1.2.1 等差数列及其通项公式（课件PPT）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第1章　数列 1.2　等差数列 1.2.1　等差数列及其通项公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解等差数列的概念. 掌握等差数列的判定方法. 2.掌握等差中项的概念及其应用. 3.会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项. 4.能够熟练应用等差数列的性质解决有关问题. 1.通过对等差数列概念及其通项公式、等差中项的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 2.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的核心素养. 栏目索引 课前·预习案 课堂·探究案 冲关·演练案 一、等差数列的概念 1.文字语言：一般地，如果一个数列从第______项起，每一项与它的______之差都等于______常数，那么这个数列称为等差数列，称这个______为等差数列的______，通常用字母___表示. 2.符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋). 课前·预习案 2 前一项 同一个 常数 公差 d 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 二、等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝___________. 三、等差中项 在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，那么 ______叫作 ______的等差中项. a1＋(n－1)d M a与b 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)常数列是等差数列.(　　) (2)任何两个数都有等差中项.(　　) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.(　　) (4)等差数列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 2.已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A.4－2n　　B.2n－4　　C.6－2n　　D.2n－6 C 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 课堂·探究案 探究一　等差数列的判定 [知能解读]　对等差数列概念的解读 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合. (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻. (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列. 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 [方法总结]　用定义法判定等差数列的步骤 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 A 冲关·演练案 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 A 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 返回导航 高中数学　选择性必修 第一册 X　 第1章　数列 课后巩固 谢谢观看！ 3.＋1和－1的等差中项为________. 答案：　 4.等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝________. 答案：3　 命题角度1　等差数列的判定 判断下列数列是否为等差数列. (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. 解：(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列. (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列. 命题角度2　根据递推公式判定与证明等差数列 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.数列是否为等差数列？说明理由. 解：数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋， ∴－＝， 即数列是首项为＝，公差为d＝的等差数列. [变式]　将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”.试证明数列{bn}为等差数列. 证明：bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝. 又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列. [训练1]　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N＋.求证：数列{bn}是等差数列. 证明：∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2(n∈N＋)，且b1＝＝2，∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列. 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解：∵－1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7. [方法总结]　三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或与等差中项有关的计算问题.如要证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋). [训练2]　已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列. 证明：因为，，成等差数列， 所以＝＋， 即2ac＝b(a＋c). 因为＋＝ ＝＝ ＝＝， 所以，，成等差数列. 在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项； (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解题程序： 第一步，泛读题目明待求结论：(1)判断91是否为等差数列中的项；(2)求等差数列的第10项. 第二步，精读题目挖已知条件：已知等差数列的两项. 第三步，建立联系寻解题思路：利用通项公式求出该数列的首项和公差，进而确定通项公式后再求解. 第四步，书写过程养规范习惯. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d.由解得所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项. (2)设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n. 所以a10＝13－10＝3. [变式]　将本例(2)的条件变为“若a1＋a6＝12，a4＝7”，求a10. 解：设等差数列{an}的公差为d. 由已知得解得 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴a10＝2×10－1＝19. [方法总结]　处理等差数列基本问题的方法 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，那么可化成有关a1，d的关系列方程组求解，同时要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. [训练3]　(1)等差数列{an}中，a2＝4，公差d＝3，an＝22，求n； (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解：(1)由条件知解得a1＝1，n＝8. (2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4， 得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1. 由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100， 即－401是这个数列的第100项. [知能解读]　等差数列的性质 若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8； (2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值. 解：(1)方法一(通项公式法)　设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列的通项公式，得 a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d) ＝3a1＋15d. 由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝. ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝. 方法二(等差数列性质法)　根据等差数列的性质得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1， 解得a6＝， ∴a4＋a8＝2a6＝. (2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)， ∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2. ∴a2＝5.又a1a2a3＝80， ∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16.解得d＝3或d＝－3(舍去)， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. [方法总结]　等差数列性质的应用 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质，若m＋n＝p＋q＝2ω，则am＋an＝ap＋aq＝2aω(m，n，p，q，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想. [训练4]　已知等差数列{an}的公差为d. (1)若a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求d. 解：(1)方法一　化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48.所以4a13＝48.即a13＝12. 方法二　由等差数列的性质知a2＋a24＝a3＋a23， 又∵a2＋a3＋a23＋a24＝48， ∴a3＋a23＝24＝2a13.∴a13＝12. (2)方法一　化成a1和d的方程组如下： 解得或故d＝3或d＝－3. 方法二　由等差数列的性质知，a2＋a5＝a3＋a4， 又∵a2＋a3＋a4＋a5＝34， ∴a2＋a5＝17.又∵a2a5＝52， ∴或 ∴d＝＝3或d＝＝－3. 1.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A.5　　　　　　　　 B.6 C.8 D.10 解析：由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5. 2.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　) A.15 B.22 C.7 D.29 解析：设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得解得a1＝47，d＝－8. 所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 3.若3，a，b，c，15成等差数列，则a＋b＋c＝________. 解析：由等差数列的对称性知，b是3，15的等差中项且a＋c＝3＋15，∴a＋b＋c＝3＋15＋＝27. 27 4.已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由. 解：数列{an}不是等差数列.理由如下：因为an＝an－1＋2(n≥3)，所以当n≥3时，an－an－1＝2(常数). 所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2. 又因为a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{an}不是等差数列. $$