ 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用赋值法，令即可求得的值，由条件得，令，判断的符号，可得出答案； （2）由题意得，任意的，，总存在，，令，则任意的，，存在，使得，则令，只需，根据二次函数的性质分类讨论求解. 【详解】（1）令，，， 则， 令， 则， 因为，所以，又因为，故， 所以，所以， 因此在上单调递增. （2）由（1）可知，在上单调递增，， 故任意的，，总存在，， 令，， ， 则任意的，，存在，使得， 则令，只需， 因为，所以，故在上单调递增， ，，则当： ①时，， ②，， 则：， 将其视为关于b的函数，令其为， 则在上递减，在上递增， 则， 故，即t的取值范围是. 9．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)是否存在实数，使得不等式成立？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）利用差角的余弦、二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出单调增区间即得. （2）由（1）中函数，借助单调性建立含正余弦的不等式并求解即得. 【详解】（1）函数 ， 由，解得， 所以函数的单调递增区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，而，且， 于是，当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 所以存在实数，使得不等式成立，的取值范围是. 10．（23-24高一上·重庆·期末）（1）计算：； （2）已知函数，求的单调递减区间. 【答案】（1）2 （2） 【分析】（1）根据对数运算律计算即可； （2）用辅助角公式将函数化成，利用正弦函数的性质即可求. 【详解】（1） （2）， 由， 解得， 所以的单调递减区间为 11．（23-24高一上·重庆·期末）如图，正方形的边长为2，，分别为AB，BC的中点.以O为圆心，OA为半径的圆弧上有一点P，T、S两点分别在线段AB、BC上，使得四边形SBTP为矩形. (1)将点绕点逆时针旋转后使其与点重合，求； (2)求矩形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用余弦定理计算. （2）根据三角函数的定义设出点坐标的角参数形式，然后写出矩形面积表达式，利用同角三角函数关系换元化简为二次函数最值问题求解. 【详解】（1）连接OM,ON,MN，因为分别为的中点，正方形边长为2， 所以， 所以， 所以， . 所以； （2）以O为坐标原点，OA为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系如图所示. 设，则,且， 则 ， 令， ， 当，即时，矩形面积的取得最大值为. 12．（23-24高一上·重庆北碚·期末）某学校在校园美化、改造活动中需要在半径为50m，圆心角为的扇形空地的内部修建一个矩形观赛场地.如图所示，M为弧的中点，与和分别交于点E、F，记. (1)求矩形面积S与之间的函数关系； (2)当取何值时，矩形的面积最大，并求出这个最大面积. 【答案】(1)， (2)当时，矩形的面积最大，最大值为 【分析】（1）依题意求得，再用的三角函数分别表示出，从而求得，再利用三角恒等变换化简即可得解； （2）利用正弦函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题可知，，，， 在中，，， 在中，， 则， 所以 ，. （2）因为，所以， 所以当，即时，， 故当时，矩形的面积最大，最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$