1.3.3 第2课时 等比数列前n项和的综合应用（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第2课时　等比数列前n项和的综合应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 3．能用分组转化方法求数列的和． 1.在运用等比数列知识解决实际问题的过程中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养． 2．借助分组求和，培养数学运算的核心素养． 设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是(　　) A．a6a8>1　　　　　 B．0<q<1 C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T7 B　解析：若q<0，因为a1>1，所以a6<0，a7>0，则a6·a7<0与a6·a7>1矛盾； 若q≥1，因为a1>1，所以a6>1，a7>1，则>0，与<0矛盾， 所以0<q<1，故B正确； 因为<0，则a6>1>a7>0，所以a6a8＝a∈(0，1)，故A错误； 因为an>0，0<q<1，所以Sn＝－单调递增，故C错误； 因为n≥7时，an∈(0，1)，1≤n≤6时，an>1，所以Tn的最大值为T6，故D错误． [方法总结]　若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． 同时Sn＝A(qn－1)可看作关于正整数n的指数型函数，可研究其单调性和有界性等问题． [训练1]　(多选题)记数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的n∈N＋，都有|Sn|<H，则称数列{an}为“和有界数列”．下列说法正确的是(　　) A．若数列{an}是等差数列，且公差d＝0，则数列{an}是“和有界数列” B．若数列{an}是等差数列，且数列{an}是“和有界数列”，则公差d＝0 C．若数列{an}是等比数列，且公比q满足|q|<1，则数列{an}是“和有界数列” D．若数列{an}是等比数列，且数列{an}是“和有界数列”，则公比q满足|q|<1 BC　解析：若数列{an}是公差为d的等差数列，则Sn＝na1＋＝n2＋(a1－)n，当d＝0时，若a1≠0，则Sn＝a1·n，Sn是n的一次函数，不存在符合题意的H，A错误； 数列{an}是“和有界数列”，当d≠0时，Sn是n的二次函数，不存在符合题意的H， 当d＝0，a1＝0时，存在符合题意的H，B正确；若数列{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，则Sn＝，因q满足|q|<1，则|qn|<1，即|1－qn|<2，|Sn|＝·|1－qn|<2，则存在符合题意的实数H，即数列{an}是“和有界数列”，C正确； 若等比数列{an}是“和有界数列”，当q＝－1时，若n为偶数， 则Sn＝0，若n为奇数，则Sn＝a1，即|Sn|＝|a1|，从而存在符合题意的实数H，D错误．故选B、C. 命题角度1　几何图形中的问题 把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去． (1)图③中共挖掉了________个正方形； (2)第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． (1)73　(2)　1－()n　解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1＝1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝. (1)图③中共挖掉了＝73个正方形． (2)第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×()2＋8×()4＋82×()6＋…＋8n－1×()2n＝＝1－()n. [变式]　本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形面积之和趋近于多少？ 解：由本例解法，设被挖掉的正方形面积之和为Sn，则Sn＝1－()n，由于一直继续下去，即n无限增大时，()n无限趋近于0，此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1. [方法总结]　解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解． [训练2]　如图，已知△ABC面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2 020个三角形面积为(　　) A．　 B．　 C．　 D． B　解析：观察图形可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的，设第n个三角形的面积为an，则数列{an}是首项为a1＝4，公比为的等比数列，所以an＝4×()n－1＝()n－2，所以第2 020个三角形面积为a2 020＝()2 018＝. 命题角度2　增长率问题 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2025年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2035年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？ 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：2035年年初将所有存款和利息全部取出． 第二步，精读题目挖已知条件：条件一，每年年初都存a元，年利率p保持不变；条件二，按复利计算． 第三步，建立联系寻解题思路：每年年初存入的a元的本利和组成等比数列，将问题变为求等比数列前n项和问题． 第四步，书写过程养规范习惯． 解：设从2025年年初到2035年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10). 则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝为公比的等比数列．所以2035年初这个家庭应取出的钱数为 S10＝＝[(1＋p)11－(1＋p)](元). [变式]　若将题中的复利改为单利，结果是多少？ 解：a1＝a(1＋10p)，a2＝a(1＋9p)，a3＝a(1＋8p)，…，a10＝a(1＋p)， S10＝a(1＋10p)＋a(1＋9p)＋…＋a(1＋p) ＝10a＋(10×1＋)×ap＝10a＋55ap. [方法总结]　解决等比数列应用题的关键 (1)认真审题抓特点，仔细观察找规律． (2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同． (3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考察． [训练3]　衡量病毒传播能力的一个重要指标叫作传播指数R0.它指的是，在自然情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫)，一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：R0＝1＋确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间(单位：天).根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为(　　) A．30 B．62 C．64 D．126 D　解析：由题意得：R0＝1＋25%×4＝2，所以经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：2＋22＋23＋24＋25＋26＝＝126. 已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an－an－1)，…此数列是首项为1，公比为的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＋()2＋…＋()n－1＝. (2)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(1－)＋＋…＋ ＝n－＝(2n－1)＋()n－1. [方法总结]　分组转化求和法的应用条件和解题步骤 (1)应用条件 一个数列的前n项和公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成． (2)解题步骤 [训练4]　求数列2，4，6，…，2n＋，…的前n项和Sn. 解：Sn＝2＋4＋6＋…＋(2n＋) ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(＋＋＋…＋)＝＋＝n(n＋1)＋－. 1．某森林原有木材量为a m3，按每年以25%的增长，5年后，这片森林共有木材量(　　) A．a(1＋25%)5 m3　　 B．a(1＋25%)4 m3 C．4a m3 D．a(1＋25%)6 m3 A　解析：森林中原有木材量为a m3，一年后为a(1＋25%) m3，两年后为a(1＋25%)2 m3，…，五年后为a(1＋25%)5 m3. 2．若数列{an}的通项公式an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n2－2 C　解析：Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＝＋＝2n＋1＋n2－2. 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏　　B．3盏 C．5盏　　D．9盏 B　解析：设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，所以S7＝＝＝381，解得a1＝3.所以塔的顶层共有灯3盏． 4．数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋的前n项和为________． n－1＋　解析：∵通项an＝＋＋…＋＝＝1－， ∴前n项和Sn＝(1－)＋(1－)＋…＋(1－) ＝n－(＋＋…＋)＝n－1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$