2.1.1 等式与不等式（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

2．1　相等关系与不等关系 2．1.1　等式与不等式 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解等式性质和不等式性质． 2.掌握等式性质和不等式性质的简单应用． 　　通过不等式性质的应用，进一步增强逻辑推理的核心素养． [对应学生用书P24] 一、关于实数a、b大小的比较，有以下基本事实 　如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也成立．即a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0． 二、不等式的基本性质 性质1　如果a>b，那么b<a； 如果b<a，那么a>b．即a>b⇔b<a. 性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c． 性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c． 推论1　如果a＋b>c，那么a>c－b. 推论2　如果a>b，c>d.那么a＋c>b＋d． 性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac<bc． 推论3　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd． 推论4　如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2). 推论5　如果a>b>0，那么>. 性质5　如果a>b，且ab>0，那么<. 如果a>b，且ab<0，那么>. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若a＞b，则ac＞bc一定成立．(×) (2)a＞b⇔a＋c＞b＋c.(√) (3)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.(×) (4)a>b⇔a2>b2.(×) 2．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40　　　　　　　　 B．T >40 C．T≤40 D．T ≥40 C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.] 3．如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正确的是(　　) A．< B．< C．a2<b2 D．|a|>|b| A　[A正确，B、C、D可举反例排除，如对B、C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可．] 4．已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则(　　) A．ad＞bc B．ac＞bc C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 答案　D 5．当x>2时，x2与2x的大小关系为________． x2>2x　[x2－2x＝x(x－2)，因为x>2，故x(x－2)>0，即x2>2x.] [对应学生用书P25] 已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 解　(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)， ∵x2－x＋1＝＋≥＞0， 又∵x＞1，∴(x－1)(x2－x＋1)＞0， 即x3－1＞2x2－2x. [方法总结]　作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→ 变形→ 定号→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论． (3)在遇到无理数(式)比较大小时，为方便起见可将分子或分母有理化再作比较，如果比较大小的两个数(式子)都是正数，可先乘方再作比较． [训练1]　(1)设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． 解　(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)(x2＋y2)－(x－y)(x＋y)2 ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝(x－y)(－2xy). 由于x＜y＜0，所以x－y＜0，－2xy＜0. 所以(x－y)(－2xy)＞0， 即(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y). (2)若a>b>0，试比较 与 －的大小． 解　()2－(－)2＝a－b－(a＋b－2) ＝2－2b＝2(－)， ∵a>b>0，∴－>0，＞0，＞0. ∴2(－)>0.∴()2>(－)2. ∴>－. 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a>b>0，有ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； ⇒>，故C为假命题； ⇒ab<0. ∵a>b，∴a>0且b<0. 法二：特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A为假命题． 取a＝2，b＝1，则＝，＝1，有<，故B为假命题． 取a＝－2，b＝－1，则＝，＝2，有<，故C为假命题．] [方法总结]　运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． [训练2]　对于实数a，b，c，有下列命题：①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2.其中真命题的个数是(　　) A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3 C　[①c的符号未知，因而无法判断ac与bc的大小，故①为假命题． ②由ac2>bc2知c≠0，又c2>0，∴a>b，故②是真命题． ③∵a<b<0，∴a2>ab，ab>b2，∴a2>ab>b2，故③为真命题． 综上可知②③是真命题．] 已知c＞a＞b＞0，求证：＞. 解题流程： 第一步，泛读题目明待求结论：证明不等式． 第二步，精读题目挖已知条件：c＞a＞b＞0. 第三步，建立联系寻解题思路：本题结论相当于比较两个代数式的大小，可采用运用不等式性质直接证明或作差比较法证明结论． 第四步，书写过程养规范习惯． 证明　证法一　∵c>a>b>0，∴0<c－a<c－b， ∴>>0.又a>b>0，∴>. 证法二　－＝＝， ∵c＞a＞b＞0，∴a－b＞0，c－a＞0，c－b＞0. ∴＞0，即＞. [变式]　将本例中的条件“c＞a＞b＞0”变为“a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0”，求证：＞. 证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0. ∴0＜＜.又∵e＜0，∴＞. [方法总结]　利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，再者利用性质时要注意性质适用的前提条件． 探究四　取值范围的问题 已知－≤α<β≤，求，的取值范围． 解　因为－≤α<β≤， 所以－≤<，－<≤. 两式相加，得－<<. 因为－<≤， 所以－≤－<，则－≤<. 又α<β，所以<0，则－≤<0. 综上，的取值范围是，的取值范围是. [方法总结]　本题利用不等式的基本性质求解，在变换过程中要注意熟练掌握、准确使用不等式的性质，求含有字母的代数式的取值范围时，要注意题设中的条件．例如，求解本题时若忽略α<β，则会导致取值范围变大． [训练3]　已知12<a<60，15<b<36，求a－b及的取值范围． 解　因为15<b<36，所以－36<－b<－15， 所以12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45. 又<<，所以<<，即<<4. 综上，a－b的取值范围是(－24，45)， 的取值范围是. [对应学生用书P26] 1．若a＞b，x＞y，则下列不等式正确的是(　　) A．a＋x＜b＋y　　　　　　 B．ax＞by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x＜(a－b)y C　[因为当a≠0时，|a|＞0，不等式两边同乘一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.] 2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－>－，则(　　) A．bc<ad B．bc>ad C．> D．< A　[∵ab>0，∴在－>－两侧乘ab不变号，即－bc>－ad，即bc<ad.] 3．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，写出两个能成立的不等式命题__________________． 答案　①③⇒②，①②⇒③，②③⇒①，三选二 4．已知1<a<4，2<b<8，试求a－b与的取值范围． 解　∵2<b<8，∴－8<－b<－2. 又∵1<a<4，∴－7<a－b<2. ∵2<b<8，∴<<.又∵1<a<4，∴<<2. 综上，a－b的取值范围是(－7，2)，的取值范围是(，2). 学科网（北京）股份有限公司 $$