专题07 圆锥曲线（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021·拓展模块一上册）

专题07 圆锥曲线（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.椭圆的定义及应用 考点2.椭圆的标准方程 考点3.椭圆的几何性质 考点4.双曲线的定义及应用 考点5.双曲线的标准方程 考点6.双曲线的几何性质 考点7.抛物线的定义及应用 考点8.抛物线的标准方程 考点9.抛物线的几何性质 03过关测试 一．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 二．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 三．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 四．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 五．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 六．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 考点1.椭圆的定义及应用 【例1】椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（   ） A．5 B．6 C．4 D．12 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解即得. 【详解】由，则，所以， 根据椭圆的定义，点到右焦点的距离为. 故选：C. 【对点演练】已知分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由椭圆的定义求解的周长. 【详解】由题意知：椭圆中，则， 的周长 故选：C 考点2.椭圆的标准方程 【例2】求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，， 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 故选：C. 【对点演练】方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 考点3.椭圆的几何性质 【例3】已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质确定焦点三角形的周长和面积，再应用等面积法得到齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设，焦点三角形的周长为，面积为，又其内切圆半径为， 所以. 故选：A 【对点演练】设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数关系得到，，由椭圆定义得到方程，求出离心率. 【详解】因为P是C上的点，且，， 所以，， 又， 故，解得. 故选：D 考点4.双曲线的定义及应用 【例4】已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 【对点演练】双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据双曲线定义直接可得解. 【详解】由已知双曲线，可知，， 设双曲线的两焦点分别为，， 不妨设， 则, 解得或， 又双曲线上的点到焦点的距离， 所以， 故选：A. 考点5.双曲线的标准方程 【例5】以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程可得其顶点与焦点，结合双曲线标准方程，可得答案. 【详解】由椭圆，则左右顶点分别为与， 由，则左右焦点分别为与， 设双曲线方程为，则，，解得， 所以可得. 故选：B. 【对点演练】与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程可得焦点坐标，设双曲线方程为，根据题意列式求解即可. 【详解】由椭圆方程可知，即焦点坐标为， 设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：C. 考点6.双曲线的几何性质 【例6】双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到，再由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线（）的渐近线为， 依题意可得，则双曲线的离心率. 故选：B 【对点演练】已知双曲线的离心率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率公式可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为双曲线的离心率为， 则，且，解得. 故选：A. 考点7.抛物线的定义及应用 【例7】若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程标准化，可得其准线方程 ，运用抛物线的定义转化求解即可. 【详解】将标准化为，所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离. 如图所示， 所以，解得. 故选：C. 【对点演练】抛物线上与焦点的距离等于7的点的横坐标是（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 设点到的距离等于7， 则，解得. 故选：C. 考点8.抛物线的标准方程 【例8】过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【详解】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D 【对点演练】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 考点9.抛物线的几何性质 【例9】已知抛物线的焦点为，为轴上一点，若，且抛物线经过线段的中点，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设线段与抛物线的交点为，根据抛物线的定义，到焦点和准线的距离相等，均为3，可求的值. 【详解】如图： 设坐标原点为，线段的中点为，抛物线的准线为：，焦点，设点到准线的距离为. 由抛物线的定义知，，所以，解得. 故选：B 【对点演练】已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】因为到抛物线焦点的距离为2， 所以由抛物线定义知，，解得. 故选：A. 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出抛物线的标准方程，求出准线方程. 【详解】由题意，抛物线的标准方程为， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 2．已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出，进而求出焦点坐标. 【详解】依题意，，解得， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 3．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，写出抛物线的焦点坐标，列出等量关系，求出，即可得抛物线的标准方程. 【详解】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 4．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出实半轴长，进而求出渐近线的方程. 【详解】由双曲线的焦距为，得，解得， 所以曲线的渐近线方程为. 故选：A 5．已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，过其左焦点的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质结合三角形的周长可求，根据离心率求出后根据平方关系求出即可得椭圆方程. 【详解】因为的周长为16，故，故， 而离心率为，故，故，故椭圆方程为：， 故选：C. 6．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（   ） A．13 B．21 C．29 D．31 【答案】C 【分析】由双曲线离心率为3可得，根据双曲线与椭圆焦点相同，得，求解可得. 【详解】由题意解得，所以． 故选：C． 7．已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解. 【详解】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C 8．焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为 ； 【答案】/0.25 【分析】根据离心率公式即可求解. 【详解】由可得，故离心率为，解得， 故答案为： 9．曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的标准方程的特征得到不等式组，即可得解. 【详解】方程，表示焦点在轴上的双曲线， ， ． 故答案为： 10．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合双曲线对于可得，，结合勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由双曲线方程可得， 不妨设，则，， 若，则，可得， 即，则， 所以的面积为. 故答案为：1. 11．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，即可求得椭圆方程； （2）根据直线与椭圆相切，可得判别式等于0，即可求解. 【详解】（1）椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得： ， 椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，解得. 12．已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列和离心率列方程求，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）记双曲线的左焦点为，则， 可得， 当三点共线时，最小， 且最小值为.故的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 串讲07 圆锥曲线（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1.椭圆的定义及应用 考点2.椭圆的标准方程 考点3.椭圆的几何性质 考点4.双曲线的定义及应用 考点5.双曲线的标准方程 考点6.双曲线的几何性质 考点7.抛物线的定义及应用 考点8.抛物线的标准方程 考点9.抛物线的几何性质 03过关测试 一．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 二．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 三．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 四．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 五．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 六．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 考点1.椭圆的定义及应用 【例1】椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（   ） A．5 B．6 C．4 D．12 【对点演练】已知分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 考点2.椭圆的标准方程 【例2】求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【对点演练】方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 考点3.椭圆的几何性质 【例3】已知椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【对点演练】设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点4.双曲线的定义及应用 【例4】已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【对点演练】双曲线上一点到该双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是（   ） A． B． C．， D．， 考点5.双曲线的标准方程 【例5】以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【对点演练】与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 考点6.双曲线的几何性质 【例6】双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【对点演练】已知双曲线的离心率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 考点7.抛物线的定义及应用 【例7】若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【对点演练】抛物线上与焦点的距离等于7的点的横坐标是（    ） A．6 B． C． D．3 考点8.抛物线的标准方程 【例8】过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【对点演练】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 考点9.抛物线的几何性质 【例9】已知抛物线的焦点为，为轴上一点，若，且抛物线经过线段的中点，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【对点演练】已知为抛物线上的一点，点到抛物线焦点的距离为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线经过点，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，过其左焦点的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（   ） A．13 B．21 C．29 D．31 7．已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为 ； 9．曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 . 10．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 11．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 12．已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$