专题08 立体几何（考题猜想）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021·拓展模块一上册）

专题08 立体几何 1．点M在直线l上，l在平面外，用符号表示正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（    ） A．三个点确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内 4．已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线b与平面的关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 5．若直线平面，则下列说法正确的是（    ） A．l仅垂直平面内的一条直线 B．l仅垂直平面内与l相交的直线 C．l仅垂直平面内的两条直线 D．l与平面内的任意一条直线垂直 6．如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 7．已知直线，与平面，，（互不相同），则能使的充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 8．已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 9．如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 10．有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 11．设分别是空间四边形的边，，，的中点，若，则四边形的形状是 . 12．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 1．如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 2．已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 4．已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（    ） A． B． C． D． 5．已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 6．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ）    A． B． C． D． 7．已知正四棱台的体积为，，，则与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D．4 8．如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 9．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①；②平面；③平面；④平面平面． 以上四个命题中，正确命题的序号是    10．正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 11．如图，线段，在平面内，，，且，，.则，两点之间的距离为 . 12．如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 立体几何 1．点M在直线l上，l在平面外，用符号表示正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据点线关系和线面关系判定即可 【详解】点M在直线l上，则，l在平面外，则 故选：B 2．二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二面角的定义判定选项即可. 【详解】由二面角的定义可知，二面角的平面角范围是. 故选：D 3．下列说法错误的是（    ） A．三个点确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内 【答案】A 【分析】由平面的基本事实及其推论可判断正误. 【详解】A.只有不共线的三个点可以确定一个平面，故错误； B．两条平行直线可确定一个平面，故正确； C. 两条相交直线可确定一个平面，故正确； D. 一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内，正确； 故选：A 4．已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线b与平面的关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 【答案】D 【分析】根据空间中线面位置关系的基本事实直接判断选项即可. 【详解】依题意，直线必与平面内的某直线平行， 又，因此直线与平面的位置关系是平行或直线在平面内． 故选：D 5．若直线平面，则下列说法正确的是（    ） A．l仅垂直平面内的一条直线 B．l仅垂直平面内与l相交的直线 C．l仅垂直平面内的两条直线 D．l与平面内的任意一条直线垂直 【答案】D 【分析】根据线面垂直的定义分析判断即可 【详解】因为若直线平面，则l与平面内的任意一条直线都垂直． 所以ABC错误，D正确， 故选：D 6．如图所示，在四棱锥中，分别为上的点，且平面，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理判断即可. 【详解】直线平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B 7．已知直线，与平面，，（互不相同），则能使的充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【分析】由线面、面面位置关系即可逐一判断各个选项并求解. 【详解】对于A，若，，则平行或相交，故A错误； 对于B，若，则存在使得， 因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 对于C，若，则平行，故C错误； 对于D，若，，，则只能说明相交但不一定垂直，故D错误. 故选：B. 8．已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 【答案】 【分析】根据基本事实可得结果. 【详解】如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内， 由题意可知， 故答案为：. 9．如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 【答案】 【分析】分别写出与平行的侧棱，以及相交的侧棱，即可得出答案. 【详解】根据正六棱柱的性质结合图象可得， 侧棱中，没有与平行的直线； 与相交的有，共2条. 又正六棱柱的侧棱，共有6条， 所以与直线异面的侧棱共有条. 故答案为：4. 10．有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据平面的基本性质和推论分析各个说法即可. 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 11．设分别是空间四边形的边，，，的中点，若，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【分析】画出图形，根据中位线定理可得为平行四边形，再根据即可求解. 【详解】如图所示， 因为分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以，且，，且， 所以四边形为平行四边形. 又，，， 所以, 则四边形的形状是矩形. 故答案为：矩形. 12．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据中位线可得∥，进而可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为，、分别是、的中点，则∥， 又因为∥，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）因为底面，底面，则， 又因为为矩形，则， 且，平面，所以平面. 1．如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 【答案】D 【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可. 【详解】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D 2．已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】ABC选项，均可以举出反例；D选项，可以由线面垂直的性质进行证明. 【详解】选项A中若，，则可能异面、相交或平行，故A不正确， 选项B中若，，则可能平行或相交，故B不正确， 选项C中若，，则可能平行或相交，故C不正确． 选项D，若，，则，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确； 故选：D． 3．在正方体中，若平面与平面的交线为，则（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】经推理得出是过点且平行于的直线，再根据各选项中需判断的直线，平面之间的关系，结合图形，利用线线平行，线面平行的判定和性质逐一判断即得. 【详解】 因为点平面平面，所以. 又因直线平面平面，故得， 所以是过点且平行于的直线. 对于A，因为,，所以，故不成立，即A错误； 对于B，因为，而，故不成立，即B错误； 对于C，因为，而平面,故平面不成立，即C错误； 对于D，因为,，所以， 又平面平面，所以平面，即D正确. 故选：D. 4．已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线、平面的位置关系的判断可得结果. 【详解】对于A，，则与相交、平行或，故A错误； 对于B，，则与相交、平行或，故B错误； 对于C，，由线面垂直的性质知，故C正确； 对于D，，则与相交、平行或，故D错误. 故选：C. 5．已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面∥平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D 6．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 而，即为等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角是. 故选：C.    7．已知正四棱台的体积为，，，则与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据体积求出正四棱台的高，分别取的中点，过作交于，则为与底面所成的角，求解即可. 【详解】∵，，∴上，下底面的面积分别为， 设正四棱台的高为， 则其体积为，解得， 连接，分别取的中点， ∵面，面，∴， 过作交于，则，面， ∴为与底面所成的角， ∵，， ∴， 即与底面所成角的正切值为. 故选：C. 8．如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 【答案】 【分析】证明线面平行，得到点到平面的距离等于到平面的距离，过点作⊥于点，证明出⊥平面，故的长即为到平面的距离，结合，，利用勾股定理等知识进行求解. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 即点到平面的距离等于到平面的距离， 过点作⊥于点， 因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故的长即为到平面的距离， 因为，，故， 则. 故答案为： 9．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①；②平面；③平面；④平面平面． 以上四个命题中，正确命题的序号是    【答案】②③④ 【分析】还原几何体，根据正方体的结构特征及线面、面面平行的判定、线面垂直的判定判断各项的正误即可. 【详解】将展开图还原为几何体如下，    由正方体的结构特征，异面，故不平行，①错； 且，面，面，则平面成立，②对； 有，面，面，则， 都在面，则面，即平面，③对； 易得，而面，面，则面， 同时有，同理易得面，又都在面， 所以平面平面，④对. 故答案为：②③④ 10．正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用线面角的定义直接求解. 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与平面所成的角，而， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：    11．如图，线段，在平面内，，，且，，.则，两点之间的距离为 . 【答案】 【分析】由已知可得，根据可求． 【详解】，， ，，， ，， 故答案为：． 12．如图所示，平面为圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的任意一点． (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）为的直径，点为上的异于，的任意一点，可得, 又圆柱中，底面可得，得证． （2）取中点，连结、，应用三角形中位线定理得，又圆柱中，，且，推出为平行四边形，得到即得证． 【详解】（1）∵为的直径，点为上的异于，的任意一点， ∴．又在圆柱中，底面，底面， ∴，又，平面， ∴平面． （2）取的中点，连接，， ∵为的中点，∴在中，，且， 又在圆柱中，，且， ∴，，∴四边形为平行四边形， ∴．而平面，平面， ∴平面. 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