2.1.1 等式与不等式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[对应学生用书P197] 1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120(km/h)或d≥10(m) B． C．v≤120(km/h) D．d≥10(m) B　[最大限速与车距是同时的．] 2．设a，b∈R，且a－|b|>0，则下列不等式中正确的是(　　) A．b－a>0 B．a3＋b2<0 C．b＋a>0 D．a2－b2<0 C　[∵a－|b|>0，∴a>|b|≥0，∴a＋b>0.] 3．已知a>b>c，a＋b＋c＝0，则下列不等式中成立的是(　　) A．ab＞bc B．ac＞bc C．ab＞ac D．a|b|＞|b|c C　[∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0.∴ab＞ac.] 4．若A＝＋3，B＝＋2，则A，B的大小关系是(　　) A．A>B B．A<B C．A≥B D．不确定 A　[若A＝＋3，B＝＋2， 则A－B＝－＋1＝＋≥>0. 所以A－B>0，即A>B.] 5．(多选题)下列四个结论，正确的是(　　) A．a>b，c<d⇒a－c>b－d B．a>b>0，c<d<0⇒ac>bd C．a>b>0⇒a3>b3 D．a>b>0⇒> AC　[利用不等式的同向可加性可知选项A正确；根据不等式的性质可知ac<bd，故选项B不正确；根据不等式性质的推论4可知选项C正确；对选项D由a>b>0可知a2>b2>0，所以<，所以选项D不正确．] 6．若|a|<|b|，则________(n∈N且n>1). <　[∵0≤|a|<|b|，∴<.] 7．若1<α<3，－4<β<2，则α－β的取值范围是________． 　[∵1<α<3，∴<α<. 又－4<β<2，∴－2<－β<4. ∴－<α－β<.] 8．设a，b为正实数，有下列命题： ①若a2－b2＝1，则a－b<1； ②若－＝1，则a－b<1； ③若|－|＝1，则|a－b|<1； ④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1. 其中正确的命题为________．(填序号) ①④　[对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立． 对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1. 对于③，取特殊值，a＝9，b＝4，|a－b|>1. 对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0， ∴a≠b，不妨设a>b>0. ∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0， ∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2. 即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0， ∴0<a－b<1，即|a－b|<1.因此正确．] 9．(1)a<b<0，求证：<； (2)已知a>b，<，求证：ab>0. 证明　(1)－＝＝， ∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0. ∴<0.∴<. (2)∵<，∴－<0，即<0. 而a>b，∴b－a<0.∴ab>0. 10．已知－<α＋β<，0<α－β<，求2α及4α＋2β的取值范围． 解　∵－<α＋β<，0<α－β<， ∴－<2α<π， ∵4α＋2β＝3(α＋β)＋(α－β)， ∴－<3(α＋β)＋(α－β)<π. ∴－π<4α＋2β<π. 综上，2α的取值范围是，4α＋2β的取值范围是. 11．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b A　[因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以2a>2c，即a>c.因此b<d.因为a＋c<b，所以a<b.综上可得：c<a<b<d.] 12．已知a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式成立的是________(填序号). ①a2b<ab2；②<；③<. ②　[对于①，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立； 对于②，∵a<b，>0，∴<，故成立；对于③，当a＝－1，b＝1时， ＝＝－1，故不成立．] 13．(开放性问题)若a，b，c，d均为实数，使不等式>>0和ad<bc都成立的一组值(a，b，c，d)是____________．(只要举出适合条件的一组值即可) (2, 1，－1，－2)　[由>>0知，a，b同号，c，d同号，且－＝>0. 由ad<bc，得ad－bc<0，所以bd<0.所以在取(a，b，c，d)时只需满足以下条件即可：①a，b同号，c，d同号，b，d异号；②ad<bc.令a>0，b>0，c<0，d<0，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则d<＝－.取d＝－2，则(2，1，－1，－2)满足要求．] 14．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，那么甲、乙两人谁先到达教室？ 解　设寝室到教室的路程为2s，步行速度与跑步速度分别为v1和v2， 显然0<v1<v2，总路程为2s，则甲用时间为＋. 设乙用时间为t，则v1＋v2＝2s. 所以乙用时间为. 因为＋－ ＝＝＞0， 所以＋＞.所以乙先到教室． 15．某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们买团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 解　设该单位职工有n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝x＋x(n－1)＝x＋xn，y2＝xn， y1－y2＝x＋xn－xn ＝x－xn＝x. 当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1<y2； 当n<5时，y1>y2. 因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 学科网（北京）股份有限公司 $$