6.4.1 用样本估计总体的集中趋势（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

6.4　用样本估计总体 6．4.1　用样本估计总体的集中趋势 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数). 2.会求样本数据的平均数、中位数、众数并理解它们的意义和作用． 3.理解集中趋势参数的统计含义． 　　通过对平均数、中位数、众数的学习，强化数学抽象、数学运算的核心素养． [对应学生用书P148] 1．参数是用来描述总体特征的指标． 2．统计量是用来描述样本特征的指标． 1．若样本容量为n，第i个个体是xi，则样本平均数＝. 2．在随机抽样的前提下，当样本容量增加时，样本均值会向总体均值μ接近，于是，称为μ的估计． 3．一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为f1，f2，…，fn，则其平均数为x1f1＋x2f2＋…＋xnfn. 4．在分层抽样中，用N表示总体A的个体总数，若将总体A分为L层，用Ni表示第i层(i＝1，2，…，L)的个体总数，则有N＝N1＋N2＋…＋NL. 我们称Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权． 对i＝1，2，…，L，用i表示从第i层抽出样本的均值．我们称＝W11＋W22＋…＋WLL是总体均值μ的简单估计． 1．众数：观测数据中出现次数最多的数是众数，用M0表示． 2．中位数：将一组观测数据按从小到大的顺序排列后，我们称处于中间位置的数是中位数，用Me表示． 具体而言，当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，则中间两个数的平均数即为中位数． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)当样本中的数据都增加相同的量时，平均数不变．(×) (2)一组样本数据的众数只有一个．(×) (3)样本的中位数可以有两个．(×) (4)数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定．(×) 2．一组数据：85，88，73，88，79，85，其众数是(　　) A．88　　　　B．73　　　　C．88，85　　　　D．85 C　[该组数据85，88，73，88，79，85有两个众数，它们是88，85.] 3．已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的平均数是________． 3　[∵数据0，2，x，4，5的众数是4，∴x＝4，这组数据按照从小到大的顺序排列为0，2，4，4，5.∴平均数为3.] 4．一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为________． 4．55　[＝≈4.55.] [对应学生用书P149] 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示： 成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数． 解　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69.所以这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75，1.70，1.69. [方法总结] 1．求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行． 2．求样本数据平均数的难点在于计算的准确性． [训练1]　某市展览馆22天中每天进馆参观的人数统计如下： 180　158　170　185　189　180　184　185　140　179　192 185　190　165　182　170　190　183　175　180　185　148 计算参观人数的中位数、众数、平均数(保留整数部分). 解　将数据按从小到大的顺序排列，140，148，158，165，170，170，175，179，180，180，180，182，183，184，185，185，185，185，189，190，190，192， 第十一个数180，第十二个数182，中位数为181； 因为185有4个，其余数都少于4个，所以众数为185； 平均数＝(180＋158＋…＋148)≈177. 所以参观人数的中位数、众数、平均数分别为181、185、177. 某学校对高一年级经过初步比较后，决定从高一年级(1)，(4)，(8)班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表：(以分为单位，每项满分为10分) 班级 行为规范 学习成绩 校运动会 艺术获奖 劳动卫生 高一(1)班 10 10 6 10 7 高一(4)班 10 8 8 9 8 高一(8)班 9 10 9 6 9 请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将它们的得分进行排序． 解　设P1，P4，P8顺次为三个班考评分的平均数；W1，W4，W8顺次为三个班考评分的中位数； Z1，Z4，Z8顺次为三个班考评分的众数． 则P1＝(10＋10＋6＋10＋7)＝8.6(分)， P4＝(10＋8＋8＋9＋8)＝8.6(分)， P8＝(9＋10＋9＋6＋9)＝8.6(分)； W1＝10分，W4＝8分，W8＝9分； Z1＝10分，Z4＝8分，Z8＝9分． ∴平均数不能反映这三个班的考评结果的差异，而用中位数(或众数)能反映差异，且W1>W8>W4(或Z1>Z8>Z4). [方法总结]　平均数、中位数、众数应用问题的两个关注点 1．平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征． 2．当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值． [训练2]　某工厂人员及周工资构成如下表： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 周工资/元 2 200 1 250 1 220 1 200 490 — 人数 1 6 5 10 1 23 (1)求工厂人员周工资的众数、中位数、平均数； (2)平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？ 解　(1)由题中表格可知：众数为1 200，中位数为1 220，平均数为(2 200＋1 250×6＋1 220×5＋1 200×10＋490)＝1 230(元). (2)虽然平均数为1 230元，但从题干表格中所列出的数据可见，只有经理和6名管理人员的周工资在平均数以上，其余的人的周工资都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平． 为了鉴定某种节能灯泡的质量，对其中100只节能灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：(单位：小时) 寿命 450 550 600 650 700 只数 20 10 30 15 25 则这些节能灯泡的平均使用寿命是________小时． 597．5　[这些节能灯泡的平均使用寿命是 ＝597.5(小时).] [方法总结]　求分层抽样的平均数的步骤　　　　　 　 1．求样本中不同层的平均数； 2．应用分层抽样的平均数公式进行求解． [训练3]　某校规定：学生期末总评成绩由卷面成绩、研究性学习成绩、平日成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示．小明本学期数学学科三部分成绩分别是90分、80分、85分，则小明的期末数学总评成绩为________分． 87　[小明的期末数学总评成绩为：90×60%＋80×20%＋85×20%＝87(分).] [对应学生用书P150] 1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　) A．85，85，85　　　　　　　 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90 C　[从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.] 2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x为(　　) A．21　　　B．22 C．20　　　D．23 A　[由中位数的概念知＝22，所以x＝21.] 3．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　) A．平均数＞中位数＞众数 B．平均数＜中位数＜众数 C．中位数＜众数＜平均数 D．众数＝中位数＝平均数 D　[众数为50，平均数＝(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位数为(50＋50)＝50.] 4．下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表： 老板 大厨 二厨 采购员 杂工 服务生 会计 6 000元 900元 700元 800元 640元 640元 820元 (1)计算所有人员的周平均收入； (2)(1)中的周平均收入能反映打工人员周收入的一般水平吗？为什么？ (3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这个数据能代表打工人员周收入的一般水平吗？ 解　(1)周平均收入1＝×(6 000＋900＋700＋800＋640＋640＋820)＝1 500(元). (2)(1)中的周平均收入不能反映打工人员周收入的一般水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员． (3)去掉老板收入后的周平均收入2＝×(900＋700＋800＋640＋640＋820)＝750(元)，这个数据能代表打工人员周收入的一般水平． 学科网（北京）股份有限公司 $$