2.3.1 两条直线平行与垂直的判定（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

2．3　两条直线的位置关系 2．3.1　两条直线平行与垂直的判定 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解两条直线平行或垂直的充要条件． 2．能根据直线方程判定两条直线平行或垂直． 3．能利用两直线平行或垂直的条件解决有关问题． 通过两条直线平行或垂直的充要条件的运用，强化数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养． 设在xOy平面上的两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.它们的方程分别是l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则两条直线l1，l2的关系如下：l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2. 如果k1＝k2且b1＝b2，那么两条直线l1，l2重合； 如果直线l1，l2的斜率都不存在，它们都与x轴垂直但在x轴上的截距不同，那么l1∥l2. 设在xOy平面上的两条直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，它们的斜率分别为k1，k2. 当两条直线的斜率都存在时，可得到：l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 如果两条直线l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，那么l1与l2的位置关系是l1⊥l2． 三、用直线的方向向量或法向量判断两直线平行与垂直 已知不重合的两条直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则(A1，B1)，(A2，B2)分别是l1，l2的法向量． (1)判断两条直线平行：l1∥l2⇔A2＝λA1，B2＝λB1，λ为非零实数． (2)判断两条直线垂直：l1⊥l2⇔法向量垂直⇔(A1，B1)·(A2，B2)＝A1A2＋B1B2＝0. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等．(　　) (2)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (3)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直．(　　) (4)若l1⊥l2，则k1k2＝－1.(　　) (5)若两不重合的直线斜率都不存在，则这两直线平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为(　　) A．0　　　B．－8　　　C．2　　　D．10 答案：B　 3．直线ax＋2y＋1＝0与直线3x－y－2＝0垂直，则a的值为(　　) A．－3 B．3 C．－ D． 答案：D　 4．直线x＋2ay－1＝0与(a－1)x－ay＋1＝0平行，则a的值为________． 答案：　 根据下列给定的条件，判定直线l1与直线l2是否平行： (1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)；l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)； (2)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)； (3)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (4)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 解：(1)kAB＝＝，kMN＝＝1，kAB≠kMN，所以l1与l2不平行． (2)由题意，知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. (3)∵＝≠，∴所以l1∥l2. (4)∵＝＝，∴所以l1与l2重合． ((3)，(4)题也可以把直线化为斜截式方程利用斜率和纵截距的关系判断) [方法总结]　判断两条直线平行的注意事项 (1)判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等． (2)判断两条直线平行的方法：一种可用法向量平行l1∥l2⇔A2＝λA1，B2＝λB1，C2≠λC1，λ为非零实数．在直线系数不为零的情况下可用＝≠来判断；另一种可以把直线化为斜截式方程利用斜率和纵截距的关系判断． [训练1]　已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值． 解：方法一　①当m＝0时，显然l1与l2不平行． ②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠. 解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3. 方法二　令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2. 同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2.∴m的值为2或－3. (1)l1经过点A(3，2)，B(3，－1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直； (2)若直线(a＋2)x＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，求a的值． 解：(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)①当a＝1时，直线的方程分别化为x＝1，5y＋2＝0，此时两条直线相互垂直． ②如果a＝－，两条直线的方程分别为x＋5y－6＝0与5x＝4，不垂直，故a≠－； ③当a≠1且a≠－时，此两条直线的斜率分别为－，－. ∵两条直线相互垂直，∴(－)·(－)＝－1，解得a＝－1，综上可知a＝±1. [方法总结] (1)判断两条直线是否垂直：若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条直线的斜率是否为0，若为0，则垂直． (2)若已知两条直线垂直，求参数：当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解． [训练2]　直线x＋my－2＝0和直线mx－(2m－1)y＝0垂直，则实数m＝__________． 0或1　解析：因直线x＋my－2＝0和直线mx－(2m－1)y＝0垂直， 则有1·m＋m[－(2m－1)]＝0，即2m－2m2＝0，解得m＝0或m＝1， 所以m＝0或m＝1. (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程； (2)求经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解：(1)方法一　设直线l的斜率为k. ∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－. 又l经过点(1，2)，∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋4y－11＝0. 方法二　设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1). ∵l经过点(1，2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11. ∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0. (2)方法一　设直线l的斜率为k. ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k(－2)＝－1， ∴k＝. 又l经过点A(2，1)，∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0. 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2，1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0. ∴所求直线l的方程为x－2y＝0. [方法总结]　与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. [训练3]　(1)求过点(1，2)且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程； (2)求过点P(1，－1)且与直线2x＋3y＋1＝0垂直的直线方程． 解：(1)已知直线的斜率是－2，因为所求直线与已知直线平行，所以它的斜率也是－2. 根据点斜式，得所求直线的方程是y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0. (2)直线2x＋3y＋1＝0的斜率为－，∵所求直线与已知直线2x＋3y＋1＝0垂直， ∴所求直线的斜率k满足k(－)＝－1，即k＝. 由点斜式方程，得y－(－1)＝(x－1)，即3x－2y－5＝0. 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：判定图形ABCD的形状． 第二步，精读题目挖已知条件：顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点． 第三步，建立联系寻解题思路：先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明． 第四步，书写过程养规范习惯． 解：A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 kAB＝＝， kCD＝＝， kAD＝＝－3， kBC＝＝－. ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， ∴AB∥CD. ∵kAD≠kBC，∴AD与BC不平行． 又kABkAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． [变式]　已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为(　　) A．(－1，0)　　　　　 B．(0，－1) C．(1，0) D．(0，1) D　解析：设D(x，y)， 由题意得 解得即D(0，1). [训练4]　已知四边形ABCD的顶点为A(2，2＋2)，B(－2，2)，C(0，2－2)，D(4，2).求证：四边形ABCD为矩形． 证明：∵kAB＝＝，kCD＝＝， ∴AB∥CD. ∵kBC＝＝－，kAD＝＝－， ∴BC∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 又kABkAD＝×(－)＝－1， ∴AB⊥AD，∴四边形ABCD为矩形． 1．直线x＝0与直线y＝0的位置关系是(　　) A．垂直　　　　　　 B．平行 C．重合 D．以上都不对 A　解析：x＝0是表示y轴的直线，y＝0是表示x轴的直线，两条直线互相垂直． 2．直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a，和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝(　　) A．－7或－1 B．－7 C．7或1 D．－1 B　解析：因为两直线平行，所以(3＋a)(5＋a)＝2×4，解得a＝－1或－7. 当a＝－1时，两直线重合，故a＝－7. 3．已知A(0，－1)，B(－2a，0)，C(1，1)，D(2，4)，若直线AB与直线CD垂直，则a的值为________． 　解析：∵kCD＝＝3，kAB＝，AB⊥CD， ∴kABkCD＝×3＝－1，解得a＝. 4．经过两点A(2，3)，B(－1，x)的直线l1与直线l2：y＝－x＋1平行，则实数x的值为________． 6　解析：直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $$