专题09 三角函数的图象与性质（7大考点）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（重庆专用）

专题09 2023-2024新高考高一三角函数的图象与性质重庆期末汇编 考点一：三角函数的定义域值域 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的性质可将问题转化为，利用三角函数的性质求解即可. 【详解】的定义域满足， 故，由于，所以， 故，解得， 故函数的定义域为 故选：C 2．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得. 【详解】因为， 由，故， 即. 故选：B. 3．（23-24高一上·重庆北碚·期末）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．关于的不等式的解集是，则 C．若正实数a，b满足，则的最小值为 D．若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据基本不等式，结合一元二次不等式解集的性质、对数型函数单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以， 于是由， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 因此函数的最大值为， 所以本选项不正确； B：因为关于的不等式的解集是， 所以有，因此本选项正确； C：因为正实数a，b满足， 所以，于是有当且仅当即时取等号， 因此本选项正确； D：二次函数的对称轴为：， 因为函数在区间单调递减， 所以有， 因此本选项不正确， 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据对数复合型函数单调性的性质进行求解判断. 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，讨论余弦函数的单调性求得当且时函数图象与直线有2个交点，即可求解. 【详解】， 由，得， 设，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，所以， 得，要使方程在上有2个实根， 则函数图象与直线在上有2个交点， 当且，即时，函数图象与直线有2个交点， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 考点二：三角函数的周期性奇偶性 1．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】根据最小正周期公式“”可求解. 【详解】由于，所以. 故答案是：. 2．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶函数的定义，结合选项，依次判断即可. 【详解】A：函数的定义域为R，关于原点对称， 且，所以该函数为偶函数，故A不符合题意； B：函数的定义域为R，关于原点对称，且， 则，所以该函数为非奇非偶函数，故B不符合题意； C：函数的定义域为，不关于原点对称， 所以该函数为非奇非偶函数，故C不符合题意； 函数的定义域为R，关于原点对称， 且，所以该函数为奇函数，故D符合题意. 故选：D 3.（23-24高一上·重庆·期末）已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（    ） A．若周期为2，则为奇函数 B．为奇函数 C．若周期为4，则为偶函数 D．为奇函数 【答案】AD 【分析】根据函数的周期性以及对称性即可判断A，结合对数的运算性质即可求解D，举反例即可求解BD. 【详解】由于的图像关于中心对称，所以， 对于A, 若周期为2，则， 所以，故为奇函数，A正确， 对于B，若，显然的图像关于中心对称， 但是， 故不是奇函数，B错误， 对于C, 若，显然的图像关于中心对称，且周期为4， 当时，则故不为偶函数，C错误    对于D，， 所以， 故为奇函数，D正确， 故选：AD 4.（23-24高一上·重庆·期末）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】 根据正弦型函数的最小正周期的计算方法，即可求解. 【详解】根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，可得： 函数的最小正周期为. 故答案为：. 考点三：三角函数的单调性 1．（23-24高一上·重庆渝中·期末）若，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明即可判断ABD.由指数函数的单调性与不等式的基本性质即可判断C. 【详解】A：当时，令，则，故A错误； B：当时，，故B错误； C：当时，，则，即，故C正确； D：当时，令，则，即，故D错误. 故选：C 2．（23-24高一上·重庆·期末）下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合三角函数图象的对称变换，确定各选项中三角函数的周期性与单调性，一一判断各选项，即可求解. 【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：， 所以AC选项不符合题意； 对于B：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：， 且在上单调递增，所以B选项不符合题意； 对于D：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：， 且在上单调递减，所以D选项符合题意； 故选：D 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知，若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域、正弦函数的单调性和复数函数的单调性可得函数的单调减区间为，进而，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域为， 得，得. 又函数的单调增区间为， 由， ，解得， 即函数的单调减区间为， 又函数在上单调递减，所以， 得，解得， 又，所以令，解得. 故答案为： 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的最大值为. (1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件化简函数为，根据的最大值为，解出值即可. （2）根据正弦型函数求单调区间的方法求出的单调递增区间即可. 【详解】（1） ； 当时，函数取到最大值，所以，即； 令，得， 所以当函数取到最大值时的集合为 （2）由（1）得， 所以令， 得， 所以函数的单调递增区间为 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数在上单调递增． (1)求的取值范围： (2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，求在内的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可. （2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求出值域. 【详解】（1）由，得 ， 又函数在上单调递增， 所以，解得 因为，所以． （2）由（1）知的最大值为，此时， 根据题意，， 当时，． 所以，故值域为． 考点四：三角函数的对称轴对称中心 1．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间是增函数 【答案】ACD 【分析】对A：构造即可得；对B：由，，则，即可得；对C：构造即可得；对D：由复合函数单调性即可得. 【详解】， 故的一个周期为，A正确； 由，，则，， 故，B错误； ， 故的图象关于直线对称，C正确； 由时，，且随增大而增大，故随增大而增大， ，且随增大而减小，故随增大而增大， 故在区间是增函数，D正确. 故选：ACD. 2．（23-24高一上·重庆·期末）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象的对称中心是 C．函数的图象的对称轴是 D．不等式的解集是 【答案】BC 【分析】利用正切函数的图象性质，逐项判断即可得解. 【详解】函数的最小正周期为，A错误； 由，解得，则函数的图象的对称中心是，B正确； 由于，则是图象的一条对称轴， 又，则是图象的一条对称轴， 而函数的最小正周期是，则及都是图象的对称轴， 所以函数图象的对称轴是，C正确； 不等式，则， 解得，即不等式的解集是，D错误. 故选：BC 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心 C．是函数的一个周期 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数函数的周期，故A正确； 对于B，因为， 所以不是函数的一个对称中心，故B错误； 对于C，令， 因为， 所以是函数的一个周期，故C正确； 对于D，由， 得，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD. 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．满足 B． C．是周期函数 D．在上有解，则k的最大值是. 【答案】ABD 【分析】对于A，利用三角函数诱导公式化简，从而计处得；对于BD，求出的值域进行判断；对于C，分别考虑分子和分母是否为周期函数即可判断. 【详解】因为，， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 而，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，则， 显然，此时等号无法同时成立，故，故B正确； 对于C，因为是周期函数，但不是周期函数， 所以不是周期函数，故C错误； 对于D，当时，，故的最大值为， 故在上有解，则，即的最大值是，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题选项BD的解决关键是利用二次函数与余弦函数的性质求得的最值，特别注意等号成立的条件，从而得解. 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的初相为 B．若，则函数的图象关于对称 C．若函数的图象关于点对称，则可以为3 D．若函数在上有且仅有4个零点，则的范围是 【答案】AD 【分析】根据初相、对称轴、对称中心的定义可得选项A、B、C；根据零点的个数列出不等式 求解即得选项D. 【详解】由， 令时，得函数的初相为，故A对； 令，则，故B错； 令，则， 而当时，，故C错； 由，得 ， 又函数在上有且仅有4个零点， 则，解得 ，故D对； 故选：AD 6．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的对称中心； (2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设列求x即可得对称中心； （2）由已知得，问题化为在上恒成立，结合正弦型函数性质求参数范围； （3）由已知得，将问题化为，根据三角函数及二次函数性质研究最值，进而求参数范围. 【详解】（1）由题设，令，可得， 所以函数的对称中心为. （2）由题设，，又，则，故， 由， 又，则，故， 所以， 当，只需，可得； 当，只需，可得； 当，则，，此时满足题设； 综上，. （3）由题设，又，则， 对任意的，有，即， 所以，则，有，故， ， 又，则， 当时，； 此时，即； 当时，； 此时，即； 当时，； 此时，即； 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为在上恒成立为关键；第三问，问题化为为关键. 7．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，求： (1)函数的最小正周期及对称中心； (2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)最小正周期为， (2) 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简为，再根据正弦函数的性质求出即可. （2）先经过平移伸缩变换后再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】（1） ,令 所以对称中心为 （2）经平移变换后，， 因为，则， 考点五：三角函数的平移 1．（23-24高一上·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据诱导公式得，即可根据平移的性质求解. 【详解】，所以需要将函数的图象向左平移个单位， 故选：A 2．（23-24高一上·重庆长寿·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据平移变换的原则即可得解. 【详解】要得到函数的图象， 只需将的图象向右平移个单位长度. 故选：D. 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数． (1)设是函数图像的一条对称轴，求的值； (2)将的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再将得到的图像向右平移个单位，向上平移一个单位，得到函数的图像，求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称轴的定义得，，代入即可求； （2）根据图象变换可求出，结合x的取值范围，求出的范围，由正弦函数性质可得. 【详解】（1）因为是函数图像的一条对称轴， 所以，得，， 即，而， （2）， 将的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变得， 再将得到的图像向右平移个单位，向上平移一个单位，得， ，则，， 在上的值域为 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，其中，图象上对称中心到相邻最近对称轴之间的距离为. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值. 【答案】(1)，递增区间为； (2)，. 【分析】（1）根据题意先求周期，然后可得，可得解析式，再根据正弦函数单调性求增区间； （2）先根据图象变化求出和的解析式，再利用和差公式和降幂公式化简，然后由余弦函数性质即可求得最值. 【详解】（1）由题意可知，，， 所以，所以， 由得， 所以的单调递增区间为. （2）函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数， 再将的图象向左平移个单位，得到函数， 所以， ， 因为，所以， 所以，所以， 当时，； 当时，. 5．（23-24高一上·重庆北碚·期末）已知函数，，函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，_________.请从以下三个条件中任选一个补充至横线上. ①函数的图象的一条对称轴为直线； ②函数的图象的一个对称中心为点； ③函数的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦函数的对称轴，对称中心，特殊点的性质解出即可； （2）先做伸缩变换，再做平移变换，得到，再利用二次函数的性质解出参数的取值范围即可. 【详解】（1）因为函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以， 所以， 若选①函数的图象的一条对称轴为直线； 所以， 因为，所以， 所以； 若选②函数的图象的一个对称中心为点， 则，因为， 所以； 所以； 若选③函数的图象经过点， 则， 因为， 所以， 所以， 所以. （2）将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 因为不等式恒成立， 所以设，则二次函数，开口向上， 所以， 的取值范围为. 考点六：三角函数的图象 1．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的部分图象如下，则以下说法正确的是（    ） A． B．的一个对称中心为，一条对称轴为 C．向左平移个单位后为偶函数 D．向右平移个单位后为奇函数 【答案】BCD 【分析】首先由图像和三角函数的性质得到，得出A错误；由正弦函数的对称轴和对称中心得出B正确；由平移变换和奇偶性得出CD正确. 【详解】由图像可得，，由， 因为，所以，所以. A：由以上解析可知故A错误； B：对称中心：，当时，对称中心； 对称轴，当时，对称轴为，故B正确； C：向左平移个单位后为，为偶函数，故C正确； D：向右平移个单位后为，为奇函数，故D正确； 故选：BCD. 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的部分图像如下，则下列说法正确的是（    ） A．的值为 B．在单调递增 C． D．若方程，且在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先根据图像求出函数解析式，然后逐一判断 【详解】由图象得，即，得，由图可知函数是单调递减的， 所以，所以，故A对； 设周期为T，则，所以，得， ，则， 令在上单调递增，在上单调递增， 所以在单调递增，故B对； ，，因为，所以， 故 C错； 由图象可得：当时，且， 即，得， 得，此时有2个不同的交点即是临界点， 方程，且在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是，故D对 故选：ABD 3．（23-24高一上·重庆渝中·期末）下图是函数的部分图像，则（    ） A． B． C．是的一个对称中心 D．的单调递增区间为（） 【答案】BCD 【分析】由图象可得，由可求出，再将代入可求出可判断A，B；由三角函数的性质可判断C，D. 【详解】根据图像象得，故A错误； 时，，，， 故，故B正确； 因为，所以是的一个对称中心，C正确； 令，解得，．故D正确． 故选：BCD. 4．（23-24高一上·重庆·期末）若函数部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．是的一条对称轴 D．点是的一个对称中心 【答案】BD 【分析】由图可知，从而得，再由周期公式可得，再把代入函数中可求出的值，进而可求出函数解析式，然后逐个分析判断即可 【详解】对于A，由图可知，从而得， 所以，解得，所以， 将代入上式中得，，得， 即，因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，由，得， 令，得的减区间为，又， 所以函数在上单调递减，故B正确； 对于C，因为，所以不是的一条对称轴，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：BD 考点七：三角函数的零点问题 1．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案. 【详解】当，， 因为在上单调递增，故，则； 当，，且，， 又因为在上有且仅有1个零点， 故讨论两种情况： ①， ②， 综上：的取值范围为， 故选：C. 2．（23-24高一上·重庆渝中·期末）函数，若存在，使得，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据函数图象与性质得，，对所求表达式消元后得，再根据函数图象求出即可求出取值范围. 【详解】由，得，则，由，得，则， 由图象知，，结合对勾函数单调性知在时单调递减，在时单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，当时，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题. 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”. (1)判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由； (2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围. 【答案】(1)不是“三倍函数”，理由见解析 (2) 【分析】（1）假设是“三倍函数”，得到，从而得以判断； （2）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，分析可得，从而得解. 【详解】（1）不是“三倍函数”，理由如下： 因为，， 假设是“三倍函数”， 则存在实数，使得，都满足， 即，即， 因为的值域为，的值域为，不满足条件， 故函数不是“三倍函数”. （2）因为，为“三倍函数”， 所以存在，，都，有， 即， 当时，的值域是， 则在的值域包含， 当时，，则， 若，即，则，， 此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不满足题意； 于是，即，， 要使在的值域包含， 则在的最小值至少要小于等于， 又时，在上单调递减且， 故有，解得， 此时取，的值域是， 而，，故在的值域包含，满足题意； 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，从而得解. 4．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若方程只有一个解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将分别代入函数解析式，得到不等式，利用对数函数的性质，解不等式即可； （2）先分析函数的定义域，方程化简可得，再将方程等价于方程，讨论一元二次方程的解即可. 【详解】（1）由于， 则， 需要保证，得， 若，则， 对数函数在区间上单调递增， 所以，且，解得， 结合正弦函数的性质，且， 不等式的解集为：. （2）的定义域为， 对于函数， 当时，的定义域为，此时； 当时，的定义域为，此时； 方程，即为 得：，即， 构造函数，其中， 当时，方程只有一个解等价于只有一个小于的正零点即可， 此时，， 开口向下的抛物线在区间可能无零点、两个零点，或抛物线的顶点恰在区间对应的横轴上， 若抛物线的顶点在区间对应的横轴上时， 抛物线对称轴满足：，解得， 有两个相等实根，， 解得（舍去）或， 故； 当时，方程只有一个解等价于只有一个大于的零点即可， ，函数有两个异号零点， 且，函数正零点大于，此种情况成立； 综上，若方程只有一个解，则或. 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，，，且． ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】 （1）利用三角恒等变换化简，根据题意求解即可； （2）①根据（1），利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论即可，②设，为方程的两个不相等的实数根，由①可求得，的取值范围，根据，结合三角函数的性质和三角恒等变换求得，的关系，根据韦达定理求解，，代入，的关系式中，即可求得的取值范围. 【详解】（1） 因为的最小正周期为，所以，即， 所以； （2）①由（1）知， 由，可得， 令，则，， 若函数在有三个零点， 即在有三个不相等的实数根， 也就是关于的方程在区间有一个实根，另一个实根在上， 或一个实根是，另一个实根在， 当一个根在，另一个实根在， 所以，即，解得：， 当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，即，解得，此时方程为，所以，不合题意， 当一个根是，另一个实根在，由得，此时方程为，解得或，这两个根都不属于，不合题意， 综上的取值范围是； ②设，为方程的两个不相等的实数根，则， 由①知，，， 所以，即， ，所以，即， 由得，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 又，且，所以， 所以， 整理得，因为，所以， 解得或，又，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查三角恒等变换，函数零点问题；先进行三角恒等变换，由最小正周期为，可求解的值，得到的解析式，把函数零点问题转化为方程的根的问题，利用换元法转化为二次方程根的分布问题；利用已知条件通过变形得到，的关系，利用韦达定理把，用表示，代入关系式求解. 6．（23-24高一上·重庆·期末）如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开圼出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米. (1)求关于的函数解析式； (2)求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用三角函数分别表示出，再由矩形的面积公式表示出关于的函数解析式即可. （2）令，由同角的三角函数关系得到，即，再由二次函数的性质求出取值范围即可. 【详解】（1）如图，延长交于点，延长交于点.由四边形是正方形，四边形是矩形， 可知.由，可得 ， . . （2）令，由，可得， 故 ，即， ，其对称轴为 所以当时，取最大值，最大值为16； 所以当时，取最小值，最小值为14. 即. 7．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为 (1)求函数的解析式，并求其对称轴方程； (2)将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值． 【答案】(1)，， (2)，50 【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得，再结合最值及周期即可得解析式； （2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为，则，再求最值即可. 【详解】（1），所以， 因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为， 故， 令， （2）向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到， 将纵坐标扩大为原来的25倍，得到，再将其向上平移60个单位，得到 游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了， 令，则， 则，，，，故， 当或或20时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 2023-2024新高考高一三角函数的图象与性质重庆期末汇编 考点一：三角函数的定义域值域 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆北碚·期末多选题）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．关于的不等式的解集是，则 C．若正实数a，b满足，则的最小值为 D．若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为 . 考点二：三角函数的周期性奇偶性 1．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的最小正周期为 ． 2．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一上·重庆·期末多选题）已知定义在上的函数的图像关于中心对称，则下列说法一定正确的是（    ） A．若周期为2，则为奇函数 B．为奇函数 C．若周期为4，则为偶函数 D．为奇函数 4.（23-24高一上·重庆·期末）函数的最小正周期为 . 考点三：三角函数的单调性 1．（23-24高一上·重庆渝中·期末）若，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知，若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的最大值为. (1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合； (2)求函数的单调递增区间. 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数在上单调递增． (1)求的取值范围： (2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，求在内的值域． 考点四：三角函数的对称轴对称中心 1．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．在区间是增函数 2．（23-24高一上·重庆·期末多选题）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象的对称中心是 C．函数的图象的对称轴是 D．不等式的解集是 3．（23-24高一上·重庆·期末多选题）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心 C．是函数的一个周期 D．不等式的解集为 4．（23-24高一上·重庆·期末多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．满足 B． C．是周期函数 D．在上有解，则k的最大值是. 5．（23-24高一上·重庆·期末多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的初相为 B．若，则函数的图象关于对称 C．若函数的图象关于点对称，则可以为3 D．若函数在上有且仅有4个零点，则的范围是 6．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的对称中心； (2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； (3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 7．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，求： (1)函数的最小正周期及对称中心； (2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域. 考点五：三角函数的平移 1．（23-24高一上·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．（23-24高一上·重庆长寿·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数． (1)设是函数图像的一条对称轴，求的值； (2)将的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再将得到的图像向右平移个单位，向上平移一个单位，得到函数的图像，求在上的值域． 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，其中，图象上对称中心到相邻最近对称轴之间的距离为. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，再向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最值. 5．（23-24高一上·重庆北碚·期末）已知函数，，函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，_________.请从以下三个条件中任选一个补充至横线上. ①函数的图象的一条对称轴为直线； ②函数的图象的一个对称中心为点； ③函数的图象经过点. (1)求函数的解析式； (2)将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 考点六：三角函数的图象 1．（23-24高一上·重庆·期末多选题）已知函数的部分图象如下，则以下说法正确的是（    ） A． B．的一个对称中心为，一条对称轴为 C．向左平移个单位后为偶函数 D．向右平移个单位后为奇函数 2．（23-24高一上·重庆·期末多选题）已知函数的部分图像如下，则下列说法正确的是（    ） A．的值为 B．在单调递增 C． D．若方程，且在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是 3．（23-24高一上·重庆渝中·期末多选题）下图是函数的部分图像，则（    ） A． B． C．是的一个对称中心 D．的单调递增区间为（） 4．（23-24高一上·重庆·期末多选题）若函数部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．是的一条对称轴 D．点是的一个对称中心 考点七：三角函数的零点问题 1．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆渝中·期末）函数，若存在，使得，则的取值范围是 3．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”. (1)判断函数是否为“三倍函数”，并说明理由； (2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围. 4．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若方程只有一个解，求的取值范围． 5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，若的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)若函数在上有三个不同零点，，，且． ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·重庆·期末）如图所示，是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开圼出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中在边上，在边上，是弧上一点.设，矩形的面积为平方米. (1)求关于的函数解析式； (2)求的取值范围 7．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为 (1)求函数的解析式，并求其对称轴方程； (2)将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$