专题08 立体几何（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021·拓展模块一上册）

串讲08 立体几何（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.三种语言的转换 考点2.直线的位置关系 考点3.线面的位置关系 考点4.面面的位置关系 考点5.直线与平面平行 考点6.平面与平面平行 考点7.异面直线所成的角 考点8.直线与平面垂直 考点9.线面角 考点10.二面角 考点11.平面与平面垂直 考点12.平行与垂直的综合 03过关测试 一　平面的基本概念 1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周无限延展的． 2．平面的画法及表示法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面． 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向，如图①；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向，如图②. 图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 【微点拨】(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量． (2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的． 二．点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面． 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 三．平面的基本事实及推论 1.三个基本事实, 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.基本事实的推论, 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 四　空间中直线与直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托) 2.空间两条直线的位置关系 【微点拨】异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行． 五．空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 六．空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 七．直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 【微点拨】(1)定理中的三个条件“a⊄α，b⊂α，a∥b”缺一不可． (2)实质是线线平行⇒线面平行． 八．直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 【微点拨】(1)定理中的三个条件“a∥α，a⊂β，α∩β＝b”缺一不可． (2)实质是线面平行⇒线线平行． 九．平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 【微点拨】(1)该定理简记为“线面平行，则面面平行”． (2)定理中“两条直线相交”是必不可少的． 十．平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 【微点拨】(1)该定理可简记：若面面平行，则线线平行． (2)定理中有两个条件：①两个平行平面；②第三个平面和这两个平面相交，这两个条件缺一不可． 十一．直线与平面垂直 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 及画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 【微点拨】直线与平面垂直的定义中，强调“任意一条”，而不是“存在一条”． 十二．直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形 语言 符号 语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 【微点拨】该判定定理中，强调“两条相交直线”而不是“两条平行直线”． 十三．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 十四．二面角 1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q. 4．二面角的平面角： (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角． 【微点拨】二面角的大小与垂足在l上的位置无关． 十五．平面与平面垂直 1．面面垂直的定义 定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图 记法 α⊥β 2.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 【微点拨】(1)面面垂直的判定定理可简记：若线面垂直，则面面垂直． (2)此定理是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据． 十六．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 【微点拨】面面垂直的性质定理的理解 (1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直． 考点1.三种语言的转换 【例1】如图所示，用符号语言可表述为(　　) A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 【对点演练】如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　) A．l⊂α B．l⊄α C．l∩α＝M D．l∩α＝N 考点2.直线的位置关系 【例2】（1）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 （2）如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； 【对点演练】 1.与同一平面平行的两条直线(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 2.已知A，B，C，D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线，则直线AC与BD的位置关系是________．(填“平行”或“异面”) 考点3.线面的位置关系 【例3】若直线l∥平面α，直线a⊂α，则(　　) A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 【对点演练】若直线上有一点在平面外，则下列说法正确的是(　　) A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数个点都在平面外 C．直线上有无数个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内 考点4.面面的位置关系 【例4】如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 【对点演练】 正方体的六个面中相互平行的平面有(　　) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 考点5.直线与平面平行 【例5】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形． 【对点演练】如图所示，过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1. 考点6.平面与平面平行 【例6】（1）已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 （2）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 【对点演练】1.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定 2.如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 考点7.异面直线所成的角 【例7】在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有(　　) A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 【对点演练】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 考点8.直线与平面垂直 【例8】（1）下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊂α，c⊂α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α （2）如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【对点演练】1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号) 2.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．求证：AN⊥平面PBM. 考点9.线面角 【例9】已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为.若点是线段的中点，则直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【对点演练】若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 考点10.二面角 【例10】如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值． 【对点演练】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求二面角B-PA-C的大小． 考点11.平面与平面垂直 【例11】（1）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　) A．l∥β或l⊂β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m （2）如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点． 求证：(1)PE⊥平面ABCD； (2)平面PBE⊥平面ABCD. 【对点演练】1.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　) A．α∥γ B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 2.如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD. 求证：VA⊥平面VBC. 考点12.平行与垂直的综合 【例12】已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，，分别是的中点．求证：      (1)平面； (2)平面 【对点演练】如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面. 1．如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且，则下列说法中正确的是（    ） A．直线EH与FG一定平行 B．直线EH与FG一定相交 C．直线EH与FG可能异面 D．直线EH与FG一定共面 3．已知l是平面α的一条斜线，直线，则（    ） A．存在唯一一条直线m，使得l⊥m B．存在无数多条直线m，使得l⊥m C．存在唯一一条直线m，使得l∥m D．存在无数多条直线m，使得l∥m 4．若平面平面，且直线，直线，则直线，的关系为（    ） A． B． C．无公共点 D．即不平行也不相交 5．已知直线m，n，平面，那么“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若、、是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 9．如图，空间图形是三棱台，在点中取3个点确定平面，平面，且，则所取的这3个点可以是 .    10．已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为 . 11．如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求证：. 12．已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，，分别是的中点．求证：      (1)平面； (2)平面 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲08 立体几何（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.三种语言的转换 考点2.直线的位置关系 考点3.线面的位置关系 考点4.面面的位置关系 考点5.直线与平面平行 考点6.平面与平面平行 考点7.异面直线所成的角 考点8.直线与平面垂直 考点9.线面角 考点10.二面角 考点11.平面与平面垂直 考点12.平行与垂直的综合 03过关测试 一　平面的基本概念 1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周无限延展的． 2．平面的画法及表示法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面． 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向，如图①；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向，如图②. 图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 【微点拨】(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量． (2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的． 二．点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面． 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A∉l A在α内 A∈α A在α外 A∉α l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A l∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 三．平面的基本事实及推论 1.三个基本事实, 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.基本事实的推论, 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 四　空间中直线与直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托) 2.空间两条直线的位置关系 【微点拨】异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行． 五．空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 六．空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 七．直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 【微点拨】(1)定理中的三个条件“a⊄α，b⊂α，a∥b”缺一不可． (2)实质是线线平行⇒线面平行． 八．直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 【微点拨】(1)定理中的三个条件“a∥α，a⊂β，α∩β＝b”缺一不可． (2)实质是线面平行⇒线线平行． 九．平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 【微点拨】(1)该定理简记为“线面平行，则面面平行”． (2)定理中“两条直线相交”是必不可少的． 十．平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 【微点拨】(1)该定理可简记：若面面平行，则线线平行． (2)定理中有两个条件：①两个平行平面；②第三个平面和这两个平面相交，这两个条件缺一不可． 十一．直线与平面垂直 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 及画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 【微点拨】直线与平面垂直的定义中，强调“任意一条”，而不是“存在一条”． 十二．直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 图形 语言 符号 语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 【微点拨】该判定定理中，强调“两条相交直线”而不是“两条平行直线”． 十三．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 十四．二面角 1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q. 4．二面角的平面角： (1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角． 【微点拨】二面角的大小与垂足在l上的位置无关． 十五．平面与平面垂直 1．面面垂直的定义 定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图 记法 α⊥β 2.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 【微点拨】(1)面面垂直的判定定理可简记：若线面垂直，则面面垂直． (2)此定理是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据． 十六．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 【微点拨】面面垂直的性质定理的理解 (1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直． 考点1.三种语言的转换 【例1】如图所示，用符号语言可表述为(　　) A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 【答案】A 【解析】由图知平面α与平面β相交于直线m，直线n在α内，直线m与n相交于A点．故A成立． 【对点演练】如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　) A．l⊂α B．l⊄α C．l∩α＝M D．l∩α＝N 【答案】A 【解析】因为M∈a，a⊂α，所以M∈α， 又因为N∈b，b⊂α，所以N∈α，又M，N∈l，所以l⊂α， 所以A正确，B错误．l∩α＝l，所以C，D错误． 考点2.直线的位置关系 【例2】（1）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面 【答案】D 【解析】可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD­A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面． （2）如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； 【答案】　(1)平行　(2)异面　(3)相交　 【解析】　经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行．点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面． 【对点演练】 1.与同一平面平行的两条直线(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 【答案】D 【解析】与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面． 2.已知A，B，C，D是空间四个点，且直线AB与CD是两条异面直线，则直线AC与BD的位置关系是________．(填“平行”或“异面”) 【答案】异面 【解析】因为AB，CD是两条异面直线，由异面直线定义可知直线AC与BD必不相交也不平行，一定异面． 考点3.线面的位置关系 【例3】若直线l∥平面α，直线a⊂α，则(　　) A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 【答案】D 【解析】若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l∥a或l与a异面，故l与a没有公共点，故选D. 【对点演练】若直线上有一点在平面外，则下列说法正确的是(　　) A．直线上所有的点都在平面外 B．直线上有无数个点都在平面外 C．直线上有无数个点都在平面内 D．直线上至少有一个点在平面内 【答案】B 【解析】直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数个点都在平面外． 考点4.面面的位置关系 【例4】如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系，如图所示． 【对点演练】 正方体的六个面中相互平行的平面有(　　) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【解析】由正方体模型可知，六个面中共有3对相对的面互相平行．故选B. 考点5.直线与平面平行 【例5】如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体．求证：截面MNPQ是平行四边形． 【证明】　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB⊂平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ， 所以MN∥PQ，同理MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形 【对点演练】如图所示，过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1. 【证明】因为BB1∥CC1，BB1⊄平面CDD1C1，CC1⊂平面CDD1C1， 所以BB1∥平面CDD1C1. 又BB1⊂平面BEE1B1， 且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1， 所以BB1∥EE1. 考点6.平面与平面平行 【例6】（1）已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面 【答案】D 【解析】因为α∥β，所以α与β无公共点， 又m⊂α，n⊂β， 所以m与n无公共点，所以m与n平行或异面． （2）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 【证明】因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D， BE⊄平面AA1D， 所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D， BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D， 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC， 平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D， 所以EC∥A1D. 【对点演练】1.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定 【答案】B 【解析】由长方体的性质各对面平行及面面平行的性质定理，易知HG∥EF，EH∥FG， 所以四边形EFGH为平行四边形．故选B 2.如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 【证明】因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF， 平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以NF∥CM. 考点7.异面直线所成的角 【例7】在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有(　　) A．2条 B．4条 C．6条 D．8条 【答案】D 【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选D． 【对点演练】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解析】和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，共2条，故选B． 考点8.直线与平面垂直 【例8】（1）下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊂α，c⊂α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 【答案】D 【解析】由线面垂直的判定定理易知D正确． （2）如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【证明】(1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， 所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC. 【对点演练】1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号) 【答案】①③④ 【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①，③，④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件． 2.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．求证：AN⊥平面PBM. 【证明】因为AB为⊙O的直径，M为圆周上任意一点， 所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM. 又因为PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，所以BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM， 所以AN⊥平面PBM. 考点9.线面角 【例9】已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为.若点是线段的中点，则直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点M作于点N，连接， 根据面面垂直的性质可得：平面， 则为直线与底面所成的角. 由已知，可得，，所以，故选B. 【对点演练】若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解析】设正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，连接底面对角线AC(图略)，AC＝，易知△PAC为等腰直角三角形. AC中点为O，由正四棱锥知PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角，为45°. 故选B． 考点10.二面角 【例10】如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值． 【解】如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角定义知∠AMB为二面角A-CD-B的平面角．因为AM＝BM＝，AB＝2 所以cos ∠AMB＝＝，即二面角A-CD-B的余弦值为. 【对点演练】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.求二面角B-PA-C的大小． 【解】因为PA⊥平面ABCD， 所以AB⊥PA，AC⊥PA. 所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角． 又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°. 即二面角B-PA-C的大小为45°. 考点11.平面与平面垂直 【例11】（1）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　) A．l∥β或l⊂β B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m 【答案】A 【解析】由l⊥平面α，且α⊥β知l∥β或l⊂β，A成立；m与α不一定垂直，C不成立；l与m平行、相交、异面都可能，所以B，D不成立． （2）如图，点P为四边形ABCD所在平面外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点． 求证：(1)PE⊥平面ABCD； (2)平面PBE⊥平面ABCD. 【证明】(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PE⊥平面ABCD. (2)由(1)知PE⊥平面ABCD， 又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD. 【对点演练】1.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　) A．α∥γ B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 【答案】D 【解析】两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能． 2.如图，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD. 求证：VA⊥平面VBC. 【证明】因为平面VAB⊥平面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB， BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面VAB. 又VA⊂平面VAB，所以BC⊥VA. 又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA. 又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC. 考点12.平行与垂直的综合 【例12】已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，，分别是的中点．求证：      (1)平面； (2)平面 【解】（1）如图，取的中点，连结，因为是的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面；    （2）连结，因为，是的中点，所以， 在中，，，， 所以，由条件，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面.    【对点演练】如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.    (1)证明：； (2)证明：平面. 【解】（1）在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以. 因为，，， 所以，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以 （2）设，连接，    则是的中点， 又因为是的中点，所以 因为平面，平面， 所以平面. 1．如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线、线面的位置关系，应用数学符号表示它们的关系即可，注意点属于或不属于线、面，线包含于或不包含于面. 【详解】由点在直线上，即； 由直线在平面内，即. 所以. 故选：D. 2．在三棱锥中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且，则下列说法中正确的是（    ） A．直线EH与FG一定平行 B．直线EH与FG一定相交 C．直线EH与FG可能异面 D．直线EH与FG一定共面 【答案】D 【分析】根据两条平行线确定一个平面，即可求解. 【详解】由于，所以E，F，G，H四点确定一个平面EFGH，因此直线EH与FG一定共面，故D正确，C错误；    只有当,时，此时四边形为平行四边形，此时，故A不正确；    只有当但时，此时四边形EFGH为梯形，此时EH，GF相交于一点，故B不正确.    故选：D. 3．已知l是平面α的一条斜线，直线，则（    ） A．存在唯一一条直线m，使得l⊥m B．存在无数多条直线m，使得l⊥m C．存在唯一一条直线m，使得l∥m D．存在无数多条直线m，使得l∥m 【答案】B 【分析】面内与平面的斜线在面内的投影垂直的直线与斜线垂直，这样的直线时一组平行线，有无数多条；面内的直线与斜线只有相交和异面两种情况，没有平行的可能. 【详解】平面内的直线与平面的一条斜线在面内的投影垂直，则与斜线垂直，这样的平行线有无数多条，所以A不正确，B正确， 面内的直线若有与斜线平行的则斜线与面平行，显然不可能的， 所以C，D不正确. 故选：B. 4．若平面平面，且直线，直线，则直线，的关系为（    ） A． B． C．无公共点 D．即不平行也不相交 【答案】C 【分析】根据面面平行可知直线，可能平行或异面，即可得结果. 【详解】因为平面平面，直线，直线， 可知直线，不可能相交，但可能平行或异面，即没有公共点. 故选：C. 5．已知直线m，n，平面，那么“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由可以推出，但由不能推出，选出答案. 【详解】当时，由于，可以得到，充分性成立， 但不能推出，因为可能在内，必要性不成立. 故选：C 6．若、、是互不相同的直线，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面垂直的性质判断B；根据空间直线的位置关系判断C；根据面面垂直的判定判断D. 【详解】对于A：，，，则有可能与异面，A不对； 对于B：，，则有可能，B不对； 对于C：，，则有可能与异面，C不对； 对于D：，，则在内必存在直线，则，而， 则有，D对. 故选：D 7．已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四棱锥的体积为4求出高h，再结合直线与平面所成角的正弦值为即可得答案. 【详解】四棱锥的体积，得， 直线与平面所成角的正弦值为， 故选：B. 8．已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 【答案】或 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 9．如图，空间图形是三棱台，在点中取3个点确定平面，平面，且，则所取的这3个点可以是 .    【答案】A，B，（答案不唯一） 【分析】根据面面平行的性质定理即可判断. 【详解】由空间图形是三棱台，可得平面∥平面， 当平面为平面，平面平面时，又平面平面， 所以由面面平行的性质定理可知，所取的这3个点可以是A，B，. 故答案为：A，B， 10．已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为 . 【答案】 【分析】设棱长均为2，取的中点，分析可知二面角的平面角为，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】设正三棱锥的棱长均为2， 取的中点，连接， 则，且， 可知二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 则， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：. 11．如图，在正方体中， (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证. 【详解】（1）在正方体中， 又平面，平面，所以平面； （2）连接、，在正方体中为正方形， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 12．已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，，分别是的中点．求证：      (1)平面； (2)平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形得到线线平行，结合线面平行的判定定理得证； （2）利用线面垂直的判定定理得证. 【详解】（1）如图，取的中点，连结，因为是的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面；    （2）连结，因为，是的中点，所以， 在中，，，， 所以，由条件，所以， 又是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$