专题05 轴对称图形与等腰三角形（考题猜想，易错必刷43题8种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题05 轴对称图形与等腰三角形（易错必刷43题8种题型专项训练） 目录 【题型一】等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系（共5题） 1 【题型二】等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论（共5题） 4 【题型三】等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想（共8题） 7 【题型四】垂直平分线与角平分线判定和性质综合问题（共5题） 16 【题型五】等腰三角形性质和判定的综合问题（共5题） 25 【题型六】等边三角形性质和判定的综合问题（共5题） 37 【题型七】等腰（等边）三角形中的动点问题（共5题） 48 【题型八】与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题（共5题） 62 【题型一】等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系（共5题） 1．（23-24七年级下·全国·期末）等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是 ． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组的解恰为等腰的两边长，则的周长为 ． 4．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【题型二】等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论（共5题） 6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 7．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 8．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ． 9．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 10．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 【题型三】等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想（共8题） 11．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 12．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 13．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 14．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 15．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 16．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 cm． 17．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，在第一象限内的点C，使是以为腰的等腰直角三角形，则点C坐标为 ． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【题型四】垂直平分线与角平分线判定和性质综合问题（共5题） 19．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 20．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 21．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 22．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 23．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，已知△ABC． (1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：①作的中线；② 延 长至E， 使 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）．线段 和 线 段 的数量关系和位置关系是 ； (2)当 时，如图1所示，若是的中线，试探究与 的数量关系，并说明理由； (3)当 时，如图2所示，若是的中线，，，， ，连 接，请直接写出的长． 【题型五】等腰三角形性质和判定的综合问题（共5题） 24．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 25．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 26．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 27．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小范同学在学习了角平分线的相关知识后，对三角形的角平分线进行深入探究：如图①，在中，的平分线交于点D． 【动手操作】 （1）如图①，过点D作于点E，作于点F，过点A作于点G，根据题意在图中画出图形，并完成下列问题： 又 与的数量关系为_____________． 【问题解决】 （2）如图②，在中，的平分线交BC于点D，，根据（1）中发现的规律，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，的平分线交于点D，，求的长． 28．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【问题情境】 【 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据______证明≌，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知，，面积为26，则划出的的面积是多少？ 【题型六】等边三角形性质和判定的综合问题（共5题） 29．（24-25八年级上·全国·期末）已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 30．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 31．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 32．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，，是等边三角形，点在边上． (1)如图1，当点在边上时，求证 (2)如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，求的长． 33．（24-25八年级上·全国·期末）已知：为等边三角形． (1)如图1，点D、E分别为边上的点，且． ①求证：； ②求的度数． (2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、、之间的数量关系并加以证明． (3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 【题型七】等腰（等边）三角形中的动点问题（共5题） 34．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边三角形，连接、． (1)如图①，当点在点右侧时，的度数是______； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③），，，且，其它条件不变，在点运动的过程中，当时，请直接写出的度数． 35．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点，使与互为补角，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当，时，试说明与的位置关系； (3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交于点，若，，点分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值． 36．（23-24七年级下·四川成都·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______； (2)如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）． (3)如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积． 37．（23-24七年级下·山东威海·期末）【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，CF． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②直接写出与间的数量关系： ； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 38．（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【题型八】与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题（共5题） 39．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 40．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 41．（23-24八年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． (1)如图1，若点，，点为，的点，连接，． ①； ②求点的纵坐标； (2)已知点，． ①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则___________________． 42．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 43．（23-24八年级上·广东中山·期末）定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． (1)如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； (2)如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； (3)如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． $$专题05 轴对称图形与等腰三角形（易错必刷43题8种题型专项训练） 目录 【题型一】等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系（共5题） 1 【题型二】等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论（共5题） 4 【题型三】等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想（共8题） 7 【题型四】垂直平分线与角平分线判定和性质综合问题（共5题） 16 【题型五】等腰三角形性质和判定的综合问题（共5题） 25 【题型六】等边三角形性质和判定的综合问题（共5题） 37 【题型七】等腰（等边）三角形中的动点问题（共5题） 48 【题型八】与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题（共5题） 62 【题型一】等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系（共5题） 1．（23-24七年级下·全国·期末）等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】当三边的长为，，， ∵， ∴不能构成三角形； 当三边的长为，，， ∵， ∴能构成三角形， ∴周长为， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．由等腰三角形两边长分别为5和，分别从等腰三角形的腰长为5和去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】解：①若等腰三角形的腰长为5，底边长为， ∵， ∴不能组成三角形； ②若等腰三角形的腰长为，底边长为5， ∵， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：， 综上所述，它的周长是， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组的解恰为等腰的两边长，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】加减消元法、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形及解二元一次方程组，三角形三边关系，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题． 先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：解方程组，得： ， ∴等腰三角形的两边长为2，5． 若腰长为2，底边长为5． ∵， ∴不能构成三角形． 若腰长为5，底边长为2，则三角形的周长为． 所以这个等腰三角形的周长为12． 故答案为：12． 4．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 【答案】10或11 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三边关系、等腰三角形的定义，算术平方根、绝对值的非负性，先根据算术平方根、绝对值的非负性得出a，b的值，再结合三边关系，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵a，b为等腰三角形的两边， ∴当腰是3时，则，此时的周长为； ∴当腰是4时，则，此时的周长为； 综上所述，的周长为10或11． 故答案为：10或11． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 【题型二】等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论（共5题） 6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分别为，根据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键 【详解】解：设等腰三角形两个内角度数分别为， 当顶角度数为时，可得， 解得， ∴顶角的度数为； 当顶角度数为时，可得， 解得 ∴顶角度数为 故答案为或 7．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 8．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；由题意可分当这两个内角都为底角时和这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，然后分类求解即可． 【详解】解：由题意可分：①当这两个内角都为底角时，则该等腰三角形的顶角为； ②当这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，则该等腰三角形的底角为，所以该等腰三角形的顶角为； 故答案为：或． 9．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想． 求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 分三种情况：①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为：或或， 故答案为：或或． 10．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 【答案】60或105或150 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质：分和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可． 【详解】解：当时， 则； 当时，， 则； 当时，， 则； 故答案为：60或105或150 【题型三】等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想（共8题） 11．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】加减消元法、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 12．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 13．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 【答案】8，8，5或6，6，9 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中线的性质，一元一次方程的实际应用．根据等腰三角形的性质可知，该中线为腰上的中线，则推出腰长和底边长差为，设这个等腰三角形腰长为，则底边长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 14．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义，分类讨论：为锐角三角形时，①当是等腰底边上的高时，②当是等腰腰上的高时，当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：依题意有以下两种情况： （1）为锐角三角形时， 此时又有两种情况： ①当是等腰底边上的高时，如图1所示： 为等腰三角形底边上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ； ②当是等腰腰上的高时，如图2所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ． （2）当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，如图3所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ， ． 综上所述：等腰三角形底角的度数为或或． 故答案为：或或． 15．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周长等于16厘米，一条边长等于6厘米，那么这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于 ． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为6厘米，不明确具体名称，故可分情况讨论腰长的值，还要依据三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为6厘米时，三边为，能构成三角形； 当底为6厘米时，腰为5，5，能构成三角形， 所以这个等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值等于或． 故答案为：或． 16．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 cm． 【答案】3或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，等腰三角形的定义．本题分两种情况讨论：是腰长时，是底边时，再作答即可． 【详解】解：是腰长时，底边为， ∵， ∴、、能组成三角形； 是底边时，腰长为， ∵， ∴、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为或． 故答案为：3或． 17．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，在第一象限内的点C，使是以为腰的等腰直角三角形，则点C坐标为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．分别从当，时，当，时去分析求解，利用全等三角形的判定与性质，即可求得点C的坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， 如图， 当，时， 过点C作轴于点D， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； 如图， 当，时， 过点C作轴于点D， 同理可证得：， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述点，点C的坐标为或． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为，底长为，分两种情况讨论：当时；当时． 【详解】设等腰三角形的腰长为，底长为． （1）当时，分两种情况： ①若，解得． 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． （2）当时，分两种情况： ①若，解得， 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． 综上所述，的周长为或． 【题型四】垂直平分线与角平分线判定和性质综合问题（共5题） 19．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键． （1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可证得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的性质可求解． 【详解】（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分； （2）解：，， ， 平分， ． 20．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)垂直平分，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定： （1）利用证明，即可证明结论； （2）设交于H，证明得到，再利用平角的定义即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质得到，再由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设交于H， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：垂直平分，理由如下：、 ∵， ∴， ∴点O和点E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 21．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)且，证明见解析 (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，又由，即可证明； （2）将直线与的交点记为点O，由（1）可知，则，由，以及三角形内角和定理得到，即可得到结论； （3）证明平分，由（2）可知，则，即可得到结论． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， 在和中 ∴ （2）且，证明如下： 将直线与的交点记为点O， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过A分别做，垂足分别为点M，点N， 由（1）知， ∴， 故 ∴ ∴平分 由（2）可知 ∴ ∴ 22．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定： （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线的判定定理，即可求证； （2）根据得出，再由线段的和差关系求出答案，即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 23．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，已知△ABC． (1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：①作的中线；② 延 长至E， 使 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）．线段 和 线 段 的数量关系和位置关系是 ； (2)当 时，如图1所示，若是的中线，试探究与 的数量关系，并说明理由； (3)当 时，如图2所示，若是的中线，，，， ，连 接，请直接写出的长． 【答案】(1)①作图见解析②作图见解析；，， (2)， (3)8 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）①作线段的垂直平分线,与交于点，连接，即为所求，②由，，，得到，，，即可求解， （2）延 长至E， 使 ，由，，，得到，，，结合，得到，进而得到，，代入，即可求解， （3）延长到点，使得，由，，，得到，，，结合，得到，由，，根据垂直平分线的性质，得到， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形的中线，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）解：①作图如下，即为所求， ②作图如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， （2）解：延 长至E， 使 ，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：延长到点，使得， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【题型五】等腰三角形性质和判定的综合问题（共5题） 24．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识． （1）证明，则，即可得到结论； （2）由得到， ，即可得到答案； （3）由得到，，则，再求出，根据三角形外角性质得到，则，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ， ∴； （3）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2) (3)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； （3）解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 26．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等； （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 27．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小范同学在学习了角平分线的相关知识后，对三角形的角平分线进行深入探究：如图①，在中，的平分线交于点D． 【动手操作】 （1）如图①，过点D作于点E，作于点F，过点A作于点G，根据题意在图中画出图形，并完成下列问题： 又 与的数量关系为_____________． 【问题解决】 （2）如图②，在中，的平分线交BC于点D，，根据（1）中发现的规律，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，的平分线交于点D，，求的长． 【答案】（1），，；（2）；（3）． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，等腰三角形等边对等角，等角对等边． （1）根据题意补全图形，根据三角形的面积公式，即可解答； （2）根据（1）中得出的结论，代入数据进行计算即可； （3）在上截取，通过证明，得出，再求证，得出，结合（1）中的结论，代入数据即可解答． 【详解】解：（1）补全图形如图所示： 又 与的数量关系为， 故答案为：，，； （2）由（1）可得：， ∵． ∴， 解得：； （3）在上截取， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， 解得：． 28．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【问题情境】 【 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据______证明≌，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知，，面积为26，则划出的的面积是多少？ 【答案】[问题情境]；[类比解答]；[拓展延伸]，证明见解析；[实际应用]的面积是10 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】[问题情境]证，得，即可； [类比解答]延长交于点，由[问题情境]可知，，再由等腰三角形的在得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； [拓展延伸]延长、交于点，证，得，再由[问题情境]可知，，即可得出结论； [实际应用]延长交于，由[问题情境]可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】解：[问题情境]平分， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：； [类比解答] 如图2，延长交于点， 由[问题情境]可知，， ， ， ， 故答案为：； [拓展延伸] ，证明如下： 如图3，延长、交于点， 则，                       ， ， ， ， 又， ，            ， 由[问题情境]可知，， ； [实际应用] 如图4，延长交于， 由[问题情境]可知，，， ， ∵， ， ， 答：的面积是10． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 【题型六】等边三角形性质和判定的综合问题（共5题） 29．（24-25八年级上·全国·期末）已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【答案】(1)证明详见解析 (2)12 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到平分，求出的度数，再利用三角形内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求解． （2）由等边三角形的性质易得，过点作交于点，进而得到是等边三角形，然后利用证明，进而得到，最后利用线段的和差来求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． 是的中点， 平分， ． ，点与点重合， ， ， ． （2）解：是等边三角形， ． 是的中点， ． 如图3，过点作交于点． ， 是等边三角形， ， ． ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，线段的和差．理解等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答关键． 30．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知，中，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，是外一点，连接、，且，作的平分线交于点，若，则________； (3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)10 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质、多边形内角和问题 【分析】（1）已知条件结合三角形内角和定理证明即可； （2）先说明为等边三角形，即，设，则，然后根据四边形的内角和用x表示出，进而表示出，最后根据三角形内角和即可解答； （3）如图：作，根据题意说明，进而说明，根据，得到，，利用直角三角形的特征，设，则，然后根据线段的和差列方程解答即可． 【详解】（1）证明：在中有， ∵， ， ， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ， 设，则， 在四边形中有：， ， ， ∵的平分线交于点E， ， ，即， ， 故答案为：； （3）如图，作， ， ， ，平分， ， ， 由（2）得， ， ， ， ， ， ， 设， ， ∴，，， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和、四边形内角和、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 31．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)当点D在中点时，，理由见详解． (3)或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据即可证明； （2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：若， 又∵， ∴平分， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， ∴当点D在中点时，； （3）解：由（1）可知， ∴， 当时，则，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ①如图1：D在线段上时，若， 则． ②如图2，点D在的延长线上，， ③如图3，点D在的延长线上，此时，． ④如图4，． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会运用分类讨论思想． 32．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，在中，，，是等边三角形，点在边上． (1)如图1，当点在边上时，求证 (2)如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出，从而得出，从而得出； （2）取的中点，连接、，根据和为等边三角形，从而得出和全等，然后得出和全等，从而得出答案； （3）取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 取的中点，连接、， ∵，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图：取的中点，连接、、， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：，即． 33．（24-25八年级上·全国·期末）已知：为等边三角形． (1)如图1，点D、E分别为边上的点，且． ①求证：； ②求的度数． (2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、、之间的数量关系并加以证明． (3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)猜想，证明见解析 (3)的最大值与最小值的差为 【知识点】三角形三边关系的应用、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①先由等边三角形的性质得到，，再根据“边角边”，证明三角形全等即可．②利用全等三角形的性质得到，再根据三角形的外角的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，证明，得到，据此根据线段的和差关系可证明； （3）以为边向外作等边，连接，根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三角形的三边关系，求出的取值范围，进而得出的取值范围，即可得出的最大值和最小值，然后相减即可得出答案． 【详解】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； ②解：∵， ∴， ∴； （2）解：猜想，证明如下： 如图2中，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，最大值为， ∵， ∴的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系和三角形外角的性质等知识，解本题的关键在正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【题型七】等腰（等边）三角形中的动点问题（共5题） 34．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边三角形，连接、． (1)如图①，当点在点右侧时，的度数是______； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③），，，且，其它条件不变，在点运动的过程中，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】（1）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得出结果； （2）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得出结果； （3）利用等腰三角形性质可证明，得到，结合垂线性质以及平行线性质即可得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当点P在点B左侧时，（1）中的结论仍然成立； （3）为等腰三角形，，且， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线性质，垂线性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 35．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）在和中，，连接，恰好平分，在上存在一点，使与互为补角，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当，时，试说明与的位置关系； (3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交于点，若，，点分别为和上的动点，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出答案； （2）是等边三角形，得出，证明得出，从而推出，即可得证； （3）将沿对称至，沿对称至，且、分别在、上，连接，此时与和交点即为所求、，此时的周长最小，且、两点重合，此时的周长的最小值即为的长度，然后根据全等三角形的判定以及轴对称的性质证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵与互为补角， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∵，，平分， ∴垂直平分，， 如图，将沿对称至，沿对称至，且、分别在、上，连接，此时与和交点即为所求、，此时的周长最小，且、两点重合，此时的周长的最小值即为的长度， 由对称的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 此时，过点作交于， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， 由（2）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 36．（23-24七年级下·四川成都·期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： (1)如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______； (2)如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）． (3)如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①求证：； ②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)； (3)． 【知识点】垂线段最短、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）证，得，，利用线段的和差即可得解； （2）证明，得，，从而即可得解； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，证明，得，，进而利用等角对等边及三角形的外角性质得，从而即可得证； ②由，得当时，最小，如图，过点作于点，利用等角对等边证，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等角对等边，三角形的内角和定理，垂线短最短，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 37．（23-24七年级下·山东威海·期末）【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，CF． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②直接写出与间的数量关系： ； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】（1）①根据证明即可． ②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得． （2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题． （3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，． 【详解】解：（1）①是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． ②是等边三角形， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴． 故答案为： （2）成立，理由如下： 是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． 平分， ． ． ． （3）在和中 ，， ∴． ． ，， ． ， ． ． ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 38．（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由见解析；（2）32 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：，90． ②，理由如下： ∵， ∴ 即， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴， （2）如图，过A作交延长线于G， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 【题型八】与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题（共5题） 39．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 40．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【答案】(1)36，72； (2)； (3)或或或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，由题意得出为等腰三角形，即可得解； （2）由等边对等角得出，由题意得出和均为等腰三角形，从而得出，，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （3）由（2）可得：，根据题意得出、是等腰三角形，从而得到，由三角形外角的定义及性质得出，由折叠的性质可得：为等腰三角形，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵为的完美分割线， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵为的完美分割线，， ∴和均为等腰三角形． ∴，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵是它的一条完美分割线，， ∴、是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：为等腰三角形，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴以为边的等腰三角形为或或或． 41．（23-24八年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第三、第一象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． (1)如图1，若点，，点为，的点，连接，． ①； ②求点的纵坐标； (2)已知点，． ①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则___________________． 【答案】(1)①30；② (2)①；②或 【知识点】坐标与图形、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、其他问题(轴对称综合题) 【分析】（1）①设点为第一象限内上一点，得出与轴的夹角为,即，则即可得出； ②过点作轴于，过点作轴于，证明．根据是等边三角形，点，，点，，得出，即可求解； （2）①延长交于点，连接交轴于，过点作轴于，根据定义得出是等边三角形，证明轴，得出，分别求得，解方程，即可得出； ②当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则，根据含度角的直角三角形的性质得出；当时，点在点的左侧，根据，解方程，即可求解． 【详解】（1）①解：如图所示， 设点为第一象限内上一点， ∵为等边三角形，，，则 , ∵点为，的点， ∴与轴的夹角为,即 ∴， ∴， 故答案为：30； ②解：过点作轴于，过点作轴于， ． 点为线段的点， ，，． ． 在和中， ． ． 是等边三角形，点，，点，， ． ， ． ． 点纵坐标为． （2）解：①如图所示，延长交于点，连接交轴于，过点作轴于， ∵点为，的点， ∴， 则是等边三角形， 过点作轴于点，则， ∴ ∵关于对称， ∴，则， ∴轴， ∵点的横坐标为 ∴， ∵，则， ∵，， 则， ∴ 解得： 故答案为：． ②当时，点， 当时，点在点的右侧，如图所示，过点作轴于，过点作轴于，设关于的对称点为，则， ∵,，，则() ∴， ∴ ∵ ∴ 当时，点在点的左侧， 同理可得，，则， ∴， 解得：， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 42．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理． （1）利用题意得，再判定即可得到本题； （2）连接，取的中点，连接，，证明和，再利用三角形内角和即可得到本题答案． 【详解】解：（1）证明：将图中角进行命名： ， 与互为“顶补等腰三角形”， ，， ， 又，， ，，， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）存在． 证明：连接，取的中点，连接，， ， ，， ， ， 是的中点， ，． ， 又，，， ， ， ， 与互为“顶补等腰三角形”． 43．（23-24八年级上·广东中山·期末）定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． (1)如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； (2)如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； (3)如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 【答案】(1)点P不是等边的勃罗卡点，理由见解析 (2)等边的勃罗卡角的度数为 (3)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）利用等边对等角得出，再利用等边三角形性质，中垂线的性质得出即可得出结论点P不是等边的勃罗卡点； （2）利用点P为等边的勃罗卡点，求出，证明，即可求出等边的勃罗卡角的度数； （3）先证明为等腰三角形，再证出， 为等边三角形，在内部作交于点N，连接，可证得点N为的勃罗卡点，且，同理可证点M为的勃罗卡点，且，进而得出最后结论． 【详解】（1）解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下： ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是的中垂线， 平分， ， ， 点P不是等边的勃罗卡点； （2）点P为等边的勃罗卡点， ， ， 即， ， 同理可得， 在与中， ， ， ， ， ， ， 等边的勃罗卡角的度数为； （3）证明：点P，关于对称， 为的中垂线， ， 为等腰三角形， ， 由（2）可知， ， ， 为等边三角形，同理可得为等边三角形， 如图，在内部作交于点N，连接， 为的中垂线， ， ， ， ， ， 点N为的勃罗卡点，且， 在内部作交于点M， 同理可证点M为的勃罗卡点，且， ， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定与性质，对于题目中给出的勃罗卡点定义的理解与运用是解答本题的关键． $$