专题03 三角形中的边角关系、命题与证明（8个考点清单+12种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题03 三角形中的边角关系、命题与证明 （8个考点清单+12种题型解读） 目录 【考点题型一】判断是否是命题 2 【考点题型二】判断是否是真命题 4 【考点题型三】写出某命题的逆命题 6 【考点题型四】三角形的稳定性及应用 7 【考点题型五】判定三条线段能否构成三角形 9 【考点题型六】确定第三边的取值范围 10 【考点题型七】画三角形的高 13 【考点题型八】与三角形的高有关的计算问题 15 【考点题型九】与三角形的中线有关的计算问题 18 【考点题型十】与三角形的角平分线有关的计算问题 21 【考点题型十一】利用三角形内角和求角问题 25 【考点题型十二】三角形三线的综合问题 27 【知识点01】三角形三边的关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【知识点02】三角形的分类 【知识点03】三角形的重要线段 （1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线， 【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 【知识点04】三角形的稳定性 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 【知识点05】三角形的内角 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 推论： （1）直角三角形的两个锐角互余 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形 【知识点06】三角形的外角 三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 【知识点07】定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题. 【知识点08】证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 【考点题型一】判断是否是命题 【例1】（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列语句中，属于命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 【答案】C 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题主要考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【详解】解：A、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； B、是问句，未做判断，故本选项不符合； C、符合命题的概念，故本选项符合； D、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【答案】C 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间线段最短，是命题； B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题； C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题； D．对顶角相等，是命题． 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列语句中是命题的是（    ） A．作的平分线 B．美丽的大自然 C．同位角相等 D．你吃饭了吗 【答案】C 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题主要考查了命题的定义，命题就是判断一件事情的语句，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据命题的定义可知，四个选项中只有C选项中的语句是命题， 故选：C． 【变式1-3】（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 【考点题型二】判断是否是真命题 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题主要考查了逆命题的真假性，正确掌握逆命题的真假性是解题的关键． 写出各个选项的逆命题，再判断真假． 【详解】解：A、原命题的逆命题是：如果三角形的三个角对应相等，则这两个三角形是全等三角形，是假命题，不合题意； B、原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； C、原命题的逆命题是：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题，不合题意； D、原命题的逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角，是假命题，不合题意． 故选B． 【变式2-1】（24-25八年级上·全国·期末）下列命题中为假命题的是（ ） A．同位角不相等，两直线不平行 B．一个角的余角一定大于这个角 C．一个钝角的补角必是锐角 D．过两点有且只有一条直线 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、判断命题真假、两点确定一条直线、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行线的判定、余角和补角的概念、直线的性质判断即可． 【详解】解：、同位角不相等，两直线不平行，是真命题，不符合题意； 、一个角的余角不一定大于这个角，例如角的余角是，，故本选项命题是假命题，符合题意； 、一个钝角的补角必是锐角，是真命题，不符合题意； 、过两点有且只有一条直线，是真命题，不符合题意； 故选：． 【变式2-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C．无限不循环小数是无理数； D．过一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、点到直线的距离、判断命题真假、无理数 【分析】本题主要考查了真假命题的判定，利用平行线的性质、无理数的定义及点到直线的距离的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题为假命题，故该选项不符合题意； ．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题为假命题，故该选项不符合题意； ．无限不循环小数是无理数，是真命题，故该选项符合题意； ．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题为假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-3】（23-24八年级上·四川达州·期末）下列四个命题中，是真命题的是（   ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有理数与数轴上的点是一一对应的 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．平面内点与点关于x轴对称 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、判断命题真假、三角形的外角的定义及性质、实数与数轴 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 直接根据数学常识分别判断即可． 【详解】A．三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角，故原命题缺少与它不相邻的条件，为假命题； B．实数与数轴上的点是一一对应的，故原命题中有理数是实数的一部分，为假命题； C．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题缺少平行条件，为假命题； D．平面内点与点关于x轴对称，故原命题为真命题； 故选D． 【考点题型三】写出某命题的逆命题 【例3】（23-24八年级下·福建厦门·期末）命题“如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直”的逆命题是 ，该逆命题是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】 如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形 假命题 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题考查了逆命题，以及命题的真假，将原命题的结论变为条件，原命题的条件变为结论可得逆命题，然后再判断真假即可． 【详解】解：命题“如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直”的逆命题是：如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形；这个命题是假命题，如：筝形的对角线互相垂直，但不一定是菱形． 故答案为：如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形；假命题． 【变式3-1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是 ． 【答案】三个内角都是的三角形是等边三角形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的结论和条件互换作为新命题的条件和结论并写出对应的命题即可． 【详解】解：命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是：三个内角都是的三角形是等边三角形 故答案为：三个内角都是的三角形是等边三角形． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方、有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，，而， 故答案为：假． 【变式3-3】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是 ，这个逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】 “如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称” “假” 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了命题与定理，准确分析判断是解题的关键．逆命题即将原命题的结论变为已知，原命题的已知变为结论． 【详解】解：逆命题是“如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称”，该命题是假命题． 故答案为：“如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称”，“假” 【考点题型四】三角形的稳定性及应用 【例4】（23-24七年级下·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是 ． 【答案】三角形的稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解∶ 斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是三角形的稳定性， 故答案为∶ 三角形的稳定性． 【变式4-1】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，王师傅在院子的门板上钉了一个加固板（阴影），这样做的数学依据是三角形的 ． 【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】此题根据题目的意思，钉了一个加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的稳定性． 【详解】解：这样做的原因是：利用三角形的稳定性使门板不变形， 故答案为：稳定性． 【变式4-2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下面是跪姿射击的情形，要使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，可以选择①右脚尖，②右膝，③左脚，④左手，⑤左肘，⑥左肩，⑦右肩哪三个支点 （填序号）． 【答案】①②③或④⑤⑥或④⑥⑦ 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性质；只要是构成三角形的三个支点均可使射击者在射击过程中保持枪的稳定性． 【详解】解：可以是①②③或④⑤⑥或④⑥⑦． 故答案为：①②③或④⑤⑥或④⑥⑦． 【变式4-3】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 【答案】2 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用．根据三角形的稳定性，只要使六边形框架变成三角形的组合体即可． 【详解】解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条． 故答案为：2． 【考点题型五】判定三条线段能否构成三角形 【例5】（23-24七年级下·全国·期末）下列长度的各组线段，能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查的是三角形三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系定理进行判断即可． 【详解】解：A．，则，，不能组成三角形，不符合题意； B．，则，，能组成三角形，符合题意； C．，则，，不能组成三角形，符合题意； D．，则，，不能组成三角形，不符合题意， 故选：B． 【变式5-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．2，4，6 C．5，6，12 D．6，8，10 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：两边和大于第三边，两边之差小于第三边．解题的关键是理解组成三角形三边的关系． 根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得： A、，故3，3，6不能组成三角形，本选项不符合题意； B、，故2，4，6不能组成三角形，本选项不符合题意； C、，故5，6，12不能够组成三角形，本选项不符合题意； D、，故6，8，10能组成三角形，本选项符合题意． 故选：D． 【变式5-2】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．15，12，20 B．4，7，11 C．6，7，15 D．5，5，10 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了构成三角形的条件：任两边之和大于第三边；根据此条件，逐项判断，若两根较短木棒的长度和大于长木棒长度，则可构成三角形，否则不能． 【详解】解：A、，能摆成三角形； B、，不能摆成三角形； C、，不能摆成三角形； D、，不能摆成三角形； 故选：A． 【变式5-3】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形； 故选：D． 【考点题型六】确定第三边的取值范围 【例6】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，，，则的长可能为 ．（只写一个） 【答案】8（答案不唯一，大于6且小于10的数均正确） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间关系是解题的关键．根据三角形三边之间关系求出的范围，再在此范围内任意取一个值即可． 【详解】根据三角形三边之间关系可得， 即， ∴， 的长可能为8． 故答案为：8（答案不唯一，大于6且小于10的数均正确） 【变式6-1】（23-24八年级上·宁夏固原·期末）在中，，，第三边的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ，即， 第三边的取值范围是， 故答案为：． 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第三边的长是 ． 【答案】5 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边长为x，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：设第三边长为x，根据题意得： ， 即， ∵第三边的长为奇数， ∴x的值为5， 即第三边的长是5． 故答案为：5 【变式6-3】（24-25七年级上·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为 三角形．（按边分类） 【答案】等腰 【知识点】确定第三边的取值范围、绝对值非负性、三角形的分类、有理数的乘方运算 【分析】本题考查平方以及绝对值的非负性，三角形的三边关系及其分类．由可得，，根据三角形的三边关系以及c为偶数可确定c的值，最后即可确定三角形的形状． 【详解】解：， ，， ，， ，， ，， ， 由c为偶数，可得， ， 的形状为等腰三角形． 故答案为：等腰． 【变式6-4】（23-24七年级下·四川资阳·期末）已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，6为边的三角形，则整数a的值有 个 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、由不等式组解集的情况求参数 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 依据不等式组至少有两个整数解，即可得到，再根据存在以3，a，6为边的三角形，可得，进而得出的取值范围是，即可得到a的整数解有个． 【详解】解：解不等式组得：， ∵至少有两个整数解， 则整数解至少为和， ∴， 又∵存在以3，a，6为边的三角形， ∴， ∴a的取值范围为， ∴整数a的值为：，，，有个 故答案为：． 【考点题型七】画三角形的高 【例7】（23-24七年级下·河南郑州·期末）数学课上同学们用三角板作三角形的高，有四位同学的作法如下，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的高的定义是从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形的高的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、不满足三角形的高的定义，故不符合题意； B、不满足三角形的高的定义，故不符合题意； C、不满足三角形的高的定义，故不符合题意； D、满足三角形的高的定义，故符合题意； 故选：D． 【变式7-1】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可解答．三角形的高：垂直于底边且经过底边相对的顶点的垂线段是三角形的高． 【详解】解：由图可知，在中，边上的高是， 故选：A． 【变式7-2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了作三角形的高线，从点B作，交的延长线于点E，确定图形即可． 【详解】过点B作，交的延长线于点E，如图所示．    故选：D． 【变式7-3】（23-24八年级下·陕西西安·期末）（回忆童年，认识三角形高）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：线段是的高的图是选项D． 故选：D． 【考点题型八】与三角形的高有关的计算问题 【例8】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积，直接根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵， ∴都是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是边上的高， 交直线于点E，， ，则 ° 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的高的含义，分两种情况画图，再进一步利用数形结合的方法解题即可； 【详解】解：如图，∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 综上：或； 故答案为：或 【变式8-2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，中，，分别是，边上的高线．若，，则的度数是 ． 【答案】134 【知识点】三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是在中根据三角形内角和定理求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：，分别是，边上的高线， ，， 在中，， ，， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， 故答案为：134． 【变式8-3】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）在直角坐标系中，，在y轴上找一点C，使面积为9，则C点坐标为 ． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、坐标与图形 【分析】本题考查了三角形的面积公式，平面直角坐标系中点的坐标特征，两点间的距离表示，利用数形结合思想是解题的关键．设点的坐标为，则，高为2，根据面积为9，利用三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解： 点在轴上， 设点的坐标为， 如图所示， ， ， ， 点到的距离为2， 面积为9， ， 解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或. 【考点题型九】与三角形的中线有关的计算问题 【例9】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式9-1】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为边的中线，的周长比的周长大，，则 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的中线（三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线），根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．解题的关键是掌握三角形中线的定义． 【详解】解：∵为边的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】6 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的面积等知识．根据三角形的中线的性质即可解决问题． 【详解】解：是的中线， ， ， 、为的两个三等分点 ，， ， 故答案为：6． 【变式9-3】（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知中，，，，点G是的中点，若的面积是27，则的面积为 ． 【答案】128 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，关键是熟悉等高的三角形面积比与底边比的关系．根据等高的三角形面积比等于底边比依次求解可得的面积． 【详解】解：在中，点G是的中点，的面积是27， ∴的面积是， ∵， ∴的面积是， ∵， ∴的面积是， ， ∴的面积是． 故答案为：128． 【考点题型十】与三角形的角平分线有关的计算问题 【例10】（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形的外角的定义及性质、函数解析式 【分析】本题考查的是列函数关系式，三角形的外角的性质，先利用三角形的外角的性质与角平分线的性质可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-1】（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，和的角平分线交于点，延长BO与的外角平分线交于点，若，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】由是的平分线，为的外角平分线，可得，，则，根据，可得，然后计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，为的外角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式10-2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 【答案】①② 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形的外角的定义及性质、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了与平行线有关的角平分线的计算，涉及了三角形的外角定理，根据，即可判断①；根据即可判断②；根据，、，即可判断③； 【详解】解：∵，    ，平分 ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴ ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，故③错误； 故答案为：①② 【变式10-3】（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．    【答案】/ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义、图形类规律探索 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， ∵， ∴， 同理可得：， ， 则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键． 【考点题型十一】利用三角形内角和求角问题 【例11】（24-25八年级上·甘肃定西·期末）已知中，，那么中最大角的度数为 ． 【答案】/75度 【知识点】三角形内角和定理的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查三角形内角和定理、一元一次方程的应用．由题意可设由三角形内角和定理得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可设 则， 解得， ∴ ∴中最大角的度数为 故答案为： 【变式11-1】（23-24七年级下·安徽黄山·期末）将一把直尺和一块含和的三角板按如图所示的位置放置，若，那么的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，含角的三角板中的角度计算，三角形内角和定理．由题意可确定，，再根据平行线的性质得，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式11-2】（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，，，，，．则 ， ． 【答案】 /度 /度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了三角形外角性质．在中根据三角形内角和定理计算出，则，再根据三角形外角性质得，可计算出，则，然后利用三角形外角性质求出，则，同样可得． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【变式11-3】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【答案】/40度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系， 根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型十二】三角形三线的综合问题 【例12】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，， (1)求证： (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题、垂线的定义理解 【分析】本题考查三角形的内角和定理、垂直定义、三角形的面积： （1）利用三角形的内角和定理求得即可； （2）利用三角形的等面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ， ∵，，， ∴． 【变式12-1】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图， 、、分别是的高线、角平分线和中线． (1)若 ， ， 求的面积． (2)若， 求的度数． 【答案】(1)20 (2)22 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据是中线，且，得到 结合是的高，且， 利用，解答即可． （2）根据，结合，结合三角形内角和定理，角的平分线解答即可． 本题考查了三角形的高线，中线，角的平分线，三角形内角和定理，正确理解概念是解题的关键． 【详解】（1）解：根据是中线，且， ∴ ， ∴是的高，且， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是角平分线，是高， ∴，，． ∴． 【变式12-2】（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，是的高，． (1)若点是边上的一点，当，时，求的度数； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形高的定义； （1）根据已知求得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ 又∵， ∴ （2）解：∵是的高，． ，，， ∴ ∴ 【变式12-3】（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，分别为的中线、高，点E为的中点． (1)若求的度数； (2)若的面积为15，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的内角和，外角，三角形的中线和高线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的外角求出，三角形的内角和定理，求出即可； （2）三角形的中线平分面积求出，然后利用面积公式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵是的高线， ∴， ∴； （2）∵的面积为15，点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式12-4】（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图所示，在中，是角平分线，是高． (1)若，求：的度数． (2)已知，请直接写出与的关系． (3)已知，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形的高，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由题意可求，由是角平分线，可得，由是高，可得，则，根据，计算求解即可； （2）过程同理（1）求解作答即可； （3）由（2）可得，，由，可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：由题意知，， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）证明：由（2）可得，， ∵， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形中的边角关系、命题与证明 （8个考点清单+12种题型解读） 目录 【考点题型一】判断是否是命题 2 【考点题型二】判断是否是真命题 4 【考点题型三】写出某命题的逆命题 6 【考点题型四】三角形的稳定性及应用 7 【考点题型五】判定三条线段能否构成三角形 9 【考点题型六】确定第三边的取值范围 10 【考点题型七】画三角形的高 13 【考点题型八】与三角形的高有关的计算问题 15 【考点题型九】与三角形的中线有关的计算问题 18 【考点题型十】与三角形的角平分线有关的计算问题 21 【考点题型十一】利用三角形内角和求角问题 25 【考点题型十二】三角形三线的综合问题 27 【知识点01】三角形三边的关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【知识点02】三角形的分类 【知识点03】三角形的重要线段 （1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线， 【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 【知识点04】三角形的稳定性 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 【知识点05】三角形的内角 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 推论： （1）直角三角形的两个锐角互余 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形 【知识点06】三角形的外角 三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 【知识点07】定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题. 【知识点08】证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 【考点题型一】判断是否是命题 【例1】（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列语句中，属于命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 【变式1-1】（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【变式1-2】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列语句中是命题的是（    ） A．作的平分线 B．美丽的大自然 C．同位角相等 D．你吃饭了吗 【变式1-3】（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【考点题型二】判断是否是真命题 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）下列各命题的逆命题是真命题的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【变式2-1】（24-25八年级上·全国·期末）下列命题中为假命题的是（ ） A．同位角不相等，两直线不平行 B．一个角的余角一定大于这个角 C．一个钝角的补角必是锐角 D．过两点有且只有一条直线 【变式2-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C．无限不循环小数是无理数； D．过一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式2-3】（23-24八年级上·四川达州·期末）下列四个命题中，是真命题的是（   ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有理数与数轴上的点是一一对应的 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．平面内点与点关于x轴对称 【考点题型三】写出某命题的逆命题 【例3】（23-24八年级下·福建厦门·期末）命题“如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直”的逆命题是 ，该逆命题是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【变式3-1】（23-24七年级下·山东烟台·期末）命题“等边三角形的各个内角都等于”，其逆命题是 ． 【变式3-2】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”） 【变式3-3】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是 ，这个逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【考点题型四】三角形的稳定性及应用 【例4】（23-24七年级下·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是 ． 【变式4-1】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，王师傅在院子的门板上钉了一个加固板（阴影），这样做的数学依据是三角形的 ． 【变式4-2】（23-24七年级下·河南郑州·期末）下面是跪姿射击的情形，要使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，可以选择①右脚尖，②右膝，③左脚，④左手，⑤左肘，⑥左肩，⑦右肩哪三个支点 （填序号）． 【变式4-3】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 【考点题型五】判定三条线段能否构成三角形 【例5】（23-24七年级下·全国·期末）下列长度的各组线段，能构成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．2，4，6 C．5，6，12 D．6，8，10 【变式5-2】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．15，12，20 B．4，7，11 C．6，7，15 D．5，5，10 【变式5-3】（23-24七年级下·河北邯郸·期末）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】确定第三边的取值范围 【例6】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，，，则的长可能为 ．（只写一个） 【变式6-1】（23-24八年级上·宁夏固原·期末）在中，，，第三边的取值范围是 ． 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第三边的长是 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·全国·期末）已知的边长a，b，c满足，若c为偶数，则的形状为 三角形．（按边分类） 【变式6-4】（23-24七年级下·四川资阳·期末）已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，6为边的三角形，则整数a的值有 个 【考点题型七】画三角形的高 【例7】（23-24七年级下·河南郑州·期末）数学课上同学们用三角板作三角形的高，有四位同学的作法如下，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式7-3】（23-24八年级下·陕西西安·期末）（回忆童年，认识三角形高）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】与三角形的高有关的计算问题 【例8】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，则的长为 ． 【变式8-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，是边上的高， 交直线于点E，， ，则 ° 【变式8-2】（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，中，，分别是，边上的高线．若，，则的度数是 ． 【变式8-3】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）在直角坐标系中，，在y轴上找一点C，使面积为9，则C点坐标为 ． 【考点题型九】与三角形的中线有关的计算问题 【例9】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 【变式9-1】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为边的中线，的周长比的周长大，，则 ． 【变式9-2】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为18，为的中线，E、F为的两个三等分点，连接，则图中阴影部分的面积和为 ． 【变式9-3】（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知中，，，，点G是的中点，若的面积是27，则的面积为 ． 【考点题型十】与三角形的角平分线有关的计算问题 【例10】（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度，则y与x之间的函数关系式为 ． 【变式10-1】（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，和的角平分线交于点，延长BO与的外角平分线交于点，若，则 ． 【变式10-2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 【变式10-3】（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．    【考点题型十一】利用三角形内角和求角问题 【例11】（24-25八年级上·甘肃定西·期末）已知中，，那么中最大角的度数为 ． 【变式11-1】（23-24七年级下·安徽黄山·期末）将一把直尺和一块含和的三角板按如图所示的位置放置，若，那么的度数为 ． 【变式11-2】（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，，，，，．则 ， ． 【变式11-3】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【考点题型十二】三角形三线的综合问题 【例12】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，， (1)求证： (2)如果，，，求的长． 【变式12-1】（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图， 、、分别是的高线、角平分线和中线． (1)若 ， ， 求的面积． (2)若， 求的度数． 【变式12-2】（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，是的高，． (1)若点是边上的一点，当，时，求的度数； (2)若，，，求的长度． 【变式12-3】（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，分别为的中线、高，点E为的中点． (1)若求的度数； (2)若的面积为15，求的长． 【变式12-4】（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图所示，在中，是角平分线，是高． (1)若，求：的度数． (2)已知，请直接写出与的关系． (3)已知，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$